2024年中考数学探究性训练-锐角三角形

备考2024年中考数学探究性训练专题27锐角三角形

一、选择题

1.以下是某数学兴趣小组开展的课外探究活动，探究目的：测量小河两岸的距离，探究过程：在河

两岸选取相对的两点P、A,在小河边取P4的垂线PB上的一点C,测得PC=50米，Z.PCA=42°,则

C.50ttm42°米D.50ttm480米

2.探究；我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.例如在AABC中,

ZA=30°,AC=3,NA所对的边为百，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中一个△ABC是

直角三角形，如图），则满足已知条件的三角形的第三边AB的长为（）

A.2A/3B.2V3-3C.273或D.或28一3

3.东莞市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机

在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30。，测得教学楼楼顶点C

处的俯角为45。，操控者和教学楼BC的距离为60米，则教学楼BC的高度是（）米.

A.60—30遍B.30A/3C.3073-30D.30^/3-15

4.在数学活动课上，老师出示两张等腰三角形纸片，如图所示.图1的三角形边长分别为4,4,2；

图2的三角形的腰长也为4,底角等于图1中三角形的顶角；某学习小组将这两张纸片在同一平面内

拼成如图3的四边形OABC,连结AC该学习小组经探究得到以下四个结论，其中错误的是（）

AB

A.Z0CB=2ZACBB.ZOAB+ZOAC=90°

C.AC=2V15D.BC=4V3

5.如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C,利用

测量仪器测得乙4=60。，NC=90。，AC=2km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于

h

C

A.2kmB.3kmC.2^3kmD.4km

6.公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长.如图所示，他首先在

圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近

于圆的周长.刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与

圆周合体而无所失矣.“我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元.小牧通过圆

内接正n边形，使用刘徽割圆术，得到兀的近似值为（）

二、填空题

7.在一堂关于“折纸问题”的数学综合实践探究课中，小明同学将一张矩形ABCD纸片，按如图进行

折叠，分别在BC、AD两边上取两点E,F,使CE=AF,分别以DE,BF为对称轴将4CDE与AABF

翻折得到与AABF,且边C旧与AB交于点G,边A，F与CD交于一点H.已知tanNEBG=

J，A'G=6,C'G=l,则矩形纸片ABCD的周长为_________.

C囹____E______5

DFA

8.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=10,BC=6，点D是边AC上的动点，过点D

作CE1AB于E点.请探究下列问题：

B--------------C

(1)若DE=4,贝ljCD=_________；

(2)若CD=3,设点F是边BC上的动点，连接FD、FE,以FD、FE为邻边作平行

四边形FDGE,且使得顶点G恰好落在AC边上，贝I)CF=_

9.数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28。，求北纬28纬线的长度.

小组成员查阅相关资料，得到如下信息：

信息一：如图1,在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线

信息二：如图2,赤道半径。4约为6400千米，弦BC||OA,以BC为直径的圆的周长就是北纬28。

纬线的长度；(参考数据：兀《3,sin28°«0.47,cos28°«0.88,tan28°20.53)

根据以上信息，北纬28。纬线的长度约为_____一千米.

叠之

图1图2

10.数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直

径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转.从图中所示

的图尺可读出sinZAOB的值是.

90

三'理论探究题

11.阅读下列材料，并完成相应的任务.

我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系:

如图(1)所示.sincos

/iD/ID

,BC

tana=■斤.

21C«

一般地，当a,p为任意角时，sin(a+B)与sin(a・B)的值可以用下面的公式求得

sin(a+P)=sinacosP+cosasin仇sin(a-P)=sina

cosp-cosasinp.

例如：sin15°=sin(45o-30o)=sin45°cos30°-cos45°

sin30。=匹出

4

任务：

(1)计算：sin75。=；

(2)如图(2)所示，在ZkABC中,ZB=15°,NC=45。，AC=2存2,求AB和BC的长.

