中百备战中考专题（探索性问题专题）

中考百分百——备战2008中考专题(探索性问题专题)知识网络梳理探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中则更为普遍．初中数学中的“探索发现”型试题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题，它不像传统的解答题或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果导因的工作，从而定格于“条件——演绎——结论”这样一个封闭的模式之中，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律．通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型：条件探索型——结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目．结论探索型——给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目．存在探索型——在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．规律探索型——在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1.利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2.反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．知识运用举例（一）、条件探索型ABDEFGHC例1．（2007呼和浩特市）在四边形中，顺次连接四边中点ABDEFGHC解：或四边形是等腰梯形（符合要求的其它答案也可以）例2．（2007荆门市）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．图1图2图3图4图1图2图3图4（1）四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________．（2）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________．（3）在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是_____________________________________；当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是_______________________________．(图3、图4用于探究)解：（1）是，此时ADBC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（2）是，在平移过程中，始终保持ABC1D1，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（3），此时∠ABC1＝90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形．，此时点D与点B1重合，AC1⊥BD1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．例3．（2006广东）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA＝7，AB＝4，∠COA＝60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．（1）求点B的坐标；（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；（3）当点P运动什么位置时，使得∠CPD＝∠OAB，且＝，求这时点P的坐标．[解析]（1）；过C作CD⊥OA于A，BE⊥OA于E则△OCD≌△ABE，四边形CDEB为矩形∴OD＝AE，CD＝BE∵OC＝AB＝4，∠COA＝60°∴CD＝，OD＝2∴CB＝DE＝3∴OE＝OD＋DE＝5∵BE＝CD＝∴B（5，）（2）∵∠COA＝60°，△OCP为等腰三角形∴△OCP是等边三角形∴OP＝OC＝4∴P（4，0）即P运动到（4，0）时，△OCP为等腰三角形（3）∵∠CPD＝∠OAB＝∠COP＝60°∴∠OPC＋∠DPA＝120°又∵∠PDA＋∠DPA＝120°∴∠OPC＝∠PDA∵∠OCP＝∠A＝60°∴△COP∽△PAD∴∵，AB＝4∴BD＝∴AD＝即∴得OP＝1或6∴P点坐标为（1，0）或（6，0）（二）、结论探索型FADCEB例4．（2007云南省）已知：如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE，垂足为FFADCEB解：经探求，结论是：DF＝AB．证明如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝，AD∥BC，∴∠DAF＝∠AEB．∵DF⊥AE，∴∠AFD＝，∵AE＝AD，∴ABE≌DFA．∴AB＝DF．例5．（2007北京市）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，．请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）．（2）答：与相等的角是（或）．四边形是等对边四边形．（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形．证法一：如图1，作于点，作交延长线于点．图1因为，为公共边，图1所以．所以．因为，，所以．可证．所以．所以四边形是等边四边形．证法二：如图2，以为顶点作，交于点．图2因为，为公共边，图2所以．所以，．所以．因为，，所以．所以．所以．所以．所以四边形是等边四边形．说明：当时，仍成立．只有此证法，只给1分．例6．（07山东滨州）如图1所示，在中，，，为的中点，动点在边上自由移动，动点在边上自由移动．（1）点的移动过程中，是否能成为的等腰三角形？若能，请指出为等腰三角形时动点的位置．若不能，请说明理由．（2）当时，设，，求与之间的函数解析式，写出的取值范围．（3）在满足（2）中的条件时，若以为圆心的圆与相切（如图2），试探究直线与的位置关系，并证明你的结论．图1图2图1图2解：如图，（1）点移动的过程中，能成为的等腰三角形．此时点的位置分别是：①是的中点，与重合．②．③与重合，是的中点．（2）在和中，，，．又，．．，，，．（3）与相切．，．．即．又，．．点到和的距离相等．与相切，点到的距离等于的半径．与相切．（三）、存在探索型存在性探索问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题.解题的策略与方法是：先假设数学对象存在，以此为条件进行运算或推理.若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在．例7．(2006山东省威海市)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点A（1，－3），B（3，－3），C（－1，5），顶点为M点．⑴求该抛物线的解析式．图2-2-33⑵试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM＝90.