2022-2023学年浙江省温州市浙南三校联盟高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省温州市浙南三校联盟高二(下)期末数学

试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.设集合4={x||x-2|>1},B={x|log2x<1},则(CRA)CB=()

A.(0,1)B.(0,2)U(3,+8)C.[1,2)D.(1,2)U(3,+8)

2.复数2=；-+尸03的共聊复数是()

l-l

A.ITB.|+|iC.\-\iD.-1+1i

3.己知|引=2出I，若五与方的夹角为60。，则2坂一五在日上的投影向量为()

A.3—3aB.-5五C.—aD.3a

4.围棋是中国传统棋种，蕴含着中华文化丰富内涵.围棋棋盘横竖各有19条线，共有19X

19=361个落子点,每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的

上限Ma3361.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数NX1080则下列各数中

与今最接近的是(参考数据：lg3«0.48)()

A.1093B.1083C.1073D.1053

5.已知/(x)=ln(x2-ax+2a—2)(a>0),若f(x)在[1,2)上单调,则a的范围是()

A.(1,2]B.(0,2]C.(0,2]n[4,+8)D.(1,2]u[4,+oo)

6.数列{a”}是等比数列,首项为由,公比为q,则是“数列{&J递增”的

()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知圆C：/+y2=4,点P为直线x+y-4=0上一动点，过点P向圆C引两条切线P4

PB,A,B为切点，则线段4B长度的最小值为()

A.2y/~2B.3>T1,C.4D.4V-2

8.已知函数/(x)=-xsina+asina+cosa[-n<a<-x='是f(x)的零点，则当一兀<

x<兀时，不等式f(x)-cosx<0的解集为()

A.[aB.岁初C.[a,D.[―兀,今

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.有一组样本数据%,x2,%n,其平均数和方差分别为％,s2,由这组数据得到一组新样

2

本数据月,y2f...»%，其中%=4勺+3a=1,2,…九)，其平均数和方差分别为y,s',则()

A.y=4%B.4s2=s'2C.x=^y—D.s2=^s，2

J4y416

10.已知抛物线y2=4X的焦点为F,过原点。的动直线l交抛物线于另一点P,交抛物线的准

线于点Q，下列说法正确的是()

A.若。为线段PQ中点，则/的斜率为±2B.若|PF|=4,则|OP|=，H

C.存在直线，，使得PFLQFD.APFQ面积的最小值为2

11.已知连续函数f(x)满足：①Vx,y€R,则有+y)=/(x)+f(y)-1,②当x>0时，

/(x)>1,③f(l)=2,则以下说法中正确的是()

A.f(x)的图象关于(0,1)对称

B.f'(x)<0

C.f(x)在［-3,3］上的最小值是-2

D.不等式/(2d)一/(x)<f(2x)+1的解集为{x|-；<x<2}

12.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终

保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动(如图甲)，利用这一原理，科技人员发明

了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个

球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体4BCD的棱长为2,则下列说法正确的是

()

A.能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为2

B.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为2-?

C.勒洛四面体的截面面积的最大值为2兀-2/耳

D.勒洛四面体表面相交弧总长小于2，飞兀

三、填空题(本大题共4小题，共20.()分)

13.若一个三棱台的上、下底面的面积分别是1和4,体积为亨，则该三棱台的高为.

14.某单位安排4、B、C、D4人去甲、乙、丙三地出差，每人仅出差一个地方，每个地方都

要安排人出差，若4不安排去甲地，则不同的安排方法有种.

15.已知点P为双曲线捻-，=1(。>0/>0)右支上的一点，点&,七分别为双曲线的左、

右焦点，若时为小PF1F?的内心，且SAPMR=SAPMFZ+阻则双曲线的离心率为

16.如图，已知正方体/BCD-4当6。1顶点处有一质点S,

点S每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个

顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称

为移动一次.若质点S的初始位置位于点A处，记点S移动n次后

仍在底面4BC0上的概率为4,则£之1丹=.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

在4ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=2,cos2C—cos2B=2sinA(sinB—

sinA).

