2021届高考数学一轮复习第5章数列第1讲数列的概念与简单表示法创新教学案（含解析）新人教版

第五章数列

第1讲数列的概念与简单表示法

［考纲解读］1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），

并知道数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

2.掌握数列求通项的几种常用方法：利用的与外的关系求通项；利用递推关系

求通项.（重点、难点）

［考向预测］从近三年高考情况来看，本讲一般不单独命题.预测2021年高考可

能与递推数列、等差、等比数列及前〃项和综合考查，涉及题型有：①由S求服；

②由递推关系求丽；③根据丽=A〃）求最值.题型一般为客观题，也可能作为解答

题中的一问，试题难度一般不大，属中档题型.

基础知识过关

1.数列的有关概念

数列按照画一定的次序排列起来的一列数

数列的项数列中的匝］每一个数

数列的通项数列｛斯｝的第n项an

数列｛丽｝的第〃项小与〃之间的关系能用公式画］以=〃"）表

通项公式

达

前n项和Sn=|04|。1+〃2+…

数列的函数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集｛1,2,…，刈）为

数特征定义域的函数an=f（n）

2.数列的分类

分类原则类型满足条件

项数画直

按项数分类有穷数列

限

项数画无

无穷数列

限

6ZH1|03|>an

按项与项间递增数列+

的大小关系

递减数列Cln+11041^Cln

分类

其中

常数列dn+1=Cln

狂N*

按其他

有界数列、摆动数列、周期数列

标准分类

3.数列｛m｝的小与S的关系

(1)数列｛丽｝的前〃项和:S”=ai+a2H---Van.

例负，n=l,

(2)an=y

,^2Sn—Sn-l,n22.

特别提醒：若当九三2时求出的z也适合”=1时的情形，则用一个式子表示

an,否则分段表示.

q诊断自测

1.概念辨析

(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()

(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.()

(3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点.()

(4)如果数列｛m｝的前几项和为的，则对\/”©N*,都有a"+i=Si+i—S〃.()

答案⑴X(2)V(3)V(4)V

2.小题热身

(1)已知数列小，屈,y/23,叵…,则5小是它的()

A.第19项B.第20项

C.第21项D.第22项

答案C

解析575=7125，125=5+5—1)X6,〃=21.故选C.

(2)设数列｛m｝的前九项和5=/,则。8的值为()

A.15B.16

C.49D.64

答案A

解析<78=58—57=82—72=15.

ai=3=.

(3)在数列｛m｝中，已知l,an+i=4an+l,则。

答案21

解析(22=4(21+1=5,〃3=4或+1=21.

(4)数列一…的一个通项公式外=_______-

iAZZAJ3A44AJ

(一])〃

答案"(〃CN*)

解析观察数列可知，分母为以项数与项数加1的乘积形式的数列，分子是

常数1的数列，各项的符号正负相间，故可得数列的通项公式

n(n-\-1)

------------经典题型冲关

题型一知数列前几项求通项公式

【举例说明】

根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

(1)-1,7,-13,19,…；

(2)0.8,0.88,0.888,…；

(3)1,0,0,0,0,…；

解(1)符号问题可通过(一1)〃或(一l)"+i表示，其各项的绝对值的排列规律为:

后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为期=(—1)"(6"一5).

(2)将数列变形为/1—0.1),|(1—0.01),|(1—0.001),•••,

o1O1

-

(3)把数列改写成;，2.a'---

甲7分母依次为，而分

5?651,2,3,…

,rm

1+f—n«+1sin-2~

子1,0,1,0,…周期性出现，因此数列的通项可表示为以=—十=或

3579、

(4)将数列统一为］,予元,而，…,对于分子3,5,7,9,…，是序号的2倍加1,

可得分子的通项公式为bn=2n+l,对于分母2,5,10,17,…联想到数列1,4,9,16,…,

即数列{“2},可得分母的通项公式为圆=/+1,

所以可得它的一个通项公式为丽=筌;

【据例说法】

由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略

(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊

数列)、联想(联想常见的数列)等方法.

(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；

②相邻项的变化特征；

③各项的符号特征和绝对值特征；

④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关

系，如举例说明(4).

⑤对于符号交替出现的情况，可用(一1)*或(一1)八1,左©N*处理.如举例说明

(1)」【巩固迁移】

根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：

小246810

⑴『15*35*63999,…；

11_513_2961

(25,―于讳，一交，石，…；

(4)5,55,555,5555,

解(1)这是一个分数数列,分母可分解为1X3,3X5,5X7,7X9,9X11,每

一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6,…，相邻的偶数.故所求数列

2n

的一个通项公式为an=----

(2n—1)(2〃十1)

(2)数列可以改为一?，—77,一号，胃，…，则分母为2",分子为

-

乙IOJLUD乙

2”—3,所以数列的一个通项公式为a〃=(—1产2n

⑶数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再

观察.即**学，与，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公

乙乙乙乙乙

1、4_止

式为Cln~~^.