12.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的体现，在计算位几15。时，如图1,在出中,

AC1

ZC=90°,^ABC=30°,延长使连接ZD,得乙。二15。，所以tanl5。=m=

(2)如图2,锐角乙=a，已知tcma=TH,求证：tan-=^m2+^~-»

2m

13.阅读下列材料：

在AABC中,/A,ZB）/C所对的边分别为a,b,c,求证：瀛b

-sinB'

证明：如图1,过点C作CDLAB于点D,则：

上JZA

句。\

BaCBaCBC

图1图2图3

在RtZXBCD中，CD=asinB,

在RtZ\ACD中，CD=bsinA,

asinB=bsinA,

a_b

"sinA-sinB

根据上面的材料解决下列问题：

（1）如图2,在AABC中，NA,ZB,NC所对的边分别为a,b,c、求证：岛=薪，

（2）如图3,现有一片三角形区域需美化，已知NA=67。，ZB=53°,AC=80m,求这片区域的面

积（结果保留根号，参考数据：sin53%0.8,sin67%0.9）.

14.如图1,△4BC为等边三角形，其边长为3.点。，E分别在边ZB,AC1.,RAD=AE=2,连接0E,

显然有BD=CE.

JAb

一/

（图1）（图2）（S3）

（1）问题发现

如图2,若将△ADE绕点A逆时针旋转一个角度a（0。<a<60°）结论"BD=CE"仍成立吗?请作

出判断，并证明你的结论；

（2）问题解决

如图3,在（1）的情形下，当点5,D,E三点正好在一条直线上时，求CE的长.

15.综合与实践

图①图②图③

（1）【问题情境】在数学活动课上，同学们以“折叠矩形”为主题开展数学活动.已知，在矩形4BCD

中，AB=6,4。=10，点P是4B边上一点，将△APC沿直线PD折叠，点/的对应点为点E.

【操作发现】

操作一：如图①，当点P与点B重合时，过点E作EF||AB,交BD于点F,连结4K试判定四边形4BEF

的形状，并说明理由；

操作二：如图②，当点E落在BC边上时，AP=；

（2）操作三：如图③，当点P为4B中点时，延长DE交BC于点G,连结PG,则tan/PGB=.

16.在AZBC中，AACB=90°,遂=小，。是边BC上一点，将△ABD沿4。折叠得到△4ED,连接BE.

如图1,当zn=1,4E落在直线4c上时.

①求证：^DAC=Z.EBC-,

②填空：器的值为;

（2）类比探究

如图2,当血片1,4E与边BC相交时，在4。上取一点G,使乙4CG=NBCE,CG交ZE于点”.探究空

的值（用含小的式子表示），并写出探究过程；

（3）拓展运用

在(2)的条件下，当巾=孝，。是BC的中点时，若EB-EH=6,求CG的长.

17.综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小邕同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角

的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究.

RB

.二N

/)ACAC

Ifil图2

(1)【初步尝试】我们知道：tan60°=,tan30°=.

发现：tanX2tan。)(填“=”或“H").

(2)【实践探究】在解决“如图1,在RtAZBC中，ZC=90°,AC=2,BC=1,求tan(±4)的值"

这一问题时，小邕想构造包含号4的直角三角形，延长CA到点D,使D4=AB,连接BD,所以可得AD=

上BAC,问题即转化为求AD的正切值，请按小邕的思路求tan(累)的值.

⑶【拓展延伸】如图2,在RM2BC中，ZC=90°,AC=3,tanA=去请模仿小邕的思路或者

用你的新思路，试着求一求tan2A的值.

(1)【问题探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题：如图①，在△力BC中，点。为BC

边上的中点，AB=4,AC=6,求线段40长的取值范围.我们采用的方法是延长线段4。到点E,使

得AD=DE,连结CE,可证AABD会AECD,可得CE==4,根据三角形三边关系可求4。的范围，

我们将这样的方法称为“三角形倍长中线”.则4。的范围是：.

(2)【拓展应用】

①如图②，在△4BC中，BC=2BD,AD=3,AC=2^,^BAD=90°,求AB的长.

②如图③，在AABC中，。为BC边的中点，分别以4B、AC为直角边向外作直角三角形，且满足乙4BE=

AACF=30°,连结EF,若力。=2百，贝ijEF=.(直接写出)

19.

