2021届高考数学一轮复习第7章空间几何体的结构及其三视图和直观图第5讲直线、平面垂直的判定与性质创新教学案（含解析）新人教版

第5讲直线、平面垂直的判定与性质

［考纲解读］掌握线线、线面、面面垂直的判定定理和性质定理，并能应用它们证明有关空

间图形的垂直关系的简单命题.（重点、难点）

［考向预测］从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容.预测2021年将会以以下两种

方式进行考查：①以几何体为载体考查线面垂直的判定和性质；②根据垂直关系的性质进行

转化.试题以解答题第一问直接考查，难度不大，属中档题型.

基础知识过关

1.直线与平面垂直

判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

1、

一条直线与一个平面内02a,bUa

Q3ar\b=O

判定的两条SL相交直线都垂>

&l±a

定理直，则该直线与此平面口

osm>

垂直

0/_La

ab

性质垂直于同一个平面的两/Q8Z?_La)

定理条直线四平行7^a//b

2.平面与平面垂直

判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面过另一个平3

判定02似aQ3/u£}

面的SL一条垂线,则这

定理

两个平面垂直

(1)定义：一条斜线和它在平面上的3射影所成的02锐鱼叫做这条直线和这个

平面所成的角.

(2)范围：03[0°,90°].

4.二面角

(1)定义：从一条直线出发的3两个半平面所组成的图形叫做二面角;在二面

角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作核垂直于棱的两条射

线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

(2)范围：Q3r0°,180°1.

5.必记结论

(1)若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线.

(3)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

(4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

(5)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直.

(6)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

Q诊断自测

1.概念辨析

(1)直线/与平面a内的无数条直线都垂直，则)

(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平

面.()

(4)若平面a内的一条直线垂直于平面B内的无数条直线，则。，及()

答案(1)X(2)X(3)X(4)X

2.小题热身

(1)下列命题中不正确的是()

A.如果平面a_L平面用，且直线/〃平面a,则直线/_L平面夕

B.如果平面a,平面用，那么平面a内一定存在直线平行于平面少

C.如果平面a不垂直于平面夕，那么平面a内一定不存在直线垂直于平面用

D.如果平面a_L平面％平面4_L平面/aC0=l,那么/_Ly

答案A

解析A错误，如图1所示，在长方体中a邛,l〃a,但IU0；B正确，设aA.

=1,则a内与/平行的直线都与夕平行；C正确，由面面垂直的判定可知；D正

确，如图2所示，在平面a内，作a与/交线的垂线根，在平面”内作夕与/的交

线的垂线〃，由a_Ly得机_!_%由夕_!_/得冏_!_%所以机〃冏.可推出机〃夕，进而推

出m//1,所以/_!_/

(2)如图，在正方形A3CD中，E,歹分别是3C,CD的中点，G是ER的中点,

现在沿AE,AR及ER把这个正方形折成一个空间图形，使3,C,。三点重合，

重合后的点记为那么，在这个空间图形中必有()

A.AG±¥ffiEFHB.AH,平面EfH

C.HfU平面AERD.平面AER

答案B

解析根据折叠前、后AHLHE,AHLHF不变，平面EFH,B正确；

:过A只有一条直线与平面EFH垂直，，A不正确；•..AG，EF,EF，GH,AGnGH

=G,平面HAG,又ERU平面AEF二平面

HAG,平面AEF,过H作直线垂直于平面AEF,一定在平面HAG内，/.C

不正确；已证平面HAG,平面AEF若证HG,平面AER,只需证HGLAG,已

证AHLHG,故HGLAG不成立，所以HG与平面AER不垂直，，D不正确.故

选B.

(3)如图，在长方体A3CD—AiBiGDi中，AB=BC=2,A4i=l,则AG与平

面AjBiCiA所成角的正弦值为.

答案3

解析连接ACi，则NAGAi为AG与平面A15C01所成的角.因为43=3。

=2,所以Ai。=4。=24^,又AA[=1,所以AC\=3,所以sinNAC\Ai=^^=w.

(4)已知尸。垂直于菱形A3CD所在的平面，连接尸3,PC,PA,AC,BD,则

一定互相垂直的平面有对.

