2024届上海市六校联考高考数学考前最后一卷预测卷含解析

2024届上海市六校联考高考数学考前最后一卷预测卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五

类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2

11

A.B.-C.1D.-

2345

2.函数/（X）=◎-2与g（x）="的图象上存在关于直线V=x对称的点，则。的取值范围是（）

e

A.—00—B.C.D.

4—个

3.=i是Qsine+Z?cos9<l恒成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

•2020上生，贝”的虚部是（

4.若2=)

1+1

A.iB.万C.-1D.1

na_________

1、

5.若3%+〃eN*）的展开式中含有常数项，且九的最小值为。，贝！］Jda2-X。dx=(.)

xy/x)-a

8br

A.36万B.——C.泞D.25乃

22

6.“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕

达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个完全数”分别为496,8128,

33550336,现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（）

1234

A.—B.-C.一D.-

5555

7.已知i是虚数单位,若z=l+ai,zz=2,则实数。二（)

A.-0或五B.-1或1C.1D.V2

8.甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包，被乙、丙、丁三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得

“最佳手气”（即乙领到的钱数多于其他任何人）的概率是（）

1323

A.-B.—C.—D.一

31054

9.集合A={-2,-1,1}乃={4,6,8},M^{x\x^a+b,b^B,x^B}，则集合M的真子集的个数是

A.1个B.3个C.4个D.7个

10.下列结论中正确的个数是（）

①已知函数/Xx）是一次函数，若数列{为}通项公式为。“=/（〃），则该数列是等差数列；

②若直线/上有两个不同的点到平面々的距离相等，贝！J///1；

③在AABC中，"cosA>cosB”是“3>A”的必要不充分条件；

④若a>0,b>0,2a+Z?=4,则aZ?的最大值为2.

A.1B.2C.3D.0

x

11.设尸=仃b=一d+1,xGR},Q={y\y=2fX^R）,贝（）

A.P鼠0B.QCP

C.CRPJ@D.Q=CRP

7TIT

12.已知函数/（%）=sin（2x—-）的图象向左平移9（。>0）个单位后得到函数g（x）=sin（2x+—）的图象，则（P的最

44

小值为（）

兀3^7i5万

A.—B.—C.—D.—

4828

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一个袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，

则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是_.

7T

14.曲线V=xcosx在x=§处的切线的斜率为.

15.已知过点。的直线与函数y=3、的图象交于A、B两点,点4在线段08上，过A作V轴的平行线交函数y=9,

的图象于C点，当8C〃X轴，点A的横坐标是

16.已知非零向量“8的夹角为?，S.\b\=l,\2a-b\=j3,则卜卜.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

8

x----

17.(12分)在平面直角坐标系x0y中，直线/的参数方程为2：'。为参数).以坐标原点。为极点，x轴的正

〔y二—2+t

半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为夕=2sin6.

(1)求直线/的普通方程与曲线。的直角坐标方程；

7T

(2)若射线9=i(2>0)与/和C分别交于点A3,求|AB|.

18.(12分)如图，在四棱锥尸—ABCD中，底面ABC。为直角梯形，AD//BC,ZADC=90，平面上40底面

ABCD,。为AO的中点，"是棱PC上的点且PM=3MC,PA=PD=2,BC=-AD=1,CD=2.

2

(1)求证：平面平面以PAD；

(2)求二面角M-BQ-C的大小.

19.(12分)已知函数/'(x)=(x—a)加x(awR),它的导函数为/''(x).

(1)当a=l时，求尸(无)的零点；

(2)当a=0时，证明：f(x)<ex+cosx-1.

20.(12分)如图，在直棱柱ABCD—A4G。中，底面ABC。为菱形，AB=BD=2,BB1=2,瓦)与AC相

交于点E,4。与相交于点。.

DrG

(1)求证：AC，平面33］。。；

(2)求直线08与平面所成的角的正弦值.

21.(12分)已知椭圆C:9/+/=根2(相＞o),直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与C有两个交点a,B,线

段AB的中点为

(I)证明：直线的斜率与/的斜率的乘积为定值；

(II)若/过点(1,加)，延长线段。河与。交于点尸，四边形Q4PB能否为平行四边形？若能，求此时/的斜率，若

不能，说明理由.

22.(10分)已知三棱锥P—A3C中，ABC为等腰直角三角形，AB=AC=1,PB=PC=5设点E为K4中点,

点。为AC中点，点尸为P3上一点，且PF=2FB.

(1)证明：BD//平面CEF；

(2)若求直线CE与平面P3C所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式

可得结果.

【详解】

金、木、水、火、土任取两类，共有：

金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，

其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，

所以2类元素相生的概率为』=,，故选A.

