经济数学3.3-泰勒公式

26五月20241第二节泰勒公式

第三章（TaylorFormula）二、几个初等函数的麦克劳林公式一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算四、小结与思考练习26五月20242公式①称为的n

阶泰勒公式.公式②称为n

阶泰勒公式的拉格朗日余项

.阶的导数,时,有①其中②则当泰勒中值定理:26五月20243称为麦克劳林（Maclaurin）公式

.则有则有误差估计式若在公式成立的区间上由此得近似公式在泰勒公式中若取26五月20244二、几个初等函数的麦克劳林公式其中26五月20245在第一章求极限时，我们遇到过许多无穷小量之比

或无穷大量之比的极限．我们称这类极限为未定式．（IndeterminateForm)例如，都是无穷小量之比的极限。又如，都是无穷大量之比的极限。它们不能用“商的极限等于极限的商”的规则进行运算，但可用下面介绍的洛必达法则来求这类极限.26五月20246第三节洛必达法则

第三章（L’Hospital’sRule）三、其他类型的未定式二、型未定式的洛必达法则一、型未定式的洛必达法则四、小结与思考练习26五月20247一、型未定式洛必达法则存在(或为)定理1（证明略）(洛必达法则)26五月20248定理1中换为之一,推论2若理1条件,则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.洛必达法则推论126五月20249解:原式注意:

不是未定式不能用洛必达法则!例1求26五月202410解:原式思考:

如何求(n

为正整数)?例2求26五月202411二、型未定式的洛必达法则存在(或为∞)定理2.（证明略）(洛必达法则)26五月202412说明:

定理中换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.26五月202413解:原式例4

求解:(1)n

为正整数的情形.原式例3求26五月202414(2)n

不为正整数的情形.从而由(1)用夹逼准则存在正整数

k,使当x>1

时,例4求26五月202415例3.例4.1)例3,例4表明时,后者比前者趋于更快.例如,而用洛必达法则2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.说明:26五月202416例如,极限不存在3)若26五月202417三、其他类型的未定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化例5

求解:

原式26五月202418解:

原式通分转化取倒数转化取对数转化例6求26五月202419解:

利用例5通分转化取倒数转化取对数转化例7求26五月202420解:注意到～原式例8求（补充题）说明:这到题告诉我们，洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用，这样可以使运算简捷.26五月202421分析:

为用洛必达法则,必须改求法1

用洛必达法则但对本题用此法计算很繁!法2～原式例9求26五月202422洛必达法则令取对数内容小结26五月202423思考练习1.

设是未定式极限,如果不存在,是否的极限也不存在?举例说明.极限原式～分析:26五月202424分析:原式～～3.26五月202425则解:

令原式4.求26五月2024265.

求下列极限:解:26五月202427令则原式=解:(用洛必达法则)(继续用洛必达法则)26五月202428解:原式=26五月20