若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标图2-2-33解：⑴y＝x24x⑵易求得顶点M的坐标为(2，4)．设抛物线上存在一点P，使OP⊥OM，其坐标为(a，a24a)．过P作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，则∠POE＋∠MOF＝90，∠POE＋∠EPO＝90.∴∠EPO＝∠FOM．∵∠OEP＝∠MFO＝90，∴Rt△OEP∽Rt△MFO．∴OE∶MF＝EP∶OF.即(a24a)∶2＝a∶4.解得a1＝0(舍去)，a2＝．故抛物线上存在一点P，使∠POM＝90，P点的坐标为(，)例8．(2006武汉市)已知：二次函数y＝x2(m＋1)x＋m的图象交x轴于A(x1，0)、B(x2，0)两点，交y轴正半轴于点C，且x12＋x22＝10．⑴求此二次函数的解析式；⑵是否存在过点D(0，)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．分析与解答⑴依题意，得x1x2＝m，x12＋x22＝10，∵x1＋x2＝m＋1，∴(x1＋x2)22x1x2＝10，∴(m＋1)22m＝10，m＝3或m＝3，又∵点C在y轴的正半轴上，∴m＝3．∴所求抛物线的解析式为y＝x24x＋3．⑵假设存在过点D(0，)的直线与抛物线交于M(xM，yM)、N(xN，yN)两点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称．∵M、N两点关于点E对称，∴yM＋yN＝0.设直线MN的解析式为：y＝kx．由得x2(k＋4)x＋＝0，∴xM＋xN＝4＋k，∴yM＋yN＝k(xM＋xN)5＝0．∴k(k＋4)5＝0，∴k＝1或k＝5．当k＝5时，方程x2(k＋4)x＋＝0的判别式⊿＜0，∴k＝1，∴直线MN的解析式为y＝x．∴存在过点D(0，)的直线与抛物线交于M、N两点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称．例9．（2007乐山）如图（13），在矩形中，，．直角尺的直角顶点在上滑动时（点与不重合），一直角边经过点，另一直角边交于点．我们知道，结论“”成立．（1）当时，求的长；PAEBCD图（13）（2）是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出PAEBCD图（13）解（1）在中，由，得，由知，．（2）假设存在满足条件的点，设，则由知，，解得，此时，符合题意． （四）、规律探索型规律探索问题是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，提示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题．例10．(2006湖南衡阳)观察算式：1＝12；1＋3＝4＝22；1＋3＋5＝9＝32；1＋3＋5＋7＝16＝42；1＋3＋5＋7＋9＝25＝52；……用代数式表示这个规律(n为正整数)：1＋3＋5＋7＋9＋＋(2n1)＝______________________．分析与解答由以上各等式知，等式左端是从1开始的连续若干个奇数之和，右端是左端奇数个数的平方，由此易得1＋3＋5＋7＋…＋(2n1)＝n2.填n2．例11（2006吉林省）如图2－2－1，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n个图案中白色瓷砖数为___________．图2-2-1图2-2-1分析与解答根据图形提供的信息探索规律，是近几年较流行的一种探索规律型问题.解决这类问题，首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．第1个图案有白色瓷砖5(即2＋31)块；第2个图案有白色瓷砖8(即2＋32)块；第3个图案有白色瓷砖11(即2＋33)块.由此可得，第n个图案有白色瓷砖(2＋3n)块.填3n＋2．例12．（2007资阳）设a1＝32－12，a2＝52－32，…，an＝(2n＋1)2－(2n－1)2(n为大于0的自然数)．（1）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数(不必说明理由)．解：（1）∵an＝(2n＋1)2－(2n－1)2＝，又n为非零的自然数，∴an是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数．说明：第一步用完全平方公式展开各1分，正确化简1分．（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数．知识巩固训练（题组训练）1．（2006年山东省）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD．（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．2．（2006年随州市）如图，矩形ABCD中，M是AD的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）请你探索，当矩形ABCD中的一组邻边满足何种数量关系时，有BM⊥CM成立，说明你的理由．3．如图，在△ABC中，D为BC上一个动点（D点与B、C不重合），且DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）试探究，当AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？并说明理由．（2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由．4．如图，AB是⊙O的直径，EF是⊙O的切线，切点是C．点D是EF上一个动点，连接AD．试探索点D运动到什么位置时，AC是∠BAD的平分线，请说明理由．5．（2006年成都市）已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．（1）求证：AF＝CE；（2）若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．6．（2006年常德市）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA：PB：PC＝3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．7．如图，AB是⊙O的直径，AD、BC、DC都是⊙O的切点，A、B、E分别是切点．（1）判定△COD的形状，并说明理由．（2）设AD＝a，BC＝b，⊙O的半径为r，试探究r与a，b之间满足的关系式，并说明理由．8．（2006年绵阳市）在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P在DC的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．9．（2007云南省）（1）求抛物线的函数关系式；（2）（3）在抛物线上求一点使得△ABP0为等腰三角形并写出点的坐标；（4）除（3）中所求的点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点，请说明理由．xxyCBAE–11O10．（2007呼和浩特市）如图，在矩形中，，．