2024届安徽高三年级下册联考（二模）数学试题+答案

绝密★考试结束前

'2023-2024学年第二学期天域全国名校协作体联考

高三年级数学试题

考生须知：

1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4.考试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知43是全集U的非空子集，且月三。出，则（）

A.BAB.6=*/C.D.A匚B

2.我国著名数学家华罗庚先生曾说:数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分

家万事休.在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分

2x

的图象大致为（）

析函数的图象特征.则函数/（x）=2

X+1

3.已知复数z=a+e/?)>x2-()

A.20B.12C.2V5D.20

4.已知等边4ABC的边长为2,点D,E分别为AB,BC的中点，若瓦^2而，则市•万=（）

465

A.1B.-C.-D.-

554

22

5.已知耳，外是双曲线三-与=l（a>0/>0）的左、右焦点，若双曲线上存在点尸满足

ab

比•可=-2/,则双曲线离心率的最小值为（）

A.V6B.V5C.2D.V3

高三数学试题第1页（共5页）

6.在数列｛%｝中，S"为其前"项和，首项q=1,且函数/(x)=x3-%+]Sinx+(2a“+l)x+l的导函数

有唯一零点，则用=()

A.26B.63C.57D.25

2024

7.已知函数/(x)的定义域为R,且/(x+2)-2为奇函数，/(3x+l)为偶函数，/⑴=0,则工〃口=

k=\

()

A.4036B.4040C.4044D.4048

8.已知直线/:Zx+5y+C=0(Z2+3200)与曲线沙：y=》有三个交点。、E、F,且

\DE\=\EF\=2,则以下能作为直线/的方向向量的坐标是().

A.（0,1）B.（1,-1）C.（1,1）D.（1,0）

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知由样本数据(%，%)(7=1，2,3,…，10)组成的一个样本，得到回归直线方程为，=-x+3,

且嚏=4.剔除一个偏离直线较大的异常点(-5,-1)后，得到新的回归直线经过点(6,-4).则下列说

法正确的是

A.相关变量-7具有正相关关系

B.剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大

C.剔除该异常点后的回归直线方程经过点(5,-1)

D.剔除该异常点后，随x值增加相关变量〉值减小速度变小

10.在平面直角坐标系xOy中，角。以坐标原点。为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过

点M(a,6),\OM\=m[m^^,定义〃8)=*,g")="13,则()

mm

A-Wk用=1B./（。）+/（。）“

C.若噜=2,则sin2O=3

D./(e)g(e)是周期函数

g（。）5

11.如图，多面体由正四棱锥和正四面体组合而成，其中PS=1,则

下列关于该几何体叙述正确的是

3________歹s

A.该几何体的体积为正

B.该几何体为七面体/7\：';

4

C.二面角4-P5-C的余弦值为-工D.该几何体为三棱柱\L____________V

3AB

高三数学试题第2页(共5页)

非选择题部分

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43,45,45,45,49,50,50,51,51,53,57(单位mm),

现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位

数、众数的概率为.

13.已知偶函数/(x)=sin(m+°)3>0)的图像关于点［：,()］中心对称，且在区间0,£上单调,

则g=.

14.若实数x，V满足/+/=25,则,50+8x+6y+,50+8x—6.y的最大值为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知函数/(x)=lnx+3—ax,aeR

⑴若/(x)在定义域内是减函数，求。的取值范围；

(2)当时，求/(x)的极值点.

16.(15分)

据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我

国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有

限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务。由于航天

行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进

器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：

飞行距离x(kkm)5663717990102110117

损坏零件数y(个)617390105119136149163

_88

参考数据：x=86,7=112,82743,£x,2=62680

Z=1Z=1

(l)建立y关于x的回归模型j=之+A,根据所给数据及回归模型，求p关于x的回归方程()精

确到01，，精确到1)；

(2)该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其

中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%,请根据统计

数据完成2x2列联表，并根据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？

高三数学试题第3页(共5页)

保养未保东合计

报废20

未报废

合计60100

E（尤,-x）（%-y）__

附：回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为务=『——=——=y-bx,

力（X、

Z=1

2

“2n(ad-bc)」

K-----------------------，及=Q+67+C+"；

(〃+6)(。+d)(a+c)(6+d)

PH2koy0.250.10.050.0250.010.001

k,1.3232.7063.8415.0246.63510.828

17.（15分）

在三棱锥尸—48C中，必，平面48C,AB=BC=BP=2,点E在平面48C内，且满足平

面平面尸8£,BA垂直于BC。

7171

（1）当N4BEe时，求点E的轨迹长度;

83

（2）当二面角E-K4-8的余弦值为〜士时，求三棱锥E-PC8的体积.

