2024年高考数学一模试题分类汇编：数列（解析版）

专题08数列

题型01等差数列

1.（2024下•广东•百校联考）已知等差数列｛4｝的前〃项和是S“，且％=5,则岳5=.

【答案】75

【解析】

【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前〃项和公式计算即得.

【详解】等差数列｛2｝中，as=5,则5]5=""迎=15%=75.

故答案为：75

2.（2024下•广东•梅州市一模）在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3

个数之和为（）

A.21B.24C.27D.30

【答案】C

【解析】

【详解】令插入的3个数依次为%,%，%，即3,。]，4，%，15成等差数列，

因止匕24=3+15,解得%=9,

所以插入的3个数之和为4+%+%=3%=27.

故选：C

3.（2024下•广东•广州市二中模拟）已知等差数列5｝的前n项和为Sn,ci4+ai2=34,S19=399,则

数列｛册｝的公差是（）

A.2B.3C.-5D.5

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【答案】A

【详解】解：S19=19（。1+的9）_19-2«io=19。1（）=399,

22

则Qio=21,又应+ai2=2a8=34,则他二17,

所以数列公差为d=：（aio—。8）=gx（21—17）=2,

故选：A.

4.（2024下•广东•梅州市一模）设｛4｝是等差数列，也｝是等比数列.已知％=4=4,b2=a2+l,

b3=2a3-4.

（1）求｛%｝和也｝的通项公式；

（2）数列｛%｝和抄"｝的项从小到大依次排列（相等项计两项）得到新数列｛q｝,求｛%｝的前50

项的和.

【答案】15.%=3"+1,4=2用16.3266

【解析】

【分析】（1）设等差数列｛%｝的公差为d,等比数列的公比为q,根据等差数列、等比数列的通项

公式建立方程组，解之即可求解；

（2）推出数列｛g｝的前50项中含有数列｛〃｝的前6项且含有数列｛%｝的前44项，结合分组求和

法计算即可求解.

【小问1详解】

设等差数列｛%｝的公差为“，等比数列的公比为g,

［如=%+d+l4夕=d+5d=

即《北解得4

则1加2=2（%+21）—4

W=41+4q=

所以%,=%+（〃-1W=3〃+1也=如"-'=2"+'.

【小问2详解】

当数列｛%｝的前50项中含有数列｛〃｝的前5项时,

令3〃+1=25"=64,得"=21,则第26项为64,

当数列｛&｝的前50项中含有数列也,｝的前6项时,

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令3"+1<2"|=128,得3<——，则第48项为128；

3

所以数列｛g｝的前50项中含有数列也,｝的前6项且含有数列｛%｝的前44项，

故数列｛g｝的前50项和为

c…“44（44-1）X4（1-2s）

S50=[44X4H---------------x3]H—j---=3266.

s

5.（2024下•广东•茂名市一模）设5”为数列｛%｝的前〃项和，已知4,“，、是首项为:、公

+-

差为！的等差数列.

3

（1）求｛4｝的通项公式；

（2n—\\an6W—1

（2）令b“=\~北为数列｛〃｝的前〃项积，证明：-----.

S"；=15

2

【答案】（1）an=n

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由等差数列定义可得S“，由S”与％的关系即可得%；

（2）由S“与4可得乙,即可得北，由（2〃+1）（〃+1）26,可得7；<6"T,借助等比数列求和公

式计算即可得证.

【小问1详解】

C1

由,"是首项为:、公差为一的等差数列，

51lz.nI

故;^=5+§（〃T）=§+%，

当心时，SJ2〃T）（〃T）,

n—1/

O

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++n（2M-1）（M-1）

故S”一83T=a.

66

〃（2〃2+3〃+1-2〃2+3»-1

=n~

6

3x2

当”=1时，G=S]==1,符合上式,

6

故%=/

【小问2详解】

«（2«+1）（/7+1）

由=n,S—

n6

6（2n-1）M26（2〃

故4=

S"++（2n+1）（«+1）,

^T-bb5:6（2-1）6（4-1）x26⑵1）"

、"12…"（2+1）（1+1）（4+1）（2+1）"■（2n+l）（n+l）

6n（2-l）6"

由（2〃+1）（〃+1）之3义2=6,

t^T„<—=6n-',

6

则£[<*6"T

Z=1Z=11-65

6.（2024下•广东•深圳市一模）设S"为数列｛%｝的前〃项和，已知的=4,S4=20,且S,为

n

等差数列.

