函数的单调性讲义（知识点基础题提升题解析）-高一上学期数学人教A版

函数的单调性函数的单调性1、增减函数的定义：一般的，设函数定义域为I，如果对于定义域内的某个区间D上的任意两个自变量，增函数：当时，都有，就说函数在区间D上是增减函数：当时，都有，就说函数在区间D上是减函数注意：（1）对选取要有任意性（2）函数单调性是针对单调区间来说的（3）单调性是不严格的大于或小于，不可以（4）对于区间端点开闭区间都可以，对于无意义点必须是开区间（5）单调区间不能取并集，可以写‘和’或‘，’单调性本质：自变量和函数值的变化趋势情况，一致是增函数，不一致是减函数理解单调性的的本质，能正确识别函数的变化趋势，从而确定单调性（如和都表示增函数）【例1】判断题（1）所有函数在定义域上都具有单调性（×）（2）若函数在定义域上有，则函数是增函数（×）（3）若函数在和上单调递减，则在上单调递减.（×）（4）若函数在实数集上是减函数，则（√）（5）若函数在区间上是减函数，则函数在区间上的图象是下降的（√）（6）若存在，，使成立，则函数在上单调递增（×）（7）若函数在区间上总有，则函数在区间上单调递增（√）（8）若函数在区间上，自变量和函数值变化趋势总相同，则函数在区间上单调递增（√）【例2】判断下列函数的单调性（1）（2）（3）（4）解：（1）当时，在R上为增函数当时，在R上为减函数总结：一次函数，一次项系数为正函数为增；系数为负函数为减（2）当时，在为减函数，在为增函数当时，在为增函数，在为减函数总结：二次函数单调性决定于开口方向和对称（3）当时，在为减函数，在为减函数当时，在为增函数，在为增函数总结：反比例函数单调性决定于分子的正负，分子为正单调性不变；分子为负单调性相反（4）在区间和为增函数；在区间和为减函数；判断函数的单调性（单调区间）方法：图像法：对于熟悉的函数、一次、二次、反比例和能画出图像的函数，可利用图像判断单调性定义法：（适用于抽象函数和陌生函数）作差法：①取值，设是该区间任意两个值，且，②做差，即作，③判号，确定的符号，当符号不确定需要讨论，④定论，得出结论做差时常用的变形技巧：①因式分解:当原函数是多项式函数时,通常作差后进行因式分解.②通分:当原函数是分式函数时,作差后往往先进行通分,然后对分子进行因式分解.③配方:当原含数是二次函数时,作差后可以考虑配方.④分子有理化:当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化。运算性质法：①当a>0时，a与具有相同的单调性，当a<0时，a与具有相反的单调性②当函数恒为正时（恒为负时），和单调性相反（如，）③若，则和具有相同的单调性（如，）④若和具有相同的单调性，则的单调性与、相同⑤若和具有相反的单调性，则的单调性与相同思考题：已知函数在区间I上都是增函数，则是增函数；现在尝试讨论在区间上都是增函数，则,的单调性？解：和与和单调性之间的关系并不确定：的单调性需要看哪个增长的快慢：为增函数，为减函数【例3】判断下列函数的单调性（1）（2）（）解：利用定义法：任取,令，所以在R上为增函数任取,令，（分子有理化），所以函数在为增函数！【例4】判断下列函数的单调性（1）（2）（3）解：（1）（2）利用运算性质判断函数的单调性（3）定义域，【例5】判断下列函数的单调性（1）（2）解（1）定义域，方法一：图像平移，图像向右平移一个单位，方法二：运算性质：，（2）定义域，方法一：图像平移方法二：运算性质：，总结：分式型，分离常数转换为反比例函数，单调性在定义域处分段，两段单调性相同若反比例函数系数为正单调性不变；系数为负单调性改变，常数不影响单调性【例6】已知函数在定义域内是减函数，且，下列函数在其定义域内为增函数的是______①；②；③；④答案：②③三、含有绝对值函数的单调性我们先研究简单绝对值①②方法一：分类讨论（一定要会），当时，；当时，，画出图像方法二：图像变换，绝对值把轴下方图像沿轴翻折到轴上方方法二：绝对值函义是距离，都是表示到1的距离。画出图像（主要处理多个绝对值问题）【例7】（1）函数的单调递减区间是______；单调递增区间是______。解：方法一：分类讨论方法二：距离，表示到3的距离。画出图像，再平移，减区间，增区间是（2）函数的单调递减区间是______；单调递增区间是______。解：方法一：分类讨论方法二：距离，表示到3的距离。画出图像，再平移，增区间，减区间是思考：的单调性？（3）函数在为增函数，则的取值范围是______。解：注意增区间和增函数的区别画出函数的图像，增区间是，所以(4)函数的单调递增区间是,则的值为_______解：，增区间是，所以变形：函数在区间是是增函数，【例8】（1）求函数的单调性解：方法一：分类讨论（一定要会）方法二：距离，表示到1和3的距离之和。画出图像，减区间是斜率为2，增区间斜率为2（2）求函数的单调性解：方法一：分类讨论（绝对值越多，分类讨论越麻烦、用距离比较方便）方法二：距离，画出图像，减区间是，增区间（3）求函数解：距离，画出图像，减区间是，增区间（思考：最小值在哪里取到）（4）求函数的单调性解：画出图像，增区间是（1,2）求函数的单调性解：【例9】*已知函数的定义域为，则函数的单调增区间是_______解：定义域：，的定义域：根据绝对值定义，保留轴右侧图像，翻折到左侧！根据图像，增区间为和四、分段函数的单调性:已知分段函数，定义域为R若果函数为增函数，则有，若果函数为减函数，则有【例10】设函数在上单减，求的取值范围解：【例11】已知函数在上单增，求的取值范围解：【例12】已知函数（），尝试画出的图像，并分析函数的单调性和最小值解：方法一：利用描点法作出大概的图像（）方法二：累加法，画出图像进行累加这就是著名的对勾函数，也可以叫耐克函数，它的渐近线是（思考：时图像）减区间是（0,1），增区间是，最小值是2拓展：的单调性性的单调性性【例13】*设函数（）当时，求函数的单调递减区间若函数在上单调递增，求取值范围解：（1）当时，，递减区间是（2）在上单调递增所以函数的最大（小）值1、函数最大(小)定义：一般地，设函数的定义域的是I，如果存在,使得,,对于任意，都有（），那么就称M为函数最大（小）值！