3

18.(17分)

在平面直角坐标系X。中，椭圆水：二+4=1（。>6>0）的离心率为e,已知椭圆长轴长是短轴长

ab

的2倍，且椭圆少过点（l,e）.

（1）求椭圆彳的方程;

（2）已知平行四边形/5CQ的四个顶点均在沙上，求平行四边形/BC。的面积S的最大值.

高三数学试题第4页（共5页）

19.（17分）

对称变换在对称数学中具有重要的研究意义.

若一个平面图形K在加（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称

性，并记加为K的一个对称变换.例如，正三角形R在〃“（绕中心。作120°的旋转）的作用下仍

然与R重合（如图1图2所示），所以M是尺的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间

（123、

的对应关系，记叫=;又如，R在h（关于对称轴心所在直线的反射）的作用下仍然与

口12）

（123}

R重合（如图1图3所不）,所以/i也是R的一个对称变换，类似地，记4=.记正三角

U32J

形R的所有对称变换构成集合S.

一个非空集合G对于给定的代数运算。来说作成一个群，假如同时满足：

I.X/a,beG,a。6eG；II.\/a,b,c^G,（a%）℃=a0（6℃）；

III.G,\faeG,aoe=e°a=a；IV.\faG,3alG,a°a~l=a~loa=e.

对于一个群G,称R中的e为群G的单位元，称〃中的qT为。在群G中的逆元.

一个群G的一个非空子集X叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算。来说作成一个群.

（1）直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）；

23、,132、/213、

（2）同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如仆=

(312,、3217U32,

（23，312、，32

.对于集合S中的元素,定义一种新运算*,规则如下:

2VJ31J、21V

‘1a(7‘见a%、

23*b2a、2

,{a1,iz2,a3}={Z>1,Z>2,Zj3}={c1,%,c3}={1,2,3).

Mb2Jg

①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群;

②己知X是群G的一个子群，e,e'分别是G,笈的单位元，aeH,。工屋分别是。在群G,群〃

中的逆元.猜想e,e'之间的关系以及/i,4之间的关系，并给出证明;

③写出群S的所有子群.

图3

高三数学试题第5页（共5页）

绝密★考试结束前

2023-2024学年第二学期天域全国名校协作体联考

高三年级数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

题号12345678

答案BCDADCDC

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

题号91011

答案BCACDACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.213.114.6^/10

四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

.a...,..1a-ax1+x-a

15.(1)j(x)=Inx—uxH—(x〉0),..jr(x)=—ct———----------,

xxxx

若/(X)在定义域内是减函数，则/'(x)<0对Vxe(0,+8)恒成立，即-狈2+X—。<0恒成立,

所以”>0,A=1-4«2<0>解得.................6分

2

(2)当时，/'(x)>0,；J(x)在(0,+oo)上单调递增，二/⑴无极值点；.........8分

"l-Vl-4a21+J1-4a2、

当0<a<工时,A=l-4a2>0>令/''(x)>0,解得xe

22a2a

令/'(x)<0,解得Xe［o,，力-4a］口("力”,+J

2a2a

则/(x)在1o,匕力主］上是单调递减，在，1+力-4.］上是单调递增,在

2a2a2a

\7\7

1+上是单调递减，；.的极小值点为「I-4r,极大值点为生里.

［2«2a2a

.....................12分

高三数学参考答案第1页(共6页)

综上，当“40时，无极值点；当0＜。＜］时，/(x)的极小值点为1-1一4〃2,极大值点为

22a

1+'-4片.................13分

2a

82743-8x86x112

16.(1)由题意否二»1.6........................3分

62680-8x86?

a=y-bx-26.......................6分

故)关于x的线性回归方程为y=1.6x-26...........................................7分

(2)设零假设为外：是否报废与是否保养无关

由题意，报废推进器中保养过的共20x30%=6台，未保养的推进器共20-6=14台.

