水下航行器导航系统原理 课件全套 第1-6讲 课程概述、常见导航系统基本原理 - 重力匹配导航

第一讲

课程概述HARBINENGINEERING

UNIVERSITY目录/Contents0102030405课程简介与教师团队导航技术应用导航传感器导航系统智能导航01课程简介与教师团队1.1

课程简介自主导航系统设计项目式课程目标：深刻理解自主导航的基本概念、原理和方法，了解导航领域技术前沿自主实践完成自主导航设备测试标定具备独立设计惯性导航和组合导航等自主导航算法的能力通过研讨式教学培养学生思辨能力通过线上线下混合式教学培养学生终身自主学习能力通过捷联惯导/GPS组合导航综合设计实验培养学生的团队合作能力1.2

课程团队课程负责人：

课程教师： 1.3

课程内容课程内容：第一周：导航器件及导航基础第二周：惯性导航算法及初始对准实验第三周：最优估计理论及组合导航算法仿真第四周：自主导航系统实验及分析参考教材：严恭敏，翁浚.捷联惯导算法与组合导航原理（第1版）.西北工业大学出版社，2019.Paul

D.Groves.GNSS与惯性及多传感器组合导航系统原理（第2版）.国防工业出版社，2015.秦永元，张洪钺，汪叔华.卡尔曼滤波与组合导航原理（第1版）.西北工业大学出版社，1998.谢钢.GPS原理与接收机设计.电子工业出版社，2009.智慧树MOOC课—组合导航技术，链接：/courseHome/1000062290#teachTeam1.4

考核方式第一周：惯性测试及标定实验报告(10分)第二周：惯性导航系统实验报告(10分)第三周：组合导航算法仿真实验报告(10分)第四周：自主导航系统实验报告(30分)自主导航系统综合考核答辩：(40分)以上共计100分02导航技术应用什么是导航？导航的任务：确定载体的运动参数有那些运动参数？线运动相关：位置、速度、加速度角运动相关：角位置、角速度、角加速度导航传感器与信号处理专业技术：硬件设计、FPGA软件设计、DSP软件设计专业知识：信号处理、自动控制、光电传感导航算法与信息融合专业技术：算法编程、软件设计专业知识：惯性导航、卫星导航、组合导航、信息融合智能感知与无人系统专业技能：算法编程、软件设计专业知识：深度学习，机器视觉，智能导航，智能决策2.1

导航技术发展古代路标、指南针、天文等20年代磁罗盘、速度表、里程表——仪表导航30年代无线电导航问世40-70年代惯性导航系统问世80年代末全球卫星定位系统问世90年代惯性/卫星组合导航系统大量推广2000年后新型导航系统和智能导航系统2.2

惯性导航技术惯性导航首次实战：V-2导弹1936年开始研制，1944年首次向巴黎发射，两天后开始袭击英国。水平射程为200英里，最大高度通常可达60英里。定位精度差(4-11英里)维纳·冯·布劳恩2.3

导航技术应用2.3

导航技术应用03导航传感器3.1

惯性器件石英加速度计机械陀螺仪3.1

惯性器件光纤陀螺仪激光陀螺仪3.1

惯性器件驱动电极检测电极信号处理电路(100mm*100mm)谐振子及检测电极(D=30mm)半球谐振陀螺仪精度:

漂移

<

10-3deg

/h,

标度因数误差

<

1ppm;高可靠性:

部件少，材料稳定性好;长寿命:

使用寿命超过

20

年;3.1

惯性器件微光陀螺仪精度:

零偏稳定性

0.01

deg

/

h;芯片级:

毫米级核心传感元件;高集成:

抗振动冲击;原理图实验装置核心传感器HarbinEngineering

University原子陀螺仪III.Navigation

sensors示意图实验装置原理样机04导航系统基本原理：根据牛顿提出的相对惯性空间的力学定律，利用陀螺仪，加速度计等惯性元件感受运行体在运动过程中的加速度，然后通过计算机进行积分运算，从而得到运动体的位置与速度等导航参数。惯性导航是完全不依赖于外部声、光、电、磁传播的信号自主式的进行导航定位的手段，因而它不受地域的限制，不受自然和人为的干扰和影响，无论太空、空间、地面、地下、水面、水下都能全天候可靠的工作。244.1

惯性导航25惯性导航系统的基本组成元件为陀螺仪和加速度计

。4.1

惯性导航26a

dVdt

tadt0V

V0

tVdt0S

S0

V

dsdt这种不依赖外界信息，只靠对载体(vehicle)本身的惯性测量来完成导航任务的技术称作惯性导航。4.1

惯性导航274.1

惯性导航惯导系统基本原理涉及问题：如何获得加速度在导航坐标系下的投影？如何获得载体相对运动的加速度？有了导航坐标系下载体相对运动加速度，如何求载体的速度和位置？如何获得载体的姿态？导航坐标系的旋转比力方程惯导系统计算方程姿态矩阵定义与更新28优点：（1）依靠自身测量的加速度推算位置，自主式导航系统；（2）不需要接收外部信息，不受外界干扰；（3）不向外辐射能量，隐蔽性好；（4）测量位置的同时，还能测量姿态角。缺点：（1）位置由加速度经二次积分获得，误差随时间积累；（2）对惯性元件精度要求高，系统成本高。4.1

惯性导航294.2

组合导航无线电导航常见导航系统卫星导航惯性导航天文导航数据库参考导航组合导航系统地文导航推位导航304.2

组合导航组合导航系统通过对两种或多种导航系统测量或输出信息进行综合处理（应用卡尔曼滤波等数据处理技术），获得更高的导航精度和可靠性，集各个子系统的优点于一身。组合导航目的：获得更好的精度、可靠性等。31组合方式推位/卫星组合导航系统惯导/卫星组合导航系统惯导/多普勒组合导航系统惯导/重力组合导航系统惯导/卫星/天文组合导航系统……4.2

组合导航组合导航系统特点(1)协合超越：利用各子系统的导航信息并作有机处理，形成单个子系统不具备的功能和精度。(2)性能互补：组合导航系统综合利用了各子系统的信息，使各子系统取长补短，提高适用范围。(3)互为余度：各子系统观测同一信息源，测量冗余，增加了导航系统的可靠性。组合导航技术可以克服单一导航设备各自的缺点，扬长避短，使得导航能力、精度、可靠性和自动化程度大大提高。324.2

