2024年茂名市高二数学3月份联考试卷附答案解析 (二)

2024年茂名市高二数学3月份联考试卷

试卷满分150分.考试时间120分钟.2024.03

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2,选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非

答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的)

1.直线氐+y-l=O的倾斜角为()

A.工B.巳C.二D.舁

6336

2.已知等比数列｛%｝中，49=4生，等差数列电｝中，％+%=%，则数列电｝的前9项和Sg等于

A.9B.18C.36D.72

3.若函数〃x)=ln(x—a)+/7在％=0处的切线方程为〉=%则满足的x的取值范围为()

A.-,eB.\l,e]C.D.[2,1+e]

4.已知圆C：(x-3)2+(>-4)2=9,直线/：(m+3)x-(m+2)y+优=0.则直线/被圆C截得的弦长的最小值为

()

A.V10B.2A/2C.76D.2币

5.如图，二面角。一/一尸等于135。，A,3是棱/上两点，BD,AC分别在半平面。，夕内，AC±Z,

BDLI,且AB=AC=2,BD=叵，则8=()

A.2A/3B.2A/2C.V14D.4

1

22

6.双曲线,与=1（。>0,“0）的左、右焦点分别为点M是双曲线左支上一点，4A%=90，

直线班交双曲线的另一支于点N,|MN|=2|A"|,则双曲线的离心率（）

A.3B.9C.75D.2

7.已知e=2.71828是自然对数的底数，设。=6力=后一-ln2,贝|（）

ee

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

8.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为36兀，且34”4应，则该

正四棱锥体积的最大值是（）

A.18B.—C.—D.27

43

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.正方体ABCD-A耳£2的棱长为2,E,£G分别为BCCG/K的中点，则（）

A.直线。。与直线"垂直

B.直线4G与平面AER平行

9

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为］

D.点4和点D到平面A跖的距离不相等

10.己知=,则（）

A.“X）的值域为R

B.awO时，恒有极值点

k

C.g（%）=/（%）——（左wO）恒有零点

x

D.对于xeRJ(x)<(l-e)or恒成立

2

11.如图，已知直线/与抛物线;/=2「宜0>0）交于48两点，且。交48于点。，则（）

A.若点。的坐标为（2,1）,则p=；

B.直线/恒过定点（p,0）

C.点£>的轨迹方程为x2+y2-2px=0（xw0）

D.二AO3的面积的最小值为4。2

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.已知函数/（x）=,（2xT）,若方程f（x）-左=0有2个不同的实根，则实数上的取值范围是.

x-1

13.下图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一正三角形开

始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一

过程，就得到一条“雪花”状的曲线.

①②③④

若第1个图中的三角形的周长为1,则第〃个图形的周长为

若第1个图中的三角形的面积为1,则第〃个图形的面积为.

14.已知”（再,必），N（%,%）是圆C：（x-3y+（y-4）2=4上的两个不同的点，若|MV|=2点，则

|西+乂|+值2+%|的取值范围为.

四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

15.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一

次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有机人，按年龄

3

分成5组，其中第一组：［20,25),第二组：［25,30),第三组：［30,35),第四组：［35,40),第

五组：［40,45］,得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

(1)根据频率分布直方图，求m的值并估计这根人年龄的第80百分位数；

(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦''宣传使者.

(i)若有甲(年龄38),乙(年龄40)两人己确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的

使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；

(ii)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和g,第五组宣传使者的年龄的平均数与方差

分别为43和1,据此估计这m人中35-45岁所有人的年龄的方差.

n

16.已知数列｛4,｝满足：a1=2,an+1-an=2.

(1)求数列｛g｝的通项公式；

(2)若数列也,｝的首项为1,其前"项和S“满足於用-(〃+1)$,=当4,证明：若

V〃eN*,致+也++也21.

a?

17.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面皿＞，底面ABCD,侧棱==PAVPD,底

面ABC。为直角梯形，其中BC//AD,ABLAD,AB=BC=1,。为AD的中点.

(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值;

(2)求8点到平面PCD的距离；

4

(3)线段尸。上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-。的余弦值为逅？若存在，求出笔的值；若不

3QD

存在，请说明理由.

18.已知椭圆C：r+谷=1(°>6>0)的左、右焦点分别为斗鸟，该椭圆的离心率为不，且椭圆上动点加

ab"/

与点片的最大距离为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，若直线/与x轴、椭圆C顺次交于尸,。水(点尸在椭圆左顶点的左侧)，且+=

求RQ耳面积的最大值.