(1)求△ABC周长的最大值；

(2)若sin(24-.)=cosC,求AABC的面积.

18.(本小题12.0分)

如图，在三棱柱ABC-aB1C1中，点E,尸分别在棱BBi，CC1上(均异于端点)，AB=AC,

乙ABE="CF,BBi1平面4EF.

(1)求证：四边形BEFC是矩形；

(2)若4E=EF=2,BE=?，求平面ABC与平面AEF所成锐二面角的余弦值.

A

E

C\

11

风

19.(本小题12.0分)

aa

已知数列｛an｝满足1H+i-n\=2n4-1.

(1)若册是公差为d(d>0)的等差数列｛%｝的前力项和，求出的值；

(2)若为=1,a2=-2,且数列但2“_1｝单调递增，数列也2„｝单调递减，令%=急7,求证：

20.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=/+ae*—2,a&R.

(1)若a=-l,判断函数的单调性；

(2)若/(x)有两极值点X],X2-S.2%!<x2,求a的范围.

21.(本小题12.0分)

某国有芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期，该款芯片的/批次生产

有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人

工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为Pi=亲多=看孑3=表.

(1)①求批次/芯片的次品率P/；

②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人

进行抽查检验.已知批次/的芯片智能自动检测显示合格率为92%,求工人在流水线进行人工

抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率.

(2)已知某批次芯片的次品率为p(0<p<1),设100个芯片中恰有1个不合格品的概率为s(p),

记中(p)的极大值点为Po,改进生产工艺后批次)的芯片的次品率与=P。.某手机生产厂商获得/

批次与/批次的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度

进行满意度调查.据统计，回访的100名用户中，安装/批次有40部，其中对开机速度满意的

有28人；安装/批次有60部，其中对开机速度满意的有57人.求Po,并判断是否有99.9%的把

握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？

2

附.K2=Mad-be)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>fc)0.0500.0100.0050.001

k3.8416.6357.87910.828

22.(本小题12.0分)

已知圆。：+y2=1与X轴正半轴交于点4,与直线y=在第一象限的交点为B,点C为

圆。上任一点，且满足元=x3?+yOB，以X，y为坐标的动点D(x,y)的轨迹记为曲线厂

(1)求曲线「的方程；

(2)若两条直线匕：丫=入和"：y=—上分别交曲线「于点E、F和M、N,求四边形EMFN面

积的最大值，并求此时的k的值；

(3)研究曲线厂的对称性并证明r为椭圆，并求椭圆r的焦点坐标.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：集合力=(x||x-2|>1]=(x\x<1或x>3],

B={x|log2x<1}={x|0<x<2],

•••CRA={x|l<x<3},

则(CR/DCB={x|lWx<2}.

故选：C.

求出集合4,B,QRA,由此能求出(CR4)CB.

本题考查集合的运算，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

2.【答案】D

【解析】解：z=^-+i103=^-+i-(i2)51=T--i=(1-0(1+0==

-1,1.

••-Z=-2+2l-

故选：D.

先求出复数z,再利用共规复数的概念求解.

本题主要考查了复数的运算，考查了共输复数的概念，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解:由间=2|石|，五与石的夹角为60。，

可得方,b=b=^\a\2>

则2石一方在五上的投影向量为：

(2b-a)aa_炯?二回2一_1一

网,而=\a\2'a=~2a'

故选：C.

根据五与方的模和夹角关系及投影向量的概念，直接计算即可.

本题考查平面向量的数量积运算及投影向量的概念，属基础题.

4.【答案】A

【解析】解：•••M，3361,N=1080,

.M_3361

"N-io80)

lg^=lg3361-IglO60=361仞3-80010=361s3—80《93,

.$1093.

故选：A.

由题意可得?=春，两边取对数得lg^=匈3361一仞1()80,再结合对数的运算性质求解.

