等比数列的概念第2课时 高二上学期人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1

等比数列的概念第2课时

等比数列的性质及其应用人教A版选择性必修二在前面的学习中，我们类比等差数列，得到等比数列的概念和通项公式，你能准确写出等比数列的通项公式吗？复习回顾

例1用10000元购买某个理财产品一年.（1）若以月利率0.4％的复利利息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度

利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的

利息（精确到10-5）？应用探究例1用10000元购买某个理财产品一年.（1）若以月利率0.4％的复利利息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.存入：a元，第1期末：a+ar=a(1+r)，第2期末：a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2

元，第3期末：a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3

元，···

···每一期的本金与利息和构成等比数列.这个等比数列的首项是a(1+r)，公比是(1+r).可得通项公式为an=a(1+r)(1+r)n

-1=a(1+r)n

.应用探究解：

(1)设这笔钱存n个月以后的本金利息和组成一个数列{an

}，则{an

}是等比数列，首项a1=104(1+0.4％)，公比q=1+0.4%,所以a12=a1q11=104(1+0.4％)12≈491（元）.分析：实际问题

数学问题“

用10000元购买某个理财产品”本金a=10000“

月利率0.4%

r=0.4%12个月能获得的本金利息和a12“12个月能获得的利息”a12-a应用探究数学问题设为r，公比是(1+r)b4b4

-ab4

-a≥a12-a“季度利息”存4个季度的本金利息和“存4个季度结算的利息”“按季结算的利息不少于按月结算的利息”例1用10000元购买某个理财产品一年.（1）若以月利率0.4％的复利利息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度

利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的

利息（精确到10-5）？应用探究解：

(2)设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本金利息和组成一个数列{bn

}，则{bn

}也是一个等比数列.首项b1=104(1+r)，公比1+r，于是b4=104(1+r)4

.因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为[104(1+r)4

-104]元.解不等式104(1+r)4

-104

≥491，得r≥1.206%所以，当季度利率不小于1.206％时，按季结算得利息不少于按月结算得利息.应用探究用数学模

型解释现

实生活中

的种种现

象和规律确定“本金

”、“利率

”、“本利和

”、

“利息

”对应的数学式子对实际问题抽象、简化

梳理出变量之间的关系

将复利问题转化为相应的等比数列模型

用数学方法解决实际问题

应用探究

应用探究

不可以，需要满足定义中的任意项.需要通过等差数列等比数列的定义出发证明.思考1：如何证明数列是等比数列、等差数列？应用探究例2

已知数列{an

}的首项.（1）若{an

}为等差数列，公差d=2

，证明数列{

}为

等比数列；应用探究证明：（1）由a1=3

，d=2

，{an

}的通项公式为an=2n+1.设bn==32n+1，则

，又b1=33=27，所以数列{bn}是以27为首项，9为公比的等比数列.证明：（2）由a1=3

，q=，{an

}的通项公式为.两边同时取以3为底的对数，得log3an=log333-2n=3-2n.所以log3an-log3an=[3-2(n+1)]-(3-2n)=-2.又log3a1=log33=1，所以数列{log3an

}是以1为首项，-2为公差的等差数列.例2

已知数列{an

}的首项.（2）若

{an

}为等

比数列

，

公

比q=

，证

明数列{log3an

}为等差数列.应用探究思考3：已知b>0且b≠1，如果数列{an

}是等差数列，那么数列{

}是否一定是等比数列？如果数列{an

}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban

}是否一定是等差数列？一般特殊应用探究思考3：已知b>0且b≠1，如果数列{an

}是等差数列，那么数列{

}是否一定是等比数列？应用探究证明：设等差数列{an

}首项为a1

，公差为d，则

，所以数列{}是以

为首项，

为公比的等比数列.证明：设各项为正的等比数列{an

}首项为a1

，公比为q，则

，所以数列{logban

}是以logba1

为首项，logbq为公差的等差数列.思考3：如果数列{an

}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban

}是否一定是是等差数列？应用探究

各项均为正的等比数列{an

}

，

{logban

}是等差数列，m+n=s+t(m,n,s,t=N*)，则logbam

+logban

=logbas

+logbat，即有logbam

an

=logbasat，于是得到am

an

=asat.类比等差数列的性质，能否得到等比数列的性质？等差数列{an

}中，已知m+n=s+t(m,n,s,t=N*)，则am

+an

=as

+at

.应用探究

类比等差数列的性质，能否得到等比数列的性质？等差数列{an

}中，已知m+n=s+t(m,n,s,t=N*)，则am

+an

=as

+at

.应用探究等比数列{an

}中，已知m+n=s+t(m,n,s,t=N*)，则am•

an

=as•

at

.思考：一般等比数列中是否也有类似结论？证明：设等比数列{an

}首项为a1

，公比为q，则am

=a1qm

-1

，am

=a1qn

-1

，as

=a1qs

-1

，at

=a1qt

-1，所以aman

=(a1qm

-1)(a1qn

-1)=a12qm+n

-2，

asat

=(a1