（1）求证：数列｛%｝为等差数列;

（2）若数列也｝满足A=6,且卧=,设7；为数列也｝的前〃项和，集合Mh%eN*[,

1

0nan+2I）

求”（用列举法表示）.

【答案】（1）证明见解析

（2）M=｛6,8,9,10,11｝

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【解析】

[分析](1)设等差数列的公差为d,由题意可得E+3d=5、E+2d=4,解得$=2/=1,

结合a„=S,,_Ri求得%=2〃(〃eN*),即可证明；

(2)由⑴可得芋=一二，根据累乘法可得〃=二•八=12('—27meN*),结合裂

项相消求和法计算即可求解.

【小问1详解】

设等差数列的公差为d,则邑=1+34,即岳+3d=5,①

[n)41

因为=%+电=H+4,所以由=:+得E+2d=4.②

由①、②解得S]=2,d=l,所以&="+1,即S“=〃(〃+l),

n

当时，an=S“—S,T+=,

当〃=1时，%=4=2,上式也成立，所以%=2〃(〃wN],

所以数列｛%｝是等差数列.

【小问2详解】

由(1)可知&旦=马-2nn

b”。“+22n+4〃+2

7bb1n-1n-2112

当〃22时，句=广.冷------x-------x…x—x6=--------,

%bn-247/+1n-----------3n\n+\j

12

因为4=6满足上式，所以“12(--—H€N-

n77+I

1-111=12x[l--

++…+=12--

3rl23n77+I\〃+1〃+1

1o

因为当时，??=1,2,3,5,11,所以M={6,8,9,10,11}.

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题型02等比数列

1.（2024下广东•江门一模）已知｛4｝是等比数列，a3a5=8%，且电，4是方程Y-34x+加=0

两根，则7"=（）

A.8B.-8C.64D.-64

【答案】C

【解析】

【分析】根据等比数列下标和性质计算可得.

【详解】在｛%｝是等比数列，a3a5=a；,a2a6=#，又。3%=8。4，所以。4二8,

又出，4是方程——34x+m=0两根，

所以加=a2a6==64.

故选：C

2.（2024下广东•广州市一模）记S“为等比数列｛a“｝的前〃项和，若则*（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】a3a5=2。2a4，则a：=2a4a2，，的=2%，，/=2

i-q

3.（2024下•广东•佛山禅城一模）己知数列｛%｝满足%=1,%+i=，"〃/田花，且

[3a,”〃为偶数

b”=a2n+l~~ain-\'

（1）证明低｝为等比数列，并求数列也,｝的通项公式；

（2）设,“=广=7,且数列｛g｝的前〃项和为北，证明：当〃时，

盘+1一3

工—3〕<3T-n<ln--—1.

2（3"T）3"-1

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〃为奇数

an+1,

【解析】(1)证明：因为4=1,%+1,3%,〃为偶数

所以"〃+1>，所以出n+1一。2"-1〉°,

因为3+1=4"+3-a2”+1_3a2”+23a2"_3（。21+1+1）-3（"2”-I+1）=3（。2"+1）=3

aa

'b"2n+l~2n-\°2»+11°2"-l°2"+l一°2"-l。2"+11°2"-l

所以也｝是等比数列，首项A=5,公比q=3,所以a=5・3"T.

b-55・3"T5_3"T]1

（2）由（1）可得%=要——,先证明左边：即证明—3<3T—n,

2+1—553—5-3”—1H

当〃>2时，c

n3n-l3"33"

/n、

1-

n3In

所以T〉1_1+1_1+•••+L_1

33133233"3T3Ir

3

11

所以37；—n>——3，

213"-i

再证明右边：3T-»<ln■

3^-113"-3_11-舌112

因为g=J」

3,!-l-33）7-1-333"33"+1

n、

2

1-

]__2_]__2_12n3一In11

所以T<++­••+''J

3一手-5一评丁丁F

3F31--

3

113"

即；〃<二—下面证明

37〃—3〃1,-3L“—i<ln3^”―1―1

1313〃一1（1

即证--<In-,即证—<一In------=—In1

3"3"-l3〃3〃I3"

12

设1一三=/，",则于"=1-/,设=+/,te.

3"14

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因为/'(/)=：—1=Y〉O,所以函数/(/)=hu+l—/在/eg,l]上单调递增，

[2

则/(。</(1)=0,即1一/<一1皿，feJ,1,

1/1、1V

所以，7<Tn[l一铲J,所以31—〃<1—KlnF^T.

1、3"

综上，一一y—3<31—〃<ln^——1.