组合导航33组合导航的基本思想：惯性导航系统的输出信号与独立测量的由其它导航系统导出的相同的量进行比较；通过卡尔曼滤波器或其他滤波方法给出对导航系统误差的实时估计；通过适当的校正方式，对惯性导航系统进行修正，就有可能获得比单独惯性系统更高的导航精度。4.2

组合导航05智能导航355.1

智能导航协同导航365.1

智能导航视觉导航HarbinEngineering

UniversityVIntelligentnavigationSLAM(Simultaneouslocalizationand

Mapping)感谢您的聆听常见导航系统基本原理HARBINENGINEERING

UNIVERSITY2无线电导航常见导航系统卫星导航惯性导航天文导航数据库参考导航组合导航系统地文导航推位导航……目录/Contents01数据库参考导航系统前提条件：

地球的陆地上或海床上的每个点有独一无二的三维位置，即经度、纬度和相对于海平面的高度或深度，这个点也有独一无二的磁力和重力度量值。基本原理：利用预先测量的数据库或地图作为参考，与传感器测量信息进行比较和匹配来确定位置。1.

数据库参考导航42地磁导航

(Geomagnetic

Navigation)重力导航

(Gravity

Navigation)地形导航

(TerrainAided

Navigation)特点：由于可获取的各种数据资源的条件限制，数据库参考系统往往不能为航行体提供全程连续导航，所以通常和其他导航系统结合在一起使用。1.

数据库参考导航4302地文导航地文导航又称为陆标定位，是一种通过观测陆标与船舶之间的某种相互位置关系进行定位的方法。陆标是指海图上标有准确位置可供目视或雷达观测，用以导航或定位的山头、岛屿、灯塔、立标及其它显著固定物标的统称。利用罗经、测距仪和六分仪等观测仪器，观测陆标的方位、距离和水平角，按一定法则确定船位。2.

地文导航45船位线（Line of Position） ：在导航上，凡是观测值相等点的轨迹称为等值线，在导航定位中常称为位置线或船位线。陆标定位使用的船位线主要有以下三种：方位船位线、距离船位线和水平角船位线。Mαβγ°α>

32β

=

32

°Pγ

<

32

°D=35链MOWW1W2NN'ααM2M190

-α°2.

地文导航46地文导航基本原理：当船舶航行时，如对某一物标进行观测，则观测时的船位必然位于该船位线上的某一点，但究竟位于哪一点，单有一条船位线是无法确定的。如能在同一时刻测得两条或两条以上的船位线，则它们的交点即为观测时的船位，这就是陆标定位的原理，这一原理在导航定位系统中是普遍适用的。47利用各种船位线组合起来进行定位，可得到不同的定位方法。常用的定位方法有：两标方位法、三标方位法、三标两角法、两标距离法、三标距离法、方位距离法以及方位水平角法等。NA(φA,λA

)B(φB,

λB)FAFBM(φ,

λ)A(φA,λA)M1(φ01,

λ01)M2(φ02,λ02)M3(φ03,λ

03)B(

φB，λB)C(φC,λC)两标方位法三标方位法2.

地文导航48地文导航特点：这种导航简单、可靠；但受气象条件影响比较严重，在能见度低的情况下很难测到目标，无法进行导航；在无物标的大海、沙漠中利用这种方法导航也很困难。2.

地文导航4903推位导航n

1xn

x0

disin

ii

0inn

1i

00 iy

y

d

cos

3.

推位导航基本原理：起始时刻的位置已知，速度的大小和方向可通过测量得到，则下一时刻的位置可通过计算得到。Y（北向）51(𝑥0,

𝑦0)(𝑥2,

𝑦2)𝑑0𝑑1(𝑥1,

𝑦1)𝑑2𝜃0𝜃1𝜃2X（东向）

d

b

d

d

dSSDWBK

2 1

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d

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K

dW

dS

sin

K

2S0cos

KdS

1d

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cos

KWS00sin

KdSdW

W

S

sin

K3.

推位导航52根据罗经的航向、计程仪速度，以及风、流要素等进行航迹绘算，并且求出船位的导航方法。系统组成三个关键问题：罗经的航向信息计程仪信息如何推算风、流要素分析算法原理3.

推位导航航向:

磁罗经,陀螺罗经,平台罗经,惯性导航航速: 水压计程仪,电磁计程仪,多普勒计程仪,声相关计程仪3.

推位导航特

点:原理简单，可实现连续定位并给出航迹，可以估计出未来某时刻的位置；受风，流等的影响；误差随时间累积。04惯性导航基本原理：根据牛顿提出的相对惯性空间的力学定律，利用陀螺仪，加速度计等惯性元件感受运行体在运动过程中的加速度，然后通过计算机进行积分运算，从而得到运动体的位置与速度等导航参数。惯性导航是完全不依赖于外部声、光、电、磁传播的信号自主式的进行导航定位的手段，因而它不受地域的限制，不受自然和人为的干扰和影响，无论太空、空间、地面、地下、水面、水下都能全天候可靠的工作。4.

惯性导航56惯性导航的重要性：洲际导弹、战略远程轰炸机、导弹核潜艇构成了三大战略威慑力量。而这三大战略威慑力量都离不开惯性技术的支撑。4.

惯性导航57惯性导航系统的基本组成元件为陀螺仪和加速度计

。4.

惯性导航58a

dVdt

tadt0V

V0

tVdt0S

S0

V

dsdt这种不依赖外界信息，只靠对载体(vehicle)本身的惯性测量来完成导航任务的技术称作惯性导航。4.

惯性导航594.

惯性导航惯导系统基本原理涉及问题：如何获得加速度在导航坐标系下的投影？如何获得载体相对运动的加速度？有了导航坐标系下载体相对运动加速度，如何求载体的速度和位置？如何获得载体的姿态？导航坐标系的旋转比力方程惯导系统计算方程姿态矩阵定义与更新60优点：（1）依靠自身测量的加速度推算位置，自主式导航系统；（2）不需要接收外部信息，不受外界干扰；（3）不向外辐射能量，隐蔽性好；（4）测量位置的同时，还能测量姿态角。缺点：（1）位置由加速度经二次积分获得，误差随时间积累；（2）对惯性元件精度要求高，系统成本高。4.

