2024年高考数学模拟试卷

2024年高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知双曲线丝-V?=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F，F,过F作一条直线与双曲线右支交于A,B两点,

a2b2122

坐标原点为O,若|OA|2=a2+bz,|BFj=5a,则该双曲线的离心率为（）

VWTio

B.

2a

2.已知非零向量a、b,若i\=2H且12a臼=科4

则向量b在向量a方向上的投影为（)

3.如图，&ABC中经A=2经B—60。，点。在BC上,经BAD=30。，将AABD沿4?旋转得到三棱锥B-ADC,

分别记B,A,B,D与平面ADC所成角为C,0,则C,P的大小关系是（）

A.C<p<2CB,2C<p<3C

C.B<2C,2C<P<3C两种情况都存在D.存在某一位置使得B>3a

4.己知集合乂={yL1<y<3},N={x|x(2x-710},则M不N=()

(7](7]

A.的B.|(。勿।C.||D.⑦

TlTIA

5.已知C、BE(IT于2J，C丰B,则下列是等式sinC-sinP=C-2B成立的必要不充分条件的是()

A.sinC>sinpB.sinC<sinp

C.cosC>COS0D.cosC<cosp

6.正AABC的边长为2,将它沿BC边上的高AD翻折，使点B与点C间的距离为此时四面体A—BCD的外

接球表面积为（）

10n13rl

A.B.4TTc-VD.7TT

3

7.若则)

smfa+cos2a

A.B.C.D./

X2

弓>）的一条渐近线与圆*（）至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围

8.若双曲线一一y2=102+y-22=2

az

是（

B,L,+伪)D.(3

A.C.

9.数列+a=aa=1,a=2,S为其前n项和,则s)

n+2nn+12n2019

A.0B.1c.3D.4

|3

10.设复数Z满足=1+i,贝Uz二)

z

111U1J

-L-11

A「B-+IC-i

------2D

22222-22

已知平面向量a；b：c,足：a.b=0,c|g1,j一c|=|b—|c=5,Ia—b的最小值为（）

A.5B.6C.7D.8

X2-y2=1（a>0）的右焦点，直线y=kx与双曲线交于A,8两点，若经AFB=里则

12.已知点F为双曲线C:

2as423

aAFB

2的面积为（

A.Zf2D.4曲

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

21

13,已知x>0,y>0,且三+1=1,则X+2y的最小值是

xy

14.已知圆柱的上、下底面的中心分别为01,。2,过直线°1°2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则

该圆柱的表面积为

15.曲线f(x)=4x-ex在点(0,f(0))处的切线方程为

16.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=X2-2x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

123nn

17.(12分)已知数列｛a｝满足+++•••+

n2a-52a-52a3”2a-53

12n

(1)求数列｛a｝的通项公式；

n

(1)1

(2)设数列〈-----〉的前n项和为T,证明:T<_.

laa1。n6

nn+1

18.(12分)如图所示，四棱锥P-/IBCD中,PC,底面ABC。，PC=CD=2,E为4B的中点，底面四边形ABCD

满足NADC=/DCB=90。，AD=-\,BC=1.

(I)求证：平面PDE_L平面PAC；

(II)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；

(III)求二面角D-PE-B的余弦值.

19.(12分)如图，在三棱柱ABC-ABC中，ABJ平面ABC,AB」AC,且AB=AC=AB=2.

(1)求棱AA与BC所成的角的大小；

1

(2)在棱BC上确定一点P,使二面角P-AB-A的平面角的余弦值为缚.

「15

20.(12分)如图1,四边形ABCD是边长为2的菱形，经BAD=60。，E为CD的中点，以BE为折痕将ABCE折起

到APBE的位置，使得平面PBEJ平面ABCD,如图2.

(1)证明：平面PAB」平面PBE；

⑵求点D到平面PAB的距离.

21.(12分)已知函数f(x)=Inx.

(1)求函数g(x)=f(X)-X+1的零点；

⑵设函数f(x)的图象与函数y=x+>i的图象交于A(x,y),B(X,y)(x<X)两点，求证：a<XX-X；

(3)若k>0,且不等式(xz-l)f&)巳1<&-1)2对一切正实数乂恒成立，求k的取值范围.

22.GO分)已知函数f(X)和g(x)的图象关于原点对称，且f(X)=X2+2x.

(1)解关于X的不等式g(x)之f(x)-|x-1.

