2024年广东省广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学试题（含解析）

2024年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学

2024-03-18

本试卷共5页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题

卡的相应位置填涂考生号。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作

答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.设集合A={1,3,/},3={l,a+2},若则“=

A.2B.1C.-2D.-1

2.已知复数2满足|z-3+4i|=l,贝”在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.记5“为等比数列{4}的前"项和，若％限=2。2%，则3=

A.5B.4C.3D.2

4.已知正四棱台ABC。-的上、下底面边长分别为1和2,且班］，则该棱台的体积为

A.述B.迪C.2D.Z

2662

22

5.设3,工分别是椭圆C：与+二=1（。＞匕＞0）的右顶点和上焦点，点尸在C上，且BF,=2F,P,

ab

则C的离心率为

A.BB.巫C.-D.正

31322

6.已知函数/（x）的部分图象如图所示，则Ax）的解析式可能是

A./(x)=sin(tanx)B./(x)=tan(sinx)

C./(x)=cos(tanx)D./(x)=tan(cosx)

3

7.已知〃=—,N=5,5c=8,则

2一

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

71

8.已知a,4是函数/Q)=3sin2x+6一2在0,上的两个零点,则cos(。―/?)=

岳-二+回

AB6c2D2

-13'-6--6

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量。，白不共线，向量a+5平分a与入的夹角，则下列结论一定正确的是

A.a-b=0B.(a+b)±(a-b)

C.向量。与5在a+Z>上的投影向量相等D.|a+b|=|a-》|

10.甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球(两箱中的球除颜色外，没有其他区

别).先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件4和4表示从甲箱中取出的球是红球和白球;

再从乙箱中随机取出两球，用事件3表示从乙箱中取出的两球都是红球，则

311

A「⑷/B.P(B)=-

92

C.P(B|A)=—D.P(A2\B)=-

11.己知直线丁=近与曲线y=lnx相交于不同两点“(七,弘)，N(x2,y2),曲线y=Inx在点/处的

切线与在点N处的切线相交于点P(x0,%),则

A.0<^<-B.%羽=%C.必+%=1+%D.yy<1

e一x2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

S+9

12.已知数列｛2｝的前〃项和5“=/+%当兵一取最小值时，n=_____.

a”

13.某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W(单位：克)与脉搏率/(单位:

心跳次数/分钟）的对应数据（叱"）4=1,2,,8）,根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足

8

f=cWk（c,左为参数）.令玉=ln叱，X=ln£,计算得了=8,7=5,£y；=214.由最小二

«=1

乘法得经验回归方程为$=Ax+7.4,则左的值为；为判断拟合效果，通过经验回归方程求

8

得预测值白（7=1，2,,8）,若残差平方和Z（%-t）、028,则决定系数R2g.

i=\

£（y-y,）2

（参考公式：决定系数代=1一1".）

f（2）2

i=l

14.已知曲线。是平面内到定点/（。，-2）与到定直线/：y=2的距离之和等于6的点的轨迹，若点尸在

C上，对给定的点7（-2,。，用加⑺表示|/＞用+|27|的最小值，则机⑺的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（13分）

记△川（?的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,△ABC的面积为S.

已知S=-r（4+"廿）.

（1）求3；

7T

（2）若点。在边AC上，且=AD=2DC=2,求△ABC的周长.

2

16.（15分）

如图，在四棱锥P-A3CD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ADCP是等边三角形,

TT

NDCB=NPCB=—，点、M,N分别为止和AB的中点.

4

（1）求证：〃平面PBC；

(2)求证：平面平面ABCD；

(3)求CM与平面R4D所成角的正弦值.

17.(15分)

已知函数/'(x)=cosx+xsinx,xe(-TT,K).

(1)求/(x)的单调区间和极小值；

(2)证明:当xe[0,7t)时，2f(x)<ex+e-^.

18.(17分)

22_

已知。为坐标原点，双曲线C：鼻-2=1(。>0,6>0)的焦距为4,且经过点(虎,石).

ab

(1)求C的方程；

(2)若直线/与C交于A,3两点，且0403=0,求IASI的取值范围；

(3)己知点P是C上的动点，是否存在定圆。：x2+/=r2(r>0),使得当过点P能作圆。的

两条切线。M,PN时(其中N分别是两切线与C的另一交点)，总满足|PM|=|PN|?若存在，

求出圆。的半径厂；若不存在，请说明理由.