惯性导航6105无线电导航前提条件：1）在同一介质中，无线电波按直线传播；2）在同一介质中，无线电波的传播速度为常数；3）无线电波具有反射性。无线电波的上述3个基本特性为测距和测向奠定了基础。利用直线传播特性可测定辐射电波的目标方向，而恒速特性可测定目标的距离。5.

无线电导航63利用无线电导航技术实现船舶导航定位主要是确定船舶的位置线。无线电导航主要有三种方法，即测量方位法、测量距离法和测量距离差法。输出电压θ电波方向环形天线θ0 90 180 270 360（1）测量方位法（测向法）：通过测量无线电指向目标的方位，分最小值、最大值、比较测量法，确定船舶所处位置线。测量方位法5.

无线电导航64tt

APtAtB测量距离法（2）测距法：通过测定船舶与无线电发射台的距离，确定船舶所处的位置圆，再由不同的导航台测出两条或两条以上的位置线，从而确定船位。5.

无线电导航6528发射机发射机AB时间差或相位差指示器接收机C测量距离差法（3）测距离差法：根据船舶与两个无线电发射台的距离之差为常数，确定船舶所处的位置线----以导航台为焦点的双曲线，再由不同导航台测出两条或两条以上的位置线，从而确定船位。双曲线系统定位示意图5.

无线电导航A1

A2B1B2CrA1rB1rA2rB2rA1-rB1rA2-rB2优点：(1)不受时间、天气限制, 精度高;(2)

作用距离远,

定位时间短；缺点：

(1)

必须辐射和接收无线电波而易被发现和干扰，(2)

需要载体外的导航台支持。5.

无线电导航06卫星导航工作原理卫星定位系统都是利用在空间飞行的卫星不断向地面广播发送某种频率并加载了某些特殊定位信息的无线电信号来实现定位测量的定位系统。6.

卫星导航69车辆导航管理对航空器的定位及导航车辆导航配备GPS的巡警6.

卫星导航70jjkkkk

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)c

t

6.

卫星导航测距定位：利用伪距观测量，实际上是测量GPS卫星发射的测距码信号到达用户接收机天线的电波传播时间。716.

卫星导航优

点：（1）可向全球用户提供连续、实时、高精度的三维位置，三维速度和时间信息（全球性连续覆盖，全天候工作）（2）定位精度高，观测时间短；（3）功能多，用途广；缺

点：无法实现水下导航，且战时易受干扰。7207天文导航天文导航是根据天上星座的运行规律来对地面上的目标进行定位的。通过观测星体相对地球的位置参数（例如仰角）以及观测时间，即可确定观测者在地球上的位置，从而引导运动体航行，这就是天文导航或天体导航。7.

天文导航74天文船位圆法每测量一个天体的高度和顶距时，必位于以该天体投影点b为圆心，以ｒ为半径的等高圆上(天文船位圆或位置圆)，因此就获得了一部分与自身地理位置有关的信息。继续观测第二个天体，得到另一个等高圆。这两个等高圆在地球表面上相交于两点，其中一点就是测者所在地

。b1C2b2C2b1b2b3C7.

天文导航75为了测得船位，测者在同一地点至少要观测两个天体，便可得到两个天文船位圆，它们相交得到两个交点。由于天文船位圆的半径很大，这两个交点相距很远，因此，靠近推算船位的一个交点就是测者的观测船位，这就是天文船位圆原理，也就是通常所指的双星定位原理。也可以用第三颗星来消除模糊度，即三星定位原理。7.

天文导航76优点：（1）天文导航系统是自主式系统，不需要其他地面设备；（2）不受人工或自然形成的电磁场的干扰；（3）不向外辐射电磁波，隐蔽性好；（4）定向、定位精度高，定位误差不随时间累积。缺点：受天气影响。只能实现定位，无法测姿。需要水平平台作观测平台。7.

天文导航77感谢您的聆听惯性器件HARBINENGINEERING

UNIVERSITY目录/Contents0102陀螺仪加速度计01陀螺仪背景意义及分类陀螺仪作为惯性导航系统的核心器件，其技术发展直接影响着惯性导航系统技术水平，是各国国防军事的核心技术之一，深受世界各科研院校和研究机构的密切关注，成为目前各国的热点研究领域。在国家载人航天、深空探测、深海探测、弹药制导等重大工程需求下，要求惯性器件在确保高精度测量需求的同时，还需满足微体积、低功耗、高可靠性、低成本和抗振动冲击等特性。陀螺应用领域嫦娥卫星东风导弹大疆无人机蛟龙号背景意义及分类陀螺仪分类第一类机械陀螺仪（经典力学）第二类光学陀螺仪（波动光学）液浮、气浮陀螺仪半球陀螺仪MEMS陀螺仪半球谐振陀螺MEMS陀螺激光陀螺仪干涉式光纤陀螺谐振式光学陀螺干涉式光纤陀螺谐振式光学陀螺原子干涉陀螺仪原子自旋陀螺仪原子自旋陀螺原子干涉陀螺第三类原子陀螺仪（量子光学）液浮陀螺激光陀螺背景意义及分类背景意义及分类H

J

z

ΩH

J

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Ω22z

i i im

(x

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陀螺起源：机械式陀螺仪背景意义及分类dtdH

MvH

M机械式陀螺仪特性：定轴性，进动性动量矩定理莱查定理FHLMVHM

L

F其中四个里程碑1913年，法国物理学家Sagnac在物理实验中发现了旋转角速率对光的干涉现象的影响，这就启发人们，利用光的干涉现象来测量旋转角速率。1960年，美国科学家梅曼发明了激光器，产生了单色相干光，解决了光源的问题。1966年，华人科学家高锟提出了只要解决玻璃纯度和成分，就能获得光传输损耗极低的玻璃光纤的学说。1976年，美国犹他大学两位教授利用Sagnac效应研制出世界上第一个干涉式光纤陀螺（IFOG）原理样机。特点与传统机械陀螺仪相比与激光陀螺仪相比全固态，没有旋转部件和摩擦部件，寿命长，动态范围大，瞬时启动，结构简单，尺寸小，重量轻。干涉式光纤陀螺仪没有闭锁问题，也不用在石英块精密加工出光路，成本低。干涉式光纤陀螺世界各发达国家的许多科研机构和著名大学都投入了很多的经费来研究光纤陀螺。随着干涉式光纤陀螺主要光器件（保偏光纤，Y型电-光调制波导，光源等）技术及半导体工业的飞速发展，干涉式光纤陀螺的发展已经有了突破性进展，已达到低于0.0001°/h的精度。目前，光纤陀螺已经发展成为惯性技术领域具有划时代特征的新型主流仪表，其原理、工艺及其关键技术与传统的机电式仪表有很大的差别，我国已经将光纤陀螺列为惯性技术领域重点发展的关键技术之一。干涉式光纤陀螺问世不久，国外专家就曾预言：“干涉式光纤陀螺出现，机械陀螺停止旋转！”。预言发展现在干涉式光纤陀螺萨格奈克（Sagnac）论证了运用无运动部件的光学系统同样能够检测相对惯性空间的旋转。他采用一个环形干涉仪证实了在两个反向传播光路中，旋转产生一个相位差。M