答案4

解析由于平面ABCD,故平面以。，平面ABCD,平面PD5,平面

ABCD,平面PDCmABCD,由于AC,平面PDB,所以平面R4C,平面PDB,

共4对.

经典题型冲关

题型一直线与平面的位置关系多角探究

【举例说明】

9角度1直线与平面所成的角

1.（2018・全国卷I）在长方体ABC。一ArBiGDi中，AB=BC=2,AG与平面

331GC所成的角为30。，则该长方体的体积为（)

A.8B.6^2

C.8^2D.8^3

答案C

解析如图，在长方体A3CD—ArBiGDi中，连接3G，根据线面角的定义可

知NAaB=30。，因为AB=2,^=tan30°,所以BCi=2小,从而求得CQ=

NBC，C2=2®所以该长方体的体积为V=2X2X2吸=8陋.故选C.

。角度2直线与平面垂直的判定和性质

2.（2019・镇江模拟）如图，在四棱锥P—A3CD中，底面A3CD是正方形，AC

与3。交于点。，PCl^ABCD,E为PB上一点、,G为P。的中点.

(1)若PD〃平面ACE,求证：E为尸3的中点;

(2)若AB=y[iPC,求证：CG,平面PBD

证明(1)如图，连接。E,由四边形A3CD是正方形知，。为3。的中点,

〃平面ACE,PDU平面P3D,平面PBDn平面ACE=OE,

J.PD//OE,二•。为3。的中点，为的中点.

(2)在四棱锥P—A3CD中，AB=\[2PC,

...四边形ABCD是正方形，：.OC=^AB,：.PC=OC,

：G为P。的中点，：.CG±PO.

又PC,底面A3CD,BDU底面ABCD,：.PC±BD.

而四边形ABCD是正方形，：.AC±BD,

'：AC,PCU平面出C,ACHPC=C,平面出C,

又CGU平面PAC,：.BD±CG.

'：P0,BDU平面PBD,POnBD=O,

平面PBD.

【据例说法】

1.求直线和平面所成角的步骤

(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.

(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为

所求的角.

(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.如举例说明1.

2.证明直线与平面垂直的常用方法

(1)利用线面垂直的判定定理，这是主要证明方法.如举例说明2(2).

(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”.

(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”.

(4)利用面面垂直的性质定理.

【巩固迁移】

1.已知一个正四棱柱的体对角线长为小，且体对角线与底面所成的角的余弦

值为坐，则该四棱柱的表面积为.

答案10

解析由图可知，BD=^6X^=y/2,

2Z：

DDl=ylBDj-BD=^62=2,底面边长AB=y/ix坐=1,所以所求表面积

22

为4AArAB+2AB=4X2X1+2XI10.

s

2.如图，S是RtZXABC所在平面外一点，且SA=S3=SC,。为斜边AC的

中I占八、、,

(1)求证：SD,平面ABC；

(2)若A3=BC,求证：3D，平面SAC.

证明(1)如图所示，取A3的中点E,连接SE,DE,在Rt^ABC中，D,E

分别为AC,A3的中点.

：.DE//BC,：.DE±AB,

,:SA=SB,：.SELAB.

又SECDE=E,

.•.A3,平面SDE.

又SOu平面SDE,：.AB±SD.

在△SAC中，'：SA=SC,。为AC的中点,

S.SDLAC.

又ACAA3=A,SDL平面ABC.

(2)由于A3=BC,则3DLAC,

由(1)可知，SD，平面ABC,

又3DU平面ABC,：.SD±BD,

又SDnAC=D,，台。，平面SAC.

题型二面面垂直的判定与性质多维探究

【举例说明】

1.如图，A3是。。的直径，以垂直于。。所在平面，C是圆周上不同于A,

B两点的任意一点，且AB=2,PA=BC=y[3,则二面角A-BC-P的大小为

答案60°

解析因为A5为。。的直径，所以ACLBC,又以，平面ABC,所以必，

BC,可求得3CLPC,所以NPC4为二面角A—BC一尸的平面角.因为NACB=

90°,AB=2,PA=BC=y]3,所以AC=1,所以在Rt△%C中，tanNPC4=7K=q5.

21Cz

所以NPC4=60。.

结论探究在本例的条件下，二面角N—阳一。的正切值为.