2U)"3"-1

4.(2024下•广东•梅州市一模)已知数列｛%｝和｛4｝,其中"=2。",〃eN*，数列也+4｝的

前〃项和为S“.

(1)若a“=2n,求S“；

(2)若也,｝是各项为正的等比数列，S”=3n,求数列｛%｝和｛4｝的通项公式.

4

【答案】(1)5„=n2+»+j(4n-l)

(2)an=\,bn=2

【解析】

【分析】(1)先判定数列｛4｝和｛4｝分别为等差和等比数列，进而分别得到其通项公式，从而利用

分组求和的方法得到数列｛an+bn｝的前〃项和Sn.

(2)利用数列｛%+£｝的前〃项和S),=3〃列出方程组，解之即可求得为、d、[、q,进而求得

数列｛4｝和｛〃｝的通项公式.

【小问1详解】

解：当〃之2时，an-an_x=In-2(ji-1)=2,从而｛4“｝是等差数列，an=In,

b2%

7^=—=2-=4,所以血,｝是等比数列,

b〃-T2n

又A=2%=2?=4,则bn=4X4"T=4",

”(2+2〃)।4x(l-4"),4

所以S,,==n2+n+j-(4"-1).

21-4

第8页共28页

【小问2详解】

解：｛〃｝是各项为正的等比数列，设其首项为4，公比为以

由bn=2%,可得%=log2bn,则an+l-an=log2bn+i-log2bn=log2q,（定值）

则数列｛%｝为等差数列，设其首项为4,公差为d,

由数列｛%+bn｝的前n项和Sn=3n,

+4=3

ad+如2_如=0

可得方程组《1}+2"如2=3'整理得｛

a.d+如3_如2_Q

ax+3d+如°=3

解得：lhq（q—I#=0,♦.,/?］。0,乡。0,^=1且d=0,

由%+2%=3,可得q=1,则4=2,

则数列｛%｝的通项公式为%=1；数列｛4｝的通项公式为a=2.

题型03数列通项公式

1.（2024下•广东・东莞模拟）在数列｛4｝中，«1=3,且%+i=3%+4〃—6（〃eN*）,则｛2｝的

通项公式为.

【答案】％=3"—2（〃—1）

【解析】

[详解】因为a“+i=3%+4〃一6（〃eN*）,设an+x+X（M+1）+j=3（%+xn+y）,其中无、yeR,

整理可得an+1=3an+2xn+2y-x,

2x-4x=2

所以，/，解得4c，所以，%+1+2（〃+1）-2=3（%+2〃—2）,

2y-x=-6[y=-2

且q+2x1-2=%=3,所以，数列｛%+2〃-2｝是首项为3,公比也为3的等比数列，

所以，氏+2〃—2=3X3"T=3〃，解得%=3"—2（〃—1）.

故答案为：an=3"-2（«-1）.

2.（2024下•广东•佛山禅城一模）设数列｛4｝的前〃项之积为北，满足a“+27；=l（〃eN*），则

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。2024—()

1011101140474048

A.-------B.-------C.-------D.-------

1012101340494049

【答案】A

3.（2024下•广东惠州・模拟）设数列｛%｝的前〃项之积为1,满足％,+27；=1（〃eN*）,则a2024=（

1011101140474048

A.------B.------C.------D.------

1012101340494049

【答案】C

【详解】

因为a,+27；=1(”eN*),

所以1+2(=1,即％+2%=1,所以“「I,

枭2]=1(〃22,"eN*)

所以I-,

11*

-----=2(〃>2,neN)

所以北工般—1

｛1｝_L=_L=3

所以数列（是首项为1％,公差为2的等差数列,

—=3+2(«-1)=2«+1

所以《

1

,__024_2x2024+1_4°47

?=!一~~一砌

即“2〃+1,所以2x2023+1

故选：C.

4.（2024下•广东・茂名市一模）数列｛4｝满足％=8,%+i=/1（〃eN*），4

若数列｛〃｝是递减数列，则实数力的取值范围是（）

B.一”2]D.

A.

I7

【答案】D

【解析】

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1na+111

【详解】由题意，氏+1，两边取倒数可化为———二一+〃，所以—.-=1,

nan+1aa

n+l%n

」=2,11,1一1)

----------=〃—1,由累加法可得,—=1+2H----!■("-］)=因为

%a2an%2

2

1YI(«-1)1(2H-1)

%=8,所以一=-------1----------

a”28

所以〃=---%,因为数列也｝是递减数列，故〃<〃_1,即

+2+2整理可得

8

+8

.-4n2+20n-17因为n>2neN所以

2>--------------------

7

,+°0.