在矩形纸片ABC。中，点E,点F分别是边AD,BC边上的动点，连结BE,DF.

将矩形纸片4BCD分别沿直线BE,DF折叠，点4的对应点为点M,点C的对应点为点N.若点F与点M重

合，ON与EF交于点G,如图①，求证：DG=GM.

(2)【探究】

a.如图②，当点M,N落在对角线BD上时，AB=4,AD=6,则MN=.

b.如图③，当点M,N落在对角线AC上时，EM与DN交于点P,BM与FN交于点Q,连结PQ,若力B=4,

AD=6,PQ=.

20.AABC和ACEF均为等边三角形，0分别为BC和EF的中点，连接力0,4C=8,DF=6.

⑴【特例发现】如图1,当点。，点E与点F分别在A。，BC上时，可以得出结论：铝=；

直线4。与直线CF的位置关系是.

(2)【探究证明】如图2,将图1中的ADEF绕点。顺时针旋转，使点。恰好落在线段4c上，连接

CF.(l)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

(3)【拓展运用】如图3,将图1中的ADEF绕点。顺时针旋转a(19。<a<60。)，连接49,FC,

它们的延长线交于点H,当DH=OF时：

①连接0D,判断四边形OFHD的形状，并给予证明；

②直接写出cos(60。一a)的值.

(1)【问题呈现】

如图1,AZBC和ATWE者B是等边三角形，连接BD,CE.求证：BD=CE.

(2)【类比探究】

如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AABC=AADE=90°.连接BD,CE.请直接写出,

的值.

(3)【拓展提升】

如图3,AZBC和AaOE者E是直角三角形，^ABC=AADE=90°,且需=器=/连接B£),CE.延

长CE交BQ于点F,交于点G.求sin/BFC的值.

22.如图

【方法尝试】如图1,矩形4BFC是矩形4CGE以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转90。所得的图

形，CB、EO分别是它们的对角线.求证:CB1ED.

【类比迁移】如图2,在RCA4BC和RtAZDE中，ABAC=ADAE=90°,AC=亚,AB=巾,

AE=痘，AD=1.将△绕点4在平面内逆时针旋转，设旋转角ZB4E为殴0。<a<360°),连接CE,

BD.

①请判断线段CE和BQ的数量关系和位置关系，并说明理由；

②当点B,D,E在同一直线上时，求线段CE的长.

【拓展延伸】如图3,在RtAZBC中，AACB=90°,AB=6,过点2作AP||BC,在射线AP上取一

点。，连接CD,使得tcm乙48=桃，请直接写出线段BD的最值.

23.(1)【探究发现】如图，在正方形4BCQ中，E为4。边上一点，将△2EB沿BE翻折得到△BEF,

延长EF交CD边于点G.求证：△BFGSABCG；

(2)【类比迁移】如图，在矩形2BCD中，E为4。边上一点，且4。=8,AB=6,将AAEB沿BE

翻折得到ABEF,延长EF交BC边于点G,延长B尸交CD边于点H,且FH=CH,求4E的长;

(3)【实践创新】如图，为等腰三角形，AABC=90°,O为斜边AC的中点，M,N为线

段4C上的动点，且满足ZMBN=45°,设ZMB。=a,乙NBO=6,AB=V2,证明：tan(a+6)=

tana+tanS

1—tancr-tany?,

四'实践探究题

24.仁皇阁是一个著名景点，某校九年级研学期间参观了仁皇阁，数学兴趣小组对仁皇阁高度产生了

测量

测量角度的仪器，皮尺，刻度尺等

工具

组别测量方案示意图测量方案说明

A

、一惠

如图1,先在仁皇阁底部广场的C处用仪器测得阁楼

顶端A的仰角为27。，然后从C处向阁楼底部前进

组1

10m到达D处，此时在D处测得阁楼顶端A的仰角

CDB

图1为30。.

*E

如图2,身高1.5m的组员站在仁皇阁正门边上合

组2影.打印出照片后量得此组员图上高度GH为0.5cm,

量得仁皇阁图上高度EF为12.9cm.