答案乎

p

解析

如图，过A作ARLPC,垂足为R,

过R作FELPB,垂足为E,连接AE,

由举例说明1易得3C,平面PAC.

又ARU平面PAC,

所以AfUBC.

又PCn3C=C,所以AR,平面PBC

所以「3LAR,又PBLEF,AFCEF=F,

所以尸3,平面AER,所以PBLAE,

所以NAER为二面角A—PB—C的平面角，

在Rt△必C中，AC=1,卧=小,ZPAC=9Q°.

所以tanNPC4=#=小，所以NPCA=60。，

AC

i、G

所以CF=1Xcos60°=2,AF=1Xsin60°=1.

在RtAPBC中,PC=2,BC=木,ZPCB=90°,PB=S.

由APEFsAPCB得ff=需，

3_

所以及=焉，所以EF=噜,

737714

在RtAAEF中，tan/AEF=^=^^=斗,

14

即二面角A-PB-C的正切值为生.

2.如图，在四棱锥P—A3CD中，底面A3CD是矩形，点E在棱PC上(异于

点P,Q,平面A3E与棱PD交于点正

⑴求证：AB//EF-,

(2)若AfUEE求证：平面以。，平面A3CD

证明(1)因为四边形A3CD是矩形，

所以A3〃CD.

又ABC平面PDC,CDu平面PDC,

所以A3〃平面PDC,

又ABU平面A3E,平面A3EA平面PDC=ER,

所以A3〃EE

(2)因为四边形ABCD是矩形，

所以ABLAD

因为AfUER,(1)中已证A3〃EF,

所以A3LAE

XABLAD,

由点E在棱PC上(异于点Q,

所以点R异于点D,

所以ARnAD=A,AF,ADU平面出。，

所以A3,平面PAD,

又A5U平面ABCD,所以平面以。，平面A3CD.

【据例说法】

1.作二面角的平面角的方法

(1)定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条射线所

成的角就是二面角的平面角.如举例说明1.

a

p

4AB

…‘0

(2)垂线法：如图所示，作PO_LA垂足为。，作。4_U,垂足为A,连接力,

则/以。为二面角a—1—B的平面角.

(3)补棱法：在求解二面角问题时，若构成二面角的两个半平面没有明确的交

线，则将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线(称为补棱)，然后借助前述的

定义法或垂线法解题.

(4)射影面积法[cos6=]jj：二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在

另一个半平面上的射影图形面积时，都可利用射影面积公式(cos6=钓求出二面

角的大小.

(5)向量法(最常用).

(6)转化为线面角：如图，求a—/一用的二面角，即求A3与4所成的角.

2.证明面面垂直的两种方法

(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，

将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题.

(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面

的一条垂线，把问题转化成证明线面垂直加以解决.如举例说明2(2).

【巩固迁移】

如图，三棱柱ABC—AIiG中，平面ABC,ZACB=9Q°,M是A3的

中点，AC=CB=CQ=2.

⑴求证：平面ACM,平面A331A1；

⑵求点M到平面AQ5的距离.

解(1)证明：由AM，平面ABC,CMU平面ABC,得AiALCM.

'：AC=CB,M是A3的中点，S.ABLCM.

又A1AnAB=A.：.CM1.平面ABB1A1,

又CMU平面4CM,平面ACM,平面A351Al.

⑵设点M到平面4CBi的距离为h,

由题意可知4。=以1=431=2"。=2色，

心

SAA1CB1=^X(2何=25，

SAA1MB1=^S四边形ABB1A1=；X2X2巾=2巾.

由(1)可知CM,平面ABBiAr，

得VC-A1MB1=|MC-SAA1MB1=VM~A1CB1=1/?-5AA1CB1.

MC-SAA1MB1

.•.点M到平面AiCBi的距离h=

S^\A1CB13

题型三平面图形的翻折问题

【举例说明】

(2019・南昌模拟)如图，在矩形A3CD中，AB=3,BC=1,E,R是边DC的

三等分点.现将△D4E,△C3R分别沿AE,折起，使得平面D4E、平面C3R

均与平面ABRE垂直.

⑴若G为线段A3上一点，且AG=1,

求证：DG〃平面CBF；

⑵求多面体CDABFE的体积.

