2017-2018学年上海市黄浦区某中学高二（下）期末数学试卷（解析版）

【解析】解：从一批苹果中抽出5只苹果，它们的质量分别为125al21bl27（单位：克），

该样本的中位数和平均值均为124,

・学年上海市黄浦区大同中学高二（下）期末数学试卷

20172018.•.a,〃中一个是124,

一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）另一个是：5x124-125-124-121-127=123,

1.下列四个命题中真命题是（）

样本方差S?=1（12+02+32+12+32）=4,

A.同垂直于一直线的两条直线互相平行

B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱.•.该样本的标准差s是2.

C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条故选：C.

D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个a,〃中一个是124,另一个是：5X124-125-124-121-127=123,由此能求出样本方差，从而能

【答案】C求出该样本的标准差.

【解析】解：对于A,同垂直于一直线的两条直线不一定互相平行，故错；本题考查样本的标准差的求法，考查平均数、中位数、方差、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是

对于B,底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故错；基础题.

对于C,两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条,

正确；二、填空题（本大题共10小题，共50.0分）

对于。，过球面上任意两点的大圆有无数个，故错；4.已知直线a,6和平面a,若a〃b,且直线6在平面a上，则。与a的位置关系是.

故选：C.【答案】a〃a或aua

A,同垂直于一直线的两条直线的位置关系不定；【解析】解：直线。，方和平面％若a〃仇且直线〃在平面a上，则。与a的位置关系是：a〃a或aua.

B,底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形；

C,两条异面宜线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；

D,过球面上任意两点的大圆有无数个；

本题考查了命题真假的判定，属于基础题.

2.已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm）,可得这个几何体的体积是（）

故答案为:a〃Q或aca.

利用已知条件真假判断直线与平面的位置关系即可.

本题考查直线与平面的位置关系的判断，基本知识的考查.

5.•个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6,则此一棱锥的侧面积为,

正视图【答案】18

4000a8000■,

A.-^-cm6-^―cm3C.2000cm3D.4000cm3【解析】解：由题意作出图形如图：

因为三棱锥P-A8C是正三棱锥，顶点在底面上的射影D是底面的中心，

【三案】B在三角PD尸中，

【解析】解：由三视图可知，该几何体为四楂锥，底面A8CD为边长为20a〃的二•三.角形PDF边长PD=1,DF=3

正方体，0£1。。且£：是。0的中点，•••PF=2

所以棱锥的高OE=20cm.

则这个棱锥的侧面积S属=3x1x6xl=18.

所以四棱锥的体积为:x202x20=等cm3.

故答案为：18.

选股画出满足题意的-:棱锥P-48C图形，根据题意，作出高，利用直角-:角形,

故选：B.求出此Y棱锥的侧面上的高，即可求出棱锥的侧面积.

由三视图可知，该几何体为四棱锥，分别确定底面积和高，利用锥体的体积公式本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，棱锥的结构特征，还考查计算能力，是基础题.

求解即可.

本题主要考查三视图的应用，以及空间几何体的体积，要求熟练掌握空间几何体的体积公式.

6.若•个圆锥的侧面展开图是面积为27r的半圆面，则该圆锥的高为.

【答案】V3

3.从一批苹果中抽出5只苹果，它们的质量分别为125al21bl27（单位：克）；若该样本的中位数和平均【解析】解：由题意•个圆锥的侧面展开图是面积为27r的半圆面，

值均为124,则该样本的标准差$是（）因为47r=加2,所以母线长为1=2,

A.4B.5C.2D.V5又半圆的弧长为2兀，

【答案】C

圆锥的底面的周长为2nr=2TT,

所以底面圆半径为r=l,

。匕=，32_(当2=乎AC=3V2,

所以该圆锥的高为h=V/2-r2=V22-I2=V3.

故答案为：遍.

BC=3,即BC=OB=OC.ALBOC=p

通过侧面展开图的面积，求出圆锥的母线长与底面圆的半径，即可求出圆锥的高.

本题考查了圆锥体的侧面展开图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目.

则以C两点的球面距离=gx3=7T.