图2

(1)任务一请分别计算两组中测量得到的阁楼高度；(结果保留小数点后一位.参考数据sin27°«

0.45,cos27"0.89,tan27°«0.50,41,V31.73)

(2)任务二后续经过查证后发现小组2数据更为精确，请你帮小组1分析可能产生误差的原因.(写

出一条即可)

25.如图1,某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离.为避免伤害器官，可

利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量

获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下:

课题检查新生物到皮肤的距离

工具医疗仪器等

Sc皮肤_____________

示意

蠹物

图

图1图2

如图2,新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射

线与皮肤MN的夹角为NDBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测

说明

射线与皮肤MN的夹角为NECN.

测量

NDBN=35°,ZECN=22°,BC=9cm.

数据

请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离（结果精确到0.1cm,参考数据：

sin35°~0.57,cos35°«0.82,tan35~0.70,sin22°~0.37,cos22°»0.93,tan22°~0.40）.

26.【问题背景】

在一次数学实践活动中，张老师将班级学生分成“扶摇”、“惊鸿”、“骐骥”三个小组，运用直角三角尺

测量三个不同直尺的宽度.（直尺的每两个长刻度之间的长度是1cm）

【实践探究】

（1）扶摇组同学用含45。的三角尺，提出按照图1的方案，直尺与直角三角尺ZBC的边4C重合，

另一边分别交力aBC于点E,F.点4,C,E,尸的读数分别为13,20,4.2,0,则该直尺的宽度FC

的长为cm；

（2）惊鸿组同学用含45。的三角尺，提出按照图2的方案，直尺与直角三角尺4BC的斜边AB重合,

另一边分别交ZC,BC于点M,N点A,B,M,N的读数分别为20,10,3,7,求该直尺的宽度；

（3）骐骥组同学用含30。的三角尺，提出按照图3的方案，直尺与直角三角尺力BC斜力B平行，直

分别交AC,BC于点S,P,T,Q.点S,T,P,Q的读数分别为20,10,1.8,4.6,Z.B=30°,直接写

出该直尺的宽度.（结果精确到0.1cm）.0（参考数据：V3x1.73）

27.综合与实践：【问题情境】：通过查看出厂包装袋上的数据，数学活动小组的同学发现44纸的长

与宽分别为297zmn和210nwi,其比值为第n1.414,而迎71.414,他们上网查阅资料也发现44

纸的长与宽的比是一个特殊值“遮”.不妨定义长与宽的比为鱼：1的矩形为“标准矩形”.【操作实践】：

如图1,数学活动小组的同学在几何画板软件上画了一个正方形4BCD,连接对角线BD,在射线DC

上截取了£>E=DB,过点E作EF12B交ZB的延长线于点F,令=1.

【问题探究工

(1)求证：四边形4FE。为“标准矩形”；

(2)如图2,数学活动小组的同学在图1的基础上隐藏了线段BC,在线段EF上取一点P,连接BP,

DP.

①当QP平分ZBDE时，求PF的长；

②当ABCP的周长最小时，求ZPBF的正切值.

28.某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案，并利用课余时间

完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角

以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测最仰角的度数以及两个测点之间的距离时,

都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整).

课题测量旗杆的高度

----A

7

成员组长XXX组员：XXX,XXX,XXX

测量工具测量角度的仪器、皮尺等

说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪

测育嚷示意图器的高度AC=BD=1.5m,测点A,B与H

在同一条水平直线上，A,B之间的距离可以

直接测得，且点G,H,A,B,C,D都在同

E__________J__

HBA一竖直平面内.点C,D,E在同一条直线上，

点E在GH上.

测量项目第一次第二次平均值

NGCE的度

25.6°25.8°25.7°

数

测量数据

NGDE的

31.2°30.8°31°

度数

A,B之间

5.4m5.6m

的距离

任务一：两次测量，A,B之间的距离的平均值是▲m.

任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度.