8

题型04数列前n项和

S+9

1.（2024下广东・广州市一模）已知数列｛%,｝的前“项和=〃2+〃,当草一取最小值时,

an

n=

【答案】3

［解析］〃=1时，q=E=2,〃22时，an=Sn-Sn_1=2n,

S“+9/72+«+9191、7

〃=1时也成立，；.4=2〃,n+—+—>—，

InIn2n22

当且仅当〃=3时取"="

2.（2024下，广东■梅州市一模）3+33+333+…+333…3=

^13

10,,+1n10

【答案】

27327

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【解析】

3+33+333+…+333…3

/、

=—9+99+999+—F999…9

3〃个91-)-------------

=|[(10-1)+(102

-1)+---F

【详解】iFiofi-io")

----------------n

31-10

10,,+1-10

-n

319

10"+1n10

27327

10"+1n10

故答案为:

27327

a„+2,n=2k-\

3.（2024下•广东・深圳市一模）已知数列｛%｝满足%=%=1，4+2n(左eN*),

-an,n=2k

若S"为数列｛%｝的前〃项和，则&0=（)

A.624B.625C.626D.650

【答案】C

【解析】

a+2.n=2k-\

【详解】数列｛%｝中，q=%=l，%+2n(hN*),

-an,n=2k

当〃=2A-l#eN*时，a,.-%=2,即数列｛4｝的奇数项构成等差数列，其首项为1,公差为

2,

25x24

贝

ijq+%+a5H---Fa49=25xId-----——x2=625,

当〃=2上左eN*时，吐=-1,即数列｛%｝的偶数项构成等比数列，其首项为1,公比为-1,

an

25

elx[l-(-l)]1

贝!

Ia2+a4+a6+---+a50=­j——=I,

第12页共28页

所以S50=（q+4+Q5H-------F%9）+（。2+%+。6+。50）=626.

故选：C

4.（2024下•广东•番禺）已知公差不为0的等差数列｛%｝的前〃项和为S",且4,电,％成等比数

列，出•%二%•

（1）求数列｛4｝的前〃项和S”.

111121

（2）若〃》2,-----7+——-+—―7+---+-―7^-,求满足条件的〃的集合.

>-1—1o4-1-14U

【答案】（1）%=2〃—l；S“=〃2

（2）｛2,3,4）

【解析】

【分析】（1）由三项成等比列式，应用基本量运算，结合通项公式和前〃项和公式求解即可；

（2）裂项求和后解不等式即可.

【小问1详解】

设等差数列｛%｝的公差为d,

因为%,。2，。5成等比，所以的2=，即得为（1+4d）=（4]+d）~

化简得2a/=/,又因为dwO,所以2%=d.

因为出=4，所以（％+d）（%+2d）=4+7d,即得_4=0

解得%=0或者%=1

当q=0时，d=24=0不合题意舍；

,「7cCiC1〃（①+凡）?

当q=1时，d=2%=2,贝i]a“=2〃一l,S“=———12=_----------------L=n-

22

【小问2详解】

IIIfII、

因为:-----------------------

1-I21〃-1n+1）

第13页共28页

1111

-----------1-------------1-------------1-,,•+

5-15-15-1

当〃22时,2m3m4

1/3112111Q

由题得7彳工一,化简得一+——>—,

212n〃+140n77+120

即9/—31”—20<0,（9，+5乂"—4）«0

解得〃K4,又因为〃》2,所以2<〃W4（〃eN*）,

所以〃e｛2,3,4｝

5.（2024下•广东・广州天河区一模）已知数列｛%｝中,

«i=1^i+7a2+7a3+"-+-^=4+i-l（〃eN*）.

23n'，

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵令4=2"%,记北为也｝的前〃项和，证明：〃之3时，北<〃（2用—4）.

【答案】（1）a”=n

（2）证明见解析

【解析】

a〃+1

【分析】（1）利用递推关系，把〃换成〃+1,得到两式相减，得到*n+]L=-再累乘后可得到

%+2"+2

通项;

（2）用错位相减法求出7；,再将证明不等式作差，之后利用导数的单调性证明即可.

