2023年广东省东莞市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析)

2023年广东省东莞市成考专升本数学(理)

自考真题(含答案带解析)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.已知f(x)是定义域在［—5,5］上的偶函数，且f(3)>f(l),则下列各式-定

成立的是

A.f(-1)<f(3)B,f(0)<f(5)C,f(3)>f(2)D,f(2)>f(0)

2.下列函数的周期是兀的是

A/(x)=cos22x—sin'2.x

B.F(x)=2sin4x

C.F(x)=sinxcosx

D.F(x)=4sinx

3.

<6)设0v1,则在下列不等式中成立的是

(A)1砥,：£>M&t产(B)2">2’

(C}sinA/>sinx(D)x*>x

4.如果不共线的向量a和b有相等的长度，贝！|(a+b)(a-b)=()

A.OB.lC.-lD.2

5.命题甲：x>n,命题乙：x>2n,则甲是乙的()

A.A.充分条件但不是必要条件

B.必要条件但不是充分条件

C.充分必要条件

D.不是必要条件也不是充分条件

6.右图是二次函数y=x2+bx+c的部分图像，则()。

A.b>0,c>0B.b>0,c<0C.b<0,c>0D.b<0,c<0

7.函数F(x)=f(x)-sinx是奇函数，则f(x)()

A.A.是偶函数B.是奇函数C.既是偶函数又是奇函数D.既不是偶函数

又不是奇函数

8.已知翁=(5.-3).C(—1.3).5$=2蒜,JMD点的坐标为

A.(H,9)B.(4,0)C.(9,3)D.(9,-3)

设B和6为双曲线，一，=1的两焦点，点P在双曲线上•则IIPFJ-|PFi

A.A.4

B.2

C.1

n1

D.

10.设函数f(x)=(m-l)xA2+2mx+3满足f(-l)=2,则它在()

A.区间［0,+◎是增函数B.区间(-co,0］是减函数C.区间(-8,+◎是奇函

数D.区间(-co,+◎是偶函数

11.设甲：x=l：乙：x2+2x-3=0()

A.A.甲是乙的必要桑件但不窟乙的充分条件

B.甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件

C.甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

D.甲是乙的充分必要条件

12.

第15题过P(4,8)作圆x2+y2-2x-4y-20=0的割线，所得弦长为8,则此

割线所在直线方程为()

A.3x-4y+20=0或y=8

B.3x-4y+20=0或x=4

C.3x+4y-44=0或x=4

D.4x-3y+8=0或x=4

卜一省‘c#0)展开式中的常数项是()

(A)C：(B)C：

13.(C)-C：(D)-C：

14.下列函数中，为偶函数的是（）

A*（万

B.尸（T）'

C.yux2-1

。.、=展工

A.A.AB.BC.CD.D

15.

已知角a的顶点与直角坐标系的原点取合始边在“正半轴匕终边经过点（&,_I）,

则sina的值是（）

（A）-y（B）亨

（C）y（D）-亨

不等式|x^l的解集为

(A){x|x>1}(B){x|x<l)

16(C)(D)(x[x<-l}

加果帐1«疝.1=1上的一点”到它的左靠点的距离是12.郁么M到它的右准

10036

17.大的距离星

32G

7

16

C.2/73

18.点(2,4)关于直线y=x的对称点的坐标为()。

A.(4,2)B.(-2,-4)C.(-2,4)D.(-4,-2)

展开式中所有奇效曜系数之和等于1024.则所有项的氟数中最大

19.的值是(A.330

B.462C.680D.790

函数y=(cos、-sin2x)-tan2x的最小正周期是()

(A)-J(B)ir

20(C)2TT(D)41T

21.已知集合M={2,3,5,a},N={1,3,4,6},若MDN={1,2,3},则a,b的

值为

A.a=2,b=lB.a=l,b=lC.a=l,b=2D.a=l,b=5

22.直线x-y-3=0与x-y+3=0之间的距离为0

A.二

B.工

D.6

23.圆柱的轴截面面积等于10,体积为5兀，它的母线长和侧面积分别是

()

A.5和10兀B.57r和10C.5和25兀D.10和10n

过点P(1,2)与圆J+/=5相切的直线方程为()

