2022-2023学年陕西省汉中市镇巴县高二下学期期末理科数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省汉中市镇巴县2022-2023学年高二下学期期末理科数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将〖答案〗答在答题卡上.选择题每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本试卷主要命题范围：高考范围.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，解得，所以，故.故选：A.2.复数，则（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗，故，则.故选:B.3.已知，则是的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由，则或，故由推不出，可推出，故是的必要不充分条件.故选：A.4.已知锐角满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为为锐角，所以，又，所以，所以.故选：D.5.如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、、，，，所以，，因此，异面直线和所成角的余弦值为.故选：A.6.如图所示为函数的图象，则的〖解析〗式可能是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由图知在处有定义，排除；对C，由图象知为奇函数，而排除；对于，当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，与图象所体现的几何直观不符，排除B；对于D，易知为奇函数，且当趋近于正无穷时，趋近于0，符合图象所体现的几何直观.故选：D.7.著名数学家欧几里得著的《几何原本》中记载：任何一个大于1的整数要么是一个素数，要么可以写成一系列素数的积，例如.对于，其中均是素数，则从中任选3个数，可以组成不同三位数的个数为（）A.32 B.36 C.42 D.60〖答案〗C〖解析〗，从中任选3个数组成三位数，可以分为两类：第一类，三个数互不相同，共有个；第二类，含有2个2或2个3，共有个，所以一共有42个.故选：.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，过作垂直于轴的直线，在第二象限分别交及圆于点，若为的中点，为的上顶点，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示，由题意知，则直线的方程为，因为A、B两点位于第二象限，所以，则，，则，又因为A为的中点，所以，所以，又因为，所以，所以在△中，，，，所以，所以.故选：C.9.已知函数在上单调递减，且，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数，当时，，因为函数在上单调递减，则，其中，所以，，其中，解得，所以，，解得，又因为且，则，所以，，因为，，即，所以，，解得，因此，.故选：D.10.设，是双曲线的左、右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗，点到渐近线的距离为，即，在中，，在中，由余弦定理得，即，所以，所以，所以.故选：B.11.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗令，则，所以在上单调递增，所以，又因为，所以.故选：B.12.在长方体中，，，，分别是，的中点，则下列结论错误的是（）A. B.与平面相交C.与平面所成角的余弦值为 D.〖答案〗C〖解析〗取中点P，连接，则四边形为平行四边形，则，，则四边形为平行四边形，则，选项A：由平面，平面，可得，四边形是正方形，则，则，又，则平面，又平面，则.判断正确；选项B：由，则四边形为平行四边形，则，又，则，由平面，平面，可得与平面相交，则与平面相交.判断正确；选项C：连接，由平面可得，为与平面所成角，又，则.则与平面所成角的余弦值为.判断错误；选项D：由平面，平面，可得，由四边形是正方形，可得，又，则平面，又平面，则.判断正确.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知是两个互相垂直的单位向量，若，则__________.〖答案〗〖解析〗由题意知，，，所以，，所以.故〖答案〗为：.14.已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由，知且满足该条件；又当时，，可得，故可以为.故〖答案〗为：.15.在正四棱锥中，底面正方形的边长为2，侧棱长为，则正四棱锥的外接球的体积为__________.〖答案〗〖解析〗如图，连接交于点，连接，因为是正四棱锥，则平面，所以正四棱锥的外接球球心在上.连接，设球的半径为，则.在Rt中，(注意O在SM上)，即，解得，所以正四棱锥的外接球的体积为.故〖答案〗为：.16.在中，内角、、的对边分别是、、，且，则______；若的角平分线与边交于点，且，则______.〖答案〗〖解析〗因为，则，，由正弦定理可得，因为，则，整理可得，所以，，因为，则，因为，即，所以，，因此，.故〖答案〗为：；.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列的前项和为（为常数）.（1）若，求的通项公式；（2）若，设数列的前项和为，求证：.（）（1）解：当时，，得，又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，所以，即.（2）证明：当时，，则，所以是首项为1，公差为4的等差数列，所以，所以，所以当时，，当时，，当时，，综上，.18.如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，平面平面为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.（1）证明：连接交于点，连接，则为的中点，因为为的中点，所以，又平面平面，所以平面.（2）解：取的中点，连接，因为，所以，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以.因为为的中点，所以，所以两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，所以.设平面的一个法向量，则即令，解得，故，而是平面的一个法向量，所以，设二面角的大小为，则.19.