湖南省宁乡市2024年高一数学第二学期期末综合测试试题含解析

湖南省宁乡市2024年高一数学第二学期期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若经过两点、的直线的倾斜角为，则等于（）A． B． C． D．2．在平面直角坐标系中，已知点，点，直线:.如果对任意的点到直线的距离均为定值，则点关于直线的对称点的坐标为（）A． B． C． D．3．设全集，集合，，则（）A． B． C． D．4．已知数列的前项和为，且，，则()A．127 B．129 C．255 D．2575．直线（，）过点(-1,-1),则的最小值为()A．9 B．1 C．4 D．106．已知函数，且的图象向左平移个单位后所得的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（）A． B． C． D．7．已知数列的前4项依次为，1，，，则该数列的一个通项公式可以是（）A． B．C． D．8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A． B． C． D．9．设函数（为常实数）在区间上的最小值为，则的值等于（）A．4 B．-6 C．-3 D．-410．在中，内角所对的边分别为，若，且，则的形状是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．不确定二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知直线l过定点,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线l的方程为______.12．若三角形ABC的三个角A，B，C成等差数列，a，b，c分别为角A，B，C的对边，三角形ABC的面积，则b的最小值是________．13．已知扇形的圆心角，扇形的面积为，则该扇形的弧长的值是______.14．382与1337的最大公约数是__________.15．已知正四棱锥的底面边长为，高为，则该四棱锥的侧面积是______________16．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在三棱柱中，是边长为4的正三角形，侧面是矩形，分别是线段的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，，求三棱锥的体积.18．如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）求证：PB//平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）当为何值时，PB⊥AC？19．在平面直角坐标系中，已知曲线的方程是（，）．（1）当，时，求曲线围成的区域的面积；（2）若直线：与曲线交于轴上方的两点，，且，求点到直线距离的最小值．20．已知，，与的夹角是（1）计算：①，②；（2）当为何值时，与垂直？21．五一放假期间高速公路免费是让实惠给老百姓，但也容易造成交通堵塞.在某高速公路上的某时间段内车流量(单位:千辆/小时)与汽车的平均速度(单位:千米/小时)之间满足的函数关系（为常数），当汽车的平均速度为千米/小时时，车流量为千辆/小时.（1）在该时间段内，当汽车的平均速度为多少时车流量达到最大值？（2）为保证在该时间段内车流量至少为千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

由直线的倾斜角得知直线的斜率为，再利用斜率公式可求出的值.【详解】由于直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，由斜率公式得，解得，故选D.【点睛】本题考查利用斜率公式求参数，同时也涉及了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.2、B【解析】

利用点到直线的距离公式表示出，由对任意的点到直线的距离均为定值，从而可得，求得直线的方程，再利用点关于直线对称的性质即可得到对称点的坐标。【详解】由点到直线的距离公式可得：点到直线的距离由于对任意的点到直线的距离均为定值，所以，即，所以直线的方程为：设点关于直线的对称点的坐标为故，解得：，所以设点关于直线的对称点的坐标为故答案选B【点睛】本题主要考查点关于直线对称的对称点的求法，涉及点到直线的距离，两直线垂直斜率的关系，中点公式等知识点，考查学生基本的计算能力，属于中档题。3、D【解析】

先求得集合的补集，然后求其与集合的交集，由此得出正确选项.【详解】依题意，所以，故选D.【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.4、C【解析】

利用迭代关系，得到另一等式，相减求出，判断数列是否为等比数列，利用等比数列求和公式可得.【详解】因为，，所以，相减得，，，又，所以，，所以数列是等比数列，所以，故选C.【点睛】本题考查等比数列的求和，数列通项公式的求法，考查计算求解能力，属于中档题.5、A【解析】

将点的坐标代入直线方程：，再利用乘1法求最值【详解】将点的坐标代入直线方程：，，当且仅当时取等号【点睛】已知和为定值，求倒数和的最小值，利用乘1法求最值。6、C【解析】

由函数图像的平移变换得的图象向左平移个单位，得到，再结合三角函数的性质运算即可得解.【详解】解：，将的图象向左平移个单位，得到，因为平移后图象关于对称，所以，可得，，，，因为，所以的最小值为，故选C.【点睛】本题考查了函数图像的平移变换及三角函数的性质，属基础题.7、A【解析】

根据各选择项求出数列的首项，第二项，用排除法确定．【详解】可用排除法，由数列项的正负可排除B,D，再看项的绝对值，在C中不合题意，排除C，只有A.可选．故选：A.【点睛】本题考查数列的通项公式，已知数列的前几项，选择一个通项公式，比较方便，可以利用通项公式求出数列的前几项，把不合的排除即得．8、C【解析】