(A)z+2y+5=0(B)2x+y-5=0

24.(C)2x-y=0(D)z-5=0

25.直三棱柱的每个侧面的面积为5,底面积是10,全面积是0

A.15B.20C.25D.35

(2)设函数人切■/・1.射〃x+2)-

(A)?45(B)?+4«♦3

mzr*(C)?*2«+5(D)/+2x+3

27.一切被3整除的两位数之和为()

A.4892B.1665C.5050D.1668

+3i—10

lim

28.r-*—5x+5

A.OB.-7C.3D.不存在

29.若|a|=6,|b|=2,Va,b>=120。,则a*b=()

A.-6B.6C.3D.-3

30.a^(0,nil),sina,a,tana的大小顺序是()

A.tana>sina>aB.tana>a>sinaC.a>tana>sinaD.sina>tana>a

二、填空题(20题)

31.(2x-l/x)6的展开式是.

32.函数f(x)=2cos2x-l的最小正周期为

33.从一批某种型号的电子元件中随机抽取样本进行使用寿命测试，测得

数据如下（单位：h）:

245256247255249260

则该样本的样本方差为———（保留小数点后一位）.

34.已知|a|=2,|b|=4,|a+b|=3,则<a,b>=

35-tan（arctanJ+arctan3）的值等于,

计算3亍X—logjo—log,A=

36.5------------•

37.正方体ABCD—A'B'C'D'中，A'C'与B'C所成的角为

已知的机变量€的分布列址

§-1012

P

3464

38.妁'-------'

39.

40.圆心在y轴上，且与直线x+y-3=0及x-y-l=0都相切的圆的方程为

若sin0•cos0-］，则lan8r能式的值等J'，

42.海上有A,B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60。

的视角，从B岛望C岛和A岛成75。的视角，则B,C之间的距离是

43.

已知平面向量a=(l,2),b=(-2,3),2a+3b=.

44.从标有1〜9九个数字的九张卡片中任取2张，那么卡片上两数之

积为偶数的概率P等于

45.直线3x+4y-12=0与z轴、y轴分别交于A,B两点，O为坐标原

点,则△OAB的周长为

已知随机应量f的分布列是：

f12345

P0.40,0.20.10.1

47.设离散型随机变量f的分布列如下表所示，那么，的期望等于.

48.

若5条鱼的平均质量为0.8kg,其中3条的质量分别为0.75kg,0.83kg和

0.78kg,则其余2条的平均质量为kg.

49.若正三棱锥底面边长为a,且三条侧棱两两垂直，则它的体积为

50.经验表明，某种药物的固定剂量会使心率增加，现有8个病人服用

同一剂量的这种药，心率增加的次数分别为131514108121311,则该

样本的样本方差为

三、简答题（10题）

51.

（本小题满分12分）

已知函数/（*）3_显,求（I）小）的单调区间；（2）,X）在区间片,2］上的最小值.

52.

（本小题满分13分）

如图,已知精98G：4+/=1与双曲线G：（”【）•

aa

（I）设A分别是C,,C,的离心率,证明e©<I;

（2）设44是G长轴的两个端点/沁，九）（kI>a）在G上，直线叫与a的

另一个交点为Q,直线尸名与G的另一个交点为&.证明QR平行于y轴.

53.(本小题满分12分)

已知等差数列｛an｝中，al=9,a3+a8=0.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

⑵当n为何值时，数列｛an｝的前n项和Sn取得最大值,并求该最大值.

54.

(本小题满分12分)

已知参数方程

'x-+e")cos0,

y=e'-e'1)sind.

(1)若，为不等于零的常量,方程表示什么曲线？

(2)若山8射y,*eN.)为常量.方程表示什么曲线？

(3)求证上述两个方程所表示的曲线有相同的焦点•

55.

(本小题满分12分)

已知函数/(x)=J-3/+„»在［-2,2］上有最大值5.试确定常数m,并求这个函数

在该闭区间上的最小值.

(25)(本小题满分13分)

已知抛物线y=全，0为坐标原点/为抛物线的焦点.

(I)求10尸1的值；

(n)求抛物线上点P的坐标.使△OFP的面积为

56.

(23)(本小题满分12分)

设函数，(%)=八2公+3.