解(1)证明：如图，分别取AE,的中点M,N,连接DM,CN,MG,MN,

因为AD=DE=1,ZADE=90°,

所以DMLAE,且

因为BC=CR=1,ZBCF=90°,

所以CN,3G且CN=专

因为平面DAE、平面CBR均与平面A5RE垂直，

所以DM，平面ABFE,CN,平面ABFE,所以。/〃CN,

因为AM=AGcos45。，所以NAMG=90。，

所以△AMG是以AG为斜边的等腰直角三角形，故NMG4=45。，

而NFa4=45。，则MG〃FS,故平面DMG〃平面底凡则DG〃平面CBE

(2)如图，连接BE,DF,由(1)可知，DM//CN,且DM=CN,则四边形DMNC

EF+AB

为平行四边形，故DC=MN=-2—=2,

因为V多面体CDABFE=VD-ABE~^~VB-EFCD=VD-ABE~^~3VB—DEF=VD-ABE~^~3VD-BEF，

所以V多面体czMBFE=；xgx3Xl)x坐+3x]xgxIX1)*坐=乎.

【据例说法】

平面图形翻折为空间图形问题的解题关键是看翻折前后线面位置关系的变

化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量,

这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征.

解决此类问题的步骤为：

【巩固迁移】

(2019・合肥二检)如图1,在平面五边形A3CDE中，AB//CE,且AE=2,Z

AEC=60°,CD=ED=®cosNEDC=/将沿CE折起，使点。到P的位

置，且AP=小，得到如图2所示的四棱锥P—ABCE.

P

⑴求证：AP,平面A3CE；

(2)记平面以3与平面PCE相交于直线/,求证：AB//1.

证明(1)在△CDE中，

,:CD=ED=®cosZEDC=|,

二由余弦定理得CE=2.

连接AC,如图，

'：AE=2,ZAEC=6Q°,：.AC=2.

又AP=g

.•.在△出E中，E42+AE2=PE2,KPAPLAE.

同理，AP±AC.

'：ACHAE=A,ACU平面A3CE,AEU平面A3CE,

：.AP1^ABCE.

(2)'：AB//CE,且CEU平面PCE,A3。平面PCE,

...A5〃平面PCE.

又平面RIBA平面PCE=/,S.AB//1.

课时作业

W组基础关

1.已知平面a,平面a，an£=/，点Ada,AH,直线A3〃/,直线AC，/,

直线加〃a,m//则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）

A.AB//mB.ACXm

C.AB//J3D.AC1^

答案D

解析如图所示，AB//l//m；ACM,m//l=^AC±m；AB//l^AB//,只有D

不一定成立，故选D.

2.（2019・武汉模拟）已知两个平面相互垂直，下列命题：

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线

②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线

③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面

其中正确命题的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

答案B

解析由题意，对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的

直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面an平面

B=m,nUa,二,平面a_L平面B，...当l.Lm时，必有l.La,而n^a,I

±n,而在平面夕内与/平行的直线有无数条，这些直线均与〃垂直，故一个平面

内的己知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个

平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④，

当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另

一个平面，这是面面垂直的性质定理，故④正确.

3.

如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，以，平面ABC,PA=2AB,

则下列结论正确的是（）

A.PBLAD

B.平面以3,平面P3C

C.直线3C〃平面以E

D.直线PD与平面A3C所成的角为45。

答案D

解析选项A,B,C显然错误....班，平面ABC,.../PDA是直线PD与平

pA2AB

面所成的角.是正六边形，：

ABC•.•A3CDER.•.AD=2ARtan/PD4A=U^=ZA*z）=

1,，直线PD与平面ABC所成的角为45。.故选D.

4.（2020•江西南昌摸底）如图，在四面体A3CD中，已知A3LAC,BD1AC,

那么点。在平面A3C内的射影H必在（）

A.直线AB上

B.直线3c上

C.直线AC上

D./XABC内部

答案A

解析因为ABLAC,BD±AC,ABHBD=B,所以AC,平面ABD,又AC

u平面ABC,所以平面ABC,平面ABD,所以点。在平面ABC内的射影H必在

直线A3上.故选A.

c

5.如图，直三棱柱ABC—45。中，侧棱长为2,AC=BC=1,ZACB=90°,

。是45的中点，R是331上的动点，ABi，交于点E要使平面GDE

则线段5/的长为（）

B.1

C.|D.2

答案A

解析设因为AB，平面GDR,DRU平面GDR,所以ABiLDE

RFAD

由已知可以得Ai_Bi="\^,矩形ABBiAi中，tanNjFDBi=瓦万，tanNAiA_Bi==

害.又/FDBi=NAiABi,所以宗（=孚.故孚=）.故选A.

