2022-2023学年河南省洛阳市创新发展联盟高一下学期月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省洛阳市创新发展联盟2022-2023学年高一下学期月考数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将答穼写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.六一儿童节，某商场计划从8位男员工､16位女员工中选调6人加强前台服务工作，若按照性别进行分层随机抽样，则应抽取的女员工人数为（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗A〖解析〗应抽取的女员工人数为.故选：A.2.若的面积等于，则（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗，故，，即.故选：B.3.如图，在矩形中，，用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图为四边形，则四边形的周长为（）A.10 B.8 C.7 D.5〖答案〗C〖解析〗用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图，由斜二测画法，四边形是平行四边形，，所以四边形的周长为．故选：C.4.某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲､乙都中奖”，则与互为对立事件的是（）A.甲､乙恰有一人中奖 B.甲､乙都没中奖C.甲､乙至少有一人中奖 D.甲､乙至多有一人中奖〖答案〗D〖解析〗“甲、乙恰有一人中奖”与互斥但不对立，故A错误；“甲、乙都没中奖”与互斥但不对立，故B错误；“甲、乙至少有一人中奖”与不互斥，故C错误；“甲、乙至多有一人中奖”与互斥且对立，故D正确．故选：D.5.关于空间中两条不同的直线与两个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗D〖解析〗若，则m，n可能平行、异面或相交，A错误；若，则，B错误；若，则的关系可能是或相交，C错误；，则，又，则，D正确．故选：D.6.已知点在的内部，分别为边的中点，且，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗B〖解析〗由题意得，所以．故选：B.7.已知集合，且，则关于的方程无实数根或的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，则取值的样本空间为，共25个样本点．关于的方程有实数根时，，得，“方程有实数根且”对应的事件为，含有3个样本点，所以所求的概率为．故选：C.8.洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东周､东汉､魏､西晋､北魏､隋､唐､后梁､后唐9个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑，九条龙盘旋的大石柱的顶端，端放着一座按1：1比例仿制的中国青铜时代的象征——西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧分别镶嵌着两幅《太极河图》.如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎底在同一平面内的两个测量基点与，现测得，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，则九龙鼎的高度（）（参考数据：取）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，由题意可得，由题意知：，在中，由余弦定理可得，得：，得：.故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，则（）A.的虚部为5 B.为纯虚数C.为实数 D.在复平面内对应的点位于第二象限〖答案〗BC〖解析〗由题意得，所以的虚部为，故A错误；为纯虚数，故B正确；为实数，故C正确；在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误．故选：BC.10.若向量满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由题意得，得，所以，故A正确；由，得，故B正确；因为，所以不垂直于，故C错误；，故D正确．故选：ABD.11.2018年至2022年全国快递业务量及其年增长速度如图所示，则（）A.2018年至2022年全国快递业务量逐年增长B.2018年至2022年全国快递业务量的年增长速度的分位数为C.2018年至2022年全国快递业务量的年增长速度的分位数为D.2017年全国快递业务量小于400亿件〖答案〗AC〖解析〗对选项A：2018年至2022年全国快递业务量逐年增长，正确；对选项B：，故分位数为，错误；对选项C：，故分位数为，正确；对选项D：2017年全国快递业务量为，错误；故选：AC12.如图，在正方体中，，点为线段上的一动点，则（）A.三棱锥的体积为定值B.当时，直线与平面所成角的正切值为C.直线与直线所成角的余弦值可能为D.的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，根据等体积法可知，点在线段上运动时，的面积为定值，，此时即为三棱锥的高，所以；即点在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，即A正确；对于B，当时即可知，为线段的中点，取的中点为，连接，如下图所示：易知，由正方体性质可得平面，所以可得平面；即直线与平面所成角的平面角即为，易知，且，所以，所以B错误；对于C，在上取一点，使，取中点为，连接，如下图所示：则可得，异面直线与直线所成的角的平面角即为，易知，所以可得，因此，若直线与直线所成角的余弦值为，即，可得；又，可得符合题意；所以C正确；对于D，易知，所以，即当取最小时，的值最小；将正方体展开使得在同一平面内，如下图所示：易知，当且仅当三点共线时，取最小值，所以，即的最小值为，所以D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.13.