(2)如果对vxeR,不等式g(x)+c<f(x)-|x-1恒成立，求实数c的取值范围

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

由题可知QA|=c=]FFJ,^FAF2=90。，再结合双曲线第一定义，可得|AFj=|AFJ+2a,对Rt^A“有

|AFJ2+|ABF=B呼，

即(AF?+2a)2+(AF?+3a>=(5a»,解匍AF|=

a,再对RtAAFh，由勾股定理可得a?+(3a)2=(2c)2,化简

即可求解

【详解】

；坪2所以经F^F=90.

如图,因为|BFj=5a,所以|BF?=5a-2a=3a.因为|OAj=c=o

AF[2AB2=|BF|2,即(AF2+2a)2+(AFJ+3a>=(5a\

在RLAFB中,+||

1

得|AF|=a,则|AF|=a+2a=3a.aRtAAFF中,由a?+(3ab=(2&得e=c=v'10.

21'1'12oo

蝇B

【点睛】

本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题

2、D

【解析】

设非零向量a与b的夹角为6,在等式2a—b=、,后区两边平方，求出cosB的值，进而可求得向量|b在向量a方向上

的投影为bcos。，即可得解.

【详解】

"b=2a,由国心=、’3b得尔一印=3b?,整理得2a2-2a.b-b?=0，

:2a2-21alx2仲cos8l—q平=0,解得cosS=,

因此，向量b在向量a方向上的投影为HdosB=—.

艇：D.

【点睛】

本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.

3、A

【解析】

根据题意作出垂线段，表示出所要求得c、0角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得

答案.

【详解】

由题可得过点B作BE」AD交AD于点E,过B,作CD的垂线，垂足为0,则易得a=经B,AO,P=经B,DO.

设CD=1,则有BD=AD=2,DE=1,BE=<3,

:可得AB,=AB=2后，B,D=BD=2.

._OB,.OB,

sina=,smR[3=',

AB,DB,

:sinp=<13sina>sina,:B>a；

,/OB,e[0,向，:sinae[0,1]；

2

sin2a=2sinacosa=2sina«—sin2a>

2、/Tsin2ae[62]，：sin2aSsina=sinp,

:2a部.

综上可得，a<0<2a.

【点睛】

本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水

平.

4、C

【解析】

f71

先化简N={x|x(2x-7)0}=(x|0x、〉，再求M不N.

I工J

【详解】

因为N={x|x(2x-7)和=10我，

又因为M={yI-1<y<3},

所以M不N=Q(-1眨,

娟：C.

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题.

5、D

【解析】

构造函数h(x)=sinx-x,f(x)=sinx-2x,利用导数分析出这两个函数在区间(|(方卫)上均为减函数，由

sina-sinp=a-2[3^tHsina-a=sinp-2p;^a=0_1<a<00<a4三种情况讨论，利用放缩

法结合函数y=h(x)的单调性推导出-口2<2<口<0或0<0<a<],再利用余弦函数的单调性可得出结论.

【详解】

构造函数h(x)=sinx-x,f(x)=sinx-2x,

则h,(x)=cosx-1<0,f,(x)=cosx-2<0,

所以，函数y=f(x)、y=h(x)在区间(|(上均为减函数，

当<x<0时，则h(x)>h(0)=0,f(x)>f(0)=0；当o<x<71时，h(x)<0,f(x)<0

22

由sina-sin0=a-2(3得sina-a=sinp-2p.

①若a=0,则sin0-20=0,即f(B)=0常0=0,不合乎题意；

②若『<a<0,则<P<0,则h(a)=sina-a=sinB-20>sinR邛=h(B),

22

TT。八

此时，-2<a<p<0,

由于函数y=cosX在区间(Ir：,0上单调递增，函数y=Sinx在区间(|(三,0|上单调递增，贝Isina<sin0,

cosa<cosP；

③若0<a<-71,则o<0<11，则h(a)=sina-a=sin0-20<sin0邛=h(B),

22

此时0<B<a<

由于函数y=COSX在区间(I(«：)上单调递减，函数y=SinX在区间(|()上单调递增，贝帕ina>sin0,

cosC<COSP.

耻腌，cosC<cosp.

艇：D.

【点睛】

本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对C的取值范围进行分类讨论，考查推理能

力，属于中等题.

6、D

【解析】

如图所示，设AD的中点为。2，ABCD的外接圆的圆心为05四面体A-BCD的外接球的球心为0,连接

00,00,0D,利用正弦定理可得DO=1,利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形。0DO为平行四边形，

12121

最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.

【详解】

如图所示，设AD的中点为。2，ABCD外接圆的圆心为0],四面体A-BCD的外接球的球心为0,连接

00,00,0D,则00」平面BCD,00JAD.