19.已知函数=alnx-2ox+]~(a>0).

⑴讨论〃x)的单调性；

(2)若〃x)有两个极值点玉、％(工产.)，且不等式〃占)+〃%)<恒成立，求实数2的取

值范围.

1.C

【分析】由斜率直接求解倾斜角即可.

【详解】设倾斜角为aa«(U),贝iJtana=-5则a=手

故选：C.

2.B

【分析】由等比数列的性质可得生•%=%，求得%=4,得到&+%=4,再由等差数列的前n项和，即

可求解，得到答案.

【详解】在等比数列等“｝中,满足出外=4%，

由等比数列的性质可得在♦4=d，即6=4%,所以％=列

5

又由4+4二%，所以“+%=4

所以数列｛4｝的前9项和Sg=9（：；>）=%詈=殍=18,

故选B.

【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的性质，以及等差数列的前n项和公式的应用，着重考查

了推理与运算能力，属于基础题.

3.B

【分析】根据导数的几何意义求出。力，再根据对数函数的单调性解不等式可得结果.

【详解】因为/。）=111（尤一。）+6,所以（（无）=」一，

x-a

f（（y）=—=1（a=—1

依题意可得-a,解得｝，

/（0）=ln（-a）+6=0="

所以/（x）=ln（尤+D,f（x-l）=lnx,

所以OWlnxWl,所以IWxVe.

故选：B

4.D

【分析】

先求出直线/所过的定点P（2,3）,数形结合得到当CP_£/时，直线/被圆C截得的弦长最小，由垂径定理

得到最小值.

【详解】

直线/：（"2+3卜-（"?+2）、+根=m（%-,+1）+3彳-2'=0.恒过定点尸（2,3）,

圆C的圆心为C（3,4）,半径为r=3,且（2-3）?+（3-4）2=2<9,即尸在圆内，

当CP，/时，圆心C到直线I的距离最大为d=\CP\=42,

此时，直线/被圆C截得的弦长最小，最小值为24r方=2近.

故选：D.

5.C

【分析】

依题意，可得笳=法+斯泥，再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可.

6

【详解】

由二面角的平面角的定义知〈肛AC)=135。，

所以2D・AC]cosAC)=2xcos135°=-2,

由AC_U,BDLI,得AC-8A=0，BDBA=Q，

UUIUUUUULLUUU

又因为DC=+BA+AC，

所以

|£>C|2=(DB+BA+AC)2=DB"++AC+2DB-BA+2DB-AC+IBA-AC

=(V2)2+22+22-2BD-AC=10-2x(-2)=14,

所以怛q=&z,即CD=M.

故选：c.

6.C

【分析】

根据双曲线定义和|MN|=2|NF；|得到边长之间的关系，结合勾股定理得到方程，求出离心率.

【详解】设|明|=〃，贝“肱V|=2〃，\MF2\^3n,

由双曲线定义得岬I=2。，故|岬|=3〃-2a,

由勾股定理得|"打「+|叫「=山与「，即9"+(3〃一2。)2=4H①，

连接N[,贝]岫|一|蹲|=2。，故|g|=2a+〃，

由勾股定理得|上阴『+对2=防2,即4/+(3〃_2。丫=(2a+〃y②，

由②得力=第，代入①得20。2=4°2,故£=6

3a

V/

h1aI

II\

故选：c

7.A

7

【分析】首先设/（》）=«-2，利用导数判断函数的单调性，比较“力的大小，设利用导数判断/Wx+1,

e

放缩c>0-ln2,再设函数g（x）=?7nx,利用导数判断单调性，得g（2）>0,再比较b,c的大小，即

可得到结果.

【详解】设/（x）=«-?，，'⑺=^^二，

22

当04x<?时，/^%）>0,函数单调递增，当无>（时，/（x）<0,函数单调递减，

2

a=f（3）,b=f（2）,>2<3时，/（3）<f（2）,即

设片e-x-1,yr=ex-l,（--。）时，/<0,函数单调递减，（0,+力）时，/>0,函数单调递增，所

以当x=0时，函数取得最小值，f（O）=O,即+l恒成立，

即eg>72，

令g（x）=]-lnx,gr（x）=---,xe（O,e）时，g,（x）<0,8（同单调递减，％€（6-^0）时，g<x）>0,g（x）

单调递增，x=e时，函数取得最小值g（e）=O,即g（2）>0,

得：一>ln2,那么—<>/2—In2,

ee

BPe'/5-1-ln2>^-ln2>72--,即b<c,

e

综上可知

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，比较大小，本题的关键是：根据

ex>x+l,放缩c>收-ln2，从而构造函数g（尤）=]Tnx,比较大小.