7.8人排成前后两排，前排3人后排5人，甲、乙在后排，且不相邻的排法有几种故答案为：7T.

【答案】8640欲求8、C两点的球面距离，即要求出球心角48OC,将其置于三角形BOC中解决.

【解析】解•：根据题意，分2步进行分析：点评：高考中时常出现与球有关的题目的考查，这类题目具有一定的难度.在球的问题解答时，有时若能通

①，在除甲乙之外的6人中任选3人，与甲乙一•起排在后排，过构造加以转化，往往能化难为易，方便简洁.解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系.

由于甲乙不能相邻,则有点x掰x幽=1440种情况,

②，将剩下的三人全排列，安排在前排，有题=6种情况，10.在体积为9的斜三棱柱ABC-481cl中，S是QC上的一点，S-4BC的体积

则有1440x6=8640种排法;为2,则三棱锥的体积为

故答案为：8640.

根据题意，分2步进行分析：①，在除甲乙之外的6人中任选3人，与甲乙•起排在后排，满足甲乙不相

邻，②，将剩下的三人全排列，安排在前排，由分步计数原理计算可得答案.

本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素，属于基础题.

8.已知复数Z和3满足团-2=白，且a2=z,则复数3=___.【答案】1

1—1【解析】解：如图，设三棱柱ABC-AiBiG的底面积为S',高为h.

【答案】1+i或-1-i

则S%=9,S'=：,

［解析］解：设2=a+尻(a,b€R),n

由团一^二唳，得厄丁庐一°+万=六=溜备=2+2i,再设S到底面ABC的距离为V,则"S%'=2,福./卅=2,

hi2

1炉—。=2,则°=o,6=2.:.—=

h3

:.z=21.

则S到上底面4/iG的距离为沿

令3=m+ni(m,nE/?),

由co?=z,得(m+ni)2=m2-n2+2mni=2i,

.♦.三棱锥S-4181cl的体积为gS'*九二99=1.

■■■｛制片则m=n=1或m=n=-l.

故答案为：1.

•••3=1+i或-IT.由已知棱柱体积与棱锥体积可得S到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S到上底面距离与棱锥高的

故答案为：1+2或—1—八关系，则答案可求.

本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.

设z=a+bi(a,bGR),由|z|一彳=展，可得a=Q,b=22,则z=2i,令3=m+ni(m,nGR),代入32=z,

再由复数相等的条件求解.三、解答题(本大题共5小题，共80.0分)

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是中档题.

11.已知(4+意n的展开式前一•项中的系数成等差数列.

9.如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，Z.ABC=90°,BA=BC,球心。到,(1)求〃的值和展开式系数的和；

平面ABC的距离是越，则8、C两点的球面距离是.(\(2)求展开式中所有.V的有理项.

【答案】解：(1)根据题意，(«+忐)n的展开式的通项为G+i=*(H)nT'(薪其系数为/xc>

其第-项的系数为以=1,第二项的系数为滔=会第三项的系数为:髭二誓

【答案】n若其展开式前三项中的系数成等差数列，则2x］=1+华父,

【解析】解答：解：••・AC是小圆的直径.

所以过球心。作小圆的垂线，垂足。'是AC的中点.解可得：n=8或ri=1»

又由九N3,则n=8,

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在(4+土》中，令X=1可得(《+赤)'=(歹=黑：【答案】解：(1)证明：•.•复数z=a+bi(a、bwR),若存在实数/使Q-6二T一3a施成立,

(2)由(1)的结论，71=8,

则£。一血=2+(4—3ad)j,可得s=2,—tb=4—3at2,•••—b•^=4-3a-即-2b=4a-12,

则(4+就/的展开式的通项为G+1=喝(⑸=^：X玛>若红,

化简可得2a+b=6,即2a+b为定值.

当r=0时，有7]=第3(2)若|z—2|<ti»则J(a-24+炉va，,a>0,且—2)2+(6—2a(>a..

化简可得(a-2)(a-5)>0,求得0VaV2,或a>5.

当r=4时，有"=象，

而|z|=y/a2+b2=Ja2+(6-2a/=V5a2—24a+36»

当Q时，\z\G(2>/2,6);当a>5时，|z|>V41.