19.(17分)

某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由〃(“23,〃eN*)位成员组成，

成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，

否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活

动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场

参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.

31

已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为'和上，且每位成员闯关是否成功互不影响,

42

每关结果也互不影响.

(1)若“=3,用X表示A团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求X的均值;

（2）记A团队第左（1W左Wa-l,keN*）位成员上场且闯过第二关的概率为外，集合

%eN*|p*<中元素的最小值为心,规定团队人数”=府+1,求".

2024年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学

2024-03-18

本试卷共5页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题

卡的相应位置填涂考生号。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作

答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.设集合A={1,3,/},8={l,a+2},若则“=

A.2B.1C.-2D.-1

【答案】A.

【解析】依题意。+2=3或a+2=/,解得。=1或a=2,a——l,经检验a=2.

故选A.

2.已知复数2满足|z-3+4i|=l,贝”在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D.

【解析】设z在复平面内对应点Z,3-4i在复平面内对应点C(3,-4),

所以|ZC|=1,即点Z在以C(3,-4)为圆心，1为半径的圆上，所以点Z在第四象限.

故选D.

3.记S“为等比数列{4}的前w项和，若则〉

A.5B.4C.3D.2

【答案】C.

【解析】设公比为小由等比数列性质得说=2心所以如=2,所以g=l+d=3.故选c.

4.已知正四棱台ABC。-4戈。12的上、下底面边长分别为1和2,且3用上DR,则该棱台的体积为

A.述B.述C.ZD.Z

2662

【答案】B.

【解析】延长84，DD,,设8片与DR交于点S,BD,台01的中点分别为QQ,由正四棱台结

构特征知：S,O,O|三点共线，且SQ，平面ABGA，。。1为正四棱台的高.因为B旦所

以SQ=＜q9=应，so=-BD~,

21122

所以OOi=SO「SO=等,所以正四棱台的体积丫=3义等(12+k2+22)=尊.故选C.

22

5.设3,凡分别是椭圆C：当+三=1(。＞人＞0)的右顶点和上焦点，点尸在C上，且8招=2月产，

ab

则C的离心率为

R版D,巫

KD.-----------

T132

【答案】A.

b33cc(b3c।

【解析】依题意8(40),居(0,c),设尸(x,y),由%=2月尸得％=—/=—,即P—不守，代

222;乙乙)

9c2+二=1,解得片=3。2,所以e=9=Y3.故选A.

入得

4/4b2a3

6.已知函数/(x)的部分图象如图所示，则/(x)的解析式可能是

A./(x)=sin(tanx)B./(x)=tan(sinx)

C./(x)=cos(tanx)D./(x)=tan(cosx)

【答案】D.

【解析】由函数/(%)的图象特征，可排除选项A,C,

由于tan(sin(-x))=tan(-sinx)=-tan(sinx),排除选项B.

因为tan(cos(-x))=tan(cosx),故选D.

3

7.已知a=—,3'=5,5c=8,贝！J

2

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】C.

b2

【解析】依题意6=bg35,c=log58,因为=log2725<l,所以另一方面

22

^=lg5lg5ilg5lg5；1

clg3lg8pg3+lg8jlg2旧，所以b>c.故选C.

8.已知a,是函数/(x)=3si“2x+：|—2在］O,：上的两个零点，则cos(a—尸)=

A2近V15-2口26+占

3366

【答案】A.

【解析】依题意/3)=/(0=。，所以sin[2a+e]=sin[2£+61=g,

由函数y=sin£x+2]在I。,']上的图象的对称性得：

卜+1+,+升2*字即&+/三，且。，0弓)即厝]，

所以cos@—分)=cos£—[1—&)=co{2e_g]=sin](2a_g]+]

=sin^2cif+—=—.故选A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量。，〃不共线，向量a+5平分a与方的夹角，则下列结论一定正确的是

A.a-b=0B.(a+Z>)±(«-Z>)

C.向量a与，在a+Z>上的投影向量相等D.|a+6|=|a—6

【答案】BC.

