2022-2023学年吉林省白城市通榆重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省白城市通榆重点中学高二(下)期末数学

试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知随机变量X的分布列如表：

X1234

P0.150.35m0.25

则实数m=()

A.0.05B.0.15C.0.25D.0.35

2.若3名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这4个兴趣小组，每人选报1组，则不同的

报名方式有()

A.6种B.24种C.27种D.64种

3.在如图所示的散点图中，若去掉点P,则下列说法正确的是()y

A.样本相关系数r变大•・口

B.变量%与变量y的相关程度变弱

C.变量比与变量y呈正相关同J

D.变量x与变量y的相关程度变强

4.一面国旗燃起青春的向往，一身戎装肩负国家的担当.6名学生(含甲、乙)决定参军报国，

不负韶华，报名前6人排成一排拍照，则甲、乙两人不相邻的不同的排法有()

A.960种B.480种C.288种D.144种

5.某市组织高二学生统一体检，其中男生有10000人，已知此次体检中高二男生身高/i(crn)

近似服从正态分布N(175R2),统计结果显示高二男生中身高高于180cm的概率为0.32,则此

次体检中，高二男生身高不低于170CTH的人数约为()

A.3200B.6800C.3400D,6400

6.已知随机变量X〜B(6,p),且E(X)+D(X)=字贝如=()

A.1B.|C.|D.1

7.某防空导弹系统包含3辆防空导弹发射车，其中8联装，6联装，4联装防空导弹发射车各1

辆，当警戒雷达车发现敌机后通知指挥车，指挥车指挥防空导弹发射车发射导弹，每次只选

择1辆防空导弹发射车.已知指挥车指挥8联装，6联装，4联装防空导弹发射车发射导弹的概率

分别为0.5,0.3,0,2,且8联装，6联装，4联装防空导弹发射车命中敌机的概率分别为0.8,0.6,

0.4.在某次演习中警戒雷达车发现一架敌机，则此防空导弹系统发射导弹命中敌机的概率为

（）

A.0.66B,0.58C.0.45D.0.34

8.元宵节庙会上有一种摸球游戏:布袋中有15个大小和形状均相同的小球,其中白球10个，

红球5个，每次摸出2个球.若摸出的红球个数为X,贝|E（5X-5）=（）

A--3B-3-C3--D-—3

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.己知函数6[-3,5]）的导函数为/'（均，若（的图象如图所示，则下列说法正确的

是（）

A.f（久）在（—2,1）上单调递增B.〃久）在（T，§上单调递减

C./（x）在x=—2处取得极小值D./（%）在％=1处取得极大值

10.已知?1之且?iCN*,mEN*,则下列式子不正确的是（）

cm_/「「m_cn-mndm一„Am-1

BLn/i

A-<=5■n—TmJ———n-l

11.已知（产+冷）九的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和

为0，则（）

A.n=9

B.（久2+高产的展开式中有理项有5项

C.（/+台产的展开式中偶数项的二项式系数和为512

D.(7—a)71除以9余8

12.有一座高度是10级(第1级〜第10级)台阶的楼梯，小明在楼梯底部(第0级)从下往上走，

每跨一步只能向上1级或者向上2级，且每步向上1级与向上2级的概率相同，设第九步后小明

所在台阶级数为随机变量XTI,贝队)

A.P(X?=2)=；B.£氏)=3

C.P(X4=6)<P(X4=7)D.P(Xn=10)中P(X7=10)最大

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.在密室逃脱游戏中，小明闯过第一关的概率为|,连续闯过前两关的概率为|.事件4表示

63

小明第一关闯关成功，事件B表示小明第二关闯关成功，则P(B|4)=.

14.牛膝是范科多年生药用草本植物，具有活血通经、补肝肾、强筋骨等功效，可用于治疗

腰膝酸痛等症状.某农户种植牛膝的时间％(单位：天)和牛膝的根部直径y(单位：rrnn)的统计

表如表：

X2030405060

y0.81.32.23.34.5

由上表可得经验回归方程为y=0,094%+a，若此农户准备在y=9小机时采收牛膝，据此模

型预测，此批牛滕采收时间预计是第天.