根据三视图还原直观图，根据长度关系计算表面积得到答案.【详解】根据三视图还原直观图，如图所示：几何体的表面积为：故答案选C【点睛】本题考查了三视图，将三视图转化为直观图是解题的关键.9、D【解析】试题分析：，，，当时，，故.考点：1、三角恒等变换；2、三角函数的性质.10、C【解析】

通过正弦定理可得可得三角形为等腰，再由可知三角形是直角，于是得到答案.【详解】因为，所以，所以，即.因为，所以，又因为，所以，所以，故的形状是等腰直角三角形.【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度中等.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、或.【解析】

设直线的方程为，利用已知列出方程，①和②，解方程即可求出直线方程【详解】设直线的方程为.因为点在直线上，所以①.因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,所以②.由①②可知或解得或故直线的方程为或，即或.【点睛】本题考查截距式方程和直线与坐标轴形成的三角形面积问题，属于基础题12、【解析】

先求出，再根据面积得到，再利用余弦定理和基本不等式得解.【详解】由题得,所以.由余弦定理得，当且仅当时取等.所以b的最小值是.故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13、【解析】

先结合求出，再由求解即可【详解】由，则故答案为：【点睛】本题考查扇形的弧长和面积公式的使用，属于基础题14、191【解析】

利用辗转相除法，求382与1337的最大公约数.【详解】因为，，所以382与1337的最大公约数为191，故填：.【点睛】本题考查利用辗转相除法求两个正整数的最大公因数，属于容易题.15、【解析】四棱锥的侧面积是16、【解析】以A,B,C为圆心,以1为半径作圆,与△ABC交出三个扇形,当P落在其内时符合要求,∴P==.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】

（1）取中点为，连接，由中位线定理证得，即证得平行四边形，于是有，这样就证得线面平行；（2）由等体积法变换后可计算．【详解】证明：（1）取中点为，连接，是平行四边形，平面，平面，∴平面解：（2）是线段中点，则【点睛】本题考查线面平行的判定，考查棱锥的体积．线面平行的证明关键是找到线线平行，而棱锥的体积常常用等积变换，转化顶点与底．18、（1）见解析；（2）见解析【解析】

1）连结BD交AC于O，连结EO,由EO//PB可证PB//平面EA．（2）由侧面PAD⊥底面ABCD，，可证，又PAD是正三角形，所以AE⊥平面PCD．（3）设N为AD中点，连接PN，则，可证PN⊥底面ABCD，所以要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，由相似三角形可求得比值．【详解】（1）连结BD交AC于O，连结EO,因为O，E分别为BD.PD的中点,所以EO//PB,,所以PB//平面EAC．（2）正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，，又，所以，AE⊥平面PCD．（3）设N为AD中点，连接PN，则．又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．所以，NB为PB在面ABCD上的射影．要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，设AD＝1，AB＝x,由,得∽，解之得：,所以，当时，PB⊥AC．【点睛】本题综合考查线面平行的判定，线面垂直的判定，及探索性问题找异面直线垂直，第三问难度较大，需要把异面直线垂直转化为射影垂直，即共面垂直问题．19、(1)4；(2)．【解析】

（1）当，时，曲线的方程是，对绝对值内的数进行讨论，得到四条直线围成一个菱形，并求出面积为4；（2）对进行讨论，化简曲线方程，并与直线方程联立，求出点的坐标，由得到的关系，再利用点到直线的距离公式求出，从而求得.【详解】（1）当，时，曲线的方程是，当时，，当时，，当时，方程等价于，当时，方程等价于，当时，方程等价于，当时，方程等价于，曲线围成的区域为菱形，其面积为；（2）当，时，有，联立直线可得，当，时，有，联立直线可得，由可得，即有，化为，点到直线距离，由题意可得，，，即，可得，，可得当，即时，点到直线距离取得最小值．【点睛】解析几何的思想方法是坐标法，通过代数运算解决几何问题，本题对运算能力的要求是比较高的.20、（1）①；②；（2）.【解析】

利用数量积的定义求解出的值；（1）将所求模长平方，从而得到关于模长和数量积的式子，代入求得模长的平方，再开平方得到结果；（2）向量互相垂直得到数量积等于零，由此建立方程，解方程求得结果.【详解】由已知得：（1）①②（2）若与垂直，则即：，解得：【点睛】本题考查利用数量积求解向量的模长、利用数量积与向量垂直的关系求解参数的问题.求解向量的模长关键是能够通过平方运算将问