【解析】记“=砺，》=无，a+b^OC'则四边形OACB为平行四边形，依题

意0C平分/AOB,所以四边形OACB为菱形，故选项B和C正确.故选BC.

10.甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球(两箱中的球除颜色外，没有其他区

别).先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件A和4表示从甲箱中取出的球是红球和白球;

再从乙箱中随机取出两球，用事件3表示从乙箱中取出的两球都是红球，则

311

A.P(A)=5B.P(B)=-

92

C.P(B|A)=—D.P(A2IB)=-

【答案】ABD.

32C2*73C21

【解析】易知P(A)=£,P(4)=£，且P⑻而尸⑻4)=六=6，

332111

所以PCB)=PCB|A)p(A)+PCB|4)p(4)=《xm+gXm=京，

2一x1__

口4⑶=3器=甘=本故选ABD・

50

11.已知直线丫=丘与曲线y=lnx相交于不同两点”(项,弘)，JV(x2,y2),曲线y=Inx在点/处的

切线与在点N处的切线相交于点尸(吃,为),则

A.0<^<-B.%居=exoC.%+%=1+%D.

e--

【答案】ACD.

71nMln%In%1

【解析】因为左=———由/(%)二——图象特征得0<左<一,故选项A正确;

再/%e

，1,、

曲线y=lnx在点M处的切线方程为：y-lnxj=-(x-xl),

■玉

在点N处的切线方程为丁—In%=—(x-x2),联立解得x()=见三~电%xxx1=kx[x1,

%(9-%)-

%=他一1+In&=In玉+In%—1=%+%—1，

所以％°=心九2<工元1元2，故选项B错误，选项C正确；

e

xInxInx+lnZInZ

设二9=%(不妨设/>1),则一L=-1------,即ln%=——，

西~»X]t—1

“…11L11^ln21

所以In%=由11+ln[=——-,yry2=In-Inx2=―—―,

2/八「2(%—1)iii

记1*，则(ln2/+21nf)(f—1)—2〃!？/«+l)[j-TnH,

('—D4("1)3(Z-l)3

容易证明夕（。=生二2—Inf在（1,+8）上递减（过程略），

t+1

所以当/>1时，。⑺〈。⑴=0,从而q"）<0,所以q⑺在（1，+8）上递减,

2In?2

又,./、ln2Z+21n?,,

人limo-（r）=lim----------=lim--t-----t-=1

t2（r-l）t2

所以％%<1，故选项D正确.

选项D别解：因为左为一In%=0=左%,—In/，所以7=^-----:一，

kinXj-inx2

因为曲T<~一：2三（对数平均不等式）,所以JF<J<五*,

N

lnX[-lnx22k2

由J1工。<L得入1工2<1,又％=向,％=上与，所以%%<1-

k

故选ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

S+9

12.已知数列｛。“｝的前几项和S"="2+”,当」一取最小值时，〃=

an

【答案】3.

-9S],〃=1,

【解析】因为S"=〃2+〃，由c求得。“=2〃，

[Sn-Sn_l,n>2

5+91917Q

所以」一=-(n+l+-)^-x(2x3+l)=-,当且仅当〃二一即九=3.

an2n22n

13.某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W(单位：克)与脉搏率/(单位:

心跳次数/分钟)的对应数据(叱J)«=1,2,,8),根据生物学常识和散点图得出了与W近似满足

8

f=cWk(c,左为参数).令%=ln叱，％=ln£,计算得元=8,y=5,»；=214.由最小二

Z=1

乘法得经验回归方程为亍=3尤+7.4,则左的值为；为判断拟合效果，通过经验回归方程求

得预测值力"=1,2,.、8),若残差平方和»,-汨、028,则决定系数六a.

Z=1

£(%—%y

(参考公式：决定系数氏2=1_子2_二.)

1=1

【答案】-0.3,0.98.

[解析]由最小二乘法原理可知(x,用在回归直线方程y=bx+JA±.,

代入元=8,了=5,得5=—0.3.