102

【点睛】

本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的

关键，基本事件的探求方法有（1）枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；⑵树状图法：适合于较

为复杂的问题中的基本事件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先（4,用），（4，昆）.…（4，凡），

再（4,4）,（4,&）.….（&,幻依次（区,瓦）区,不）....（4,纥）…这样才能避免多写、漏写现象的发生.

2、C

【解析】

2-1-1n

由题可知，曲线/（X）=◎—2与y=lnx有公共点，即方程ox—2=lnx有解，可得一—JC有解，令

可力=出竺，则仆1一”对*分类讨论，得出x=!时，以龙）取得极大值也即为最大值,

xxe

进而得出结论.

【详解】

解：由题可知，曲线/（%）=双—2与y=lnx有公共点，即方程依—2=lnx有解,

即。=-------有解，令/z（x）=-------,贝！|/z（x）=----；——，

则当0<x<!时，"（x）>0；当X」时，〃（尤）<0,

故x=（时，从光）取得极大值/（£|=e,也即为最大值，

当X趋近于。时，趋近于-8,所以aKe满足条件.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力,

属于难题.

3、A

【解析】

a=cosa

设｛nasinO+bcos。=sin0cosa+cos0sina=sin(6+cr)<1成立；反之，a=Z?=0满足

b=sina

2

asin0+bcos0<lf+b^1,故选A.

4、D

【解析】

通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：〃+次•的形式，即可得到复数的虚部.

【详解】

严。2+311+3/(1+3/)(1-/)1+21—3『.

由题可知2===\,=2+1,

1+i1+i(l+z)(l-01-r

所以z的虚部是1.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题.

5、C

【解析】

3x+」p展开式的通项为

x7x

&=。；(3工厂［；［=3n-rCy^,r=0,l,.,n,因为展开式中含有常数项52

，所以〃——r=0,即r=一〃为整

25

数，故n的最小值为1.

所以f必公=J&2—必公=交工.故选C

a52

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

⑴求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出厂值即可.

⑵已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第厂+1项，由特定项得出厂值，最后求出

其参数.

6、C

【解析】

先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为2=10,再求出6和28恰好在同一组

包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.

【详解】

解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，

则基本事件总数为C；=10,

则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数=4,

10-43

.•.6和28不在同一组的概率P=-------=

105

故选：C.

【点睛】

本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.

7、B

【解析】

由题意得，=+—切)=1+/，然后求解即可

【详解】

•z=1+cii9••zz=(l+ai)(1—ai)—14-ci~.又•zz=2，♦•1+a~=2,••ci-il•

【点睛】

本题考查复数的运算，属于基础题

8、B

【解析】

将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可.

【详解】

设乙，丙，丁分别领到x元,y元,z元，记为(羽又z)，则基本事件有

(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2),共10个淇中符合乙获得“最佳手

3

气”的有3个，故所求概率为历，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了枚举法求古典概型的方法，属于基础题型.

9、B

【解析】

由题意，结合集合求得集合"，得到集合"中元素的个数，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，集合A={-2,—1,1}乃={4,6,8},xeA,

则A/={x|x=a+b,xeA»G5,xe3}={4,6},

所以集合M的真子集的个数为2?-1=3个，故选B.

【点睛】

本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合〃，再由真子集个数

的公式2"-1作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

10、B

【解析】

根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可；

【详解】

解：①已知函数是一次函数，若数列{4}的通项公式为4=/5),

可得%+1-4=左伏为一次项系数)，则该数列是等差数列，故①正确；

②若直线/上有两个不同的点到平面£的距离相等，贝！1/与a可以相交或平行，故②错误；

,,tt,5

③在A/WC中，B,Ae(O,7r),而余弦函数在区间(0,乃)上单调递减，故«cosA>cosJBWJB>A,由“3>4”

可得“cosA>cos3",故"cosA>cos8"是"3>A”的充要条件，故③错误；

④若a>08>0,2a+匕=4,则4=2。+。2200,所以当且仅当2a=匕=2时取等号，故④正确；

综上可得正确的有①④共2个；

故选：B

【点睛】

本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运

算能力和推理能力，属于中档题.

11、C

【解析】

解：因为P={y|y=-x2+l,xeR}={y|y<1},Q={y|y=2x,xWR}={y|y>0},因此选C

12>A

【解析】

首先求得平移后的函数g(x)=sin+2。一,再根据sin+2。一?]=sin[2x+?]求°的最小值.

【详解】

根据题意，/Xx)的图象向左平移。个单位后，所得图象对应的函数

g(x)=sin2(%+0)—?=sin(2x+2o—?)=sin(2%+?),

所以2夕——JT=2k7r+7-T,keZ,所以夕=Qr+T々T，左eZ.又°>0,所以。的最小值为士TT,.