已知，则__________.〖答案〗〖解析〗设，则，所以，所以，则，，所以.故〖答案〗为：14.已知数据的极差为6，平均数小于4，请写出一个满足条件的的值：__________.〖答案〗2（〖答案〗不唯一，满足即可）〖解析〗因为，所以．又由，得，所以．故〖答案〗为：2（〖答案〗不唯一，满足即可）.15.的内角的对边分别为，则__________，__________.〖答案〗①.4②.〖解析〗由正弦定理得，得．由余弦定理得，得．故〖答案〗为：4，.16.在正四棱柱中，分别为和的中点，则三棱锥外接球的表面积为__________.〖答案〗〖解析〗如图，取为中点，连接EM，EB，EN，则四边形EBCN为矩形，故E，B，C，N四点共圆，又，所以，即直角三角形，又平面EMB，所以三棱锥外接球的球心即四边形EBCN的外心，即中点为球心，设三棱锥的外接球半径为，因为，所以，，即所求外接球的表面积．故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知为抛物线的顶点，点与关于原点对称.（1）求线段的中点坐标；（2）求向量在上的投影向量的坐标.解：（1）由，得，则，所以线段AC的中点坐标为，即．（2）由（1）得，所以向量在上的投影向量的坐标为．18.如图，在直角梯形中，为的中点，将沿着翻折，使与点重合，且.（1）证明：平面.（2）作出二面角的平面角，并求其大小.（1）证明：，且，故四边形为平行四边形，故，平面，且平面，故平面.（2）解：如图所示：是中点，连接，，，则，，故，即，故，平面平面，平面，平面，故为二面角的平面角，，，故.故二面角的平面角为.19.河南省地处中原地区，是我国的主要粮食产区，素有“中原粮仓”之称.近年来，随着科技的发展，越来越多的农民采用无人播种机､无人旋耕机､无人植保车等一系列“智慧农机”耕种田地，极大地提高了耕作效率.某地区对50名使用了“智慧农机”的农民耕种的田地面积（单位：亩）进行统计，将数据按分为5组，画出的频率分布直方图如图所示.（1）估计这50名农民耕种田地面积的中位数（结果保留小数点后一位）；（2）估计这50名农民耕种田地面积的平均数及标准差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表，结果保留整数）.解：（1）根据频率分布直方图可得组距为10，所以，解得；易知两组数据所占概率为，第三组数据概率也为，所以中位数在区间内；设中位数为，所以，解得；所以这50名农民耕种田地面积的中位数为.（2）利用频率分布直方图可得，其平均数为，其方差为因此标准差.这50名农民耕种田地面积的平均数为，标准差约为.20.在中，角所对的边分别为.（1）求的大小；（2）若，点满足，求的面积.解：（1）因为，所以，又，所以，结合，解得，因为，所以．（2）因为，所以．由，可得，则，即，解得．所以的面积为．21.如图，在正三棱柱中，分别为的中点.（1）证明：平面平面.（2）若侧面的中心为为侧面内的一个动点，平面，且的轨迹长度为，求三棱柱的表面积.（1）证明：连接，因为所以侧面是正方形，所以，因为分别为的中点，所以，因为是正三角形，所以，因为平面，平面，，，平面，所以平面，平面，所以，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）解：连接交于，取的中点，过作，分别交于，连接，易得，因为平面，平面，所以平面，平面，因为，且都在面OHG内，所以平面平面，所以的轨迹为线段，因为，所以，因为，所以，所以，故三棱柱的表面积为.22.在平面直角坐标系中，位于坐标原点的一个质点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向只能是向上､向下､向左､向右，并且向上､向下移动的概率都是，向左移动的概率为，向右移动的概率为.（1）若，点移动两次后，求点位于的概率；（2）点移动三次后，点位于的概率为，求的最大值.解：（1）点向上向右各平移一次，或者向右向上各平移一次，概率.（2）可以上、左、右各移动一次或者下一次上两次，故，.河南省洛阳市创新发展联盟2022-2023学年高一下学期月考数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将答穼写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.六一儿童节，某商场计划从8位男员工､16位女员工中选调6人加强前台服务工作，若按照性别进行分层随机抽样，则应抽取的女员工人数为（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗A〖解析〗应抽取的女员工人数为.故选：A.2.若的面积等于，则（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗，故，，即.故选：B.3.如图，在矩形中，，用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图为四边形，则四边形的周长为（）A.10 B.8 C.7 D.5〖答案〗C〖解析〗用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图，由斜二测画法，四边形是平行四边形，，所以四边形的周长为．故选：C.4.某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲､乙都中奖”，则与互为对立事件的是（）A.甲､乙恰有一人中奖 B.甲､乙都没中奖C.甲､乙至少有一人中奖 D.甲､乙至多有一人中奖〖答案〗D〖解析〗“甲、乙恰有一人中奖”与互斥但不对立，故A错误；“甲、乙都没中奖”与互斥但不对立，故B错误；“甲、乙至少有一人中奖”与不互斥，故C错误；“甲、乙至多有一人中奖”与互斥且对立，故D正确．故选：D.5.