(参考数据：sin25.7°«0.43,cos25.7°.0.90,tan25.7°«0.48,sin31°工0.52,cos31°工0.86,

tan31°«0.60)

任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”

的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？

29.问题：如何设计“倍力桥”的结构？

图1是搭成的“倍力桥”,纵梁a,c夹住横梁b,使得横梁不能移动，结构稳固.图2是长为(cm),

宽为3cm的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为1cm的半圆，圆心分别为内，02,03,

OiM=OiN,O2Q=O3P=2cm,纵梁是底面半径为1cm的圆柱体，用相同规格的横梁、纵

梁搭“桥”，间隙忽略不计.

探究1：

纵苑

横海

图I

（1）图3是“桥”侧面示意图，A,B为横梁与地面的交点，C,E为圆心，D,Hi，&是横梁侧面

两边的交点，测得ZB=32cm,点C到AB的距离为12cm,试判断四边形CDE/的形状，并求I的值.

（2）若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形.

①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形修"2H3-412,求，的值；

②若有n根横梁绕成的环（"为偶数,且n>6）,试用关于n的代数式表示内部形成的多边形

“用2"3一・%的周长.

30.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分

家万事休”，数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件

下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.在我校的数学选修课上，同学们针对四边形面积求解的问题

进行了探究：

图1图2

（1）【问题提出】

如图1,在o中，乙4=45。，AB=8,AD=6,E是40的中点，点F在DC上，且DF=5,

求四边形4BFE的面积；（结果保留根号）

（2）【问题解决】

如图2所示，现规划在一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE,按设计要求，要在五边形河

畔公园4BCDE内挖一个四边形人工湖。PMN,使点。、P、M、N分别在边BC、CD、AE.上，且满

足B。=2AN=2CP,AM=0C.已知五边形4BCDE中，NA=zB=ZC=90。，AB=800m,BC=

1200m,CD=600m,AE=900m,为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积

尽可能小,请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖0PMN?若存在，求四边形。PMN

面积的最小值及这时点N到点4的距离；若不存在，请说明理由.

答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】62

8.【答案】(1)!

⑵导

9.【答案】33792

10.【答案】|

【答案】⑴手

(2)解：如图所示，过点A作ADLBC于点D,在BC上找点E,使BE=AE,

A

VZC=45°,AC=2V3-2,ZDAC=45°.

...AD=CD,sinC第，

/icz乙7s-z

AD=V6-V2.

•../B=15。，sinB嚼，gp76-72=76-V2>

AABM.

VBE=AE,/.ZB=ZEAB=15°.

/.ZAED=30°.

.\AE=2AD=2V6-2V2.

tanNAED=器，即孚旦常1

ED=3V2-V6.

CB—BE+DE+DC=2V6-2V2+3V2-V6+V6-V2—2V6.

12.【答案】(1)V2-1

(2)证明：延长CB使BD=2B,连接ZD,得AD=全

设BC=1,

tana—m,

・•・AC=m,AB=J/+i，

••CD—J*+1+1

.tan。—m—m(Vm2+l-1)_(Vm2+1—1)

2Vm2+1+1(Vm2+1+1)(Vm2+1—1)m

13.【答案】(1)证明：过点A作ADJ_BC交BC于点D,如图2所示:

在RtAABD中，AD=csinB,

在RtAACD中，AD=bsinC,

/.csinB=bsinC,

・b_c

**sinB-sinC'

(2)解：过点A作AELBC交BC于点E,如图3所示:

NBAC=67。，NB=53。，ZC=60°,

在RtAACE中，ZE=ZC・sin60。=80x字=40百(m)，

..AC_BC

*sinB=sin^BAC"

4cfin/B4c〜80义0.9

：

.BCsinA~0.8=90(zn),

2

■­S^ABc=1x90x40V3=1800V3(m).

这片区域的面积为1800V3m2.

14.【答案】(1)解：“BD=CE”仍成立.

,?NBAC=NDAE,NBAD=NCAE.

又：AB=AC,AD=AE,AABAD^ACAE(SAS).

，BD=CE.

(2)解：作AFLBE于点F.

•.'△ABC为等边三角形，；.ZBAC=60°.AZDAE=ZBAC=60°.

又AD=AE,.;△ADE为等边三角形.

，AE=AD=DE=2,ZEAF=30°.

.,.EF=1,AF=V3,DF=EF=1.