M

lCCWCCCWM

(a) (b)图1

Sagnac效应(a)系统静止(b)系统旋转机理：理想条件下，环形光路系统中的Sagnac效应如图1所示。一束光经分束器M进入同一光学回路中，分成完全相同的两束光，分别沿顺时针方向(CW)和逆时针方向(CCW)相向传播，当回路绕垂直于自身的轴转动时，将使两束光产生相位差，该相位差的大小与光回路的旋转速率成比例。ctCCW如(a)所示，无旋转条件下两束光传输时间相等：L

2

R

tCW

c

如(b)所示，旋转条件下，传输时间分别为：tCCWc

R

2

R tCWc

R

2

R 得到传输时间差：c2

t

tCCW

tCW

4

R2得到传输光程差：c

L

t

c

4

R

2

得到传输相位差：0

c4

RL

S

增大R

或者L

可以提高测量灵敏度。干涉式光纤陀螺—Sagnac效应干涉式光纤陀螺—Sagnac效应M

M

lCCWCCCWM

(a) (b)图1

Sagnac效应(a)系统静止(b)系统旋转如何检测相位差？利用光的干涉：振动频率相同、方向相同、相位差恒定

。I

I0

(1

cos

s

)最终，通过检测光强来检测相位差，进而检测转动角速率。干涉式光纤陀螺是基于Sagnac效应的角速率测量装置，即沿着闭合光纤光路相向传播的两束光波返回到起始点发生干涉后，干涉信号的相位差正比于闭合光路敏感轴的输入角速度。光纤基本结构光纤的结构n2n1n2n2n1纤芯包层涂覆层护套光纤基本结构n1>

n2入射角>θ光纤传光原理

——

全反射法线n1n2θ光纤基本结构互易性互易性是光纤陀螺在光路部分的结构设计中必须遵循的原则，所谓的互易性就是要保证在Sagnac

光纤干涉仪中，沿相反方向传播的两束光，不产生非转动因素引起的相移

。光纤环耦合器

2光电探测器光源耦合器

1干涉式光纤陀螺—基本原理图3

光纤陀螺基本结构组成如图3所示，从光源发出的光波经过耦合器和Y波导分为两束相干的线偏振光，其中一束沿着光纤环的顺时针传播，另外一束沿逆时针传播，最终两束载有光纤环轴向转动角速度信息的光波在Y波导中汇合发生干涉，干涉信号的强度随输入角速度变化而变化，通过探测器检测干涉信号的强度变化，可以获得输入的角速度变化。工作流程干涉型光纤陀螺由宽带光源、耦合器、Y

波导、光纤环、光电检测器、信号处理电路六个部件组装而成。干涉式光纤陀螺—结构组成干涉式光纤陀螺—结构组成光源提供产生干涉信号的光载波，为宽带光纤光源，且对平均波长稳定性要求较高；探测器用于探测干涉光信息并将其转换为电信号，并对该微弱电流信号进行跨阻抗放大成电压信号；耦合器是一种对光信号进行分束、合束的器件，用于将光信号引入光纤环，将有

Y

波导返回的干涉信号引入探测器；Y

波导（多功能集成光路）集成了单模滤波器、起偏器、分束器和相位调制器的功能，实现对输入光纤环和光纤环输出干涉光信号的起偏和单模滤波、光信号的分束和合束，以及对干涉信号的偏置调制和输入角速度信号的反馈调制；图3

光纤陀螺基本结构组成光纤环为角速度的核心敏感元件用于产生 效应中的光相位差；信号处理电路用于提取干涉后光强信号，为

Y

波导提供电压调制信号，并对外输出角速率信号。干涉式光纤陀螺—信号处理技术1偏置调制：为了提升陀螺检测灵敏度和解决旋转方向的问题，在光纤线圈的一端放置一个相位调制器，使两束光波在不同时间受到一个完全相同的相位调制，则可以产生一个时变相位差。图4

施加偏置相位0 sI

I

[1

cos(

])2

I0[1

sin

s

]

I

2I sin

0 s

2I0

s相邻时间内光强差偏频相位调制技术优势：使光纤陀螺工作在旋转速率最灵敏的工作点上干涉式光纤陀螺—信号处理技术2闭环控制：在陀螺的敏感环中加入一个电光控制元件，使两束反向传播光波之间引入一个非互易性相移响应旋转输入，并补偿旋转引起的Sagnac相移。闭环光纤陀螺的探测器输入作为反馈伺服回路的误差，由于测量的输出信号是与旋转速率成线性比例的Sagnac相移，而闭环陀螺对旋转速率的响应基本是线性的。图5

闭环陀螺输出信号闭环陀螺的优势：当误差信号保持在零位时，旋转信号的输出与光强和探测电路的增益倍数无关020 s f

II

I

[1

cos(

)]干涉式光纤陀螺—光纤环绕制技术光纤环绕制方法：柱形绕法、二极绕法、四级绕法干涉式光纤陀螺—光纤环绕制技术四极对称的绕制方法及其典型温度场分布干涉式光纤陀螺—应用级别划分速率级光纤陀螺已经产业化，主要应用于机器人、地下建造隧道、管道路径勘测装置和汽车导航等对精度要求不高的场合。战术级光纤陀螺具有寿命长、可靠性高和成本低等优点，主要用于战术导弹、近程/中程导弹和商用飞机的姿态对准参考系统中。惯性级、战略级光纤陀螺主要是用于空间定位和潜艇导航。表1