关于空间中两条不同的直线与两个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗D〖解析〗若，则m，n可能平行、异面或相交，A错误；若，则，B错误；若，则的关系可能是或相交，C错误；，则，又，则，D正确．故选：D.6.已知点在的内部，分别为边的中点，且，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗B〖解析〗由题意得，所以．故选：B.7.已知集合，且，则关于的方程无实数根或的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，则取值的样本空间为，共25个样本点．关于的方程有实数根时，，得，“方程有实数根且”对应的事件为，含有3个样本点，所以所求的概率为．故选：C.8.洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东周､东汉､魏､西晋､北魏､隋､唐､后梁､后唐9个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑，九条龙盘旋的大石柱的顶端，端放着一座按1：1比例仿制的中国青铜时代的象征——西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧分别镶嵌着两幅《太极河图》.如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎底在同一平面内的两个测量基点与，现测得，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，则九龙鼎的高度（）（参考数据：取）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，由题意可得，由题意知：，在中，由余弦定理可得，得：，得：.故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，则（）A.的虚部为5 B.为纯虚数C.为实数 D.在复平面内对应的点位于第二象限〖答案〗BC〖解析〗由题意得，所以的虚部为，故A错误；为纯虚数，故B正确；为实数，故C正确；在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误．故选：BC.10.若向量满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由题意得，得，所以，故A正确；由，得，故B正确；因为，所以不垂直于，故C错误；，故D正确．故选：ABD.11.2018年至2022年全国快递业务量及其年增长速度如图所示，则（）A.2018年至2022年全国快递业务量逐年增长B.2018年至2022年全国快递业务量的年增长速度的分位数为C.2018年至2022年全国快递业务量的年增长速度的分位数为D.2017年全国快递业务量小于400亿件〖答案〗AC〖解析〗对选项A：2018年至2022年全国快递业务量逐年增长，正确；对选项B：，故分位数为，错误；对选项C：，故分位数为，正确；对选项D：2017年全国快递业务量为，错误；故选：AC12.如图，在正方体中，，点为线段上的一动点，则（）A.三棱锥的体积为定值B.当时，直线与平面所成角的正切值为C.直线与直线所成角的余弦值可能为D.的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，根据等体积法可知，点在线段上运动时，的面积为定值，，此时即为三棱锥的高，所以；即点在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，即A正确；对于B，当时即可知，为线段的中点，取的中点为，连接，如下图所示：易知，由正方体性质可得平面，所以可得平面；即直线与平面所成角的平面角即为，易知，且，所以，所以B错误；对于C，在上取一点，使，取中点为，连接，如下图所示：则可得，异面直线与直线所成的角的平面角即为，易知，所以可得，因此，若直线与直线所成角的余弦值为，即，可得；又，可得符合题意；所以C正确；对于D，易知，所以，即当取最小时，的值最小；将正方体展开使得在同一平面内，如下图所示：易知，当且仅当三点共线时，取最小值，所以，即的最小值为，所以D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.13.已知，则__________.〖答案〗〖解析〗设，则，所以，所以，则，，所以.故〖答案〗为：14.已知数据的极差为6，平均数小于4，请写出一个满足条件的的值：__________.〖答案〗2（〖答案〗不唯一，满足即可）〖解析〗因为，所以．又由，得，所以．故〖答案〗为：2（〖答案〗不唯一，满足即可）.15.的内角的对边分别为，则__________，__________.〖答案〗①.4②.〖解析〗由正弦定理得，得．由余弦定理得，得．故〖答案〗为：4，.16.在正四棱柱中，分别为和的中点，则三棱锥外接球的表面积为__________.〖答案〗〖解析〗如图，取为中点，连接EM，EB，EN，则四边形EBCN为矩形，故E，B，C，N四点共圆，又，所以，即直角三角形，又平面EMB，所以三棱锥外接球的球心即四边形EBCN的外心，即中点为球心，设三棱锥的外接球半径为，因为，所以，，即所求外接球的表面积．故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知为抛物线的顶点，点与关于原点对称.（1）求线段的中点坐标；（2）求向量在上的投影向量的坐标.解：（1）由，得，则，所以线段AC的中点坐标为，即．（2）由（1）得，所以向量在上的投影向量的坐标为．18.如图，在直角梯形中，为的中点，将沿着翻折，使与点重合，且.（1）证明：平面.（2）作出二面角的平面角，并求其大小.（1）证明：，且，故四边形为平行四边形，故，平面，且平面，故平面.（2）解：如图所示：是中点，连接，，，则，，故，即，故，平面平面，平面，平面，故为二面角的平面角，，，故.故二面角的平面角为.19.河南省地处中原地区，是我国的主要粮食产区，素有“中原粮仓”之称.近年来，随着科技的发展，越来越多的农民采用无人播种机､无人旋耕机､无人植保车等一系列“智慧农机”耕种田地，极大地提高了耕作效率.某地区对50名使用了“智慧农机”的