在Rt^ABF中，BF=V4B2—4尸2=12_(圾2=限

.\BD=BF-DF=V6-1,.-.CE=BD=V6-1.

15.【答案】(1)学

⑵竽

16.【答案】(1)解：①证明：如图1,延长4。交BE于P,

B

图1

由折叠知，乙4FB=90。=乙4CB,

・•・/LDAC+/.ADC=乙BDF+乙EBC=90°,

•・•Z-ADC=乙BDF,

・•・Z-DAC=Z-EBC；

②1

(2)解：如图2,延长ZD交BE于F,

B

图2

由⑴①知，乙DAC=LEBC,

■:Z-ACG=乙BCE,

・•.△ACG^LBCE,

CGAC

-'-CE=BC"m；

(3)解：由折叠知，^AFB=90°,BF=FE,

•・•点。是BC的中点，

・•.BD=CD,

・・・D尸是ABCE的中位线，

・・・DF"CE,

:•乙BEC=^BFD=90。,Z.AGC=zFCG,Z.GAH=/.CEA,

由(2)知，AACGS^BCE,

ACAC、B

^AGC=乙BEC=90°,访=%：=2血=V2,

2bL

CG^DC1

-''AG^tan^GAC=AC=^

设CG=x,贝4G=V2x,BE—2x,CE=V2x

・•.AG=CE,

••.△ZG*ZkECH(44S),

・・・AH=EH,GH=CH,

1

•*«GH=

在中，根据勾股定理得，AH=jAG2+GH2=lx,

・・・EB•EH=6,

，2c%•13%=,6,

・•・x—鱼或久=—四（舍），

即CG=A/5.

17.【答案】8，学学【实践探究】在解决“如图1,在Rt△ABC中，NC=90°,AC=2,BC=1,求tan（N）

5乙

的值”这一问题时，小邕想构造包含号4的直角三角形，延长C4到点D,使DA=AB,连接BD,所以

可得乙D=±NB4C,问题即转化为求功的正切值，请按小邕的思路求tan（聂）的值【答案】解：如图

R

1,在RtZkABC中，ZC=90。，AC=2,BC=1,--'=/'______j-,.AB=AC2+BC2=V5-

D...............AC

图I

.'-ADAB=：.^D=AABD,：.ABAC=2AD,CD=AD+AC=2+^5,：-tan^A=tanD=

1fL=代一2.【拓展延伸】如图2,在中，ZC=90°,AC=3,tanZ=5请模仿小邕的思

V5+23

路或者用你的新思路，试着求一求tan24的值.【答案】解：如图2,作AB的垂直平分线交/C于点E,

\B

连接BE..1._J则NBEC=2N4ZE=BE,N4=N4BE.•.•RtAZBC中，NC=90。,4。=

AE\C

i‘q，

1__

3,tanX=q.；・BC=1,AB—VTU.设ZE=x,则EC=3—%,在Rt/XEBC中，%2=(3-X)2+1,解

八BC3

得尤=1，即ZE=BE=|,EC=1./.tan24=tanZ_8EC==不

(1)V3；等；*

(2)解：如图1,在HtAZBC中，ZC=90c,AC=2,BC=1,

B

*二二N

DAC

ffll

•••XB=y/AC2+BC2=V5.

•'-AD=AB=V5,

/.Z.D=Z-ABD,

:.乙BAC=2乙D,CD=AD+AC=2+V5,

1

/.tan2A—tanD==V5-2.

V5+2

(3)解：如图2,作ZB的垂直平分线交4c于点E,连接BE.

图2

则ZBEC=2乙4,AE=BE,Z4=^ABE.

RtAABC^,z_C=90°,AC—3,tan/l=:.

：.BC=1,AB=V10.