8.C

【分析】

设正四棱锥的底面边长为加，高为心求出九/M的关系式，即可表示出四棱锥的体积，利用导数求得其

最大值，即得答案.

【详解】.球的表面积为36兀，所以球的半径R=3,

8

设正四棱锥的底面边长为2a,高为小,贝！J尸=2/+»,32=2a2+(3-/z)2,

所以6/1=/2,24=/2—%2,

119(74।72

故正四棱锥的体积为丫=彳5/2=彳乂4。2、%=xZ2-—x-=

33313oJo

当3W/K2#时，Vr>0,当2c</44加时，V'<0,

在［3,2萌］上单调递增，在［2",40］上单调递减,

当/=2前时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为三.

故选：C.

9.BC

【分析】

根据线线位置关系判断A；证明平面a*G;，平面AEF,利用面面平行的性质可判断B；作出平面AEF

截正方体所得的截面，求出截面面积判断C；设ADcA〃=。，则。是4。的中点。结合点到平面的距

离的含义判断D.

【详解】D.DGC,而尸为GC的中点，GC与AF不垂直，二。2与反不垂直，A错误;

取4G中点H，连接AH,GH,BC「HE,由G,瓦尸分别是阴,BC,CG中点,

AB

9

得龙，BCtEF,HGCZ平面AEF,EFu平面AE尸，故用平面AEF,

又HEBB,抽,"£=8耳=",;.4"64是平行四边形，

AE,aa<z平面AEF,AEU平面AEF,故A”，平面AEF，

而4“八”6=4,4",〃6<=平面4"6,故平面45G平面的，

又AGu平面AG,平面AEF,B正确；

由正方体性质，连接歹2,42，由于4B〃GR，AB=G2，

故四边形ABC，为平行四边形，则3c|〃AR,而3£〃或"故E/〃A2，

则截面AEF即为四边形AEFD、,它是等腰梯形，

正方体冷场为2,故AD、=2叵EF=RD、F=AE=后,

等腰梯形AE肛的高为/7=J(有y_(述411=迪，

22

NIJ

截面面积为S=gx(血+20卜寺=|,C正确；

设ADcA，=。，则。是AQ的中点，而平面A£户即为平面人£/2，

40门平面4£7已=。，，4，。两点到平面4所2的距离相等，D不正确.

故选：BC.

10.BCD

【分析】

令上依，则g(r)=r-e'，求导数分析单调性即可求得；B选项由A选项即可判断B选项；C选项由

g(x)=〃尤)-。(％*0),根据方程有零点转化为两个方程的根的问题来判断；D选项e)ax,

转化为e"2eax,即可判断D选项；

【详解】对于A：令t=ax,贝!|g«)=r—e',g'«)=l—e'jwR,

当te(一”,0),g'(。>0,g(r)单调递增；

当fe(0,+e),g'(r)<0,g(f)单调递减.

10

.•.g(r)<g(o)=-l,的值域不为R,故A不正确；

对于B：由A选项可知，当。力0时，x=0是/(X)的极值点，故B正确；

对于C：g(无)=〃尤)(4X0)有零点，即依有根，

当。=0时，/(x)=-l与函数y=:图象恒有交点，

当"0时，由选项A知/(x)1mx=〃0)=—1；

且在(-8,0)上单增，在(0,+8)上单减，

当上>。时，函数y=g图象在第三象限与/(x)有交点，

当左<。时，函数y=g图象在第四象限与/(x)有交点，

.・"(X)与函数y图象恒有交点，故C正确；

对于D：若-e)6a,则办一e公<(l-e)oroe.>eor,

%

(e>ex,令〃力=1一4,/'(x)=e"—e,/'(x)>0,x>l,/,(x)<0,x<l,fM^n=f(T)=0f所以e'Nex,

故当％=1时等号成立)，

当工=’，则e6ueox,故D正确.

a

故选：BCD.

11.ACD

【分析】A选项，求出％“=：,由垂直关系得到L：y=-2x+5,与抛物线方程联立，得到两根之积，

求出自A•坛B=.=T；B选项，设&，:尤3型+乙联立抛物线方程，得到两根之积，由勺AB=T得

至1"二22，得到L：x=my+2p,得到所过定点M(2,0)；C选项，由得到。点的轨迹；D选

项，由B选项基础上求出SAO5=2p2J加+4,得到面积的最小值.