我国综合性太阳探测专用卫星“夸父一号”最新一批科学图像于2022年12月13日在京发布，其中多幅图像质量达到国际领先水平，验证了“夸父一号”三台有效载荷的观测能力和先进性，“夸父一号”是中国科学院空间科学二期先导专项研制的一颗空间科学卫星，于2022年10月9日成功发射，卫星以“一磁两暴”为科学目标，即同时观测太阳磁场和太阳上两类最剧烈的爆发现象——耀斑和日冕物质抛射，研究它们的形成、演化、相互作用和彼此关联，同时为空间天气预报提供支持、某学校为了解该校某兴趣小组对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣，对该兴趣小组的100位学生进行了问卷调查，已知被调查学生中男生占调查人数的55%，其中感兴趣的有40人，余下的不感兴趣，在被调查的女生中，感兴趣的有20人，其余人不感兴趣.（1）请补充完整列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关联？感兴趣不感兴趣合计男生女生合计（2）从兴趣小组100人中任选1人，表示事件“选到的人是男生”，表示事件“选到的人对“夸父一号”探测卫星相关知识不感兴趣”，求；（3）按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法从感兴趣的学生中抽取容量为6的样本，再从抽取的6人中随机抽取2人，随机变量表示2人中女生的人数，求的分布列和数学期望.附：参考公式：，其中.临界值表：0.150.100.050.010.0052.0722.7063.8416.6357.879解：（1）调查的男生人数为（人），调查的女生人数为（人），所以列联表如下所示：感兴趣不感兴趣合计男生401555女生202545合计6040100零假设为：对“夸父一号”卫星相关知识感兴趣与学生的性别无关联.根据列联表中的数据，经计算得，所以根据小概率值的独立检验，推断不成立，即认为对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣与学生的性别有关联，此时推断犯错误的概率不大于.（2）依题意，，所求概率为，或者.（3）按比例分配的分层随机抽样的方法抽取的男生数为人，女生人数为人，所以的可能取值为，，，所以，所以的分布列为012所以.20.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，证明：.（1）解：当时，，则，所以，故所求的切线方程为，即.（2）证明：要证，即证.先证.设，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，也是的最小值点，且，所以，即成立.再证.设，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，也是的最小值点，且，所以.综上，成立21.在平面直角坐标系中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线经过点.（1）求的方程；（2）若关于轴对称，焦点为，过点且与轴不垂直的直线交于两点，直线交于另一点，直线交于另一点，求证：直线过定点.（1）解：若的焦点在轴上，设抛物线的方程为，将点代入，得，解得，故的方程为；若的焦点在轴上，设抛物线的方程为，将点代入，得，解得，故的方程为，综上，的方程为或.（2）证明：由（1）知抛物线的方程为.若直线不过点，如图，设，由题意可知直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率，所以直线的方程为，即，同理直线的方程分别为，由直线过定点，可得，由直线过焦点，可得，直线的方程为，由，得，所以，即，又因为，所以.令解得故直线恒过定点.若直线过点，直线即为直线，其方程为，即，显然直线过点.综上，直线过定点.（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所写的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）设、是上的两点，且，，求的面积.解：（1）对于曲线的参数方程（为参数），，解得，则，，所以，，即，所以，曲线表示圆的上半圆，化为极坐标方程即为，即，其中.（2）设点、的极坐标分别为、，则，解得，则，，所以，所以，，因为，则，所以，，可得，所以，，，则，因此，.选修4-5：不等式选讲23.已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围．解：（1）当时，，当时，则，解得，即，当时，则恒成立，即，当时，则，解得，即，综上所述，原不等式的解集为．（2）因为，所以，即或，解得或，故a的取值范围为．陕西省汉中市镇巴县2022-2023学年高二下学期期末理科数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将〖答案〗答在答题卡上.选择题每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本试卷主要命题范围：高考范围.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，解得，所以，故.故选：A.2.复数，则（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗，故，则.故选:B.3.已知，则是的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由，则或，故由推不出，可推出，故是的必要不充分条件.故选：A.4.已知锐角满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为为锐角，所以，又，所以，所以.故选：D.5.如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、、，，，所以，，因此，异面直线和所成角的余弦值为.故选：A.6.如图所示为函数的图象，则的〖解析〗式可能是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由图知在处有定义，排除；对C，由图象知为奇函数，而排除；对于，当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，与图象所体现的几何直观不符，排除B；对于D，易知为奇函数，且当趋近于正无穷时，趋近于0，符合图象所体现的几何直观.故选：D.7.著名数学家欧几里得著的《几何原本》中记载：任何一个大于1的整数要么是一个素数，要么可以写成一系列素数的积，例如.