15.(X+1>(2+的展开式中/的系数是.

16.已知数列｛厮｝满足已越=碧，且的=；,若与=anan+i，则数列｛%｝的前几项和取=

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

部队是青年学生成长成才的大学校，是砥砺品格、增强意志的好课堂，是施展才华、成就事

业的大舞台，国防和军队现代化建设迫切需要一大批有责任、敢担当的有志青年携笔从戎、

报效祖国.为响应征兵号召，某高等院校7名男生和5名女生报名参军，经过逐层筛选，有5人

通过入伍审核.

(1)若学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？

(2)若至少有2名女生通过入伍审核，但入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？

18.(本小题12.0分)

已知数列｛&J是公差不为零的等差数列，的=1且&2,的4成等比数列.

(1)求数列｛%J的通项公式；

(2)求数列｛2。"+an+1｝的前n项和

19.(本小题12.0分)

牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，r骨牛排，某牛肉采购商从采购的一批牛排

中随机抽取100盒，利用牛排的分类标准得到的数据如表：

牛排种类菲力牛排肉眼牛排西冷牛排7骨牛排

数量/盒20302030

(1)用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，再从抽取的io盒牛排中随机

抽取4盒，求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率；

(2)若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取3盒，若X表示抽到的菲力牛

排的数量，求X的分布列和数学期望.

20.(本小题12.0分)

设各项都是正数的数列｛厮｝的前几项和为％,=1,且W+an=25n.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)若加=G)n-%n，求数列｛%｝的前71项和加.

21.(本小题12.0分)

2022年5月14日6时52分，编号为B-001/的C919大飞机从上海浦东机场第4跑道起飞，于9时

54分安全降落，标志着中国商飞公司即将交付首家用户的首架C919大飞机首次飞行试验圆满

完成.C919大飞机某型号的精密零件由甲、乙制造厂生产，产品按质量分为A,B,C三个等级，

其中4B等级的产品为合格品，C等级的产品为不合格品.质监部门随机抽取了甲、乙制造厂

的产品各400件，检测结果为：甲制造厂的合格品为380件，甲、乙制造厂的4级产品分别为80

件、100件，两制造厂的不合格品共60件(1)补全下面的2x2列联表，依据小概率值a=0.01

的独立性检验，能否认为产品的合格率与制造厂有关？

合格品不合格品合计

甲制造厂——400

乙制造厂——400

合计——800

(2)若每件产品的生产成本为200元，每件A,B等级的产品出厂销售价格分别为400元、320元,

C等级的产品必须销毁，且销毁费用为每件20元用样本的频率代替概率，试比较甲、乙制造

厂生产1件这种产品的平均盈利的大小.

2

附：%2n(ad—bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.01

2.7063.8416.635

22.(本小题12.0分)

已知函数f(%)=ex+a%在(0/(0))处的切线与直线1：%-2y+4=0垂直.

(1)求/(%)的单调区间；

(2)若对任意实数久，/(%)>-x2-3+2b恒成立，求整数力的最大值.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：由题意得，0.15+0.35+^+0.25=1,解得爪=0.25.

故选：C.

根据离散型随机变量分布列的性质求解即可.

本题考查离散型随机变量的分布列的性质，是中档题.

2.【答案】D

【解析】解：3名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这4个兴趣小组，每人选报1组，

每个人都有4种选择，则不同的报名方式种数为43=64种.

故选：D.

分析可知每个人都有4种选择，利用分步乘法计数原理可得结果.

本题主要考查分步乘法计数原理，考查运算求解能力，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：去掉点P后，变量比与变量y的相关程度变强，故。正确，B错误；

但由于散点的分布是从左上到右下，故变量x与变量y呈负相关，

所以相关系数变小，故AC错误.

故选：D.

根括散点图的性质知去掉点P后，相关性变强判断BD选项，相关系数为负判断AC选项.

本题考查散点图的应用，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：先将不含甲、乙的4人排列，有题种，再在4人之间及首尾5个空位中任选2个空位安

排甲、乙，有犬种，

所以甲、乙两人不相邻的不同的排法有短房=24X20=480（种）.

故选：B.