应用级别划分级别零偏稳定性(度/小时)标度因数稳定性速率级10~10000.1~1%战术级0.1~1010~1000

ppm惯性级0.01<5ppm战略级0.001<1ppm干涉式光纤陀螺—应用领域l

战略导弹系统和潜艇导航应用；l

卫星定向和跟踪；l

天体观测望远镜的稳定和调向；l

各种运载火箭应用；l

舰船、巡航导弹和军、民用飞机的惯性导航；l

光学罗盘及高精度寻北系统；l

战术武器制导与控制系统；l

陆地导航系统(+GPS)；l

姿态／航向基准系统；l

汽车导航仪、天线／摄像机的稳定、石油钻井定向、机器人控制、各种极限作业的控制装置等工业和民用领域。谐振式光纤陀螺—基本原理图11

谐振式陀螺基本结构组成当某一频率的光波在谐振腔中循环传输时会产生多光束的干涉，只有满足某个特定频率的光波才会发生谐振现象，因此称为谐振式光学陀螺。与干涉式陀螺不同，这里用谐振频差来解读Sagnac效应。当谐振腔发生转动时，CW和CCW传播方向上的路程会发生变化，其光程差为：4S

L

Lcw

Lccw

c

c此时，CW和CCW光束方向上的谐振频率之间将产生一个频差：cw

ccw0c cnLnL2L

L

f

f

f

m

mc

L

f

nL

cwccw

结合上面两个公式，得到：

f

4S

D

0

L

0（只与谐振腔直径有关，与光纤长度无关）谐振式光纤陀螺—工作流程图11

谐振式陀螺基本结构组成如图11所示，激光器经3dB耦合器C1分成两束功率相等的光束，分别经过隔离器后进入各自的相位调制器，然后分别从CW和CCW方向耦合进入到谐振腔内，并在谐振腔内形成两个方向的谐振光波，最后分别经C2和C3耦合后输出到各自的探测器中。当陀螺静止时，CW和CCW方向传输光的谐振频率和相同；当陀螺沿CCW方向以角速度为转动时，两束光会产生正比于角速度的谐振频率差。工作流程优点：是采用很短的光纤或者集成式波导谐振腔，因此在微型化方面具有很大的优势，同时，还可以避免干涉式陀螺中的Shupe误差问题。02加速度计加速度计是测量运载体线加速度的仪表。在飞行控制系统中，加速度计是重要的动态特性校正元件。在惯性导航系统中，高精度的加速度计是最基本的敏感元件之一。主流产品有液浮摆式加速度计、石英挠性加速度计、MEMS（微机电系统）加速度计、原子（量子）加速度计等几大类，下面以石英挠性加速度计和MEMS加速度计为例详细介绍其基本原理。加速度计概述石英挠性加速度计图

1

石英挠性加速度计的组成当沿石英挠性加速度计的输入轴方向有加速度作用时，由于检测质量的位置发生变化，从而使得差动电容传感器的电容值发生变化。这时伺服放大器检测到这一变化并向电磁力矩器产生一个再平衡电流，它产生的电磁力矩使检测质量回到原来的位置。通过测量流过采样电阻的电流，便可以间接得到石英挠性加速度计所测量的加速度石英挠性加速度计图

2

石英挠性加速度计工作原理示意图l 当运载体相对惯性空间发生加速度时，石英挠性加速度计检测质量摆将产生惯性力矩：M

g

mLail

惯性力矩使检测质量摆绕挠性枢轴产生角位移，差动电容传感器产生电容差值，电容差值经伺服电路变成电流信号，该电流输出向力矩器产生一电磁反馈力矩：Mt

Kt

Il 当力矩器反馈力矩和惯性力矩相等时，力矩器线圈中所需要的电流与输入加速度成正比I

（mL/Kt）

aim-检测质量摆质量；L-质量摆的质量中心至挠性枢轴的距离Kt-力矩器力矩系数；ai-石英加计输入轴方向的加速度MEMS加速度计-结构原理图

3

硅微摆式电容加速度计结构简图22 1(ds 0 0 01 1 2s

b)dx

lb

d

x

d

x

C

C

C

l

l 将敏感质量块一侧进行镂空使其质心偏移，施加图中所示方向加速度，敏感质量块产生惯性力矩：M

maLl 发生的偏移角

M

Kl 两极板间的电容变化量为s

bl 差分电容变化量

C

与输入加速度a之间的关系：Δ𝐶

=𝜀𝑚𝑏𝐿𝑙2/(2𝑠+

𝑏)2𝐺𝛽ℎ𝑑02𝜔3𝑎其中

K

2G

3hlMEMS加速度计-结构原理图

3

硅微摆式电容加速度计结构简图ε-介电常数m-质量块质量b-敏感电极的长L-质量块质心到支撑梁的距离s-敏感电极离支撑梁近的一端到支撑梁之间的距离G-剪切弹性模量β-取决于支撑梁的高宽比l、ω、h-支撑梁的长宽高d0-质量块静止状态时，电容极板到质量块的距离可以通过观测电容的变化来观测器件加速度的变化。Δ𝐶

=𝜀𝑚𝑏𝐿𝑙2/(2𝑠+

𝑏)2𝐺𝛽ℎ𝑑02𝜔3𝑎MEMS加速度计-信号检测与转换图

4

开环检测原理图l 环境变化产生加速度时，质量块产生位移，极板间距微弱变化，导致差动电容也随之变化。l 在电路一端产生高频激励电压，在此激励下，微弱的差动电容变化通过信号检测电路转换成电压信号。l 经过解调、滤波与放大电路，便可获得此结构下加速度实际感应值对应的电压输出值。感谢您的聆听导航基础（一）HARBINENGINEERING

UNIVERSITY目录/Contents010203坐标系03方向余弦欧拉角惯性器件标定01坐标系导航的任务就是确定载体的运动参数，即确定载体在某个坐标系的位置、速度以及姿态等。什么是运动物体的姿态？词典:

指物体呈现的样子。惯性技术:

指载体坐标系与参考坐标系相对角位移关系。1.

坐标系5常用坐标系如下：惯性坐标系i地球坐标系e地理坐标系t载体坐标系b平台坐标系p1.

坐标系惯性坐标系（i）：相对恒星所确定的参考系称为惯性空间，相对惯性空间静止或作匀速直线运动的参考坐标系。日心惯性坐标系：原点取在日心。地心惯性坐标系：原点取在地心，Z 轴与地球自转轴一致，X、Y 轴在赤道平面内，指向某个恒星,与Z构成右手直角坐标系。地心惯性坐标系不参与地球的自转运动，即其三根坐标轴在惯性空间的方向保持不变。1.

