新高考（九省联考模式）2024年全国第四届章鱼杯联考高中组数学试题＋答案

2024年第四届章鱼杯联考(高中组)A.0B.1A.4B.5A.38B.171A.(-~,0)U(2,+)B.(-,0)UC.[0,2]A.7B.9C.11√√√√√√√√√.F:x²-3y²=-3,A(0,2),B,C在「上且直线BC经过A.设1B,1c分别为F在B,C处的切线，点BD⊥l,CD⊥lc则D的轨迹方程是;若D的横纵坐标均为正整数，且二者之和大于2024,四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.双五棱锥是由两个侧面均为边长为1的正三角形的五棱锥上下拼接而成的，如图所示.(1)求双五棱锥的内切球半径；(2)求分别位于拼接面(正五边形)两侧的相邻的两个正三角形构成的二面角的余弦值.16.(15分)校乒乓球锦标赛共有2n位运动员参加.第一轮，运动员们随机配对，共有2n-1场比赛，胜者进入第二轮，负者淘汰.第二轮在同样的过程中产生2n-2名胜者.如此下去，直到第n轮决出总冠军.设任意两场比赛的结果相互独立，不存在平局，且V1≤i<j≤2",当x₁与xj比赛时，;x₁获胜的概(1)求最后一轮比赛在水平最高的两名运动员.x₁与x₂之间进行的概率.第四届章鱼杯高中组·数学第3页(共5页)17.(15分)(a)行星绕太阳运动的轨道为椭圆(圆可视为特殊的椭圆),太阳位于椭圆的一个焦点上，所有行星的(b)行星在其椭圆轨道上的相等时间内，与太阳连线所扫过的(c)行星的公转周期的平方与它们的椭圆轨道长轴的立方成正比.开普勒三定律为我们理解行星运动提供了重要的基础，并且被广泛应用于天体力学和行星设a,b,c>0,a²=b²+c²,地球、太阳、火星均可视为点，太阳位于(-c0),似看成圆C₁:(x+c)²+y²=(a-c)²,火星的公转轨道可近似看成圆Cz:(x+c)²+y²=(a+c)?,且火星的公转周期约为地球公转周期的1.882倍.霍曼转移轨道E是以太阳所在位置为其中一个焦点，并且与C₁,C₂均相切的椭圆.2020年，我国自主研制的火星探测器天问一号从地球发射，经霍曼转移轨道到达火星，如下图所示.(2)设天问一号位于E上的一点P,当P不在(C₁上时，C₁上存在依赖于P的两点A,B,使得∠APB为观测地球的最大视角(即地球不可能位于该角的外部),问：轨道平面内是否存在定圆C₃,使得直线AB恒与(C₃相切?证明你的结论.第四届章鱼杯高中组·数学第4页(共5页)18.(17分)(2)若a≥0,,求f(x)的最大值(用a表示);(3)若f(x)恰有三个极值点，直接写出a的取值范围.(1)试求出所有三元实数组(a,B,γ),使得an为等比数列.第四届章鱼杯高中组解答2024年2月6日f(x)=10x³-12x²+3x,故.f(3)=10×3³-12×3²+3×3=1711【解析】不妨设出发顺序为1,2,…,n,若31≤i≤n-1,使得b₁+r₁<b₄i+ri+i,交换i与i+1的出发顺序，显然i+1会比交换前更早完成比赛.交换前i和i+1的完赛总时长为S₁+Su₁+b+₁+r+i.交换后i和i+1的完赛总时长为Si+S₁+b₁+ri,又b₁+r₁<b+1+ri+i,故交换后i和i+1的完赛总时长减少，而其他人不变，从而全体完赛总时长减少.由此可反复交换在总时长均减小，直到按b₁+r;降序排列，此时达到最优.【解析】若O≤k≤2,则-1≤1-k≤1,取y=0,则cosx+kcosy=1有解，不符题意，舍去.若k<0,则1-,故即可.综上，k的范围是((-,0)U(2,+).则no=min{n∈[1,12]∩Z|bn<1},解得no=11.若no=13,同理可得ai₃<ai₂,矛盾!综上，【解析】由5∈A知72°角(正五边形对应的圆心角)可用尺规作出，由3∈A知60°(正三角形对应的出，3°=18°-15°可用尺规作出，从而所有3°的整数倍都可用尺规作出.由9车A知20°(正九边形对应的圆周角)不可用尺规作出，于是1⁰=7×3°-20°°不可用尺规作出，2°=2×1°也不可用尺规作出，从而有且仅有3°的整数倍能用尺规作出，故21°和48°可以，25°和62°不行.【解析】A正确.B项：设异面直线a,b的公垂线为CD,其中2A项：这表明第一秒每个固定的进程访问失败的概率都是即∑显然z₀=2,wo=1是*的一组解，同时注意到若(z,w)是*的一组解：则((2z+3w,z+2w)也是*的一组解.而x=3w,y=3+5z,故可取x=3×209=627,y=3+5×362=1813,5(10分)(15分)因此求和后总概率变小，这表明x;为总冠军的概率大于x₁+i为总冠军的概率.(2分)(4分)(x+c)(x₂+c)+y₂y=(a-c)².(*2)取取(15分)置φ(x)=1-2lnx-x²,则于是φ(x)在(0,+~)单调递减.又φ(1)=0,故0<x<1时φ(x)>0,x>1时φ(x)<0.从而f(x)在(0,1)单调递增，在(1,+)单调递减.(5分)Vxo>0,Vx>0,g(x)≤g'(xo)(x-xo)+gφxo>0,Vx>0,h(x)≥h'(x₀)(x-xo)+h(x₀).(8分)g(x₀)-h(x₀)=2Inx₀+1-x₀(x0所以Vx>0,我们有g(x)≤g'(x₀)(x-x₀)+g(x₀)=h'(x₀)(x-x