本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：已知/(x)=ln(x2-ax+2a-2)(a>0),若/(%)在口,2)上单调,

则y=x2—ax+2a—2在［1,2)上单调，且/—ax+2a-2>0在［1,2)上恒成立，

份41.需22

P或,

112—a+2a-2>0(2?-2a+2a-2>0

解得1<aS2或a>4,

所以a的范围是(1,2］U［4,+oo)

故选：D.

由复合函数的单调性结合已知可得y=x2-ax+2a-2在［1,2)上单调，且好一ax+2a—2>0

在［1,2)上恒成立，由二次函数的图像与性质可得关于a的不等式组，从而可得a的范围.

本题这样考查复合函数的单调性与二次函数的图像与性质，考查运算求解能力，属于中档题.

6.【答案】B

【解析】解：由%(q-1)>。得%>0且q>1,或由<0且q<1且q力0,

当%>。且q>1时，数列｛即｝递增，

当的<0且q<l且qHO时，数列不一定是递增数列，当q<0时，数列为摆动数列，不是递增数

列，即充分性不成立，

若数列｛%｝递增，则满足即的(q-巾>0,即%(4-1)>0成立，即必要性成立，

即"为(q-1)>0”是“数列｛an｝递增”的必要不充分条件，

故选：B.

根据等比数列的通项公式以及性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，涉及到函数性质等基础知识，考查运算求解能

力等数学核心素养，是基础题.

7.【答案】A

【解析】解：圆C：x2+y2=4的圆心(0,0),r=2,点C到直线x+y=4的距离d=言=

则|P4|=J|PC『—r2,由切线长定理知，直线PC垂直平分线段4B,于是得：

MBI=2x收凶='用『-4=I4,PC的距离取得最小值时，AB的距离取得最小值,

11\PC\\PC\%|PC/

即：当且仅当点P与圆心C平行的连线取得最小值时，即d=\PC\=2c时，

弦4B长度的最小值为2-1，

故选：A.

求解圆的圆心与半径，求解点C到直线x+y=4的距离，推出伊川=,附|2-",然后求解伊8|,

推出弦4B长度的最小值即可.

本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长最小值的求法，是中档题.

8.【答案】D

【解析】解：由函数f(x)=-xsina+asina+cosa^-n<a<一乡得：

/(a)=-asina+asina+cosa=cosa,

・•・(a,cosa)是直线y=/(%)与曲线g(%)=cosx的一个公共点，

由9(%)=cosx,得g'(x)=—sinx,

・,・直线y=/(%)是曲线g(x)=cos%在％=a处取得的切线方程，

••"(])=0,所以(],0)是直线y=/(%)与曲线g。)=cos%的一个交点，

G，0)是曲线g(%)=cosx的一个对称中心，

・・・直线y=/(%)与曲线g(x)=cos%的一个切点的横坐标大于ns

•・•-n<a<-p

/.0<-sina<1,即直线y=/(%)是单调递增的，

・•・当一兀<x<兀时、不等式/(%)-cosx<0的解集为[-兀(].

故选：D.

由题意,f(a)=cosa,可得(a,cosa)是直线y=f(x)与曲线g(x)=cosx的一个公共点，结合f(，)=

0,-nr<a<-p直线y=/(x)是单调递增的，而6,0)是曲线g(x)=cosx的一个对称中心，所

以当—兀<x<兀时，不等式f(x)—cosx<0的解集可求.

本题考查了导数的几何意义，三角函数的图象与性质，属于中档题.

9.【答案】CD

【解析】解：因为％=4/+3。=1,2,…n),

所以数据比，y2,…%的平均数,=(4打+3)+(4无2；3)+・“+(4孙+3)=4京+3,故选项A错误;

此时x=Jy-弓，故选项c正确；

4J4

而方差S'?=42s2=16s2,故选项8错误，

此时S2=^S，2,故选项O正确.