当r=8时，有4=£十一2：0VV2

综上可得，|z|的取值范围为(2VI,6)U("T,+8).

则展开式中所有”的有理项为小,卦，表厂2【解析】(1)由条件利用两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的充要条件，求得2a+b=6,从而证

得结论.

(2)由|z-2|Va,可得0VaV2,或a>5：再根据|z|=V5a2-24a+36»利用二次函数的性质求得|z|的

【解析】(1)根据题意，求出该二项式的展开式，分析其前三项的系数，由等差数列的性质可得2x1=1+

范围.

本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的充要条件，二次函数的性质，属于•基础题.

也言，解可得〃的值；进而在(«+亳T中，令尤=1,分析可得展开式系数的和；

(2)由(1)的结论，分析可得该二项式的展开式，分析其中的有理项，即可得答案.14.如图，圆锥的顶点是S,底面中心为O,OC是与底面直径48垂直的一条半

本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题.径，。是母线SC的中点.

(1)设圆往的高为4,异面直线AD与8c所成角为arccos号,求圆锥的体积：

12.有5人进入到一列有7节车厢的地铁中，分别求下列情况的概率(用数字作最终答案)：

(1)恰好有5节车厢各有•人：(2)当圆锥的高和底面半径是(1)中的值时，求二面角B-AD-C的大小.

(2)恰好有2节不相邻的空车厢；

(3)恰好有3节车厢有人.

【答案】解・：(1)5人进入到一列有7节车厢的地铁中，

基本事件总数”=75=16807,

恰好有5节车厢各有一人包含的基本事件的个数mi="=2520,【答案】解：(1)建立如图坐标系，设底面半径为八

・•.恰好有5节车厢各有一人的概率为=詈==芸.

nloou//qui由高为4.得：2),8(0/,0),C(r,0,0),力(0,-r,0),5(0,0,4),

(2)恰好有2节不相邻的空车厢包含的基本事件的个数mz=四庵=3600,

则标=(；,，2),BC=(r,-r,0),

恰好有2节不相邻的空车厢的概率%=-=^.

:异面宜线AD与BC所成角为arccos3，

(3)恰好有3节车厢有人包含的基本事件个数77匕=缪*心+爷乂用=5250.

AA

22.|而园_/_V5

"画画|一可口6+5户-T，

.••恰好有3节车厢有人的概率P3=詈=舞=黑.

解得r=2,

【解析】(1)5人进入到•列有7节车厢的地铁中，基本事件总数n=75=16807,恰好有5节车厢各有一

•••圆锥的体积V=：X7rr2/i=等.

人包含的基木事件的个数="=2520,由此能求出恰好有5节车厢各有一人的概率.

(2)恰好有2节不相邻的空车厢包含的基本事件的个数Hi?=AlAl=3600,由此能求出恰好有2节不相邻的(2)71(0,-2,0),8(0,2,0),。(1,0,2),C(2,0,0),

空车厢的概率.AB=(0,4,0),AC=(2,2,0),AD=(1,2,2),

(3)恰好有3节车厢有人包含的基本事件个数77匕=婴>>^+竽x/^=5250.由此能求出恰好有3节车设平面ABD的法向量荏=(x»,z),

A2A2则产竺=4y=°，取z=l,得过=(-2,。，1),

厢有人的概率.(n-AD=x+2y+2z=0

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.设平面ACZ)的法向量沅=(x,,y,z),

m-4C=2x+2y=0许,“/口一”‘i、

一一J，取x=l,得m=(l,-L;)，

2

13.已知复数2=。+〃(。,匕WR),若存在实数人使2二等一3ati成立.(m-AD=x+2y+2z=0

设二面角B-AD-。的大小为J,

(1)求证：2a+b为定值；

(2)若|z-2\<a,求团的取值范围.

3L【解析】(1)以G点为原点，GB,GC,GP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，

_|mn|二二造

则c°se=谛而写出两条异面直线对应的向量，根据两个向量的所成的角确定异面直线所成的角.

5，