设ZE=x,贝!JEC=3—x,

在RMEBC中，%2=(3-%)2+l,

解得％="l，即ZE=BE=I*,EC-/

nro

Atan24=tanzFFC=注=本

18.【答案】(1)1<AD<5

(2)解：①如图②，延长2。到点E,^AD=DE,连结CE,

•・•BD=CD,匕ADB=乙EDC,AD=DE,

・•・△/Br»ECD(SZS),

Z.E=^BAD=90°,DE=AD=3,CE=AB,

在RM/EC中，AE=6,AC=2V10,

・•・CE=VXC2—AE2=V40—36=2,

AB=CE=2；

②如图③，延长ZO到点G,使ZD=GD,连结CG,

F

E

BD\C

'、

G

(图③)

由(1)知道GCD(SAS},

:.Z.G—匕BAD,AB=CG,

•・•乙BAD+乙CAG+LEAF=360°-^EAB-^LFAC=180°,

・・・NG+/-CAG+^EAF=180°,

又•・•ZG+"AG+乙ACG=180°,

・，・Z.EAF=Z-ACG,

EAEA/ADU+or\oFAArr+2co

•・•亚=就=tanZ-ABE=tan30=手，蔗=tanZ.ACF=tan30=丁

EA_FA

GC=AC'

・•.△EAF^LGCA,

EFV3

GA=^

EF=*4G，

vAG=2AD=4V3,

•••EF=*X4A/3=4-

故答案为：4.

19.【答案】(1)证明：•・•四边形/BCD是矩形，

・•・乙ABC=3=90°,ABHCD,

由折叠得：/-BME=^A=90°,

・•・四边形是矩形，

・•.AB//EM,

・・・EM//CD,

・•・(GMD=乙CDM,

由折叠得：乙CDF=CGDF,

•••Z-GMD=Z.GDF,

DG=GM；

（2）8-2V13;

20.【答案】（1）遍；AD1CF

（2）解：成立.

证明：如图2,连接DO,

.AO_OC_4

"'DO='OF=3,

又AAOD=/.COF,

・•.△AOD^COF,

...罂=桨=学=技乙OCF=〃）AD,

CrUC4

又”/LOAD+^ACO=90°,

•••ZOCF+^ACO=90°,

即力。1CF.

故（1）中的结论仍然成立；

（3）解：①矩形.

证明：如图3,连接。。，设DF与/C交点为M,则乙4Mo=a,

（图3）

由(2)可知NH=90°,

一1

又•：DH=OF,0F=^DF=3,

1

・•・DH=”F,

”厂DH1

:.cosZ-HDF=口户=2，

・・・乙HDF=60°,

-1

又「乙ODF=REDF=30。，

乙ODH=90°,

又乙DOF=AH=90°,

••・四边形OFHD是矩形.

@cos(60°—a)=3+^^.

21.【答案】(1)证明：•・•△ABC和都是等边三角形，

AD=AE,AB=AC,乙DAE=ABAC=60°,

^DAE-乙BAE=Z.BAC-乙BAE,即=Z.EAC

：.AADB三AAEC(SAS)

BD=CE

(2)解：•・•△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，乙4BC=NACE=90。，AD=DE,AB=BC

AE=yjAD2+DE2=6AD，AC=AB2+BC2=夜/B，

AE42AD_AD

"^C~/ZAB~^B

ADAE=ABAC=45°,

^DAE-ABAE=ABAC-乙DAE,即乙DAB=Z.EAC

••.ADABEAC,

.BDAD_AD_V2

"~CE~~AE^/ZAD一不

(3)解：・・•△ABC和ATWE都是直角三角形，^ABC=AADE=90°,且需=器=半

•••AABC八ADE,

•"E="票=需

ZDXE-乙BAE=ABAC-乙BAE,即NfMB=Z.EAC,

•••ADAB八EAC,

•••乙ABD=Z.ACE,

■:Z-AGC=Z-FGB,

•••Z-BFC=乙CAB,

r>r

・•・smZ-BFC=smZ-BAC=衣,

设ZB=3k,BC=4k,则力C=y/AB2+BC2=7(3/c)2+(4/c)2=5k，

BC_4k_4

・•・sinzBFCAC=5k=5

22.【答案】解：【方法尝试】证明：如图1中，延长CB交DE于T.

・・•四边形/HFC是矩形,

：.£.CAB=90°,

■:乙ABC=乙EBT,

，乙BTE=乙CAB=90°,

ACB1DE；

【类比迁移】解：①结论：CE=y/3BD,CE1BD.