ZD\Uzzzz

6.（2019•全国卷III）如图，点N为正方形A3CD的中心，△ECD为正三角形,

平面ECD，平面ABCD,〃是线段即的中点，则（）

A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线

B.BM牛EN,且直线BM,EN是相交直线

C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线

D.BM芋EN,且直线BM,EN是异面直线

答案B

解析解法一：取CD的中点。，连接E。，ON.由△ECD是正三角形，知E。

LCD,又平面ECO,平面A3CD,平面ABCD.

.••石。，。"又"为正方形43。。的中心，，。2\a。。.以CD的中点0为原点,

济方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，如图1所示.

不妨设AD=2,则E(0,0,小)，N(0,l,0),%,0,浮｝5(-1,2,0),：.EN

2

='仔+(一小＞=2,BM=^1|+4+|=^7,:.EN丰BM.连捱BD,BE,二•点

N是正方形ABCD的中心，.•.点N在3。上，且BN=DN,：.BM,EN是LDBE

的中线，：.BM,EN必相交.故选B.

解法二：如图2,取CD的中点FDR的中点G,连接ER,FN,MG,GB.

'：AECD是正三角形，二EFLCD.'：平面ECDL平面ABCD,：.EFL平面ABCD.

:.EFLFN.不妨设AB=2,则FN=1,EF=小,：.EN=y]FN2+EF2=2."：EM=

MD,DG=GH且平面ABCD,

="=曰,BG=NCG2+BC2=A/(1)2+22=|,：.BM=ylMC^+BG2=^7.

BM中EN.连接BD,BE,•点N是正方形A3CD的中心，.•.点N在3。上，且BN

=DN,：.BM,EN是△DBE的中线，：.BM,EN必相交.故选B.

7.已知ABC—ASG是所有棱长均相等的直三棱柱，M是BiG的中点，则

下列命题正确的是（）

A.在棱A3上存在点N,使与平面A3C所成的角为45°

B.在棱AAi上存在点N,使MN与平面3CGB1所成的角为45°

C.在棱AC上存在点N,使MN与AB平行

D.在棱上存在点N,使MN与AS垂直

答案B

解析设该直三棱柱的棱长均为。，取3C的中点P,连接则平面

ABC,点N在棱A3上，若MN与平面ABC所成角为45。，即NMNP=45。，则PN

=PM=a,而PNmax=^a<a,A错误；若点N在棱AAi上，则点N在平面BCCB

上的射影为点Q,且MQ〃CG，此时MN与平面BOGS所成角即为NM0Q,当

NQ=AiN=^-a时，ZNMQ=45°,B正确；因为AC与31cl是异面直线，所以点

N在AC上时，MN与AB是异面直线或相交直线，不可能平行，C错误；取

的中点K,则AK,平面BCCiBi，AK±MN,若MN±ABr,则平面ABXK,

此时“NLBiK,当N在棱3c上时，MN,31K不可能成立，D错误，故选B.

8.（2019•北京高考）已知/,机是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论

断：

②mJ/a；③/_La.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命

题：.

答案若m//a且l-La,则（或若/_La,则m//a）

解析已知/,机是平面a外的两条不同直线，由①/_L机与②机〃a,不能推

出③因为/可以与a平行，也可以相交不垂直；由①机与③能推出②

m//a；由②加〃a与③/_La可以推出①/_L机故正确的命题是②③今①或①③二②.

A

9.

如图，平面ABC，平面3DC,ZBAC=ZBDC=90°,且A3=AC=a,则AD

答案a

解析作3C的中点E,连接AE,DE,则在Rt^ABC中，AB=AC=a,由勾

股定理得BC=2AE=dia,且有AEL5C,又平面ABC,平面BDC,平面A3CA

平面且直线AE在平面ABC内，，由面面垂直的性质定理得AE,平

面BDC,

；DEU平面BDC内，：.AE±DE,又在Rt^BCD中，点E是3C的中点，/.