故选：CD.

由题意，根据平均数和方差的公式进行求解即可.

本题考查平均数和方差，属于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：己知抛物线y2=4x的准线为x=-1,焦点

F(l,0),

若。为PQ中点，所以孙=1,

此时为>=±2,

所以直线/的斜率k=±2,故选项A正确;

若|PF|=4,

此时孙=4—1=3>

所以|0P|=y/xj,+yp=yjXp+4xP=V21>故选项B正确;

不妨设P(a2,2a),贝也(一1,一9,

所以京=(a2-1,2a),m=(2,$,

此时而=2。2-2+4=2。2+2>0,

所以FP与FQ不垂直，故选项C错误；

1171

因为SAPFQ=\\OF\•|yP-yQ|=-x1x|2a+^|=|a|+7^>2,

当且仅当|研=亩，即。=±1时，等号成立，

所以△PFQ面积的最小值为2,故选项。正确.

故选：ABD.

由题意，求出P点的横，纵坐标，即可得到直线/的斜率，进而可判断选项4结合抛物线的定义

求出P点的横坐标，再求出|OP|,进而可判断选项B；设P(a2,2a),得到Q(-1,-|),利用平面向

量的坐标运算看丽.评=0是否有解，即可判断选项C；根据三角形面积公式和基本不等式即可

判断选项D.

本题考查了抛物线的定义和性质，属于中档题.

11.【答案】ACD

【解析】解：因为连续函数/(4)满足:①vx,yeR,则有/'(x+y)=/(*)+

令x=y=o可得，/(o)=2/(0)-1,即/(0)=1,

令丫=-X可得，/(0)=/(%)+/(-x)-1=1,即/(x)+f(-x)=2,

所以“X)的图象关于(0,1)对称，A正确；

令*1<X2>则*2-#1>0，

因为当x>0时，/(%)>1,

所以f(小一与)=fg)+/(-%!)-1=/(%2)+2-/(%1)-1=/(X2)-/■(%1)+1>1,

所以〃右)>/(巧)，即/(X)在R上单调递增，

故/'(x)20,8错误；

因为f(l)=2,

所以f(2)=2/⑴-1=3,"3)=/(1)+/(2)-1=4,

由/(x)在［一3,3］上单调递增可知，/(%)在［-3,3］上的最小值为/(-3)=2-/(3)=2-4=-2,C

正确：

由f(2炉)-/(x)<f(2x)+1可得f(27)</(x)+(2x)-1+2=/(3x)4-/(1)=/(3x+1)+1,

故/(2/)</(3x+1)+2-1=/(3x+1)+/(I)-1=/(3x+2),

故2x2<3%+2,

解得一3Vx<2,。正确.

故选：ACD.

由已知条件结合函数的对称性及单调性定义，导数与单调性关系检验各选项即可判断.

本题综合考查了函数对称性，单调性的判断，还考查了单调性在不等式求解中的应用，属于中档

题.

12.【答案】ABC

【解析】解：对于选项4,由题意可知，勒洛四面体表面上任意两点间的距离最大值为2,

所以，能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为2,故A正确；

对于选项8,先求解出正四面体4BC0的外接球，如图所示：

取CD的中点G,连接BG,AG,过点A作/IF_LBG于点F,则F为等边△4BC的中心，

外接球球心为0,连接0B,则。40B为外接球半径，设。4=0B=R,

A

2空

一

一

一

由正四面体的棱长为2,则CG=DG=1,BG=AG=G，FG=；BG=?，3-BG一

AF=VAG2-FG2=I3-！=率，OF=AF-R=呼一R，

由勾股定理得：OF2+BF2=OB2,即（亨—R）2+（亨）2=R2,

解得：R=?,

此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：

图中取正四面体48CD中心为。，连接B。交平面ACD于点E,交检于点F,其中筋与△ABD共面,

其中8。即为正四面体外接球半径R=?,

设勒洛四面体内切球半径为r,则r=0F=BF-B0=2-?，故B正确;