(I)求曲线y+3在点(2,11)处的切线方程；

57.(II)求函数，x)的单调区间.

58.(本小题满分12分)

设数列laj满足5=2,az=3a.-2(n为正嚷数).

(I)求幺irs

a.~*

(2)求数列ia.1的一项.

59.(本小题满分12分)

已知等比数列％/中，%=16.公比g=1

(1)求数列I。1的通项公式；

(2)若数列；a」的前n项的和S.=124.求n的俏.

60.(本小题满分13分)

从地面上A点处测山顶的仰角为a,沿A至山底直线前行a米到B点

处，又测得山顶的仰角为求山高.

四、解答题(10题)

椭圆2』+/=98内有一点4(-5,0),在棚附上求一点8,使I451最大.

61.

62.

已知等差数列3.)中=9.由4-a»=0,

(I)求数列｛a.)的通项公式；

(II)当n为何值时，数列(a.)的前“项和S.取得最大值，并求出该最大值.

&。＞0『*)・二*；是11上的例函数。

••

(1)求a的值；

t2jif明在(0,)匕是地函数.

63.

64.建一个容积为5400m3,深6m的长方体蓄水池，池壁每平方米的造

价为15元，池底每平方米的造价为30元.

(I)写出总造价y(元)为水池的长x(m)的函数解析式；

(II)问蓄水池的长与宽分别为多少时总造价最低.

65.设函数”①)=5—7_]

I.求f(x)的单调区间

II.求f(x)的极值

66.已知抛物线y=4工而唬+±=1•它们有共同的焦点F：.

(I)求m的值；

(II)如果P是两曲线的一个公共点，且F1是椭圆的另一焦点，求4

PF1F2的面积

67.

68.(22)(本小鹿潜分12分)

已知等比数列那」的各项部是正数建产2.前3曜和为I&

⑴求|aj的通项公式；

(U)设bj1。&..求效列|6」的前20『的和.

69.已知数列"""的前n项和S

求证：(册：是等差数列，并求公差与首项.

70.设直角三角形的三边为a、b、c,内切圆直径为2r,外接圆直径为

2R,若a、b、c成等差数列，

求证：(I)内切圆的半径等于公差

(II)2r>a、b、2R也成等差数列。

五、单选题(2题)

某人打靶的命中率为0.8,现射击5次,那么恰有两次击中的概率为()

(A)0.82(B)0.82x0.2J

(C)C；0.82x0.2J(D)d0.8Jx0.22

71.

72.函数、=记的的定义域为()

A.A.{zIx=O,xER)

B.{x|x#1,xWR)

C.{x|x^O,x丹1,x£R)

D.{x|x£R)

六、单选题(1题)

73.记者要为五位志愿者和他们帮助的两位老人拍照，要求排成一排,

两位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()

A.1440种B.960种C.720种D.480种

参考答案

1.A由偶函数定义得:f(-l)=f(l),/.f(3)>f(l)=f(-l).

2.C

求三角函数的周期时，一般应将函数转化为

y=Asin(3z+G或y=Acos(aKr+g)型,

然后利用正弦、余弦型的周期公式T=『4求解.

I(1)I

A./(«r)=cos?2x—sin22x=cos(2X2x)=COS4J»

B,/(x)=2sin4x,T=-^-=-2

CJ(工)=sinxcosrr=下5亩2］，T=2=大

D»/(x)=4sirur.T=-j-=:2n.

4.A(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,|a|=|b|,|a|2-|b|2=0.

5.B

6.A

该小题主要考查的知识点为二次函数图像.【考试指导】由图像可

知，当x=0时：y=c>0,也就是图像与y轴的交点；图像的对称轴1=-

b/2<0,贝!|b>0.

7.A

因为函数sinx是奇函数"inr是奇函数.

故F(—x)=—F(x)•sin(Ix)=一sinx9

即/(—x)sin(—%)=-f(jr)suir■傅n).则/(工)是偶函数.(答案为A)

8.D

设点£X工,,)♦则CD=《1+l.y—3).由于CD=2AB.