对于，其中均是素数，则从中任选3个数，可以组成不同三位数的个数为（）A.32 B.36 C.42 D.60〖答案〗C〖解析〗，从中任选3个数组成三位数，可以分为两类：第一类，三个数互不相同，共有个；第二类，含有2个2或2个3，共有个，所以一共有42个.故选：.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，过作垂直于轴的直线，在第二象限分别交及圆于点，若为的中点，为的上顶点，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示，由题意知，则直线的方程为，因为A、B两点位于第二象限，所以，则，，则，又因为A为的中点，所以，所以，又因为，所以，所以在△中，，，，所以，所以.故选：C.9.已知函数在上单调递减，且，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数，当时，，因为函数在上单调递减，则，其中，所以，，其中，解得，所以，，解得，又因为且，则，所以，，因为，，即，所以，，解得，因此，.故选：D.10.设，是双曲线的左、右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗，点到渐近线的距离为，即，在中，，在中，由余弦定理得，即，所以，所以，所以.故选：B.11.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗令，则，所以在上单调递增，所以，又因为，所以.故选：B.12.在长方体中，，，，分别是，的中点，则下列结论错误的是（）A. B.与平面相交C.与平面所成角的余弦值为 D.〖答案〗C〖解析〗取中点P，连接，则四边形为平行四边形，则，，则四边形为平行四边形，则，选项A：由平面，平面，可得，四边形是正方形，则，则，又，则平面，又平面，则.判断正确；选项B：由，则四边形为平行四边形，则，又，则，由平面，平面，可得与平面相交，则与平面相交.判断正确；选项C：连接，由平面可得，为与平面所成角，又，则.则与平面所成角的余弦值为.判断错误；选项D：由平面，平面，可得，由四边形是正方形，可得，又，则平面，又平面，则.判断正确.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知是两个互相垂直的单位向量，若，则__________.〖答案〗〖解析〗由题意知，，，所以，，所以.故〖答案〗为：.14.已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由，知且满足该条件；又当时，，可得，故可以为.故〖答案〗为：.15.在正四棱锥中，底面正方形的边长为2，侧棱长为，则正四棱锥的外接球的体积为__________.〖答案〗〖解析〗如图，连接交于点，连接，因为是正四棱锥，则平面，所以正四棱锥的外接球球心在上.连接，设球的半径为，则.在Rt中，(注意O在SM上)，即，解得，所以正四棱锥的外接球的体积为.故〖答案〗为：.16.在中，内角、、的对边分别是、、，且，则______；若的角平分线与边交于点，且，则______.〖答案〗〖解析〗因为，则，，由正弦定理可得，因为，则，整理可得，所以，，因为，则，因为，即，所以，，因此，.故〖答案〗为：；.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列的前项和为（为常数）.（1）若，求的通项公式；（2）若，设数列的前项和为，求证：.（）（1）解：当时，，得，又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，所以，即.（2）证明：当时，，则，所以是首项为1，公差为4的等差数列，所以，所以，所以当时，，当时，，当时，，综上，.18.如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，平面平面为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.（1）证明：连接交于点，连接，则为的中点，因为为的中点，所以，又平面平面，所以平面.（2）解：取的中点，连接，因为，所以，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以.因为为的中点，所以，所以两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，所以.设平面的一个法向量，则即令，解得，故，而是平面的一个法向量，所以，设二面角的大小为，则.19.我国综合性太阳探测专用卫星“夸父一号”最新一批科学图像于2022年12月13日在京发布，其中多幅图像质量达到国际领先水平，验证了“夸父一号”三台有效载荷的观测能力和先进性，“夸父一号”是中国科学院空间科学二期先导专项研制的一颗空间科学卫星，于2022年10月9日成功发射，卫星以“一磁两暴”为科学目标，即同时观测太阳磁场和太阳上两类最剧烈的爆发现象——耀斑和日冕物质抛射，研究它们的形成、演化、相互作用和彼此关联，同时为空间天气预报提供支持、某学校为了解该校某兴趣小组对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣，对该兴趣小组的100位学生进行了问卷调查，已知被调查学生中男生占调查人数的55%，其中感兴趣的有40人，余下的不感兴趣，在被调查的女生中，感兴趣的有20人，其余人不感兴趣.（1）请补充完整列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关联？感兴趣不感兴趣合计男生女生合计（2）从兴趣小组100人中任选1人，表示事件“选到的人是男生”，表示事件“选到的人对“夸父一号”探测卫星相关知识不感兴趣”，求；（3）按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法从感兴趣的学生中抽取容量为6的样本，再从抽取的6人中随机抽取2人，随机变量表示2人中女生的人数，求的分布列和数学期望.附：参考公式：，其中.临界值表：0.150.100.050.010.0052.0722.7063.8416.6357.879解：（1）调查的男生人数为（人），调查的女生人数为（人），所以列联表如下所示：感兴趣不感兴趣合计男生401555女生202545合计6040100零假设为：对“夸父一号”卫星相关知识感兴趣与学生的性别无关联.根据列联表中的数据，经计算得，所以根据小概率值的独立检验，推断不成立，即认为对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣与学生的性别有关联，此时推断犯错误的概率不大于.（2）依题意，，所求概率为，或者.（3）按比例分配的分层随机抽样的方法抽取的男生数为人，女生人数为人，所以的可能取值为，，，所以