对于选项C,勒洛四面体面积最大的截面即经过四面体力BCD表面的截面，

假设图2是投影光线垂直于面4BD时，勒洛四面体在与平面2BD平行的一个投影平面a上的正投影,

当光线与平面4B0的夹角小于90。时，易知截面投影均为图2所示图象在平面a上的投影，其面积

必然减小，

如图2,则勒洛四面体的截面面积的最大值为三个半径为2,圆心角为60。的扇形的面积减去两个边

长为2的正三角形的面积，

即是《兀x22—2x*黄x22=2兀一2C，故C正确；

24

对于选项。：勒洛四面体四个曲面每条交线为半径为2,对应圆心角为第勺弧长，

所以每条交线的长度为：y，共有6条相等的交线，

所以交线长的和为：与x6=4兀＞2，3乃，故。错误.

故选：ABC.

求出勒洛四面体表面上任意两点间的距离最大值，可求出能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的

最小值即可判断4求出正四面体ABCC的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，即可

判断B；分析可知勒洛四面体面积最大的截面即经过四面体4BCD表面的截面，计算出该截面面积，

即可判断C：勒洛四面体四个曲面所有交线相等，且每条交线为扇形，可以判断D.

本题考查了勒洛四面体的结构特征及定义，属于中档题.

13.【答案】＞/~~5

【解析】解：•.•一个三棱台的上、下底面的面积分别是1和4,体积为亨，设所求三棱台的高为人

・•/x(1+4xV1x4)xh=^

解得八=V-5.

故答案为：＜5.

根据三棱台的体积计算即可求解.

本题考查三棱台的体积问题，方程思想，属基础题.

14.【答案】24

【解析】解：①若有两人到甲地出差，

则不同的安排方法有戏虺=6种，

②若只有1人到甲地出差，

则不同的安排方法有询以福=18种，

综合①②可得不同的安排方法有6+18=24种.

故答案为：24.

由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理求解即可.

本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属基础题.

15.【答案】2

【解析】解：如图，设内切圆的半径为r,又SAPMF】=SAPMFZ+

2SAMAF?，

则根据三角形内切圆的性质可得：

||PF1|-r=||PF2|-r+|x||F1F2|.r,

|PF1|=|PF2|+j|F1F2|)

■■■\PF1\-\PF2\=^\F1F2\,

又P是双曲线右支上一点，

2a=^\F1F2\=c,

・•・e=£=2.

a

故答案为：2.

根据三角形内切圆的性质，双曲线的简单几何性质即可求解.

本题考查三角形内切圆的性质，双曲线的简单几何性质，属中档题.

16.【答案W

【解析】解：在正方体中，每一个顶点有3个相邻的点，其中两个在同一底面，

当点S在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为|,

当点S在上底面时，随机移动一次在下底面的概率为g,

所以匕=目，P2=|x|+|xi=1,.......依此类推，

可得匕+1=|%+*1-2)=4匕+9,即以+1-»家心一力

所以{匕-勺是以P1-22为首项，公比为3的等比数列，

则2一六"©尸=1(犷，

所以&=}(y+看

故答案为:i-(l)n+l.

根据全概率公式对S仍在底面ZBCD上的概率进行计算，结合数列中由递推公式求通项公式的方法

求得正确答案.

本小题主要考查全概率公式的运用，属中档题.

17.【答案】解:(1)因为cos2c—cos2B=2sinA(sinB-sinA),

22

所以(1—2sinC)—(1—2sm2B)=2sinAsinB—2sinAf

整理得，sin24+sin2F—sin2c=sinAsinB,

222

由正弦定理知，a+6-c=ab9

因为c=2,

2

所以4=a2+h2-ah=(a4-b)2—3ab>(a+6)2—3•=：(Q+b)2，

即a+bW4,当且仅当a=b=2时，等号成立，

所以a+b+cW4+2=6,

故△48C周长的最大值为6.

