浙江省杭州市拱墅区观成实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

浙江省杭州市拱墅区观成实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．+x﹣1＝0 B．3x+1＝5x+4 C．x2+y＝0 D．x2﹣2x+1＝02．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．3．（3分）一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数为（）A．10 B．11 C．12 D．134．（3分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC，AD的中点，连接EF．已知BC＝8，则EF的长为（）A．2 B．4 C．6 D．85．（3分）用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设（）A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠06．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则＝（）A． B． C． D．7．（3分）下图入口处进入，最后到达的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．（3分）某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，则（）A．2（1﹣x）＝75% B．1﹣2x＝75% C．1﹣x+（1﹣x）2＝75% D．（1﹣x）2＝75%9．（3分）如图，在一节数学探究课中老师布置以下任务：在正五边形ABCDE（每个内角相等，每条边相等）内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，学生小观和小成分别写出如下作法：（小观）连结BD、CE，两条线段相交于P点，则P即为所求；（小成）先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．对于小观和小成的作法，以下判断正确的是（）A．两人都正确 B．两人都错误 C．小观正确，小成错误 D．小观错误，小成正确10．（3分）如图，在正方形ABCD中，AF⊥BG，BG⊥CH，CH⊥DE，DE⊥AF，垂足分别是F，G，H，E，∠ABF＞∠BAF，连结BE．若，正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，则n＝（）A．4 B．3 C．2.5 D．2二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．12．（4分）如图，已知▱ABCD的周长是12，对角线AC与BD交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长多1，则AB的长为．13．（4分）若6，8，m为三角形的三边长，则化简的结果为．14．（4分）如果关于x的方程x2﹣x+k＝0（k为常数）有一个根是3，则另外一个根是．15．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．在边AD上取一点E，使BE＝BC．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为．16．（4分）如图，在菱形ABCD中，，∠B＝120°，将△ABC向右平移得到△A′B′C′（点A′在线段AC上），连接A′B′，A′D，B′D．在平移过程中，（1）若四边形A′B′CD是矩形，则AA′＝；（2）A′D+B′D的最小值为．三、解答题（共7小题，共66分）17．（6分）计算下列各式：（1）；（2）．18．（8分）解方程：（1）x2﹣2x＝15．（2）（x﹣1）（x+5）＝﹣2（x+5）．19．（8分）如图，在△ABF中，∠A＝90°，AB＝2，AF＝4，点E为是边BF的中点，点D是边AF上一点，连结DE并延长至C，使得BC⊥AB．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若CD⊥BF，求DF长．20．（10分）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足．连接EF，AG，并延长AG交EF于点H．（1）求证：∠DAG＝∠EGH；（2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由．21．（10分）东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝50m，AB＝30m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积（即期影面积）为800m2．（1）求道路的宽是多少米？（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民？22．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4tx+3t2+2t﹣1＝0．（1）当t＝3时，解这个方程；（2）试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由；（3）x1，x2是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且x1＝nx2，求n的值．23．（12分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝4，AD＝8，点E为AD边上一点（0＜AE＜3），连结EO并延长，交BC于点F．四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，线段B′F交AD边于点G．（1）求证：GE＝GF；（2）当AE＝2DG时，求AE的长；（3）设AE＝a，DG＝b．求代数式（4﹣a）（4﹣b）的值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．+x﹣1＝0 B．3x+1＝5x+4 C．x2+y＝0 D．x2﹣2x+1＝0【解答】解：A．该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；B．该方程中未知数的最高次数不是2次，所以它不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C．该方程中含有两个未知数，所以它不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．