即(N+1・y-3)=2(5.-3)—(1()，―6)♦

得工十3=-6•得—3.所以D(9・一3).(答案为D)

9.A

由总意有42=2,由双曲线的定义,可知

【IPFJ-IPF/|=勿=4.(苏索%A)

10.D

D【解析】由/（/）=（析―1）/+2加7+3

满足/（—1）=2,即（m—1）—2切+3=2,〃?=0.

函数的解析式为八幻=一/+3,是顶点在（0,3）

开口向下的抛物线.

当zVO时,八外单调递增，

当；r>0时JCr）单调递减.

又/（一/）=一（一1）2+3=—^2+3=/（7）是偶函

数.故选D.

11.B

12.B

13.B

14.C

根据函数的奇偶性的定义可知y="。为偶函数.（答案为C）

15.A

16.C

17.A

A=-&.O）.南西am即X公式将（】0^^；

+（Z）-44占得*二/台其右右线的即.为严T-詈卜岫

18.A该小题主要考查的知识点为点关于直线对称.【考试指导】点（2,4）关

于直线y=x对称的点为（4,2）.

19.B

BIB析：好然奇数项之和是所有项系数之和的半，0*=1即将所存项系我之和2"=228=2",；"

=11,各项的系数为一项式系数.故系统最大值为C：或C\.为461

20.B

2LCMAN={2,3,5,a}A{l,3,4,M={1,2,3},又YM中无“1”元素,而有

“a”元素，只有1,而N中无“2”元素，而有“6”元素，只有b=2.

22.C

由题可知，两直线平行，故两直线的距离即为其中一条直线上一点到

另一条直线的距离.取直线x-y-3=0上一点（4,1）,点（4,1）到直线

x-y+3=0的总巨离为4,7,

23.A

求母线的长，可从圆柱的截面积中求出.如图，S截面=2rxL=10,rL=5

①V=7rr2xL=57T-r?L=5②②/①二产口曰曰一r=l....L=5,S侧

=2兀rxL=27rxlx5=10兀.

24.D

25.D求全面积=侧面积+2底面积=5x3+10x2=35,应选D.误选C,错误的

原因是只加了一个底面的面积.

26.B

27.B被3整除的两位数有：12,15,18,...,99.等差数列d=3,n=99/3-

9/3=33-9/3=30,S=((12+99)x30)/2

28.B

Vlim工2+3『°

「•一5X>5

当工一―5,z+5-*O.不能用商的极限法则.

(x+5)•(x-2)

原式=lim=lim(ar-2)

jr+5

29.A

求两个向量的数量A*b=|a|*|b|cos<a,b>=6*2*cosl200=12*(-l/2)=-6.

30.B

*HM.餐期&单色0O上方—A8.".在

W・又•・•

32.

K【解析】因为/（力=2««2工-1二8§2工,所以

最小正周期7=益=守=兀

3L

33.

£二252,『=28.7（使用科学计算甥计算）.（卷案为28.7）

34.

【答案】Xarccos

|。+叱=(a+b)•(o+b)

—a•。+2a•b+b,b

1aIJ4-21aI•bi•©os《a・b>+Ib|

・4+2X2X4cos〈a・b〉+l6=9・

M务co#。•b〉—一”.

即(a・b〉Enrccox(~)"w"arccos|g.

35.

36.

7

【解析】该小题主要考查的知识点为对数函数与指数函数的计算.

1Q

3TX3T—log10—Iog--=32—

445

(log,10+log,-|-)=9—log,16=9—2=7.

【考试指导】

37.

答案：60°【解析】正方体中A'C'与B'C为异面直线，因为AC

〃A'C',所以AC与B'C所成的角，即为A7C'与B'C所成的

角.又4AB'C为等边三角形.所以NACB7=60。。即A'C'与B'C

成60o的角.求异面直线所成的角关键是将其转移至同一平面内.并表示

出该角，再求解.

A

38.

3

39.

田山〉+(>-1)2=2

40.答案：

解析:

设8D的方程为(x-0)2+(3一*>):

・B如田)

IC/AI-IOTH.即

I0+>o-3|_|0->te-ll

/P+P—yr+(-i)J

|»>-3|=|—1l=y>■】■

/PTF⑪品“

.*.x,+(j»-l),=2.