理由：如图2中，延长CE交3D于点Q,交43于点O.

：.^CAE=匕BAD,

VXC=V21,AB=®XF=V3,AD=1,

..AC_AE_

9AB=AD=

△CAE〜XBAD,

•嚼=籍=旧，^ACE=^ABD,

'：^AOC=乙BOQ,

：.^OQB=AOAC=90°,

：.CE=-J3BD,CE1BD；

②如图2-1中，当点D落在线段BE上时，设BD=x,

图2T

'."EC=y[3BD,EC1BD,

EC—V3x,

BC=yjAB2+AC2=J(")2+(何＞=2夕，DE=y/AD2+AE2=Jl2+(V3)2=2-

"：BC2=EC2+BE2,

(277)2=(2+%)2+(V3x)2,

整理得，x2+x—6—0,

解得x=-3或2(负根舍弃)，

/.CE=2V3.

如图2-2中，当点E在线段BD上时，设BD=ni,则EC=遍小，BE=m-2,

图2-2

"：BC2=BE2+EC2,

3m2+(m—2)2=28,

・・・租=3或一2(负根舍弃)，

•'•EC=V3m=3A/3,

综上所述，EC的长为2百或3百；

【拓展延伸】BD的最小值为毕一》,最大值为窣+?

4444

23.【答案】(1)证明：由翻折的性质以及正方形的性质可得，AB=BF=BC,ZBFE=乙4=90。,

?./.BFG=90°=ZC,

在RtABFG和RtABCG中，

..(BG—BG

•IFF=BC'

：.Rt△BFG=RtABCG(HL),

△BFG=△BCG；

(2)解：如图，延长BH,4D交于点Q,

设FH=CH=x,贝IJBH=6+x,

在RMBCH中，由勾股定理得，BC2+CH2=BH2,即82+/=(6+K)2,解得％=1

:.DH=DC-HC=^-,

'：AQDH==90°,乙DQH=AAQB,

：.ADQHsAAQB,

.•骼=器，即兀=：,解得DQ=当，

力QAB8+DQ67

在RtADHQ中,由勾股定理得，HQ='即+QQ2=资,

•厂c厂”,“c7,275108

••FQ=FH+HQ=可+-2j~=

♦:乙QDH=LQFE=9。。,乙DQH=^FQE,

：.ADQH八FQE,

]]88

,/=端，即蠢=备，解得"=小

~7~

Q

•>AE=EF=2，

・・・4E的长为方

(3)证明：・・・/?[△Z3C为等腰三角形，LABC=90°,O为斜边ZC的中点,

・・・乙4=乙4cB=45°,OB=OA=OC,

如图，将△B4M绕B点顺时针旋转90。得到△艮4时，连接NM',CM,，

由旋转的性质可得△BAM=△BAM'，BM=BM，AM=CM'，乙BCM,=匕BAM=45。，

Z-MBM=90。，

■:乙MBN=45°,

**-zM'BN=45。，

在AMBN和BN中，

(BM=BM'

9：］AMBN=^M'BN'

vBN=BN

:FMBN三AM'BN(SAS)，

：-MN=MN=OM+ON，

VzMBAf=45°,A.MBO=a,乙NBO=R,AB=g

.\OB=AB-cos45°=1,tan(a+jS)=tan45°=1,tana=^^=OM,tanS=—ON,tana+

UDUD

tanS=OM+ON,tana•tan6=OM-ON,

£.BCM+/LACB=90。，

2

:•在RtANCM'中，由勾股定理得M,N2=CM'+CN2，

即M'N2=AM2+CN2=(1-。〃)2+(1-0N)2

=2-2(0M+ON)+OM2+ON2

=2-2(0M+ON)+(OM+ONy-2OM-ON

=2-2MN+M'N2-2OM-ON

：.OM-ON=M'N，

,tana+tanSOM+ONM'N>o\

•,用闲蠢=「两西=0=14=tan(a+/?)，

tana+tan0

/.tan(a+°)=1—tancr-tan^

24.【答案】（1）解：组1,vAB1BC,

・•・乙ABC=90°,

在At△