故选：D．2．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、＝3，故A不符合题意；B、＝＝，故B不符合题意；C、是最简二次根式，故C符合题意；D、＝，故D不符合题意；故选：C．3．（3分）一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数为（）A．10 B．11 C．12 D．13【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意得：（n﹣2）×180°＝1800°，∴n＝12．故选：C．4．（3分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC，AD的中点，连接EF．已知BC＝8，则EF的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵AD是△ABC的中线，BC＝8，∴BD＝DC＝BC＝×8＝4，∵E、F分别是AC，AD的中点，∴EF是△ADC的中位线，∴EF＝CD＝2，故选：A．5．（3分）用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设（）A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0【解答】解：“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0．”第一步应假设：a≠0，b≠0．故选：B．6．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝CO＝DO，∵∠AOB＝60°，∴△ABO是等边三角形，∴∠BAO＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB，∴＝，故选：D．7．（3分）下图入口处进入，最后到达的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形；∴最后到达的是丁故选：D．8．（3分）某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，则（）A．2（1﹣x）＝75% B．1﹣2x＝75% C．1﹣x+（1﹣x）2＝75% D．（1﹣x）2＝75%【解答】解：依题意，得：（1﹣x）2＝75%．故选：D．9．（3分）如图，在一节数学探究课中老师布置以下任务：在正五边形ABCDE（每个内角相等，每条边相等）内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，学生小观和小成分别写出如下作法：（小观）连结BD、CE，两条线段相交于P点，则P即为所求；（小成）先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．对于小观和小成的作法，以下判断正确的是（）A．两人都正确 B．两人都错误 C．小观正确，小成错误 D．小观错误，小成正确【解答】解：如图1，∵正五边形的每个内角的度数是，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∴＝36°，同理∠CBD＝∠CDB＝36°，∴∠ABP＝∠AEP＝108°﹣36°＝72°，∠BPE＝360°﹣108°﹣72°﹣72°＝108°，∴四边形ABPE是平行四边形，即小观正确；如图2，∵∠BAE＝108°，∵∠BAE＝108°，∴∠BAM＝∠EAM＝54°，∵AB＝AE＝AP，∴＝63°，∠AEP＝∠APE＝63°，∵∠BPE＝360°﹣108°﹣63°﹣63°≠108°，即∠ABP＝∠AEP，∠BAE≠∠BPE，∴四边形APBE不是平行四边形，即小成错误．故选：C．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，AF⊥BG，BG⊥CH，CH⊥DE，DE⊥AF，垂足分别是F，G，H，E，∠ABF＞∠BAF，连结BE．若，正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，则n＝（）A．4 B．3 C．2.5 D．2【解答】解：∵四边形ABCD，EFGH为正方形，∴AB＝BC，∠AFB＝∠CGB＝90°，∠ABC＝90°．∴∠ABF+∠GBC＝90°，∠GBC+∠GCB＝90°，∴∠ABF＝∠BCG．在△ABF和△BCG中，，∴△ABF≌△BCG（AAS），∴BF＝GC，设BF＝GC＝a，GF＝b，则BG＝a+b，EF＝b，∵，∴，∴a2+ab＝b2．∵BG2+GC2＝BC2，∴BC2＝a2+（a+b）2＝2a2+2ab+b2＝3b2，∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为，∴n＝3．故选：B．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥﹣1．【解答】解：由题意得：x+1≥0，解得：x≥﹣1，故答案为：x≥﹣1．12．（4分）如图，已知▱ABCD的周长是12，对角线AC与BD交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长多1，则AB的长为2.5．【解答】解：∵▱ABCD的周长为12，∴AB+AD＝6，OB＝OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多1，∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）＝AD﹣AB＝1，∴AB＝2.5，AD＝3.5．故答案为：2.5．13．（4分）若6，8，m为三角形的三边长，则化简的结果为2m﹣2．【解答】解：∵6，8，m为三角形的三边长，∴8﹣6＜m＜8+6，即2＜m＜14，∴＝|2﹣m|+m＝m﹣2+m＝2m﹣2．故答案为：2m﹣2．14．（4分）如果关于x的方程x2﹣x+k＝0（k为常数）有一个根是3，则另外一个根是﹣2．【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣＝1，令x1＝3，则3+x2＝1，解得：x2＝﹣2．故答案为：﹣2．15．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．在边AD上取一点E，使BE＝BC．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝BC＝3，AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBC，∵BE＝BC．AB＝2，∴AE＝．