【小问1详解】

L,位111,

因为％H—%■1—%"I----1—a=〃“+1—1,

23nn

…1111

所以/+--+清+而八-%+2-1

1/n/〃+1

作差可得后八一"W变形为%=（"+1""+2—（〃+1）小即二=云，即

aaa_2372+1a,2

23n+l,化简为一~

。3a4an+234〃+2氏+2〃+2

第14页共28页

因为4=1,%+—。2=。2-1=。2=2，所以%+2=〃+2,

%+1n+1a„n

因为--------------------------二-----------二〃，

4+2〃+2an+2〃+2

所以数列｛%｝的通项公式为4=n.

【小问2详解】

因为“=2"%=加2",

所以7；=1・2+2・22+…小2”,27；=1.22+2"+…〃2+1,

叫

作差可得々=2+2、…+2"一〃2心「2(1—2一爪"’

所以［=("—1)2向+2,

7；—〃(2'申—4)=(〃—1)2,,+1+2-n(2,,+1-4)=-2),+1+4n+2,

设/(x)=—2x2*+4x+2,xN3,则/'(x)=—2x2,ln2+4在给定区间上递减，又

/,(3)=-16xln2+4<0

4

故/(x)在［3,+8)是减函数，/(x)max=/(3)=-2+4X3+2=-2<0,

所以当〃之3时，7；<«(2"+1-4).

6.已知数列｛%｝的前n项和为%,。=1,a2=4,Sn+1+4Sn_i=5Sn(n>2).

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)令%=言注，求数列出„｝的前几项和7.

°n°n+ln

n-1

⑴an=4

3

⑵〃=1-E

【详解】(1)由5n+i+4Sn_i=5S“(n>2)得,Sn+i-Sn=4(Sn-Sn_1)(n>2),HRan+1=4an(n>2),

X"a1—1,a2—4,an+1=4an(nGN*),

即数列｛%J是首项为1，公比为4的等比数列，

.,.玛=1x4n-1=4n-1；

(2)由(1)知，Sn=Sn+1=1=’

第15页共28页

厮+1=4"=9X4"_L______

则"nn+1rln+17

5n5n+i1-4律1—4计1(4-l)(4-l)14-14-l»

1-41-4

=1-

...7九=%+人2+…+办九=3X--2-7+TTT-ITT+-+TTT-4计ii)4n+iV

•・.数列｛%｝的前n项和7n=1-焉

4—1

7.(2024下■广东广州■联考)已知数列｛0“｝中，<7[=1,«[+—a+—a+••-+—a„=a„-1(weN).

223377+1

(1)求数列｛0"｝的通项公式；

(2)令b“=2”a”,记北为抄“｝的前"项和，证明：〃23时，(<〃(2角-4).

【答案】⑴4="(2)证明见解析

111

a>+-a2+-a.+-+-a„=alM-1

【详解】(1)因为

1111I

aa1

%+彳电+”3+…+一凡+---~n\=n2-

所以23n«+1++

1__%_〃+1

作差可得Tn%=--%,变形为%=(〃+1”“+2-(〃+1)%即〃+2,即

%%%：.23n+1a2_2

%。4«„+234"+2,化简为%+2”+2,

=a-1a=2

%22=〃+2

因为,所以%+2

%+1〃〃

+19%=n

因为。"+2〃+2an+2n+2

所以数列｛%｝的通项公式为%=〃.

(2)因为“=2"。"=人2’

所以7；=>2+2.22+…"2"27；=1-22+2-23+---«-2"+1

2(1-2")

作差可得一1=2+22+---+2"-H-2"+1-w.2,,+1

1-2

所以小(〃-1)2*2,

<-“(2用-4)=("-1)2向+2-〃(2向-4)=-2*4〃+2

设/(x)=-2x2*+4x+2,xN3,则/1(x)=-2x2nn2+4在给定区间上递减，又

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/,（3）=-16xln2+4<0

4

故〃x）在［3,+°°）是减函数，/（x）max=/（3）=-2+4X3+2=-2<0；

所以当时，北<"（2向-4）.

8.（2024下•广东东莞•联考）记S“是等差数列｛为｝的前〃项和，数列｛%｝是等比数列，且满足

a2—5,54=24,b2=ax—l9b5=S3+l.