因为y=cW3所以Iri/'Minc+mnW,所以lnc=7.4,k=b=-0,3；

88

因为』(K—»=XW-8x52=14,

i=li=l

8

2(%-%)2

所以炉=1—♦-------------=1——=0.98.

z(x-n214

i=l

14.已知曲线C是平面内到定点尸(。,-2)与到定直线/：y=2的距离之和等于6的点的轨迹，若点P在

C上，对给定的点T(-2J),用机⑺表示IP用+IPTI的最小值，贝心九⑺的最小值为.

【答案】2.

I-----------------20(y—3),y22,

【解析】依题意产不行+|y—21=6,即％7=j4(y+3)y<2

当x=—2,解得y=g或y=-2；

当。>/时，|P-|+1PT以|=)«+2)2+4=J—+4f+8，

当且仅当T,P,歹三点共线取等号，所以加«)=J/+4/+8；

14

当时，|夕尸|+|PT|=d'+|PT以7W(；|=8—%,

当且仅当点P（—2,二）取等号，所以加⑺=87；

当—2W/W2时，|PF|+|PT|=d+|PT|2|7Hol=f+4,

当且仅当点P（—2,—2）取等号，所以/⑺=4+/；

当f<一2时，|PF|+1PT必尸T|=7（?+2）2+4=，产+4/+8，

当且仅当T,P,尸三点共线取等号，所以加。）=，/+由+8

综上，当/=—2时，根⑺取最小值为2.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（13分）

记△ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,。，△回（?的面积为S.

已知S=-乎（/+/—廿）.

（1）求3；

TT

(2)若点。在边AC上，且=AD=2DC=2,求△ABC的周长.

2

解：(1)因为cos5=^^~,.......................................................1分

2ac

S=一^-(a1+c2-b2)=~^-x2accosB=-^-accosB，.............2分

442

又3=!〃。$1115,.......................................................3分

2

ni

所以----accosB=—acsmB，解得tanB=_J^......................................4分

22

又5是5c的内角，所以5=——..................................6分

3

2冗TT7T

⑵方法一：依题意NCBZ）==—,.............................7分

326

____A_B_____A__D_—A“/八）—2

在△。中，由正弦定理得兀__________，..............8分

A3sin/ADBsi.n—

2

-----------------/,(­/

同理，在△。中有兀-----------，9分

CBsinNCDBsi.n—..................................

6

又/ADB+/CDB=%

所以sinZAD5=sinNCD5,.......................................................10分

所以AB=CB,即。=c..................................11分

在aABC中，b1=c2+6Z2-2ca-cosZABC，即32=c2+a2+ac=3a2，

解得a=V3，

所以。=〃=V^，.......................................................12分

所以△ABC的周长为3+2省..................................13分

B

2冗冗冗

方法二：依题意NCBD=---------=-,...................................................................7分

326

BDAD.八

_____—_____=AD=2

在△A3。中，由正弦定理得sinA.兀，.....................................8分

sin

2

__//)-/

同理，在△CBO中有sin。—.兀——，.....................................................9分

sin—

6

所以sinA=sinC,..................................................................10分

所以A5=CB,即。=c...................................................................11分

后同方法一(略).

方法三：依题意NCBD=2—4=4,.................................................................7分

326

设BD=x,在^ABC中，由余弦定理得〃=c2+a2-2ca・cosNABC，

BPc2+tz2+=9•..................................................................8分

在△ABO中，C2+X2=AD2=4...................................................................9分

在ACBD中,BC2+BD1-2fiC-BDcosZCBD=CD2,

即a2+x2-43ax=l•..................................................................10分

联立方程角毕得Q=c=x=1•....................................................................12分

所以△ABC的周长为3+26...................................................................13分

2冗TC7T

方法四：依题意NCBD=----------=—,...................................................................7分

326

过点C作AB的垂线交AB的延长线于点E，

7T

因为ZABD=一,所以3ZV/EC,.............................................................8分

2

又AD=2£>C,所以A5=28E,..................................................................9分

2兀71

在Rtz\CBE中，ZCBE=71——=-,

33

7T1

所以BE=BCcos_=_BC,即CB=25E,.....................................................10分

32

所以AB=CB,即。=。..................................11分

后同方法一，过程略.