区—正

Uh一2一2〃，

、历

在RtAADE中，AE=^a,

由勾股定理得AD=ylAE2+DE2=a.

10.（2019•湖北省“四地七校”联考）现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底

面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3,则至少存在一个侧面与此底面互相

垂直的三棱锥的所有编号是.

答案①②

解析编号为①的三棱锥，其直观图可能是①，侧棱底面ABC,则侧面

必底面A3C,满足题意；编号为②的三棱锥，其直观图可能是②，侧面P3C

，底面ABC,满足题意；编号为③的三棱锥，顶点的投影不在底面边上（如图③）,

不存在侧面与底面垂直.故答案为①②.

能力关

1.如图所示，三棱锥尸一A3C的底面在平面a内，且ACLPC,平面必

平面P3C,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是（）

A.一条线段

B.一条直线

C.一个圆

D.一个圆，但要去掉两个点

答案D

解析•.・平面H平面PBC,而平面平面P3C=PC.又ACU平面

PAC,SLACLPC,平面P3C,而3CU平面PBC,：.AC±BC,点C在

以A3为直径的圆上，，点C的轨迹是一个圆，但是要去掉A和5两点.故选D.

2.如图，在棱长为。的正方体ABCD—ApBiGDi中，P为4。的中点，。为

45上任意一点，E,R为CD上任意两点，且环的长为定值，则下面的四个值

中不为定值的是（）

A.点P到平面QEF的距离

B.三棱锥P—QER的体积

C.直线PQ与平面PER所成的角

D.二面角P—ER—Q的大小

答案C

解析A中，因为平面QEF也就是平面ApBiCD,显然点P到平面A/C。的

距离是定值，所以点P到平面QER的距离为定值；B中，因为△QER的面积是定

值（ER为定长，点。到ER的距离就是点。到CD的距离，也是定长，即底和高都

是定值），再根据A的结论，即点P到平面QER的距离也是定值，所以三棱锥P

一QEF的高也是定值，所以三棱锥P—QER的体积是定值；C中，因为。是动点，

PQ的长不固定，而Q到平面PEF的距离为定值，所以PQ与平面PER所成的角

不是定值；D中，因为AIi〃CD,。为AS上任意一点，E,R为CD上任意两

点，所以二面角P—ER—Q的大小即为二面角P—CD—4的大小，为定值.

3.（2018・全国卷I）已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的

角相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为（）

A童B”

A.4此3

c也D近

J42

答案A

解析根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCD

—A131GD1中，平面A301与线A4i,AXBX,45所成的角是相等的，所以平面

A5Q与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面C/D也满足与

正方体的每条棱所在的直线所成的角都是相等的，要求截面面积最大，则截面的

位置为夹在两个面ASA与中间的，且过棱的中点的正六边形，边长为为一,

所以其面积为S=6X坐X停|2=乎，故选人.

4.如图，在四棱锥P—A3CD中，必，平面A3CD,/XABC是正三角形，AC

与3。的交点为M,XB4=AB=4,AD=CD,ZCDA=12Q°,N是CD的中点.

⑴求证：平面平面PAB；

⑵求点M到平面PBC的距离.

解(1)证明：在正△ABC中，AB=BC,在△ACD中，AD=CD,易证

mACDB,

所以M为AC的中点，因为N是CD的中点，所以MN〃AD

因为出，平面ABCD,所以以，AD,因为NCDA=120。，所以ND4c=30。，

因为N3AC=60。，所以N3AD=90。，®PBALAD.

因为RinA3=A,所以AD,平面以3,所以MN,平面以B

又MNU平面PMN,所以平面PMN,平面以3.

(2)设点M到平面P3C的距离为h,

在RtaRlB中，FA=AB=4,所以PB=4p,

在Rt^/nC中，PA=AC=4,所以PC=4也，

在△P3C中，PB=4y12,PC=45BC=4,

所以SAPBC=4巾.

由△ABC是正三角形，M是AC的中点，得5MLAC,

在中，MC=2,BM=2小,

所以S&BMC=2y[^.

由VM-PBC=VP-BMC9即gX4"\/^X/z=§X2^/^X4,解得