1212

n_q[

因为CD=BD=1,BC=、后，故cos经BDC==--

2x1x12'

因为经BDCe(Ojr),故经BDC=穹.

2DO==2

由正弦定理可得i.2n,故DO=1,又因为AD=v3，故DO-通.

sin—122

因为AD」DB.ADJCD,DBACD=D,故AD」平面BCD,所以OQ〃AD,

因为AD」平面BCD,D。/二平面BCD,故AD」D01,故。。2〃D0/

所以四边形00DO为平行四边形，所以00=DO-

21122

所以0D=+1=，，故外接球的半径为夸，外接球的表面积为4Tl根：=7TT.

艇：D.

【点睛】

本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变

量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一

定的难度.

7、B

【解析】

由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.

【详解】

因为（,<•,由诱导公式得「1,所以、.

故选B

【点睛】

本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.

8、C

【解析】

求得双曲线的渐近线方程，可得圆心（02）到渐近线的距离d之旄，由点到直线的距离公式可得a的范围，再由离心

率公式计算即可得到所求范围.

【详解】

双曲线"-丫2=I（a>0）的一条渐近线为y=1x,即x-ay=0,

a2a

2

由题意知，直线x-ay=0与圆X2+（y-2）=2相切或相离，则d=之,

。1+%

,c

解得aN1,因此，双曲线的离心率6=

a

树：C.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

9、D

【解析】

用n+1去换a+a=a中的"，得a+a=a，相加即可找到数列｛a｝的周期，再利用

n+2nn+1n+3n+1n+2n

S=336S+a+a+a计算

20196123

【详解】

由已知，a+a=a①，所以a+a=a②，①+②，得a=-a,

n+2nn+1n+3n+1n+2n+3n

从而a=a,数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1,2,1,-1,-2,-1,所以S=0,

n+6n6

S=336(a+a+a)+a+a+a=0+1+2+1=4

2019126123

艇：D.

【点睛】

本题考查周期数列的应用，在求S时，先算出一个周期的和即S,再将S表示成336s+a+a+a即可，本题

2019620196123

是一道中档题.

10、D

【解析】

根据复数运算，即可容易求得结果.

【详解】

_i3_-i(l-i)_-l-i_11.

Z------------------------------------------------~---I

1+i(1+i)(1-i)222

腌：D.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，属基础题.

11、B

【解析】

建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将a-b的最小值转化为用该关系式表达的算式,

利用基本不等式求得最小值.

【详解】

建立平面直角坐标系如下图所示，设c=(cos&sinB),OA=a,OB=b,且A(m,0),B(0,n),由于

|ac「b_c卜5,所以mFE[4,6].

a-c=(m-cos0,-sin0),b-c=(-cose,n-sine),所以

(m2-2mcos0+coss0+sinz0=25

〈，即m2+re=48+2mcos0+2nsin0.

|r)2-2nsin0+sins0+coss0=25

=Y'ITP+rr为2mn.当且仅当m=n时取得最小值，止匕时由m2+年=48+2mcos0+2nsin0得

2m2=48+2m(sin0+cos0)=48+2\&nsin(|(0+-,当6=丝•时，2m2有最小值为48-26n,即

4)4

2m2=48-2/2m,ma+J2m—24=0,解得m=02.所以当且仅当m=n=酬2。=叶a-0有最小值为

2根（%历）

=6.

本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.

12、D

【解析】

设双曲线C的左焦点为F,连接AF,BF,由对称性可知四边形AFBF2是平行四边形,

=rz+rs—2rrcos",求出rr的值，即得解.

设|AFJ[,|AFJ=r,得4c2

1212312

【详解】

设双曲线。的左焦点”，连接A.BF1

由对称性可知四边形AFBF是平行四边形，

12

所以SAFF=S经FAF=；.

AF£AF2B123

设|AF=r,|AF|=r,贝ij4c2=rs+rs-2rrcos"=的+rz-rr

11111212J121231212

又|r一r|=2a.故rr=4b2=16,

112112

所以SAFF=jrrsin^=4j§.

12乙］/O

艇：D

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、8

【解析】

由整体代入法利用基本不等式即可求得最小值.

【详解】

=2^3+2>4+2；F=8,

x+2y-K-

yjyx\yx

x4v

当且仅当-=时等号成立

yx

故x+2y的最小值为8,

故答案为：8.

【点睛】

本题考查基本不等式求和的最小值，整体代入法，属于基础题.