理解:①M是函数值，有，②对于定义域内全部元素，都有（）2、函数的单调性和最值：求值域的方法很多，常用公式法、图像法等，还用一种重要方法就是单调性法①若函数在区间上是增函数，最小值，最大值若函数在区间上是减函数，最小值，最大值②若函数在区间上是增函数，则函数在没有最大值，但可以说在区间上的值域是注意：利用单调性求最值时，勿忘先求定义域，再求单调性，再求最值！【例14】已知二次函数，则在上的最大值_______,最小值_______解：对称轴，，（离对称轴越远，函数值越大）【例15】设函数在区间的的最大值和最小值分别为，则解：，，，【例16】函数的最小值_______,最大值_______解：画出图像，由图像可知，无最大值【例17】用表示两个数中的最小值，设，则的最大值______解：分段函数：画出，图像，我们取两个函数图像最低的部分解得最大值为变形：【例18】已知，，，则的最值情况？解：画出图像，无最大值也无最小值含参的最值问题1、一次函数含参：一次项系数：①，;②当，；③当，【例19】已知函数，在区间上是减函数，则实数的范围是_____解：【例20】已知函数在上的最大值为9，则实数的值为_______解：当时，，，，解得，满足当时，，，，解得，满足二次函数含参：①二次项系数：，，②对称轴和所给区间的位置关系【例21】已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是_______解：开口向上，对称轴，可知【例22】若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是_______解：当时，，满足当时，开口向上，对称轴为，当时，开口向下，不满足综上：【例23】已知函数在区间上有最大值3，最小值为2，则实数的取值范围_____解：在，，，故【例24】已知函数在区间内最大值为，则解：动轴定区间问题，开口向下，对称轴为当时，，（舍）或当时，，当时，，（舍）综上：或【例25】已知函数，，且的最大值为，则的取值范围是______解：可知，对称轴为，区间的中心为画图可知，只需要，所以反比例函数含参：①单调性不变，单调性改变②决定单调性区间位置【例26】已知函数在上的最大值1，则______解：当时，在函数，当时，在函数，（舍）【例27】已知函数，若函数在上为减函数，则实数的取值范围_______解：，已知上为减函数，则,且，故【例28】若函数在区间上是增函数，在区间是减函数，则的范围解：对称轴，，，，故【例29】（多）函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（）有最小值B、没有最大值C、单调递减D、单调递增解：对称轴为，所以当时，当时，答案：BD4、含参的恒成立问题恒成立问题/存在性问题:转化为最值问题题型1：求参数范围：①分离参数：把参数分离到不等号一侧（容易分离，且符号不变）②分类讨论：不能分离，直接对原函数讨论最值【例30】当时，恒成立，则的取值范围是_______解：，，开口向下，对称轴，，故【例31】函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数范围_____解：，当时，，，满足当时，，，，故当时，，，，故综上【例32】已知存在，不等式成立，则实数取值范围是______解：，所以设，设，对称轴为，，所以，所以【例33】*设函数，对任意的，使恒成立的的范围_____解：恒成立转化为当时，根据单调性运算法则：为增函数，无最大值所以不成立。当时，恒成立令在，故（舍）题型2：双变量问题值域有交集特点：与一个含参，一个不含参数【例34】已知函数，，若对任意，总存在使得成立，则实数的取值范围是______解：，，，，所以【例35】已知函数求函数的解析式已知.若对任意，总存在，使得成立，求实数取值范围解：（1）设，，（2），，，,对称轴，所以【例36】*已知函数，若，当时，求函数值域若时，若存在，对任意都有成立，求实数取值范围解：（1）若，，递增（2）当时，，存在，对任意，，，设，，所以综上：或函数单调性的应用（如何利用函数单调性解题）对单调性本质的运用：自变量和函数值变速趋势的判断，趋势相同时增函数、变化相反是减函数①自变量的大小关系，②函数值的大小关系，③单调性，任意“給二推一”变形：若，则①已知类型——画图（含参需要分类讨论）②复杂函数——运算法则构造新函数：不等式中同时存在，，我们把，整理到一侧，构造一个新的函数；如：已知，设，【例37】已知函数是定义域为R的增函数，且，求实数的取值范围解：增函数变化趋势相同，所以【例38】已知函数在为减函数，且，求的取值范围_____解：【例39】已知函数在是减函数，则满足的的集合为_______解：注意：（1）若改成，则满足的的集合为根据运算法则，在，且和同一区间（2）若改成，则满足的的集合为【例40】已知函数在上单调递减，且当时，，则的解集为_____解：，所以【例41】已知函数在上为单调函数，，是其图像上的两点，则不等式的解集解：，所以函数为单调减函数或，综上【例42】已知且，，试比较的大小解：已知函数图像，减区间是（0,1），增区间是当时，当时，，综上】【例43】已知函数，若对任意的，当时，总有，求实数的取值范围解：思考：形式如何理解？，设，对任意的，当时，，则在区间为增函数，对称轴为，所以变形：若，对比和与的区别【例44】（多