【详解】

对于A选项，D(2,l),.\k0D=；,

ODLAB,

「•KB=—2,g：y=—2x+5,联立y2=2px,消去工,

11

有y2+py_5P=0,记4（%,%）,3（孙％），则为显=-5p,

%%__4/=i

由a4_LOB,得4M

士赴K21yly2'

2p2p

故A正确;

对于B：可设/小工=冲+/，联立丁=2/，消去犬，Wy2-2pmy-2pt=0,

则/+%=2pm,%y2=-2pt,由k0A-k0B=——二一1得4/—23=0,

X%

:.t=2p,/.lAB:x=my+2p,

过定点M（2p,0）,故B不正确；

C选项，VOD±AB,

.:D在以31为直径的圆：（x-pf+y2=p?上运动（原点除外），故C正确；

D选项，由B选项可知如：x=，孙+2p,过定点M（2p,0）,

X+丫2=2pm,%%=Tp?,

Sf=g，2p.|%%|=。1（%+必）2-4yly2=2P7m2+4＞4p2,

当且仅当加=0时，等号成立，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；

（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数

的最值或范围.

、3

12.0＜左＜1或左＞4”

【分析】根据给定条件，求出函数/（刈的导数，利用导数探讨函数的性质，再数形结合求出左的范围.

【详解】函数/（J=e'（2x-D的定义域为（9,1）51"）,求导得尸（无）="，（2:3）,

x-1（X-1）

33

当xvO或x＞—时，＞0,当Ov犬vl或1＜兀＜—时，/r（x）＜0,

22

33

因此函数“九）在（-8,0）,（不+8）上单调递增，在（0,1）,（1,7）上单调递减，

22

12

当x=0时，/（x）取得极大值”。）=1,当x=|时，/⑺取得极小值/（|）=41，

函数/（元）在（F,0）上恒有/（X）>0,而/（1）=0,

3e3

当l<x<7时，/（x）>2e+—e而函数y=2e+—；在（1,彳）上递减，值域为（4e,+o））,

2x-1x-12

333

因此函数/（九）在（1,1）上无最大值，当工〉,时，/（x）>2ex,显然/（九）在（于+8）上无最大值,

函数/（幻=-（2”-1）的大致图象如图,

3

观察图象知，当。<人<1或%>4”时，直线，=左与函数y=/（x）的图象有两个公共点,

因此方程/（X）-左=o有两个不同的实数解时，0<A<1或/>4”，

、3

所以实数%的取值范围是0<%<1或左>4趣

3

故答案为：0v左vl或左>4/

13.I-K0

【分析】结合等比数列的相关知识，观察图形可得出三角形的边长为氏，边数为4满足g=；4T，

2=4%,求出通项公式，利用（=。也计算即可；易得到与=%+%*¥M，利用累加法及等比数

列相关公式求解即可.

【详解】记第〃个图形为三角形的边长为与,边数为a，周长为4,面积为s“,

则《有4条边，边长为4蜴有打=的条边，边长为%=；4；6有a=炉4条边，边长为4=II%;

*，即为=[g]%也=4%，即2=伪,4"一.

当第1个图中的三角形的周长为1时,

13

nn—\

4

X3X4〃T

即4=1,瓦=3,/.L>n-a,b.

由图形可知Pn是在匕T每条边上生成一个小三角形,

即S,=S“_]+bn_tX与a：,

即S"-S"-1=£片-S“_2=£a；-i0-2，，S2~Si=~ai'b\,

利用累加法可得S"-S[=（a：•b,i+by+，

因为数列｛%｝是以;为公比的等比数列，数列｛2｝是以4为公比的等比数列,

故数列｛W•2—｝是以2为公比的等比数列，

当第1个图中的三角形面积为1时，y=1,即走d=1,

此时02=半,烦=挈/有々=3条边，

则“飞+/•》〜I⑻人工⑺J

UnUn-\十Un-\Un-2十%%14-、，

1----

9

・••S"/=|x『01.s,=_|一|x（』,故答案为:

14.[10,18]

【分析】

上+%|+但+%]为川（冷乂）和N（w，%）到直线彳+丫=。距离之和的0倍，是MN的中点P到直线

元+y=。距离的20倍，利用尸点轨迹，求取值范围.