4444

故选：A

【点睛】

本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.A

10

【解析】

由题，得满足题目要求的情况有，①有一个数字4,另外两个数字从1,2,3里面选和②有两个数字4,另外一个数字

从1,2,3里面选，由此即可得到本题答案.

【详解】

满足题目要求的情况可以分成2大类：①有一个数字4,另外两个数字从1,2,3里面选，一共有种情况；②有

两个数字4,另外一个数字从1,2,3里面选，一共有种情况，又从中任意摸取3个小球，有G%种情况，所以

C；C；+C；以3

取出的个小球中数字最大的为的概率P=

34io

故答案为：A3

【点睛】

本题主要考查古典概型与组合的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力.

1.16兀

14、-----——

26

【解析】

7T

求出函数的导数，利用导数的几何意义令%=］，即可求出切线斜率.

【详解】

y=f（＜x）=xcosx9

/./'(x)=cosx-xsinx,

即曲线丁=工85%在％=工处的切线的斜率上=L—巴

326

故答案为：

26

【点睛】

本题考查了导数的几何意义、导数的运算法则以及基本初等函数的导数，属于基础题.

15、log32

【解析】

通过设出A点坐标，可得C点坐标，通过轴，可得B点坐标，于是再利用左可得答案・

【详解】

根据题意，可设点A（a,3°）,则C（a,9"）,由于8C〃x轴，故儿=%=9",代入＞=3工，

可得修=2。，即3（2a,9"），由于A在线段08上，故4.A=《B，即芝=,，解得

a=log32.

16、1

【解析】

由已知条件得出—41。|•g|•cos＜凡〃〉+户=3,可得21al?—|。|—1=0,解之可得答案.

【详解】

向量a,匕的夹角为且|2a-切=百，|6|=1,可得:4。2_4|小叫•cos<a,b>+b2=3,

可得2|a『—|a|—1=0,解得|a|=l,

故答案为:1.

【点睛】

本题考查根据向量的数量积运算求向量的模，关键在于将所求的向量的模平方，利用向量的数量积化简求解即可，属

于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)Z：x+y-4=0(xw0)；C:/+,2—2y=0.⑵\AB\=y/2

【解析】

Q

(1)由％=白可得"0,

2+t

.8

x=------

由2：’,消去参数乙可得直线/的普通方程为无+y-4=0(xm0).

At

y=------

I2+t

由夕=2sin。可得夕2=2夕sin。，将y=/?sine,夕之=/十,2代入上式，可得f十丁一？〉二。，

所以曲线C的直角坐标方程为V+y2_2y=0.

(2)由(1)得，/的普通方程为x+y-4=0(尤*0),

7T

将其化为极坐标方程可得"cos6+/?sin8-4=0(。*万)，

当6夕>0)时，幺=2日为=应，

所以|AB|=|〃-41=12叵-母\=无.

18、⑴证明见解析；(2)30。.

【解析】

(1)推导出CD/ABQ,QBLAD,从而平面PAD,由此证明平面平面以PAD；

(2)以。为原点，建立空间直角坐标系，利用法向量求出二面角M-BQ-C的大小.

【详解】

解：(DAD/ABC,BC=^AD,Q为AD的中点，

..四边形3CDQ为平行四边形，,CQ/ABQ.

ZADC=90°,^AQB=90°,即QBLAD.

又平面八4。，平面ABC。，且平面B4£＞平面ABCD=AD,

••.BQ，平面PAD.

BQu平面PQ3,

平面PQB_L平面PAD.

（2）-.PA=PD,Q为AD的中点，

PQ1AD.

平面A4D_L平面ABCD,且平面尸AD1平面ABCD=AD,

P。，平面ABC。.

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系，

则平面BQC的一个法向量为n=（0,0,1）,

2（0,0,0）,P（0,0,A/3）,B（0,2,0）,C（-l,2,0）,

设Af（x,y,z）,则PM=k，y,z—G）,MC=（-l-x,2-y,-z）,

PM=3MC，

x=3（—1—%）

；.<j=3（2-y）,

z-6=-3z

-3

x=——

4

3

…=5'

A/3

z二---

I4

"_33叵

在平面中，=（0,2,0）,QM=KF

设平面MBQ的法向量为m={x,y,z）,

2y=0

m-QB=0

则J，即<336c，

m-QM=0——x+—yH-----z=0

I42-4

平面MQB的一个法向量为m=（l,o,73）,

-cos(m,n

22

由图知二面角为锐角，所以所求二面角大小为30。.

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查了空间向量的应用，属于中档题.