解由tan—学｛=哼吗si：［QcusQ

sm0cns8sinGsindmaQ

=1一工故填

刖dctx-fi2.

【分析】外题者左对同用三角函皴的凡工关系式

的掌握一

42.

576【解析】由已知条件，得在△ABC中,AB=

10(海里).NA=6O\NB=75•.则有NC=45'.

由正弦定理卷,即焉=输，得

=5几

43.

【答案】(-4,13)

【解析】该小题主要考查的知识点为平面向量.

【考试指导】2a+3b=2(1,2)+3(-2,3)=(-4,13).

44.

13

18

45.

46.

47.89E(Q=100x0.2+90x0.5+80x0.3=89.

48.

【答案】0.82

【解析】该小题主要考查的知识点为平均数.

【考试指导】5条鱼的总重为5X0.8=4(kg),剩余2条鱼的总重为4-0.75-

0.83-0.78=1.64(kg),则其平均重量为1.64/2=0.82(kg).

49.

・・1V31t

.S*-a-y«-y-Ta'

由题章和正三收便的侧检长为'/a.

・•・(♦)](华

Z4

50.

(I)函数的定义域为(0,+8).

/(*)=I-y.令/*(工)=0JtJx=1.

可见,在区间(0.1)上J(x)<0;在区间(1,+8)上J(x)>0.

则/(外在区间(01)上为减函数;在区间(I•+8)上为增函数•

(2)由(I)知，当x=l时取极小值,其值为｛1)=1-Ini=1.

又=4--Inr-=4-+In22)=2-ln2.

51

即［<In2<L则/(y)>/(1)JU)>/(I),

因此Wx)在区间i9.2］上的最小位是1.

52.证明：⑴由已知得

将①两边平方.化简得

(与♦<>>Y=(孙+④

由(2X3)分别得y：=，(£-『)，y；=^j(a2-xj).

代人④整理得

同理可得.嗫

所以凡=4/0,所以0R平行于，轴.

53.

(1)设等差数列1。」的公差为乙由已知%+%=0,得

2%+9d=0.又已知5=9.所以d=-2.

数列JIa.|的通项公式为a.=9-2(n-I)•即4=ll-2n.

(2)数列I。」的前n俱和

S.=-^-(9+1-2n)=-nJ+lOn=-(n-5)J+25.

当。=5时.S,取得最大值25.

54.

(1)因为“0.所以e'+e,>*O,e,-e-VO.因此原方程可化为

',产二=cos0,①

e+e

*1,&：；=sin&.②

这里e为参数.①1+②1.消去参数。,得

3+e-),3-e—尸’即止且止二亡工

44

所以方程表示的曲线是椭圆.

(2)由“等,AeN.知c«，~0.M"0.而t为参数，原方程可化为

ay-②1.得

=+e-*)1-(e*-e*')2.

cos6sin。

因为2丫-'=2」=2,所以方程化简为

X2上.

施一翁尸。

因此方程所表示的曲线是双曲线.

⑶证由(I)知，在椭圆方程中记》=仁用工/=心养

44

则cJa'=I,c=1,所以焦点坐标为(士1.0).

由(2)知.在双曲线方程中记『=8»”’从i1n匕

一则，=1+力=1,c=l.所以焦点坐标为(±1,0).

因此(I)与(2)中的两方程所表示的曲城有相同的焦点.

55.

f(x)=3X!-6X=3X(X-2)

令/(x)=0,褥驻点4=0,巧=2

当x<0时/(x)>05

当0<*v2时/(w)<0

.•」=Q是"外的极大值点,极大值/<°)="«

.'./(0)=m也是最大值

Am=5,X/(-2)=m-20

"2)=m-4

-2)=-15JX2)=1

:.函数〃外在［-2,2］上的最小值为｛-2)»-15.

(25)解：(I)由已知得尸(J,0).

O

所以IOFI=

O

(U)设P点的横坐标为人(x>0)

则P点的纵坐标为片或-套,

△OFP的面积为

11/T1

28V24'

解得x=32.

6.故P点坐标为(32,4)或(32,-4).

(23)解：(I)/(")=4/-4%

7八2)=24,

所求切线方程为y-n=24(*-2),BP24x-y-37=0.……6分

(口)令/(*)=0,解得

*1=-1,x2=0,Xj=1.