【详解】

由题知，圆C的圆心坐标C（3,4）,半径为2,因为|"N|=2收，所以C0LQV.

设P为MN的中点，所以|CP|=0,所以点P的轨迹方程为（x-3y+（y-4）2=2.

点尸的轨迹是以C（3,4）为圆心半径为近的圆.

设点M,N,尸到直线光+y=。的距离分别为4,d2,d,

14

所以4=邛，4=匕对，d—

A/2A/22

所以g+yj+|%2+%|=逝（4+〃2）=2e".

因为点C到直线x+y=O的距离为厘=述，所以还一叵4d4正+贬,

V2222

即孚VdW尊，所以1042及1V18.

所以归+对+国+%|的取值范围为［10，18］.

故答案为：［10,18］

【点睛】

思路点睛：

利用人+乂|+|々+%|的几何意义，问题转化为为知(人,%)和N(%,为)到直线》+y=o距离之和，再转化

为“v的中点尸到直线无+>=。距离，由p点轨迹是圆，可求取值范围.

15.(l)/W=200,第80百分位数为37.5

3

⑵(i)j；(ii)10

【分析】(1)根据第一组的人数及所占比例求出帆=200,利用百分位数的计算公式求出第80百分位

数为37.5；

(2)(i)利用列举法求解甲、乙两人至少有一人被选上的概率；

(ii)结合第四组和第五组的平均数和方差，利用公式求出这机人中35~45岁所有人的平均数和方差.

【详解】(1)由题意，—=5x0.01,所以〃?=200.

m

设第80百分位数为a,

因为0.01x5+0.07x5+0.06x5=0.7<0.8,0.01x5+0.07x5+0.06x5+0.04x5=0.9>0.8,

故第80百分位数位于第四组：［35,40)内，

由0.05+0.35+0.3+(a—35)x0.04=0.8,解得：a=37.5,

15

所以第80百分位数为37.5；

（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为A,B,C,甲，第五组抽取2人，记为。，乙，

对应的样本空间为：Q=｛（AB）,（AC）,（A,甲）,（A,乙（氏C）,»,甲）,（3,乙），（B,D）,

（C,甲），（C,乙）,（C,。），（甲，乙），（甲，D）,（乙，D）｝，共15个样本点.

设事件M="甲、乙两人至少一人被选上”，

则/=｛（4,甲）,（4,乙）,（8,甲）,（8,乙），（C,甲）,（C,乙），（甲，乙）,（甲，。）,（乙，D）｝,

共有9个样本点.所以尸（〃）=一太=£.

（ii）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为羽，弓，方差分别为

则x4=37,无5=43,s：=g,s；=1,

设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为N,方差为S2.

则转生产=39,

s2=g｛4x[sj+（无一可1+2x[s；+（耳一可][=10,

因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10,

据此，可估计这，"人中年龄在3545岁的所有人的年龄方差约为10.

16.（1）%=2"（2）证明见解析

【分析】（1）利用累加法求解即可；

（2）根据题中条件可得为等差数列，继而可求得s“=当4,bn=n,利用错误相减法求得

7；=4-7言1+2，考场其单调性即可证明.

【详解】⑴。“+|-。"=2"，4=2,

2时，

=q+（%-q）+3-%）++（%一2-%）+（〃〃一q—1）

=2+2!+22++2"2+2"T

2（1-2〃T）

=2+-^--------^=2〃.

1-2

又4=2符合上式，所以%=2〃.

16

⑵由"-S'=-^」，

用---7-41

n+1n291

・•.数列是以公差为首项为1的等差数列,

<1n

贝I蕾=5(z")=丁n+1，即anS"=n(n-4+t^).

、“-rt

当时，n(n+\\n(n-\\L

bn=Sn-Sn—ii=?^?=n,

仇=1也符合该式，

2h2nn

则A

2〃T'

123n

记北=吩+喳+展++k'

123n

=------1-------1--------1-H-------r

2°21222'T

由,

123n

=~r-^——?+H------

212223T

作差得％=1+»研1n

+L+工-

2"T2〃

1

1-

2nn+2〃+2

2--------，则雹=4—

1-;2”2〃2〃T

〃+2〃+3n+1_

=------>0,

TT

，数列｛1｝在〃eN*上单调递增，（%/=Z=1，

-Tn>l.