应用插空法，结合分步原理，先排不含甲、乙的4人，再将甲、乙插入4人所成列的5个空中，利

用排列数求排法数即可.

本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

5.【答案】B

【解析】解：因为高二男生身高近似服从正态分布N(175,M),且P(h>180)=0.32,

于是P(h<170)=P(h>180)=0.32,因此P(/i>170)=1-P(h<170)=0.68,

所以高二男生身高不低于170cm的人数约为0.68X10000=6800.

故选：B.

根据给定条件，利用正态分布的对称性求出高二男生身高不低于170cni的概率，即可计算作答.

本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：随机变量X〜B(6,p),

贝汉X)=6p,D(X)=6P(1-p),

故6P+6p(l-p)=y,解得p=|或p=g(舍).

故选：c.

根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，即可求解.

本题主要考查二项分布的期望与方差公式，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：此防空导弹系统发射导弹命中敌机分为三类：指挥8联装发射且命中，指挥6联装发

射且命中，指挥4联装发射且命中，

由题意得防空导弹系统发射导弹命中敌机的概率为0.5x0.8+0.3x0.6+0.2x0.4=0.66.

故选：A.

由已知结合相互独立事件的概率公式即可求解.

本题主要考查了相互独立事件的概率公式的应用，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：根据题意，X的可能取值为0,1,2,

则P(X=1)=警=”，

尸(X=0)=

r?2

P(X=2)=青=余

所以E(X)=0X^+1X^Y+2X^-=1,

故E(5X-5)=5E(X)-5=y-5=-1.

故选：A.

根据离散型随机变量的数学期望性质可解.

本题考查离散型随机变量的数学期望的性质，属于中档题.

9.【答案】ACD

【解析】解：由图可知*6(—2,1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增,故A正确；

当％6(—表1)时，f(x)>0,f(%)单调递增;

当》6(1,刍时，f(x)<0,/(久)单调递减，故B错误；

当x6(-3,-2)时,f'(x)<0,/'(x)单调递减;

当久€(—2,1)时,f(x)>0,/(久)单调递增，

所以f(x)在久=-2处取得极小值，故C正确；

当久€(—2,1)时,f(x)>0,/(久)单调递增；

当x6(1,学)时，f(x)<0,f(x)单调递减，

所以/(X)在x=1处取得极大值，故O正确.

故选：ACD.

根据导函数与函数的单调性和极值的关系求解.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于中档题.

10.【答案】AB

【解析】解：n>m,J3.neN*,me,N*,

的=清项故A错误；

C7=“加产%=与故8错误；

，m!(n—m)!Amml

Cm=Cn-mt故C正确；

柳吃=展“胃一?\、”==arL*，故。正确.

n-1■[(n—1)—(m—1)]!(n—m)!-

故选：AB.

根据已知条件，结合组合数、排列数公式，即可求解.

本题主要考查组合数、排列数公式，属于基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：对于4因为第4项与第7项的二项式系数相等，

所以废=C%

由组合数的性质知？1=9,故A正确；

对于B,在(%2+台广的展开式中，令％=1,得(l+a)9=0,

所以a=-1,

所以Q2_强)9的二项式通项为几+1=(-1)气号-x18-lfc.

由18-|k为整数，得k=0,2,4,6,8,

所以展开式中有理项有5项，故8正确；

对于C,展开式中偶数项的二项式系数和为盘+以+…+瑞=28=256,故C错误；

对于D,由B知a=-1,贝！)(7—a)71=(7+I)9==(9—I)9=C^99-C^98+…+若9—1=

9(C^98-玛97+…+瑞—1)+8,

所以(7-a/1除以9余8,故。正确.

故选：ABD.

由二项式系数的概念与组合数的性质可判断4；由二项式的通项结合有理项的概念判断B；由偶数

项的二项式系数和判断C；结合二项式定理判断D.