14、12n

【解析】

设圆柱的轴截面的边长为x,可求得x=2/^,代入圆柱的表面积公式，即得解

【详解】

设圆柱的轴截面的边长为X,

则由X2=8,得x=2/2,

;.S=2S+S=2+2n=12n.

圆柱表底侧

故答案为：12n

【点睛】

本题考查了圆柱的轴截面和表面积，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.

15、3x-y-1=0

【解析】

求导，得到f,(0)和f(0),利用点斜式即可求得结果.

【详解】

由于f(0)=-1,f,(x)=4-ex,所以f,(0)=4-1=3,

由点斜式可得切线方程为3x—y—1=0.

故答案为：3x-y-1=0.

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题.

16、(-3,0)不(3,+伪)

【解析】

设x<0,则一x>0,由题意可得f(-X)=-f(x)=(-x)2-2(-x)=+2x,:f(x)=一滓一2x,故当x<0时,

(x>0(x<0

f(x)=—X2—2x.由不等式f(x)>x,可得〈仅2—2x>x'或1X2—2x>x'

照导x>3,或一3Vx<0,瞪勒(-3,0)不(3,+｛为).

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3n+5

17、(1)a=-------；(2)见解析.

n2

【解析】

_nn.(S’"-1可求得数列｛b｝的通项公式，由此可得出数列｛a｝的通

(1)令Sc—b=…利用b=

n3n2a-5n|S-S刀之2nn

in-1

项公式；

14r11]

⑵求得aa=3||L3n+5-3(n+1)+5|\J利用裂项相消法求得Tn,进而可得出结论.

nn+1」।

【详解】

(1)令Snbn

n,

n32a-5

n

当n之2时，b=S—S=--211=1.

nnn-1333'

%则13n+5

当n=1时，bb=---------故a

1n2a-5

n2

144r11]

(2)1/-

aa(3n+5)3(n+1)+5-3||L3n+53(n+1)+5j

nn+1

F(11)(11)(11)]

7J，(3根1+5一3根2+5,+k3根2+5—3根3+5)厂…+I(3根n+5—3(n+1)+5力|

4T11]411

-3||LS-3(D+1)+5Jl|<3根8-6,

【点睛】

本题考查利用S求通项,同时也考查了裂项相消法求和，考查计算能力与推理能力，属于基础题.

n

18、(I)证明见解析(II)-2(III)-竺Z

3-17,

【解析】

(1)由题知口£」PC,如图以点C为原点，直线CD、CB、CP分别为x、V、轴，建立空间直角坐标系，计算

DE.AC=0,证明DE」AC,从而DE」平面R4C,即可得证；

(H)求解平面尸DE的一个法向量n,计算COSn；CP^,即可得直线尸C与平面尸DE所成角的正弦值；

(III)求解平面QBE的一个法向量m；计算cosm,n,,即可得二面角。-PE-B的余弦值.

【详解】

(I)1PC_L底面ABCD,：DEJPC,

如图以点C为原点，直线CD、CB、CP分别为x、V、轴，建立空间直角坐标系,

则C（0,0,0），D（2,0,0）,B（0,3,0）,P（0,0,2）,A（2,1,0）,E（1,2,0）,

：DE=(-1,2,0),AC=(-2-1,0),：DE.AC=0,

：DEJAC,又CPGCA=C,:DE」平面PAC,

•,DEC平面PDE,平面尸DE_L平面PAC；

(II)设n=(x,y,z)为平面PDE的一个法向量，

111

又PE=(1,2,-2),DE=(-1,2,0),CP=(0,02),

.(ITI.DE=-x+2y=0.n\

则〈11，取y=1,得n=(2,1,2)

|ln.PE=x+2yJ2Z|=01

MW楣小

2

:直线尸C与平面尸DE所成角的正弦值；

(III)设m=(x,y,z)为平面QBE的一个法向量，

222

又PB=(0,3,-2),EB=(-1,1,0),

(jm.PB=3y—2z=0,取y=2,得m=(2,2,3),

则〈.22

|ln-EB=—x+y=02

122

n.m417

：COS,171,13)=V

17，

4/T7

:二面角D-PE-B的余弦值-

17

【点睛】

本题主要考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成角的计算，二面角大小的求解，考查了空间向量在立体几何中的

应用，考查了学生的空间想象能力与运算求解能力.

19、(1)n(2)P(1,3,2)

3

【解析】

试题分析：(1)因为ABLAC,A3,平面ABC,所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y

轴，以过A,且平行于BA］的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱

AA1与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA1与BC所成的角的大小；

(2)设棱B1C1上的一点P,由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量，把二

面角P-AB-A］的平面角的余弦值为3,转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标.