补充2x2列联表如下:

保养未保养合计

报废61420

未报废542680

合计6040100

..........................11分

则100x(6x26-I4X54)；9.375>6.635

...................................14分

20x40x60x80

根于小概率值a=0.01的独立性检验，我们推断为不成立，即认为是否报废与是否保养有关，此推断

的错误的概率不大于0.01............................................15分

17.(1)作BHLPE交PE于H,因为平面PAE1平面PBE,且平面PAEc平面PBE=PE,所以BH工

平面尸NE,又因为/£u平面尸所以因为P8_L平面4BC,且NEu平面4BC,所

以可，/E,因为PB1AE,PB、BHu平面PBE,PBCBH=B,所以平面PBE,

又因为BEu平面P8E,所以/ELBE...........................................3分

分别以直线BA,BC,BP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，

高三数学参考答案第2页(共6页)

则5（0,0,0）,P（0,0,2）,C（0,2,0）,42,0,°

设E（x,y,0），因为/ELBE,所以存.砺=0,AE=（x-2,y,0）,BE=（x,y,0），

所以（x-2）・x+y・y=0,即（x-1）?+>2=i...........................................

设48中点为N,则N。,。），

如图：

又N4BE』工巴],所以//NE生],

[83」[43」

因此，E的轨迹为圆弧其长度为（年―弓）x1

（2）由（1）知，可设E（x,y,0）,⑸=，（2,0,-2）,赤=（x-2,y,0）,

设平面PAE的一个法向量为亢=（。，①。），

则产？=0,即2c=0,令口一则6=2—x,c=y,n=（y,2-x,y}

n-AE=Q,\a{x-2）+by=Q10分

BC=（0,2,0）为平面P/3的一个法向量，令二面角E—K4—8为角，

n,BCx200八I、—2|­y/^

cosff=\-\，因为（x—1）+y=1所以cos6=i-=—

MBC-^/（x-2）2+2y2V4-x23

高三数学参考答案第3页（共6页）

解得x=2,y=0（舍去）或》=1/=±1则£（1,1,0）,或£（1,一1,0）13分

从而可得三棱锥E-PCB的体积

11cc,2

VE-PCB一x—x2x2xl=—..15分

323

18.（1）由题意知1e21c2b2+c2

r------1---------=1,

ab2a2a2b2a2b2F

解得6=1,所以。=2；

2

所以椭圆沙的方程为土+y2=1；4分

4

（2）①若直线的斜率存在，设N3的方程为>=&+%,/（再,％）,B（x2,y2）,

因为*CD,故可设CD方程设为〉=丘+%,

y—kx+mx

由＜尤2得（1+4斤2）》2+8上丐x+4机:-4=0,

—+y2=1

14

8kml

X]+%=一

1+4左2

贝l]A=8（2后2—4+1）＞0且....................7分

4m.2-4

中2=二以

22

所以|1=yl\+kJ（xl+x2）-4xlx2=J1+左2——口——

l+4k2

同理ICWE7,[fl，....................9分

因为|4B|=|CD|,所以加；=武，因为“。加2，所以吗+加2=0.......................n分

Ivyi—IY]II2wI

设两平行线8间的距离为d,则八1+黄,因为啊+加2=。，所以

4左之一加；+1+w

k~一屁+14M34i；+l）M

所以S=|/a0=42

1+4F-何L-i74p＜8=4

1+4左2

所以当4左2+1=2喏时，ABCD的面积S取得最大值为4.....................14分

②若直线的斜率不存在，此时平行四边形48co为矩形，设次国,必），易知S=4|x）]|,

又1=/+升22污U=|xj",所以S<4,当且仅当％=%时取等；...............16分

综上所述：/BCD的面积S的最大值为4.............17分

19.解析：（1）由题设可知，正三角形R的对称变换如下：绕中心。作120°的旋转变换

高三数学参考答案第4页（共6页）

(123、勺23、

ml=；绕中心。作240°的旋转变换加2=；绕中心。作360°的旋转变换

、312,<231

(123(123

m3二；关于对称轴心所在直线的反射变换4=关于对称轴及所在直线的反

J237J327

423、(123

射变换4；关于对称轴-3所在直线的反射变换4

、32d137

Y123(123、(\23)023)023、（1231

综上，s=<31》.（形式不唯

12J31JU23凡32乂321

一）3分

b2a、b24、。3、

a2a2%、

(2)®Z.V€S,*GS；

b

2A八qC2C3)°2A><ciC2C3)<ci)

、

&a2生)(Ab3C2。3

〃.V2G5,

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