点在上，，交于，，交于于．点从点（不含）沿方向移动，直到使点与点重合为止．（1）设，的面积为．请写出关于的函数解析式，并确定的取值范围．（2）点在运动过程中，的面积是否有最大值，若有，请求出最大值及此时的取值；若无，请说明理由．BBCQEDAP11．（2007成都市）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和．（1）求此二次函数的表达式；（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；yx11O（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围．yx11O12（2007绵阳市）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC＝，∠CBE＝，求sin（－）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13（07日照）如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB＝a，AD＝b，BE＝x．(Ⅰ)求证：AF＝EC；(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C．（1）求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的x︰b的值；（2）在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？14．(2006江西省）如图2－2－2，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：图图2-2-2第1个第2个第3个……⑴第4个图案中有白色纸片___________张；⑵第n个图案台有白色纸片___________张．15．(2006广西贺州市)观察图2－2－3中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个合适的数，这个数是______________．AA2A1A3A4A6A5B图2-2-424158303548？图2-2-316．(2006广西百色市)如图2－2－4，A1A2B是直角三角形，且A1A2＝A2B＝a，A2A3⊥A1B，垂足为A3，A3A4⊥A2B，垂足为A4，A4A5⊥A3B，垂足为A5，……，An＋1An＋2⊥AnB，垂足为An＋2，则线段An＋1An＋2(n为自然数)的长为（）．（A） （B） （C） （D）17．(2006江苏泰州市)如图2－2－5，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n的等式表示第n个正方形点阵中的规律_______．图2-2-5图2-2-5…………图2-2-618．(2006浙江绍兴市)如图2－2－6，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006＝_______________．图2-2-6图（11）19．（2007内江）如图（11），某小区有东西方向的街道3条，南北方向的街道4条，从位置出发沿街道行进到达位置，要求路程最短，研究共有多少种不同的走法．小东是这样想的：要使路程最短，就不能走“回头路”，只能分五步来完成，其中三步向右行进，两步向上行进，如果用用数字“1”表示向右行进，数字“2”表示向上行进，那么“11221”与“11212”就表示两种符合要求的不同走法，请你思考后回答：符合要求的不同走法共有________种．图（11）20．（2007内江）探索研究（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果（为正整数）表示这个数列的第项，那么________，________；（2）如果欲求的值，可令……………………①将①式两边同乘以3，得_______________________………②由②减去①式，得____________________．（3）用由特殊到一般的方法知：若数列，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为，则________（用含的代数式表示），如果这个常数，那么________（用含的代数式表示）．21．（07自贡）一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n（n≥1）个数据是___________．22．（2007德阳）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探索可得，第个点的坐标为____________．OO(1,0)(2,0)(3,0)(4,0)(5,0)x(5,1)(4,1)(3,1)(2,1)(3,2)(4,2)(4,3)(5,4)(5,3)(5,2)y第17题图23．（2007河南省）将图①所示的正六边形进行进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割…，则第n个图形中，共有________个正六边形．图图①图②图③(第13题)……24．（2007安徽省）探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当n＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S＝2；当n＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，，2，，2五种，比n＝2时增加了3种，即S＝2＋3＝5．观察图形，填写下表：钉子数(n×n)S值2×223×32＋34×42＋3＋（）5×5()写出(n－1)×(n－1)和n×n的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)【解】（3）对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式．【解】25．（07贵阳市）如图12，平面内有公共端点的六条射线，，，，，，从射线开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．图1217283图12172839410511612（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律．（3）“2007”在哪条射线上？26．（07无锡）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为．第2层第2层第1层……第n层图1图2图3图4如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，，，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．27．（07乐山）如图（15），在直角坐标系中，已知点的坐标为，将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，（为正整数）（1）求点的坐标；（2）求的面积；Oxy图（15）（3）我们规定：把点（Oxy图（15）的横坐标、纵坐标都取绝对值后得到的新坐标称之为点的“绝对坐标”．根据图中点的分布规律，请你猜想点的“绝对坐标”，并写出来．28．