本题主要考查二项式定理的应用，考查转化思想，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：小明每步向上1级和向上2级的概率都是最

=2}="跨2步，每步向上1个台阶”，

2

P(X2=2)=(|)=I，故A正确;

X2的可能取值为2,3,4,

P(X2=2)=i,Pg=3)=废&2=1,Pg=4)=©)2=1,

所以E(X2)=3,故B正确；

{X4=6}="跨4步到达第6级台阶，且2步每步向上1个台阶，剩余2步每步向上2个台阶”，

「因=6)=废分=|；

{X4=7}="跨4步到第7级台阶，有1步向上1个台阶，剩余3步每步向上2个台阶”，

4

P(X4=7)=C^(|)=/故C错误；

由题意荏G[5,10],nEN,X5=10表示跨5步到达第10级台阶，每步向上2个台阶，P(X5=10)=

甘=亲

{X6=10}="跨6步到达第10级台阶，有2步每步向上1个台阶，剩余4步每步向上2个台阶”，

p%=io)=C统)6=15,

依次类推得：P(X7=10)=第©)7=崭,P(X8=10)=c船)8=高,P(X9=10)=C明)9=_2_,

P(Xi。=10)=(1)10=击，

所以X7=10时的概率最大，故。正确.

故选：ABD.

对于4X2=2表示跨2步到达第2级台阶，由此算出对应概率；

对于B,X2的值可能为2,3,4,再求出各自的概率，再利用期望公式求解；

对于C,X4=6,说明这四步有两步一阶，两步两阶，结合二项分布的知识求出P(X4=6),同理

算出P(X4=7),即可判断结论；

对于D,n可以取5,6,7,8,9,10,分别算出对应的概率，比较即可.

本题考查利用二项分布的知识与方法，计算随机变量对应事件的概率和随机变量的期望，属于中

档题.

13.【答案】|

【解析】解：根据题意，P(4)=|，PQ4B)=|,

bo

2

-4

3

--

55

-

6

故答案为：g.

根据题意，分析可得p(a)、P(AB)的值，由条件概率公式计算的答案.

本题考查条件概率的计算，注意套件概率的计算公式，属于基础题.

14.【答案】110

【解析】解：由已知可得%=20+30+号+50+60=4(J,

—0.8+1.3+2.2+3.3+4.5。。

y=---------------=2.42,

则样本点的中心的坐标为(40,2.42),代入y=o.O94x+a，

得a=2.42-0.094X40=-1.34-

即y=0.094%-1.34-

当y=9时，解得久=110.

••.此批牛膝采收时间预计是第110天.

故答案为：110.

由己知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解口，进一步取y=9求解x值即可.

本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题.

15.【答案】8776

【解析】解：(x+1)8的展开式中通项是=CSx8-r(0<r<8,rEN),

(2+久2产的展开式中通项是=桔25fx2k(0<k<5,kEN),

所以0+1)8(2+尤2)5中通项为喘偿25-弓2丘8-“0<r<8,0<fc<5),

令2k+8-r=6,贝！|k=0,r=2或k=1,「=4或卜=2,7=6或k=3,r=8,

故(X+1)8(2+/)5的展开式中一的系数是C犯。5+C4C124+C6C223+缁武2?=8776.

故答案为：8776.

根据已知条件，结合二项式定理，即可求解.

本题主要考查二项式定理，属于中档题.

16.【答案】2(W+2)

【解析】解：依题意，由乎=累，

a九Tii/

可得5匕=3，

Q，2_2的_3a九TL

则的=p,

3,敢4…，0nTn+l

各项相乘,可得即=2《3_n__1

4n+1Ti+l'

____1____1_____J.______1

anan+l几+］几+2n+ln+2'

・•・Tn=br+b2+•••+%

_1_11_11______1

-2_3+3-4+*"+n+1-n+2

_11

-2~n+2

_n

~2(n+2),

故答案为：品.

本题先根据题干给出的递推公式运用累乘法推导出数列｛斯｝的通项公式，进一步计算出数列｛%｝

的通项公式，然后运用裂项相消法即可计算出前n项和7；.

本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和问题.考查了整体思想，转化与化

归思想，累乘法，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.

17.【答案】解：(1)因为学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知,

所以从学生乙和甲以外的10人中任选3人，

所以所有的可能结果有俏°=120种.

(2)从12人中任选5人的所有可能结果有C品种，

选出的5人中有1名女生所有可能结果有妗•玛种，

选出的5人中没有女生所有可能结果有俏种，

所以至少有2名女生被选出的选法数为正2-e-好•星=792-21-175=596种.