2212

方法五：依题意3。=必+4。=胡+—AC=BA+—CBC—3A)=—3A+—3C,...............8分

3333

7T

因为NABD=一,

2

————1一9

^\^BABD=BA(-BA+-BC)=O,......................................................9分

又因为//RC=T,

所以§c~+§c,a,(一万)=0,HPc2—ca=0•................................................10分

因为cwO,所以a=c........................................................11分

后同方法一，过程略.

方法六：设△ABC中AC边上的高为〃，

由面积法可得

-BABDsmZABD„-ADh

2_»Z\ABD_2,.........................................9夕

-BCBDsmZCBDS^CBD-.DCh

22

jr2冗TT7T1

又ZABD=—,ZCBD=------=—,所以sinZA5D=l,sinZCBD=~,

23262

解得A6=C8,.......................................................11分

后同方法一，过程略.

方法七：依题意

2212

BD=BA+AD=BA+-AC=BA+-(BC-BA)=-BA+-BC,............8分

——>21—>24——-24―■——•

所以=-BA+-BC+-BABC,.......................................................9分

999

142

即4-c2=-c~—储—(2C>.................................10分

999

又由余弦定理得尸=°2+/—2ca.cosNABC，

即c2+/+ca=9，.......................................................11分

解得a=c=5.......................................................12分

所以△ABC的周长为3+2若.................................13分

jrAR「

方法八：因为NABD=—,所以cosNA=—=—,

2AD2

—29—[2

在△ABO中，由余弦定理得cos44二/^——=

2bc6c

02+9—〃2c

所以(十,@=土,化简得/+2片=9，

6c2

又由余弦定理得尸=°2+片—2ca.cosNABC，

即c2+〃+=9，..............................11分

后同解法七，过程略.

16.(15分)

如图，在四棱锥P-A3CD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ADCP是等边三角形,

71

/DCB=/PCB=—,点M,N分别为DQ和AB的中点.

4

(1)求证：〃平面PBC；

(2)求证：平面PBCL平面ABCD；

(3)求CM与平面P4D所成角的正弦值.

解：(1)方法一：取PC的中点。，连接MQ,3Q............................1分

又〃为如的中点，所以M2//DC,且MQ=LZ)C,....................2分

2

因为四边形A3CD是菱形，所以DC//A3,DC=AB.

又N为A3的中点，所以MQ//NB,MQ=NB........................3分

所以四边形肱VB。是平行四边形，所以MN//BQ.......................4分

因为平面PBC,5Qu平面PBC,

所以MZV//平面PBC...............................5分

方法二：取AP的中点E,连接EM,EN,贝U£M//AD,EN//PB.

又ADIIBC,所以EM//BC.............................................................1分

因为石Ma平面PBC,BCu平面PBC,

所以EM〃平面PBC............................................................2分

同理的〃平面PBC............................................................3分

又EMCEN=E,所以平面EAW〃平面PBC.................................................4分

因为MNu平面EMN,所以MN〃平面PBC.................................................5分

方法三：取CD的中点/，连接叱，NF,

则〃/5C,NF//BC...............................................................1分

因为MEN平面PBC,尸Cu平面PBC,

所以MF〃平面PBC............................................................2分

同理N9〃平面PBC.............................................................3分

又MFCNF=F,所以平面跖VF〃平面PBC................................................4分

因为MNu平面跖VF,所以〃平面PBC.................................................5分

(2)证明：作PH_L6C,连接。H.

则PH=PCsin：=后，CH=PH=41-........................................................6分

JT

因为DC=2,ZDCH=~,在△CDH中由余弦定理得后........7分

所以DM?+PH?=口「2,所以PHLDH..........................................................8分

又DHCBC=H,所以W平面ABCD.........................................................9分

因为平面PBC,

所以平面PBC_L平面ABCD.........................................................10分

(3)方法一：由(2)知尸平面ABCD,HDLHC,

以HC,HD,HP所在直线分别为羽％z轴建立空间直角坐标系，如图所示,

则A(-2,V2,0),C(V2,0,0),D(0,V2,0),P(0,0,拒).........................H分

(V2

因为M为PD的中点，所以M0,—.

I22J

所以而=(O,—后,后)，砺=(2,0,0)，CM=(—叵?学)