坐标系地球坐标系（e）：原点取在地心，Z 轴沿极轴（地轴）e方向，Xe

轴在赤道平面与本初子午面的交线上，Ye

轴也在赤道平面内并与Xe

、Ze

轴构成右手直角坐标系。地球坐标系随地球自转而变化。RR

o

hxeyeez

极轴

ie本初子午面赤道平面1.

坐标系地理坐标系（t）原点位于运载体所在的点，Xtt轴沿当地纬线指东，Y

轴沿当地子午线指北；

Z

轴垂直于tXt,Yt 轴构成的平面，构成右手直角坐标系。其中Xt

、Yt

轴构成的平面即为当地水平面。地理坐标系随地球自转、载体运动而变化。R

o

h极轴NExtytzt1.

坐标系载体坐标系（b）：载体坐标系zb轴垂直于甲板，

yb轴沿载体纵轴，xb轴沿载体横轴。载体姿态即为载体坐标系相对于地理坐标系角位移关系，对于船舶，可由横摇角、纵摇角和航向角三个角度描述。1.

坐标系平台坐标系（p）：在平台式惯性导航系统里，惯性元件陀螺仪和加速度计安装在与运载体姿态运动相隔离的平台上，原点在平台质心，zp轴垂直于平台台面，yp轴指向平台北，

xp轴指向东。构成右手坐标系。平台坐标系和地理坐标系一致么？1.

坐标系02方向余弦问题：已知一个矢量在某个坐标系下的表示，如何求其在其他坐标系下的表示？方向余弦法（九参数法）欧拉角法（三参数法）四元数法（四参数法）2.

方向余弦方向余弦定义设取直角坐标系OXYZ，沿各坐标轴的单位矢量分别为i、j、k；设过原点有一矢量R，它在各坐标轴上的投影分别为Rx，Ry，Rz。矢量R的投影表示为𝑹=𝑅𝑥𝒊+

𝑅𝑦𝒋+𝑅𝑧k投影Rx，Ry，Rz分别表示为𝑅

∙

𝑐𝑜𝑠 𝑅෢,

𝑥 ,𝑅

∙

𝑐𝑜𝑠 𝑅෢,

𝑦 ,

𝑅

∙

𝑐𝑜𝑠 𝑅෢,

𝑧其中𝑐𝑜𝑠 𝑅෢,

𝑥 ,

𝑐𝑜𝑠 𝑅෢,

𝑦 ,

𝑐𝑜𝑠 𝑅෢,

𝑧 是矢量R与坐标轴X,

Y,

Z正向之间夹角的余弦，称为方向余弦。XYZORR

xR

zR

yijk2.

方向余弦坐标系各坐标轴方向余弦直角坐标系Oxryrzr与载体固连（简称r系）Ox0y0z0为参考坐标系（简称0系）要确定载体在空间的角位置，只要确定载体坐标系在参考坐标系的角位置即可。而要做到这一点，只需要知道xr、yr、zr这三个轴的九个方向余弦。Z0X

00YZrX

rYrRj0k0irrjkri02.

方向余弦Cr00r或

C

来表示，即

23

21 220

C

C

C

C11 C12 C13

C

r

32

2212

C

C

CC21 C31

C11C

0r方向余弦矩阵把上述九个方向余弦组成一个3*3阶矩阵，用Cr0

C31 C32 C33

则称这种矩阵为方向余弦矩阵。其中

C13 C23 C33

为0系到r系的方向余弦矩阵，为r系到0系的方向余弦矩阵。0rC2.

方向余弦基于方向余弦的坐标变换设过坐标原点O有一矢量R，矢量端点为M。现直接用Xr,

Yr,

Zr代表R在刚体坐标系OXrYrZr上的投影，并直接用X0、Y0、Z0代表R在参考坐标系OX0Y0Z0上的投影，矢

量

R

在

刚

体

坐

标

系

和

参

考

坐

标

系OX0Y0Z0中可分别表示为：𝑹=𝑥0𝒊𝟎+𝑦0𝒋𝟎+

𝑧0𝒌𝟎𝑹=𝑥𝑟𝒊𝒓+𝑦𝑟𝒋𝒓+

𝑧𝑟𝒌𝒓Z0X

00YZrX

rYrRk0irjrj0kri02.

方向余弦基于方向余弦的坐标变换如果用方向余弦表示R在刚体坐标系OXrYrZr上的投影，则有:𝑥𝑟=𝑥0

∙cos 𝑥𝑟,

𝑥0൞𝑦𝑟=𝑥0

∙

cos 𝑦𝑟,

𝑥0𝑧𝑟=𝑥0

∙

cos 𝑧𝑟,

𝑥0+𝑦0

∙

cos 𝑥𝑟,

𝑦0+𝑦0

∙

cos 𝑦𝑟,

𝑦0+𝑦0

∙

cos 𝑧𝑟,

𝑦0Z0X

00YZrX

r+𝑧0

∙

cos 𝑥𝑟,

𝑧0+𝑧0

∙

cos 𝑦𝑟,

𝑧0+𝑧0

∙

cos 𝑧𝑟,

𝑧0YrRj0k0rirjkri02.

方向余弦写成矩阵形式：𝑥𝑟𝑦𝑟𝑧𝑟=𝐶11𝐶21𝐶31𝐶12𝐶22𝐶32𝐶13𝐶23𝐶33∙𝑥0𝑦0𝑧00=𝐶𝑟

∙𝑥0𝑦0𝑧0按照类似的方法，R在参考坐标系OX0Y0Z0上的投影可表示为：𝑥0𝑦0𝑧0𝐶11𝐶21𝐶31𝐶12𝐶22𝐶32𝐶13𝐶23𝐶33= ∙𝑥𝑟𝑦𝑟𝑧𝑟𝑟=𝐶0

∙𝑥𝑟𝑦𝑟𝑧𝑟对于任意一个确定矢量，利用方向余弦矩阵就可以在两个坐标系之间进行坐标变换。因此方向余弦矩阵又称为坐标变换矩阵。2.