(2)由(1)知,a2+b2—c2=ab,

由余弦定理知，COSC=。2+庐-2=也=L

2ab2ab2

因为。€(0,兀)，所以C=*

若sin(24—2)=cosC=则2A—，=，+2/CTT或等+2kn,kEZ,

6Z2o66

解得/=3+k/r或§+kn,kEZ,

oZ

因为46(0年)，所以4屋或*

当A屋时，因为C=*所以B=*

由正弦定理知,

sinAsinC9

2x42x/-3

所以Q=g3，

2

所以△ABC的面积S=gac=gx"33x2=4

当4=割寸，因为C=*所以B屋,

由正弦定理知，名二三，

sinBsine

2x

所以b,=d12<3

所以△ABC的面积S=1/)c=|x^x2=^p

综上，△ABC的面积为日1

22

【解析】(1)结合二倍角公式与正弦定理化简已知等式，可得a?+b-c=ab,再由基本不等式,

求得a+b的最大值，即可得解;

(2)结合(1)中所得与余弦定理，求出C=会再利用正弦函数的图象与性质，可得4建或看然后

分类讨论，求△ABC的面积即可.

本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式，基本不等式是解题的关键，考

查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

18.【答案】(1)证明：因为三棱柱48。一力送16,所以

BB'/CCi，

因为BBi_L平面AEF,所以CQ_L平面AEF,

又因为AE,AFu平面4EF,所以B&1AE,CCX1AF,

所以4AE8=Z.AFC=90°,因为NABE=^ACF,且AB=AC,

所以AAEB三AAFC,所以4E=4F,BE=CF,

因为BE〃CF,所以四边形BEFC为平行四边形，

因为BBi1平面ZEF且EFu平面4EF,所以1EF,

故四边形BEFC是矩形；

(2)解:取E尸的中点G,连结4G,由(1)可知,AG1EF,

因为BBi1平面4E尸且BBiu平面BBiGC,所以平面4EF，平面BBiQC,

因为平面AEFn平面BBiGC=EF,且4Gu平面AEF,所以4G1平面B&GC,

取BC的中点H,以G为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

在A4E尸中，因为力E=4F且HE=EF=2,

所以AAEF为等边三角形，所以AG=「，

则4(0,<3,0),8(—1,0,?),C(l,0,?)，

所以布=而=(1,-，3,争，

设平面4BC的一个法向量为五=(x,y,z),

则有E&=0,即「一G胃z=。，

n-AC—0_y[~^y+—z=0

令y=l,则冗=0,z=3,所以记=(0,1,3),

因为平面4EF的一个法向量为沅=(0,0,1)，

r-r-Ki、n-m33V10

所以cos<n,m>=-=

故平面ABC与平面AEF所成锐二面角的余弦值为喑.

【解析】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的性质定理的应用，在求解空间角的

时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中

档题.

(1)利用棱柱的几何性质以及线面垂直的性质可得CCi_L平面AEF,从而得到BBi14E,CC11AF,

即可证明AAEB三△4FC,从而得到BE=CF,

再利用线面垂直的性质定理可得BBi±EF,即可证明结论；

(2)取EF的中点G,连结4G,取BC的中点H,以G为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出点的坐

标和所需向量的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量，然后利用向量的夹角公式进行求解，

即可得到答案.

