第八讲 二次函数的实际应用（题型突破+专题精练）（解析版）

→➌题型突破←→➍专题训练←题型一抛物线型问题

1．（2021·贵州中考真题）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处．有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围．【答案】（1）y=x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）5≤m≤8【分析】（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，根据待定系数法，即可求解；（2）把：x=1，代入y=x2+2x，得到对应的y值，进而即可得到结论；（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m的范围．【详解】（1）根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：，∴二次函数的解析式为：y=(x-8)x=x2+2x（0≤x≤8）；（2）由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=x2+2x，得y=×12+2×1=＞1.68，答：他的头顶不会触碰到桥拱；（3）由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y=x2-2x，当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y=-x2+2x，∴新函数表达式为：，∵将新函数图象向右平移个单位长度，∴（m，0），（m+8，0），（m+4，-4），如图所示，根据图像可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．2．（2021·浙江）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱项部O离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．

【答案】（1）6m；（2）①；②2m【分析】（1）设，由题意得，求出抛物线图像解析式，求当x=12或x=-12时y1的值即可；（2）①由题意得右边的抛物线顶点为，设，将点H代入求值即可；②设彩带长度为h，则，代入求值即可．【详解】解（1）设，由题意得，，，，当时，，桥拱顶部离水面高度为6m．（2）①由题意得右边的抛物线顶点为，设，，，，，(左边抛物线表达式：)②设彩带长度为h，则，当时，，答：彩带长度的最小值是2m．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值得求解方法，结合题意根据数形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键．3.（2022·陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为，再代入（0，0），求出a的值即可；（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而可解决问题．(1)依题意，顶点，设抛物线的函数表达式为，将代入，得．解之，得．∴抛物线的函数表达式为．(2)令，得．解之，得．∴．【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．4.甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处．有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围．【答案】（1）y=x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）5≤m≤8【分析】（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，根据待定系数法，即可求解；（2）把：x=1，代入y=x2+2x，得到对应的y值，进而即可得到结论；（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m的范围．【详解】（1）根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：，∴二次函数的解析式为：y=(x-8)x=x2+2x（0≤x≤8）；（2）由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=x2+2x，得y=×12+2×1=＞1.68，答：他的头顶不会触碰到桥拱；（3）由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y=x2-2x，当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y=-x2+2x，∴新函数表达式为：，∵将新函数图象向右平移个单位长度，∴（m，0），（m+8，0），（m+4，-4），如图所示，根据图像可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．5.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．

（1）当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）12米；（3）．【分析】（1）根据题意可知：点A（0，4）点B（4，8），利用待定系数法代入抛物线即可求解；（2）高度差为1米可得可得方程，由此即可求解；（3）由抛物线可知坡顶坐标为，此时即当时，运动员运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过米，即，由此即可求出b的取值范围．【详解】解：（1）根据题意可知：点A（0，4），点B（4，8）代入抛物线得，，解得：，∴抛物线的函数解析式；（2）∵运动员与小山坡的竖直距离为米，∴，解得：（不合题意，舍去），，故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为米；（3）∵点A（0，4），∴抛物线，∵抛物线，∴坡顶坐标为，∵当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，∴，解得：．【点睛】本题属二次函数应用中的难题.解决函数应用问题的一般步骤为：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．6．（2020·山东青岛?中考真题）某公司生产型活动板房成本是每个425元．图①表示型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点到的距离为．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，求该抛物线的函数表达式；（2）现将型活动板房改造为型活动板房．如图②，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点，在上，点，在抛物线上，窗户的成本为50元．已知，求每个型活动板房的成本是多少？（每个型活动板房的成本＝每个型活动板房的成本+一扇窗户的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）500（3）n=620时，w最大=19200元【解析】【分析】（1）根据图形及直角坐标系可得到D,E的坐标，代入即可求解；（2）根据N点与M点的横坐标相同，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，故可求解；（3）根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）由题可知D（2,0），E（0,1）代入到得解得∴抛物线的函数表达式为；（2）由题意可知N点与M点的横坐标相同，把x=1代入，得y=∴N（1，）∴MN=m，∴S四边形FGMN=GM×MN=2×=，则一扇窗户的价格为×50=75元因此每个B型活动板的成本为425+75=500元；（3）根据题意可得w=(n-500)（100+20×）=-2（n-600）2+20000,∵一个月最多生产160个，∴100+20×≤160解得n≥620∵-2＜0∴n≥620时，w随n的增大而减小∴当n=620时，w最大=19200元．【点睛】此题主要考查二次函数的综合运用，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质．题型二购买、销售问题