试题解析：

解(1)如图，以A为原点建立空间直角坐标系,

则C（2,0,0）,B（0,2,0）,A（0,2,2）,B（0,4,2）,

11

AA=（0,2,2）,BC=BC=（2,-2,0）,

111

_AACCAA.BC-41

cosAA,BC=j----1-；-------———.=--

1

%.国v8.\82，

故AA与棱BC所成的角是三

（2）p为棱B£中点，

设BP=ABC=（2人,-2人,0）,则P（2人,4-2人,2）.

111

设平面PAB的法向量为n=（x,y,z）,AP=（2人,4-2人,2）,

（In.AP=0_（x+3y+2z=0（z=-Ax

则一常〈常〈

|lri[.AB=0|2y=0Iy=0

故n=（1,0,-X）

1

而平面ABA的法向量是n=（1,0,0）,则cosn,n=ni'n2=-J

1212-R-^n斓+入25，

i1i2J

解得人=1,即P为棱BC中点，其坐标为P（1,3,2）,

211

点睛：本题主要考查线面垂直的判定与性质，以及利用空间向量求二面角.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:

(1)观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；(2)写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；(3)设出相应平面

的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；(4)将空间位置关系转化为向量关系；(5)根据定理

结论求出相应的角和距离.

20、(1)证明见解析(2)当

【解析】

(1)由题意可证得PEJAB,AB」BE,所以ABJ平面PBE,则平面PABJ平面PBE可证；

(2)解法一：利用等体积法由V=V可求出点D到平面PAB的距离；解法二：由条件知点D到平面PAB的

P-ADBD-APB

距离等于点E到平面PAB的距离，过点E作PB的垂线，垂足F,证明EFJ平面PAB,计算出EF即可.

【详解】

解法一：(1)依题意知，因为CE」BE,所以PE」BE.

又平面PBEJ平面ABCD,平面PBE/1平面ABCD=BE,PEC平面PBE,

所以PE」平面ABCD.

又AB-平面ABCD,

所以PE」AB.

由已知，ABCD是等边三角形，且E为CD的中点，所以BE」CD.

因为AB//CD,所以AB」BE.

又PE/IBE=E,所以AB」平面PBE.

又AB二平面PAB，所以平面PABJ平面PBE.

由(1)知，PE」平面ABD,且PE=1,

所以三棱锥P-ABD的体积V=1xJ5x1=、".

33

在RtAPBE中，PE=1,BE=y另，得PB=2,

由(1)知，ABJ平面PBE,所以AB」PB

所以S=2,

△ABP

设点D到平面PAB的距离d,

则三棱锥E-PAB的体积V,=-x2xd=噂，得d=g

332

解法二：(1)同解法一；

(2)因为DE//AB,AB-平面PAB,DE丈平面PAB,

所以DE//平面PAB.

所以点E到平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离.

过点E作PB的垂线，垂足F,即EF」PB.

由(1)知，平面PABJ平面PBE,平面PAB八平面PBE=PB,EF仁平面PBE,

所以EFJ平面PAB,即EF为点D到平面PAB的距离.

由⑴知，PEJBE,

在RAPBE中，PE=1,BE=、飞，得PB=2.

又PExBE=PBxEF，所以EF='1.

J3

所以点D到平面PAB的距离为\.

2

【点睛】

本题主要考查空间面面垂直的的判定及点到面的距离，考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.求点

到平面的距离一般可采用两种方法求解：①等体积法；②作(找)出点到平面的垂线段，进行计算即可.

21、(1)x=1(2)证明见解析(3)0<k^2

【解析】

(1)令g(x)=lnx-x+1,根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解；

Inx——|nxxx

⑵转化思想，要证a<xx—x,即证xx.(1—2i)<xx—x,即证in(4>1—一，构造函数进而求证；

12112X-X121XX

2112

kx-1

(3)不等式(X2—1)lnxk(x-)2对一切正实数x恒成立，(X2-1)lnx-k(x-1)2=(X2-1)[lnx-()],设

X+1

h(x)=lnx-k(X-1),分类讨论进而求解.

X+1

【详解】

11—Y

解：(1)令g(x)=lnx-x+1,所以g,(x)=-1=,

xx

当xe(0,1)时，g,(x)>0,g(x)在(0,1)上单调递增；

当xe(1,+伪)时,g,(x)<0,g(x)在(1,+伪)单调递减;

所以g(x)=g(1)=0，所以g(x)的零点为x=1.

min

(1a

Inx=x+—-1

I11x〜Inx-Inx、

(2)由题意，一，〈占