19.【答案】解：(1)由题意可知瓦+i|=|an+1-an|=2n+l,所以也I=3,\b3\=5,\b4\=7,

因为｛bn｝是公差为d(d>0)的等差数列,所以82<b3<b4t

由电1=3知岳=3或-3，若⑦=3,则/=5,九=7,

若历=-3,则Z?3=5,于是/=13，与|九|=7矛盾，所以坛=3,Z?3=5,d=b3—b2=2,

所以的=瓦=1；

(2)因为数列｛Q2n-1｝单调递增，所以的v。3Va5V…，

数列｛。2/单调递减，所以。2>。4>。6>

又因为的>a2,所以…<a6<a4<a2<<a3<a5<…，

-

因为|an+i—an\=2n+1,所以做几+1—a2n=4九+1,a2n—Qzn-i=[2(2n—1)4-1]=-4n4-

1,

所以。2九+1—a2n-i=2,又的=1,所以。2九-1=1+2(n-1)=2n—1,

所以。2九一(2九—1)=-4n+1,所以a2n=-2n,所以册=(―l)n+1-n,

所以“=4=2厚*=应二(」_+_!_),

n4n2-l4n2-14k2n-l2n+lJ

所以当n为偶数时，=kl+!-|-j+1+^—熹-由

111

，(1一罚)<甲

l

盛113

-<

当n为奇数时，SJLiCj=j(l+1-+|+1—•++--+--<-

438

<oooo/n+

综上知，端.

【解析】(1)由|匕+1|=|an+i-an|,可求|如,\b3\,\b4\,结合｛匕｝是公差为d(d>0)的等差数

列可求％=3,b3=5,进而求瓦,即即；

(2)数歹1」｛。271-1｝单调递增，数列｛@2桂｝单调递减及%>。2,可得…<06V04<。2<V@3<a5V

…，由此可推出Q2n+1一。2小。271一。2—1，进而可得。2n+2一。2小。271+1-。2让1=2,最后求出册

和小用裂项求和法和并证明不等式.

本题主要考查数列递推公式、裂项求和法求数列前九项和及数列单调性的应用，属于较难题.

20.【答案】解：⑴若a=-1,/(x)=%2-ex-2,

xx

则/'(%)=2%—e9令/"(%)=2-e=0f解得工=Zn2,

当》〈伍2,/"(%)>0,尸(%)单调递增,

当%>"2,/〃(%)V0,/'(》)单调递减,

又((仇2)=2ln2-2<0,所以/'(x)<0,

所以/(x)在R上单调递减；

(2)当a=0,显然函数/'(X)没有两个极值点：

当a>0,由于/''(X)=2x+ae*,函数y=2%与丫=-ae*只有一个交点，

不妨设此交点横坐标为。，当％<0,f(x)<0,/(x)单调递减，

当。>0,f(x)>0,/(x)单调递增，即没有两个极值点；

当a<0,令=一=2>解得/="2,

令2bl2+2a=0,解得a=—历2,

根据指数函数的性质可知当一仇2<a<0,f(x)有两极值点与，&且2xi<x2,

即a的取值范围为[Tn2,0).

【解析】(1)根据函数的二阶导数得出一阶导数的增减性，进而得出一阶导数的正负性，然后即可

得出函数的单调性；

(2)当a=0,显然函数f(x)没有两个极值点；当a>0,显然函数f(x)是先减后增，没有两个极值

点；

当a<0,求出上=2刀1时a的取值劭，则<a<0.

本题主要考查函数的单调性和利用函数的单调性研究函数的极值，属中档题.

21.【答案】解：(1)某国有芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，

该款芯片的/批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智

能自动检测与人工抽检，

已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P[==2P3=卷

135/34s33

①/批次芯片的次品率为：

3433323

马=1_[(1_匕)(1_。2)(1_。3)]=1_云>瑟、我=而；

②设批次/的芯片智能自动检测合格为事件4,人工抽检合格为事件B,

由己知得P(A)=盖,PG4B)=1—P,=1-*=||，

则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件B|A,

n/x、PG4')321008x20160

117P(A)35927x23161*

(2)100个芯片中恰有1个不合格的概率0(p)=盘0。XpX(1-p)99,

因此w(p)=100[(1-p)99-99p(l-p)98]=100(1-p)98(l-loop),

令(p(p)=0,得p=0.01,

当p6(0,0.01)时，(p(p)>0；当pE(0.01,1)时，9(p)V0,

所以3(p)的最大值点为Po=