19、（1）见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）当a=l时，求函数的导数/'（x）,判断导函数的单调性，计算/'。）=加1+1—1=0即为导函数的零点;

（2）当。=0时，分类讨论x的范围，可令新函数/2（%）=6'+。。眈—*玩—1,计算新函数的最值可证明

【详解】

（1）〃尤）的定义域为（0，+8）

当a-1时,—1)Inxtf'=Ifix+1—,

易知/(x)=/nx+l-l为(0,+s)上的增函数，

又/'⑴=加1+1—1=0,

所以x=l是/（尤）的唯一零点;

(2)证明：当a=0时，f{x}=xlnx,

①若OVx<1,贝!Ie*+cosx-l>0,xlnx<0

所以/（X）V，+cosx-1成立,

②若尤>1,设/i(x)=e*,贝!|〃(x)=e*,

令则加(%)=e*------cosx,

因为尤>1,所以加(x)>e—1—IX),

从而加(九)在(1,+8)上单调递增，

所以加(％)>m(l)=e—5Z«l-l>0,

即加(力=h1x)>0,M龙)在(1,+8)上单调递增；

所以/z(x)>Ml)=e+cosl—IX),即xlnx<ex+cosx-1)

故/(x)<e*+cosx-\.

【点睛】

本题主要考查导数法研究函数的单调性，单调性，零点的求法.注意分类讨论和构造新函数求函数的最值的应用.

20、(1)证明见解析(2)叵

7

【解析】

(1)要证明AC,平面5与2。，只需证明ACL3。，ACLD2即可：

(2)取耳。中点歹，连所，以E为原点，EA,EB,跖分别为苍Xz轴建立空间直角坐标系，分别求出。台与

H.OB

平面OBR的法向量〃,再利用cos<n,OB>=------计算即可.

|n\x\OB\

【详解】

(1)•••底面ABC。为菱形，

:.AC±BD

,/直棱柱ABCD-二DD[±平面ABCD.

；ACu平面ABCD.

AC1DDl

ACLBD,AC上DD[,BDcDDi=D.

」.AC，平面6用2。；

(2)如图，取用A中点口，连EF,以E为原点，EA,EB,跖分别为％%z轴建立如图所示空间直角坐标系:

AE=6,BE=\,

点3(0/,0),Bi(0,1,2),2(0,-1,2),A(后0,0)。S2,J

设平面。耳。的法向量为n=(x,y,z),

*1=(020)3=("I

J

D[B],n=2y=0

有《J33，令x=2,y=0,z=g

OB{-n=--—x+—y+z=0

得72=(2,0,6)

(八3、

又OB=-^-,-,-1,n-OB=-2y/3,\n\=j7.\OB\=2,

I22J

设直线OB与平面OBR所成的角为。,

所以sine=1cos<n,OB>|=|二2|=5

2x^/77

故直线OB与平面。与2所成的角的正弦值为包

7

【点睛】

本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐

标.

21、(I)详见解析；(II)能，4-«或4+6.

【解析】

试题分析：（1）设直线/:y=Ax+b（左wO/wO）,直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并

表示直线的斜率，再表示三,六；

9

（2）第一步由（1）得。河的方程为丁=-7%,设点。的横坐标为8,直线与椭圆方程联立求点尸的坐标，第

k

二步再整理点，的坐标，如果能构成平行四边形，只需；=二丁'，如果有.值，并且满足左>0,左。3的条件就说

明存在，否则不存在.

试题解析：解：⑴设直线/：y=丘+匕（左wO,bwO）,B（x2,y2）,

y=kx+bcccc

2222

・••由<(^+9)x+2kbx+b-m=0

9x9+y9=m99

x+x?kb9b

均二丁=一心=kxb

，yMM+=-j^-

直线OM的斜率eM=%=一2,即后”•左=一9.

XMR

即直线OM的斜率与I的斜率的乘积为定值-9.

（2）四边形Q4PB能为平行四边形.

•.•直线/过点（§,加），.../不过原点且与C有两个交点的充要条件是左>0,k手3

9

由（1）得。0的方程为丫=—-x.设点尸的横坐标为琴.

k

9，一，

.•・由｛>=一尸得小上J即q=靠=

9x2+y2=m2,^*+813权+9

将点（三,机）的坐标代入直线/的方程得人=7也，因此4mk(k-3)

3(r+9)

四边形Q4PB为平行四边形当且仅当线段A5与线段。尸互相平分，即马=2%M

±kmmk（k-3）厂

:解得…5r,—

•:%>0,k#3,i=l,2,

.•・当/的斜率为4-5或4+S'时，四边形Q4PB为平行四边形.

考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用

【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点」是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率,

或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM斜率的关系时，也可以选择点差法，设

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