【解析】(1)从学生甲和乙以外的10人中任选3人，利用组合数公式计算可得；

(2)利用间接法，求出没有女生和有1名女生的可能结果，即可得解.

本题主要考查简单的计数问题，利用组合数公式以及排除法进行计算是解决本题的关键，是中档

题.

18.【答案】解：(1)设等差数列的公差为d,

因为a2,a5,a”成等比数列，

所以(由+4d产=(a1+d)(at+13d),

解得d-2或d=0(舍去).

故=1+2(n-1)=2n—1.

71

(2)由(1)可得2。"+an+l=22T+2n,

士.0_1-4”(2+2?i)X7i2AY)i72

故品=2X---+~T2—=--4n+n2+n---

“1—4233

【解析】⑴根据等比数列性质得到a+4d)2=(%+d)(ai+13d),解得答案.

(2)利用分组求和法结合等差等比数列求和公式计算即可.

本题考查等差数列的通项公式的求解，分组求和法的应用，方程思想，化归转化思想，属中档题.

19.【答案】解：(1)用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒,

其中T骨牛排有3盒，非7骨牛排有7盒，

再从中随机抽取4盒，设恰好有2盒牛排是T骨牛排为事件力，

则PQ4)=坐4=邺4=A.

Jdo210101

(2)这100盒牛排中菲力牛排有20盒，所以菲力牛排的频率为需=

设从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的事件为B,

将频率视为概率，用样本估计总体可得P(B)=

从这批牛排中随机抽取3盒，抽到的菲力牛排的数量X满足X〜B(3,》，

又P(x=0)=C罪)。©3=黑,p(x=1)=c痣©2=慈

P(X=2)=C泊2⑨=急p(x=3)=盘(软⑨。=

所以X的分布列为:

X0123

6448121

P

125125125125

所以E(X)=3x1=|.

【解析】(1)先根据分层抽样分别求出T骨牛排和非T骨牛排的和数，再利用古典概型求解即可；

(2)先求出从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的概率，由题意可得X服从二项分布，再根据

二项分布的分布列及期望公式求解即可.

本题考查古典概型的概率公式的应用，二项分布的期望的求解，属中档题.

20.【答案】解：(1)当n>2时，将磋+an=2Sn中的几换为几-1,

可得忌-1+an-l-

上面两式相减可得，W—W-i+an—cin-i=2Sn-2Sn-i=2an,

即成-吗_1-an+an_lt

即(%+厮_1)(厮一an_i)=an+an_1.

又数列｛即｝的各项都是正数，所以厮+力0,所以即一即_1=1,

所以数列｛厮｝是以1为首项，1为公差的等差数列，所以厮=兀

(2)由⑴得勾=(扔一《=n•(扔A

O2即①

+X+•+n

1加

-1Xr+2Xr2++n②

2-7kvk

①-②,得见=(乎+(p1+…+(扔t_n•(扔

1X[1-(1)n]/l、„,lx

=——T-----n-(2)n=2-(n+2)-(-r)nn,

1-2

所以窈=4—(n+2)-G)nT.

【解析】(1)由数列的通项与前几项和的关系，以及等差数列的定义、通项公式，可得所求；

(2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和.

本题考查数列的通项与前九项和的关系，以及等差数列和等比数列的通项公式与求和公式、数列的

错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题.

21.【答案】解：⑴根据题目所给数据得到如下2x2列联表如下:

合格品不合格品合计

甲制造厂38020400

乙制造厂36040400

合计74060800

800x(380x40-360x20)2

2《?

z400x400x740x60-7.207>6.635=x001

根据小概率值a=0.01的独立性检验，认为产品的合格率与制造厂有关.

(2)对于甲制造厂，抽到的400件产品中有力等级产品80件，B等级产品300件，C等级产品20件,

设生产一件产品的利润为X元，则X可能取得的值为200,120,-220,

X的分布列为:

X200120-220

P0.20.750.05

所以E(X)=200x0.2+120x0.75+(-220)x0.05=119；

对于乙制造厂，抽到的400件产品中有2