方向余弦方向余弦矩阵性质根据方向余弦矩阵的正交性质，方向余弦矩阵具有如下性质：（1）两个方向余弦矩阵互为转置矩阵0 𝑟𝐶𝑟

𝑇

𝐶0

𝑇𝑟 0=

𝐶0 =

𝐶𝑟（2）两个方向余弦矩阵互为逆矩阵𝐶𝑟 −1=

𝐶0 𝐶0 −1=

𝐶𝑟0 𝑟 𝑟 0（3）各个方向余弦矩阵的转置矩阵与逆矩阵相等=0 0𝐶𝑟

𝑇

𝐶𝑟

−1=𝑟 𝑟𝐶0

𝑇

𝐶0

−1𝐶𝑟

𝐶𝑟

𝑇0 0=

𝐶𝑟

𝐶𝑟

−1=I0 02.

方向余弦方向余弦间关系式11𝐶2121321𝐶222+

𝐶223+

𝐶2𝐶231

32

33+

𝐶2 +

𝐶2+

𝐶2 +

𝐶2 =

1=

1=

1𝐶11𝐶21+𝐶12𝐶22+𝐶13𝐶23=

0𝐶21𝐶31+𝐶22𝐶32+𝐶23𝐶33=

0𝐶31𝐶11+𝐶32𝐶12+𝐶33𝐶33=

0𝐶11𝐶21𝐶31𝐶12𝐶22𝐶32𝐶13𝐶23𝐶33𝐶11𝐶12𝐶13𝐶21𝐶22𝐶23𝐶31𝐶32𝐶33= 01 0 01 00 0 1九个方向余弦之间存在六个约束条件，因而实际上有三个方向余弦是独立的。通常采用三个独立的转角即欧拉角来求出九个方向余弦的数值，这样便能唯一的确定两个坐标系之间的相对角位置。2.

方向余弦03欧拉角刚体坐标系相对参考坐标系的角位置，可以用三次独立转动的三个转角来表示，这就是欧拉法，三个独立的转角称为欧拉角。第一次旋转可绕任一轴进行第二次旋转绕其余两轴中任一轴第三次旋转绕除第二次外任一轴3.

欧拉角绕

𝑦𝑎正向𝜃绕

𝑧0正向 绕

𝑧𝑏正向𝜓 𝜑𝑥0𝑦0𝑧0−−−−⟶𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎

−−−−⟶𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏−−−−⟶𝑥𝑟𝑦𝑟𝑧𝑟𝑥𝑎=𝑥0∙cos𝜓+𝑦0∙sin

𝜓𝑦𝑎=

𝑥0

∙ −sin

𝜓 +𝑦0∙cos

𝜓𝑧𝑎=

𝑧00x0yxaay

ayy01.

绕Z轴z0(za

)

x0

xa

𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎0=𝑪𝑎

∙𝑥0𝑦0𝑧0=cos

𝜓−sin

𝜓0sin

𝜓 0cos

𝜓 00 1∙𝑥0𝑦0𝑧0将三维旋转表示为二维旋转更容易确定坐标轴之间的方向余弦角3.

欧拉角𝑎=𝑪𝑏

∙𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎=cos

𝜃 0 −sin

𝜃0 1 0sin

𝜃 0 cos

𝜃∙𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎2.

绕Y轴za

bz

ax𝑥𝑏xb

𝑦𝑏𝑧𝑏𝑥𝑏 =𝑥𝑎∙cos𝜃−𝑧𝑎∙sin

𝜃𝑦𝑏 =

𝑦𝑎𝑧𝑏 =𝑧𝑎∙cos𝜃+𝑥𝑎∙sin

𝜃3.

欧拉角𝑥𝑟𝑦𝑟𝑧𝑟𝑏=𝑪𝑟

∙𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏=cos

𝜑sin

𝜑0−sin

𝜑cos

𝜑0001∙𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏xbbyrx3.

绕Z轴yr

𝑥𝑟 =𝑥𝑏∙cos𝜑+𝑦𝑏∙sin

𝜑𝑦𝑟=𝑥𝑏

∙−sin

𝜑+𝑦𝑏∙cos

𝜑𝑧𝑟=

𝑧03.

欧拉角𝑥𝑟𝑦𝑟𝑧𝑟=

𝑪𝑟 ∙𝑪𝑏∙𝑪𝑎

∙𝑏 𝑎 0𝑥0𝑦0𝑧00=𝑪𝑟

∙𝑥0𝑦0𝑧0综合三次旋转：𝑪𝑟 =

𝑪𝑟 ∙𝑪𝑏∙

𝑪𝑎0 𝑏 𝑎 0cos𝜑cos𝜃cos𝜓−

sin𝜑sin𝜓cos𝜑cos𝜃sin𝜓+

sin𝜑cos𝜓−cos𝜑sin𝜃=−sin𝜑cos𝜃cos𝜓−

cos𝜑sin𝜓sin𝜃𝑐𝑜𝑠𝜓−sin𝜑cos𝜃sin𝜓+

cos𝜑cos𝜓sin𝜃sin𝜓sin𝜑sin𝜃cos𝜃3.

欧拉角欧拉角与姿态载体坐标系oxbybzb与导航坐标系oxnynzn之间的关系，可以用三个转动欧拉角来表示，对于船舶，定义如下：oxnyn

zn

oxbyb

zbox1

y1z1绕ox1

绕oy2

ox2y2z2绕

ozn航向角纵摇角横摇角3.

欧拉角04惯性器件标定4.

惯性器件标定安装误差示意图陀螺仪、加速度计的输出是什么？以陀螺仪为例：1、单位是什么？标度因数2、是否表征载体系？安装误差3、测量是否准确？零偏、标度因数误差

Gx

zx

Gz

g gzygyxgxygxzgzx

Gy

gzyyzg ggxzgzygyzgyxgxyg

bz

by

bx

cos

cos

yxsin

cos

sin

cos

sin

cos

cos

xzsin

sin

cos

cos

cos

sin

Gz

Gx

gyxgxyzx

Gy

gxzgzygyz

bz

by

bx

11

g

1

小角度4.

惯性器件标定

Gy

gygy

D

Kgx

Ngx

0y

D0

x

0

Ngz

0

N

0Kgz

Gz

D0z

K 0

0 0

Gx

标度因数：输出量与输入量的比值零偏：输入量为0时的输出量

gygyGy

D

N

0y

0 1/

K 00 0 1/

K

gz

N

gz

D0

z

0

Ngx

D0x

1/

K

gx

0

Gz

Gx

移项

by

gyxggzxgxzzy

bx

gyzgz

xygygxgz

gy

gx

DK

N

K

bz

0

z

0y

0

x

0 K

N

0N

00 0

11

D

D1

0

g

代入，整理陀螺仪误差数学模型4.