（07山东东营）根据以下10个乘积，回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）试由⑴、⑵猜测一个一般性的结论．（不要求证明）答案：1．答案不惟一，符合题意即可．2．（1）略（2）当AD＝2AB时，有BM⊥CM成立．说明理由（略）3．（1）当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形．理由（略）（2）在（1）的条件下，当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．说明理由（略）4．当点D运动到满足条件AD⊥EF时，AC平分∠BAD．证明（略）5．（1）证明△ADF≌△CDE即可（2）四边形AFCE是矩形．（证明略）6．（1）证明△BPA≌△BQC，AP＝CQ（2）△PQC是直角三角形，∵PA：PB：PC＝3：4：5，设PA＝3k，PB＝4k，PC＝5k，∵∠PBQ＝60°，BP＝BQ，∴△PBQ是等边三角形，∴PQ＝PB＝4k，在△PQC中，∵PQ2＋QC2＝（4k）2＋（3k）2＝25k2，PC2＝（5k）2＝25k2，∴PQ2＋QC2＝PC2，∴△PQC是Rt△．7．（1）△COD是直角三角形，连OE，由圆的切线的性质可证得：△OAD≌△OED，△OEC≌△OBC，∴∠AOD＝∠EOD，∠EOC＝∠BOC，可证得∠DOC＝90°，所以△COD是直角三角形．（2）r与a、b之间满足的关系是r2＝ab．证明△OAD∽△CBO，得，OA·OB＝AD·BC即r2＝ab．8．解：（1）①BE＝DF＋EF，②BE＝DF－EF，③EF＝BE＋DF．（2）证明略．9．解：（1）∵抛物线经过点、，∴．又∵抛物线经过点，∴，．∴抛物线的解析式为．（2）∵E点在抛物线上，∴m＝42–4×6＋5＝－3．∵直线y＝kx＋b过点C（0，5）、E（4，–3），∴解得k＝－2，b＝5．设直线y＝－2x＋5与x轴的交点为D，当y＝0时，－2x＋5＝0，解得x＝．∴D点的坐标为（，0）．∴S＝S△BDC＋S△BDE＝＝10．（3）∵抛物线的顶点既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，∴点为所求满足条件的点．（4）除点外，在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形．理由如下：∵，∴分别以、为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点、、、、、、、，除去、两个点外，其余6个点为满足条件的点．（说明：只说出P点个数但未简要说明理由的不给分）10．解：（1）解：过点作，垂足为．在矩形中，又，，又在中，又又在四边形中，四边形为矩形又又又又或过点作，垂足为．在中，由等积法可得由题意可得当与重合时，与重合即，由得即的取值范围是（2）面积有最大值由（1）可得当即时，面积最大，即11．解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和，由 解得此二次函数的表达式为 ．（2）假设存在直线与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似．在中，令，则由，解得．yxBEAOCDyxBEAOCD设过点的直线交于点，过点作轴于点．点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．．要使或，已有，则只需， ①或②成立．若是①，则有．而．在中，由勾股定理，得．解得 （负值舍去）．．点的坐标为．将点的坐标代入中，求得．满足条件的直线的函数表达式为．［或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线的函数表达式为．此时易知，再求出直线的函数表达式为．联立求得点的坐标为．］若是②，则有．而．在中，由勾股定理，得．解得 （负值舍去）．．点的坐标为．将点的坐标代入中，求得．满足条件的直线的函数表达式为．存在直线或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或．（3）设过点的直线与该二次函数的图象交于点．将点的坐标代入中，求得．此直线的函数表达式为．设点的坐标为，并代入，得．解得（不合题意，舍去）．．点的坐标为．此时，锐角．又二次函数的对称轴为，xBEAOCP·点xBEAOCP·当时，锐角；当时，锐角；当时，锐角．12．解：（1）由题意可知C（0，－3），，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－3（a＞0），过M作MN⊥y轴于N，连结CM，则MN＝1，，∴CN＝2，于是m＝－1．同理可求得B（3，0），∴a×32－2－2a×3－3＝0，得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3．（2）由（1）得A（－1，0），E（1，－4），D（0，1）．∴在Rt△BCE中，，，∴，，∴，即，∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝，因此sin（－）＝sin（∠DBC－∠OBD）＝sin∠OBC＝．（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0）．过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得．过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0）．故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，1∕3），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似．13．解：(Ⅰ)证明：∵AB＝a，AD＝b，BE＝x，S梯形ABEF＝S梯形CDFE．∴a(x＋AF)＝a(EC＋b－AF)，∴2AF＝EC＋(b－x)．又∵EC＝b－x，∴2AF＝2EC，即AF＝EC；(Ⅱ)（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一），∵EC∥E′B′，∴＝．由EC＝b－x，E′B′＝EB＝x，DB′＝DC＋CB′＝2a，得，∴x︰b＝；当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二），在梯形AE′B′D中，∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，∴CE＝(AD＋E′B′)，即b－x＝（b＋x），∴x︰b＝．（2）如图（一），当直线EE′经过原矩形的顶点D时，BE′∥EF．证明：连接BF．∵FD∥BE，FD＝BE，∴四边形FBED是平行四边形，∴FB∥DE，FB＝DE，又∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，∴DE＝EE′，∴FB∥EE′，FB＝EE′，∴四边形BE′EF是平行四边形∴BE′∥EF．如图（二），当直线EE′经过原矩形的顶点A时，显然BE′与EF不平行，设直线EF与BE′交于点G.过点E′作E′M⊥BC于M，则E′M＝a.．∵x︰b＝，∴EM＝BC＝b．若BE′与EF垂直，则有∠GBE＋∠BEG＝90°，又∵∠BEG＝∠FEC＝∠MEE′，∠MEE′＋∠ME′E＝90°，∴∠GBE＝∠