当X变化时/(*)/(X)的变化情况如下表：

人了)的单调增区间为(-1.0),(1,+8),单调减区间为(-8,-1),(0,

1).……12分

58.解

(l)a.“=3“-2

-1=3aa-3=3(a.-1)

(2)|a.-l|的公比为q=3,为等比数列

Aa.-l=(a,=9-*=3-*

Aa.=3-'+1

59.

(I)因为a,=。，,即16=a,x：,得，=64.

4

所以.该数列的通项公式为a.=64x(^-)-

1

a«W)"(IR

(2)由公式S.M%#得124=——f-,

z

化筒得2"=32,解得n=5.

60.解

设山高CD则RtA4Z)C中,AZ>=xcola.

Rt△BDC中,BD=xcolfl.

ABAD-HO.所以asxcota-xcoG3所以xa--------

cota-cot/J

答:山高为二"，米

cota-coK

解设点8的坐标为（七,力），则

1481=J"+5），+yJ①

因为点B在椭圆上,所以2*/+yj=98

y/=98-2x/②

将②R人①，得

\AB\=y（x,+5）2+98-2x/

=y-（x,2-10x,+25）+148

=■/-（X|-5）2+148

因为-（阳-5）‘WO.

所以当孙=5时，-（8-5/的值锻大.

故Mm也最大

当士=5时，由②，得八=±4百

61所以点8的坐标为（5,4回或（5.-4百）时最大

62.

（I）设等差数列的公叁为乩

由已知a,+5-0得2a）+9d=0.

又巳知句=9,所以4=-2.

稗数列（aj的通项公式为a.=9-25—D.

BPa.=ll-2n.

（II）数列｛a.｝的前“项和5.=失9+1】2n）=一/+10”=一（“-5>+25，

it

则当“5时,S.取得最大值为25.

63.

解是R上的偶南数

J，对户任意的X,都有人7）=〃工）.

即“+:，=:*：,化荷得:卜+卜。.：读式对I任必x均成S•■,“=L

（2）由（1）得/（・）•・•+・•

板任取A>«,>0,*/（«,）-/（»,）・4♦«--e*-«-*»（c-c”）♦・《♦”-#】）

（I••志）•

a,5

3T|>^i>0r,e>c->1r0</《,<1.

e%”

•—”—八）>0-

因此〃X,）>“4）,所以在（0.+8）上是埒函数

64.

(I)设水池的长为工(m),宽为誉(m).

池壁的面积为2X6Cr+"R"m；3

ox

池壁造价为15X2X6(X+^1^KJU).

池底的面积为噌=900(mZ).

D

池底造价为30X900=27000(元).

所以总造价函数为

y=15X2X6(h+^^)+27000

“6工

=*1t8a0c工+.1.6.20-00+217000(1>、0)八.、

x

(0)八180-*警.

令y'=0,解得了=士30(收正舍倒》.

当0<x<30时..y'VOi

当x>30时.>>0.

工=30是惟一极小值点，

即是最小值点.

所以当蓄水池的长与宽分别3O(m)时.水池的总造价锻低•

f(r)=(ex—x-l)/=er-1,

令f(力=0,1一1=0,得x—0

当8,0)时，/(1)<0,

65.I函数的定义域为Goo,+oo)nIO,十q时，人工)>0,所以f(x)

在(-00,0)单调增加在(0,+oo)单调增加

II7(°)=/一°-1=1-1=°又因为电)在x=0左侧单调减少,在

x=0右侧单调增加所以x=0为极小值点，且f(x)的极小值为0.

66.

【分考答案】(I>：抛物纹二4]的焦点坐标

为FE.O).

:.椭圜(+±=1的右焦点为B.

»fn

•*.9-m=l.

即m-8.

了=4H.Q

<n>*,y»,

lv+«-b②

把怵人②Wy+y-1.

即2^+9^-18=0.

解得H[—-6(舍)或上£="1".

将1=■1代入①可糊尸土席.

故两曲线交点P的坐标为(-176)!«(-|.-V6).

又•:IF出1=2.

•••S5%=gx2Xn―电

67.

([)证明：连结AC,因为四边/A5CP为正方形，所