7．（2021·四川中考真题）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中，且x为整数），当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶；（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大．【答案】（1）；（2）当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大为500元．【分析】（1）设y与x之间的函数关系式，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；（2）根据题意得出每天的销售利润w元与每瓶售价x（元）之间的二次函数解析式，利用二次函数的性质即可求解．【详解】（1）设y与x之间的函数关系式，由题意可得，，解得，，∴y与x之间的函数关系式；（2）由题意可得，w=（x-10）（-5x+150）=（，且x为整数），当时，，∴当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大为500元．答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大为500元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确求得每天的销售利润w元与每瓶售价x（元）之间的二次函数解析式是解决问题的关键．8.（2020·辽宁朝阳?中考真题）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：销售单价x（元）406080日销售量y（件）806040（1）直接写出y与x的关系式_________________；

（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．【答案】（1）；（2）当销售单价是75元时，最大日利润是2025元；（3）70【解析】【分析】（1）根据题中所给的表格中的数据，可以直接写出其关系式；（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；（3）根据题意，列出关系式，再分类讨论求最值，比较得到结果.【详解】（1）设解析式为，将和代入，可得，解得，所以y与x的关系式为，所以答案为；（2），∴抛物线开口向下，函数有最大值∴当时，答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．（3）当时，解得，∴有两种情况①时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，∴当时，②时，在范围内，∴这种情况不成立，．【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数应用题，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于简单题目.9．（2020·辽宁铁岭?中考真题）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量（本）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：销售单价（元）121416每周的销售量（本）500400300（1）求与之间的函数关系式；（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为元（，且为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？【答案】（1）；（2）销售单价为15元时，每周所获利润最大，最大利润是1750元．【解析】【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）根据每周销售利润=每本笔记本的利润×每周销售数量可得w与x的二次函数关系式，再根据二次函数的性质即可求出结果．【详解】解：（1）设与之间的函数关系式是，把，和，代入，得，解得：，；（2）根据题意，得；，有最大值，且当时，随的增大而增大，为整数，时，有最大值，且w最大（元）．答：销售单价为15元时，每周所获利润最大，最大利润是1750元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10.（2021·湖北中考真题）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品，原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．【答案】（1）每盒产品的成本为30元．（2）；（3）当时，每天的最大利润为16000元；当时，每天的最大利润为元．【分析】（1）设原料单价为元，则原料单价为元．然后再根据“用900元收购原料会比用900元收购原料少”列分式方程求解即可；（2）直接根据“总利润=单件利润×销售数量”列出解析式即可；（3）先确定的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）设原料单价为元，则原料单价为元．依题意，得．解得，，．经检验，是原方程的根．∴每盒产品的成本为：（元）．答：每盒产品的成本为30元．（2）；（3）∵抛物线的对称轴为=70，开口向下∴当时，a=70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元；当时，每天的最大利润为元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键．11．（2021·湖北中考真题）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．【答案】（1）；（2）当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）4．【分析】（1）分和两种情况，根据“月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件”即可得函数关系式，再根据求出的取值范围；（2）在（1）的基础上，根据“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得；（3）设该产品的捐款当月的月销售利润为万元，先根据捐款当月的月销售单价、月销售最大利润可得，再根据“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得．【详解】解：（1）由题意，当时，，当时，，，，解得，综上，；（2）设该产品的月销售利润为万元，①当时，，由一次函数的性质可知，在内，随的增大而增大，则当时，取得最大值，最大值为；②当时，，由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为90，因为，所以当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元（大于50万元），，设该产品捐款当月的月销售利润为万元，由题意得：，整理得：，，在内，随的增大而增大，则当时，取得最大值，最大值为，因此有，解得．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．12．（2021·山东中考真题）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．【分析】（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论；

（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值．【详解】解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意得：，

整理得：x2-18x+45=0，

解得：x=15或x=3（舍去），

经检验，x=15是原分式方程的解，符合实际，

∴x-5=15-5=10（元），

答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；

（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得：w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000，

∵a=-20，

当a=5时，函数有最大值，最大值是2000元，

答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．【点睛】本题考查了分式方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，准确列出分式方程及函数关系式．13．（2021·辽宁）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y=-2x+220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；（3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【分析】（1）根据题意中销售量y（个）与售价x（元）之间的关系即可得到结论；（2）根据题意列出方程（-2x+220）（x-40）=2400，解方程即可求解；（3）设每星期利润为w元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题．【详解】（1）由题意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220；（2）由题意可得，（-2x+220）（x-40）=2400，解得，，，∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．（3）设该网店每星期的销售利润为w元，由题意可得w=（-2x+220）（x-40）=，当时，w有最大值，最大值为2450，∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性