即空+与+Z1.

a

%〃2n

17.（1）逅（2）1（3）存在，且照=；

33QD2

【分析】（1）根据面面垂直的性质可推得尸0/平面A5CD.根据已知得出OC_LAD.以。为坐标原点，

建立空间直角坐标系，得出点以及向量的坐标.根据线面垂直的判定定理得出Q4,平面尸OC,求出

PB,04的坐标，即可根据向量法求出答案；

（2）求出平面尸8的法向量，根据向量法即可得出距离；

（3）假设存在，^PQ=APD（0<A<l）,得出。（04』-4）.求出平面G4Q的法向量，根据二面角结合向

17

量，列出方程，求解即可得出2的值，进而得出答案.

【详解】（1）在二中，PA=PD,。为AO的中点，

所以「

又因为面上4£>_L底面A3GD,平面RWc平面A?CD=AD,POu平面上4£）,

所以，尸。1平面45co.

在..PAD中，PALPD,PA=PD=y/2,

所以，A£>==2,OP=^AD=1.

在直角梯形A3CD中，。为AO的中点，

所以。4'AD=1=BC.

2

又OA//BC,

所以四边形。4BC为平行四边形，OC//AB.

因为，AB±AD,所以OC_LAD.

以。为坐标原点，0C所在直线为x轴，0D所在直线为y轴，0P所在直线为z轴建立空间直角坐标系,

如图所示，

则。（0,0,0）,P（0,0,l）,4（0,TO）,3（1,—1,0）,C（l,0,0）,D（0,l,0）,

所以厢=(1,T-1).

因为。4J_OP,OA±OC,OPr>OC=O,OPu平面POC,OCu平面尸OC,

所以04,平面POC,

所以。4=（0,-1,0）为平面尸OC的法向量.

PBOA_73

因为cos(PB,OA)=

网忸一3

所以f3与平面POC所成角的正弦值为且，余弦值为A/6

3V

B

18

(2)由(1)可得冲PC=(1,O,-1),PD=(O,l,-l),

设平面PCD的法向量为〃=(x,y,z),

u•PC=x-z=0

则

u-PD=y-z=0

取z=l,得”=(1,1,1).

\PB-u\h-i-il73

所以，5点到平面PCD的距离d===：

(3)假设存在，且设尸。=/LPZ)(OV2Vl).

因为PD=(O,l,-l),

所以OQ—OP=PQ=(0,4T),C>e=(O,A,l-A),e(O,A,l-A).

设平面G4Q的法向量为m=(大,wzj,AC=(1,1,0),Ag=(0,2+l,l-A),

则m-AC=：x+y.、=0,、,

TH•AQ—(X+1)M+(1—几)Z]=0

取Z1=1+X,得加=(1一九4—1,4+1).

因为OP_L平面ABC。，所以平面CW的一个法向量为〃=(0,0,1}

因为二面角。-AC-。的余弦值为逅,

3

|丸+1|_A/6

.J(l-Z)2+(A-1)2+(2+1)2xl3

整理化简，得342-104+3=0,解得或4=3(舍去)，

所以，线段尸。上存在满足题意的点。，且照=；.

18.⑴土+反=]⑵更

434

【分析】

(1)根据题意，列出关于d瓦c的方程，代入计算，即可得到结果;

(2)根据题意，设直线尸。的方程为工=叫+〃(加学0),联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，再由

三角形的面积公式，代入计算，结合基本不等式，即可得到结果.

19

【详解】⑴椭圆的离心率为92；,即a=2c.

a

椭圆上动点M与点耳的最大距离为3,，a+c=3,

22

a=2,c=1,/.b=A/3,.\椭圆。的方程为工+匕=1.

43

（2）设。（玉,%）,尺（%2，%）,由⑴知，4（-1,。），

ZPFxQ+ZPFxR=7r,:.kQF+kRFt=0,

必।必

=°,化简整理，得M=。.

x1+1x2+1

设直线产。的方程为》=冲+〃（租学o）,

x-my+n

联立—J,2

I43

.'.A=36疗/-4(3/n2+4)(3/-12)>0,.\«2<3病+4.

6mn3H2-12

%+%=-3/=3疗+4，%=721+"，%+"，

玉%+%+NX+X=2〃/%+(〃+1)(%+%)=0，

3n2-126mn

2m-+5+1)-=0,,加w0,〃二—4,

3m2+43m2+4

直线PQ的方程为了=叼-4（根wO）.

/、-1+43

点4(-1,0)到直线PQ的距离d=I1

VI+m1+m2

2二1

.*.5