⑴求数列｛为｝和也｝的通项公式;

⑵设数列｛g｝满足q=1,(C"+')S"=(3〃-2)加(〃eN*),

(i)求｛%｝的前2〃+1项的和耳+1；

2/7+1

(ii)求Z(%%+，)-

k=l

［答案］⑴4=2"+1,bn=2"''

Q2«+12〃+l?2〃+1

(产F小…)=(4〃+/+萧

【详解】（1）设等差数列｛"J的公差为"，等比数列｛"｝的公比为外

J〃］+d=5jq=3

由题知：1甸+6d=24,解得jd=2,

3

=3+(〃—1).2=2〃+1/.b2=a1—l=2,b5=S3+l=16=b2-q

所以4=2,可=1,:也=2"i；

bz=2"凡H+2)

(2)(i)2

(3«-2)-2"2"+22"

C-|-c---------------------

/.(c〃+。"+jn(n+2)=(3〃-2)2〃n"+l〃(几+2)n+2n

则7L+i=Ci+Q+q…+°2〃7=q+©+q-&+%卜…+&〃+。2小)

222622"+2*n422”+22&+i

—Id--------1--------F•••+----------=1----1------=------1

42642〃+22〃22〃+2n+1.

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2〃+12n+l2n+l

+

E（°也+,）=Z“也Ecka也=（2左+1）*T

（ii）yk=\k=\

2n+l

12w

E。也=岫+a2b2+。2〃+也〃+1=3x2°+5x2+•••+（4t+3}2

则卜=1

2«+l

2±0也=3x21+5x22+---+（4n+3）^

则一

2n+\

也=3+2x212x22…+2x221'-（4M+3）-22）,+1

故i

2,,+12,1+1

=3+2-（4H+3）-2=-1-g"+l

2n+l2M+1-1

Z«A=（4«+1）22，，+1+1Z-i

故i，又in+\

2n+l22〃+l02〃+l

£（a也+CJ=（4"+1）22叫1+-——1=kn+\忙+'+-—

故e"+1/1

题型06数列新颖题型

1.（2024下•广东大湾区•校联考模拟预测）在无穷数列｛%｝中，令［=%的…%，若V〃eN*，

1,©｛4｝,则称｛4｝对前〃项之积是封闭的.

（1）试判断：任意一个无穷等差数列｛4｝对前〃项之积是否是封闭的？

（2）设｛%｝是无穷等比数列，其首项4=2,公比为q.若｛4｝对前〃项之积是封闭的，求出乡的

两个值；

（3）证明：对任意的无穷等比数列｛%｝,总存在两个无穷数列｛£｝和｛%｝,使得

a“=〃•c”（〃eN*）,其中也｝和｛%｝对前〃项之积都是封闭的.

【答案】（1）不是（2）q=2或g

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）取数列］-g,-1,-^，-2,…卜结合题中定义验证可得出结论；

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nn

(2)由a“=a1,q"।=2q।eN),得丁=2q—5一,进而令—2(加7=^\-n，讨论①当

m=("I"时和②当m=("3+(2-〃)，分别求得Q；

22V7

f(、"-1

(3)设且，令b“=a；,c“=生,得见=4-c”(〃eN*),再利用定

JI%,

义证明也｝、｛%｝对前〃项之积都是封闭的.

【小问1详解】

解：不是的，理由如下：

如等差数列｛一,一1,一：,-2,…1,T2=axa2=—^•••1

所以不是任意一个无穷等差数列对前〃项之积是封闭的.

【小问2详解】

解：｛%｝是等比数列，其首项4=2,公比/

所以%=a/q"T=2/i(〃eN*),

«(n—1)

1+2++(,,-1)

所以7；=axa2…a“=2^-=2%丁，

由已知得，对任意正整数〃，总存在正整数加，使得北=%,成立，

即对任意正整数n，总存在正整数m,

(n-l)n

使得2nq~^~=2q'i成立，

即对任意正整数〃，总存在正整数m,使得号MMT_嗯一〃成立，

q一乙

①当冽=("+1)”21时,得如业■—(加—1)=1—〃，所以4=2；

22V7

②当相怨h+(2i)="21+4一时,得色裂_(加_1)+。—〃)=0,

且“=?

综上，q=2或］

【小问3详解】

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解：对任意的无穷等比数列｛?｝,ajad-a；.幺，

c、〃-1

令d=4‘C"=里，则％=4•%（〃eN*）,

\a\）

下面证明：｛a｝是对前〃项之积是封闭的.

因为2=a：，所以7="1+2+…+"="右—,

取正整数"="（"+1）得,Tn=bm,

2

所以也｝对前n项之积是封闭的，

同理证明：｛4｝也对前〃项之积是封闭的，

所以对任意的无穷等比数列｛a,｝，总存在两个无穷数列｛4｝和｛cn｝,

使得%=6“♦g（〃eN*）,其中也｝和｛cn｝对前〃项之积都是封闭的.

2.（2024下广东•江门一模