∵CF⊥BE，∴∠BFC＝90°，在△ABE和△FCB中，，∴△ABE≌△FCB（AAS），∴BF＝AE＝．故答案为：．16．（4分）如图，在菱形ABCD中，，∠B＝120°，将△ABC向右平移得到△A′B′C′（点A′在线段AC上），连接A′B′，A′D，B′D．在平移过程中，（1）若四边形A′B′CD是矩形，则AA′＝4；（2）A′D+B′D的最小值为12．【解答】解：（1）连接BD交AC于点O，如图所示：∵在菱形ABCD中，，∠B＝120°，∴BD⊥AC，，∴∠BAO＝30°，在Rt△ABO中，，则，∵将△ABC向右平移得到△A′B′C′（点A′在线段AC上），∴∠B′A′C′＝∠BAC＝30°，若四边形A′B′CD是矩形，则∠DA′B′＝90°，∴∠DA′O＝60°，在Rt△ADO中，，则，∴AA′＝AO﹣A′O＝4，即故答案为：4；（2）连接A′B，延长AB到D′，使BD′＝AB，如图所示：∵将△ABC向右平移得到△A′B′C′（点A′在线段AC上），∴AB∥A′B′，AB＝A′B′，∴A′BD′B′是平行四边形，∴A′B＝B′D′，∵在菱形ABCD中，由菱形对称性得到A′B＝A′D，∴A′D＝B′D′，∴A′D+B′D＝B′D′+B′D，则当D′、B′、D三点共线时，A′D+B′D有最小值为DD′，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝BD′，∠ABD＝∠ADB＝60°，∵由于∠ABD是△BDD′的一个外角，∴∠BDB′＝∠D′＝30°，∴∠ADD′＝90°，在Rt△ADD′中，，∠D′＝30°，则，∴A′D+B′D的最小值为12，故答案为：12．三、解答题（共7小题，共66分）17．（6分）计算下列各式：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝3﹣2+＝；（2）原式＝1﹣2+3+2＝4．18．（8分）解方程：（1）x2﹣2x＝15．（2）（x﹣1）（x+5）＝﹣2（x+5）．【解答】解：（1）x2﹣2x＝15，（x﹣5）（x+3）＝0，即：x﹣5＝0或x+3＝0，∴x＝5或x＝﹣3．（2）（x﹣1）（x+5）＝﹣2（x+5），（x﹣1）（x+5）+2（x+5）＝0，（x﹣1+2）（x+5）＝0，即：x+1＝0或x+5＝0，∴x＝﹣1或x＝﹣5．19．（8分）如图，在△ABF中，∠A＝90°，AB＝2，AF＝4，点E为是边BF的中点，点D是边AF上一点，连结DE并延长至C，使得BC⊥AB．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若CD⊥BF，求DF长．【解答】（1）证明：∵∠A＝90°，∴AF⊥AB，∵BC⊥AB，∴AF∥BC，∴∠CBE＝∠DFE，∵点E为是边BF的中点，∴BE＝FE，又∵∠BEC＝∠FED，∴△BCE≌△FDE（ASA），∴BC＝FD，∴四边形BDFC是平行四边形；（2）解：由（1）可知，四边形BDFC是平行四边形，∴平行四边形BDFC是菱形，∴BD＝DF，设BD＝DF＝x，则AD＝AF﹣DF＝4﹣x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2+AD2＝BD2，即22+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝，即DF长为．20．（10分）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足．连接EF，AG，并延长AG交EF于点H．（1）求证：∠DAG＝∠EGH；（2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD，∴∠ADE＝∠GEC＝90°，∴AD∥GE，∴∠DAG＝∠EGH．（2）解：AH⊥EF，理由如下．连结GC交EF于点O，如图：∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADG＝∠CDG＝45°，又∵DG＝DG，AD＝CD，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG＝∠DCG．在正方形ABCD中，∠ECF＝90°，又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴四边形FCEG为矩形，∴OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∴∠DAG＝∠OEC，由（1）得∠DAG＝∠EGH，∴∠EGH＝∠OEC，∴∠EGH+∠GEH＝∠OEC+∠GEH＝∠GEC＝90°，∴∠GHE＝90°，∴AH⊥EF．21．（10分）东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝50m，AB＝30m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积（即期影面积）为800m2．（1）求道路的宽是多少米？（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民？【解答】解：（1）道路的宽为x米，由题意得：（50﹣2x）（30﹣2x）＝800，整理得：x2﹣40x+175＝0，解得：x1＝35（不合题意，舍去），x2＝5，答：道路的宽是5米；（2）设每个车位的月租金上涨y元时，停车场的月租金收入为10120元，由题意得：（200+y）（50﹣）＝10120，整理得：y2﹣50y+600＝0，解得：y1＝20，y2＝30，∵尽可能让利于居民，∴y＝20，答：每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10120元．22．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4tx+3t2+2t﹣1＝0．（1）当t＝3时，解这个方程；（2）试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由；（3）x1，x2是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且x1＝nx2，求n的值．【解答】解：（1）当t＝3时，原方程化为x2﹣12x+32＝0，（x﹣8）（x﹣4）＝0，x﹣8＝0或x﹣4＝0，所以x1＝8，x2＝4；（2）方程有两个实数解．理由如下：Δ＝（﹣4t）2﹣4（3t2+2t﹣1）＝16t2﹣12t2﹣8t+4＝4t2﹣8t+4＝4（t﹣1）2，当t＝1时，Δ＝0，方程有两个相等的实数解；当t≠1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实数解；综上所述，方程有两个实数解；（3）解方程得x＝3t﹣1或x＝t+1，∵x1＝nx2，∴3t