惯性器件标定

bz

by

bx

az

ay

bax

az

ayaxgyxaxyxzzy

azxazyayx

ayzaxz axy

a

f

f

N

NE

EE

E

0z

0

y

a0

x

0

0

0

K

0 ，

，N

N

，f

f

K 0 0

0

zx

a 0

yz0

a

，K

0

K0 E

a

0 E E

0

a

a

Na

Ka(I

Ea)fb

0加速度计误差数学模型感谢您的聆听导航基础(二)HARBINENGINEERING

UNIVERSITY目录/Contents0201惯性导航基本概念导航坐标系的旋转01导航坐标系的旋转惯导系统基本原理涉及问题：如何获得加速度在导航坐标系下的投影？(导航坐标系的旋转)如何获得载体相对运动的加速度？（比力方程）有了导航坐标系下载体相对运动加速度，如何求载体的速度和位置？(惯导系统计算方程)如何获得载体的姿态？（姿态矩阵定义与更新）1.

导航坐标系的旋转经度

λ，纬度

L航速𝑉，航向𝐾导航坐标系相对惯性坐标系的旋转

in地球自转，地球坐标系相对惯性坐标系旋转

ie载体运动，导航坐标系相对地球坐标系旋转

en

in

ie

enxzyL OeEVVNVPNh1.

导航坐标系的旋转0

ωnieie

cos

L

iesinL

ie①

地球自转引起的

极轴方向，投影到导航坐标系X、Y、Z三个轴上xzyL OeEVNVVPNh1.

导航坐标系的旋转东向速度VE

=V

sinK引起坐标系绕地轴的旋转（经度的变化），旋转角速度为VE

/

RN

cos𝑳

，方向沿地轴方向。北向速度VN

=V

cosK引起坐标系绕

x

轴的旋转（纬度的变化），旋转角速度为VN

/

(RM+h)，方向指向地理坐标系的x

轴负向。

en② 载体运动引起的xzyL OeEVVNVPNh1.

导航坐标系的旋转

MωnenNNVyVNR

hR +hMVxVE

(Rh)

cos

L

cos

L

=

R

hVV

E sin

L

x tan

L

(RN

h)

cos

L

RN

h载体的运动引起的导航坐标系相对地球坐标系的角速度在导航坐标系的x、y、z轴上都有投影，它们可表示为：xzyLOeEVVNVPNhVx轴负向

N RM

+hVE(RN

+h)

cos

L极轴方向1.

导航坐标系的旋转nnninieen

③ 导航坐标系相对惯性坐标系的旋转

in0

ωnieie

cos

L

iesinL

y ωninieNieNVRM

hVx

cosL

R

hVx

sinL

Rhtan

L

=

ωnenNVyR

hMVxR

hV

x tan

L

RN

h1.

导航坐标系的旋转01惯性导航基本概念惯性导航基本原理:以牛顿力学定律为基础，利用一组加速度计连续地测量运动载体在某一选定导航平台确定的坐标系下加速度信息，一次积分得到载体在选定导航坐标系的即时速度，再一次积分得相对导航坐标系的位置。2.

惯性导航基本概念捷联式惯导系统利用加速度计的输出转换到导航坐标系。ωinnb进一步计算获得C

后，便能将沿载体坐标系正交放置的平台式惯导系统物理平台。加速度计和陀螺仪安装在稳定平台上。利用ωin 控制平台跟踪导航坐标系

，此时沿平台坐标系正交放置的加速度计输出即投影在了导航坐标系。数学平台。加速度计和陀螺仪安装在运载体上。目标：将加速度计的输出投影到导航坐标系，即获得f

n2.

惯性导航基本概念按平台类型划分平台式惯导系统捷联式惯导系统物理平台。加速度计和陀螺仪安装在稳定平台上数学平台。加速度计和陀螺仪安装在运载体上惯性导航系统的分类2.

惯性导航基本概念平台式惯导系统物理平台。加速度计和陀螺仪安装在稳定平台上。控制平台跟踪导航坐标系，平台坐标系即导航坐标系，以物理的形式获得f

n

。如果不对平台进行控制，稳定平台将稳定在惯性坐标系。为了使平台坐标系与导航坐标系保持一致，需要求得导航坐标系相对于惯性坐标的的旋转角速度ωin

。控制平台跟踪导航坐标系，此时沿平台坐标系正交放置的加速度计的输出即投影在了导航坐标系。利用ωin2.

惯性导航基本概念捷联式惯导系统）。数学平台。加速度计和陀螺仪安装在运载体上。nb通过姿态矩阵C

把加速度计的输出从载体系变换到导航坐标系（n n bbf =C

f要求载体相对导航坐标系的角运动信息，陀螺仪可测得载体相对惯性坐标系的角运动，因此需要求得导航相对惯性坐标系的角运动ωin

。载体惯性导航陀螺仪测量计算？利用进一步计算获得后，便能将沿载体坐标系正交放置的加速度计的输出转换到导航坐标系。ωinnbC2.

惯性导航基本概念平台式惯导系统空间稳定惯导系统当地水平惯导系统平台跟踪并稳定在当地水平面内，导航参数是相对当地水平面的，无需转换即可用于导航定位平台稳定在惯性坐标系内，导航参数需要经过坐标转换而得到，也称为解析式惯导系统（物理平台）固定指北惯导系统游动方位惯导系统自由方位惯导系统平台跟踪并稳定在地理坐标系内平台水平轴稳定在水平面内，方位不加控制平台水平轴稳定在水平面内，方位利用

ie

sin

控制2.

惯性导航基本概念17平台式惯导系统捷联式惯导系统惯性平台能够隔离载体的角振动，为惯性仪表提供了较好的工作条件；省去了物理平台，结构简单，体积小维护方便；平台能够直接建立导航坐标系，计算方便；陀螺仪和加速度计直接安装在载体上工作条件不好，从而影响仪表的测量精度；结构复杂，尺寸过大，价格昂贵。捷联惯导可靠性高，初始对准快，应用更广泛。平台式惯导系统与捷联式惯导系统对比2.

惯性导航基本概念a

dVdt

tadt0V

V0

tVdt0S

S0

V

dsdt利用牛顿定律

a=F/m加速度（Acceleration）

、速度（

velocity

）和航程（Posit