(4)将原数列改写为■|x9,1x99,1x999,…，易知数歹19,99,999,…的通项

为10附一1,故所求的数列的一个通项公式为斯=|(10"-1).

题型二由外与8的关系求通项公式多维探究

【举例说明】

1.已矢口S〃=3"+2〃+l,贝！Jan—.

6,n=l,

至安<

u木[2X3n-1+2,n，2

解析因为当〃=1时，ai=Si=6；

当〃22时,an—Sn—Si=(3"+2〃+1)—[3〃1+2(n—1)+1]=2・3"1+2,由于

a\不适合此式，

6,n=l,

所以an=]一、

[2X3G+2,心2.

2.设S是数列｛〃〃｝的前〃项和，且41=—1,Cln+1=SnSn+1,则S〃=.

答案T

解析由已知得。〃+l=S〃+l—Sn-SnSn+l9两边同时除以品工+1得不一=1,

品+1

即?一一9=—1,又9=—1,・,・出是首项为一1,公差为一1的等差数列，.4=

OH012川on

-l+(n-l)X(-l)=-n,即S”=一5

条件探究将本例中的条件“m=—1,Cln+1=SnSn+1”改为“s”=(—1尸+

1•〃",贝l]〃5+〃6=,dn=.

答案一2(-ir+1.(2n-l)

解析因为Q5+〃6=S6—S4=(—6)—(―4)=—2,

当n=l时，ai=Si=l,

当n》2时，z=S〃一S〃-1=(一l)"+i•〃一(一1)凡(九—1)=(一l)"+L[〃+5—1)]=

(―l)〃+”2"一1),又m也适合此式，所以斯=(一1升+“2〃-1).

【据例说法】

1.已知S"求an的三个步骤

(1)先利用ai=Si求出ai.

(2)用n-l替换中的“得到一个新的关系，利用.=5〃一S-i(“三2)便可求

出当九三2时加的表达式.

(3)对”=1时的结果进行检验，看是否符合时a〃的表达式，如果符合，

则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分”=1与两段来写.如

举例说明L

2.S”与以关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.

(1)利用a〃=S〃一S”i(〃>2)转化为只含S,S”i的关系式.如举例说明2.

(2)利用S"-i=aw(〃22)转化为只含z,的关系式，再求解.如举例说

明2的条件探究.

【巩固迁移】

1.(2017•全国卷III改编)设数列｛a”｝满足ai+3a2+…+(2〃—l)an=2n,则an

2

答案n(〃©N*)

解析因为。1+3。2+…+(2〃-1)斯=2〃，

故当时，。1+3。2+…+(2〃-3)。〃—1=2(〃-1).

两式相减得(2〃一1)雨=2,

2

所以cin=\r(n三2).

2n—1

又由题设可得m=2,满足上式，

——2..

从而｛m｝的通项公式为—=2.T(〃£N).

2.若数列｛z｝的前〃项和为首项0>0,且2S〃=晶+斯(〃£N*).求数列

｛诙｝的通项公式.

解当〃=1时，2sl=*+m,则ai=l.

c&-\~ac&-\~\-an-\

当时，an—Sn-Sn-\—n

2

即(Q及+Z—1)(。〃-Cln-\-1)=0=^。及=-Cln-\或Cln~1+1,

所以斯=(-1)G或an=n.

题型三由递推关系求通项公式多角探究

【举例说明】

角度1形如=〃“+/(〃)，求Cln

1.已知数列｛劣｝中，(21=2,z+i=z+ln。+[),求通项公式为.

解V6Zn+l=(2n+ln11+0，

»«cin-cin-1~In[1+-1]=In-[(riN2),

an—｛an—。〃―1)+(。〃—1—2)+…+(Q2—

Y)〃—13

=lnR+ln三+…+足5+山2+2

(nn~13)

=2+ln

\n—1n-2522J

=2+ln〃(〃22).

又。i=2适合上式，故痴=2+ln〃(〃£N*).

。角度2形如Cln+1=Unf^Tl),求Cln

n—1

2.已知数列｛〃〃｝中，＜71=1,an=~n~an-1(n2),求通项公式即

解.：an=nan-1(〃22),

.n—21

・・Q〃-1=”ja及-2,•••,Q2=/〃l.

以上(〃一1)个式子相乘得

12n~1ai1

。及•于

=Q127.3n=n=n—.

当n=\时也满足此等式，...a〃=5.

Q角度3形如Un+\—pCln~\~q,求Cln

3.已知数列｛“〃｝中，QI=1,an+i=2an+3,求通项公式。％

解递推公式。九+1=2〃力+3可以转化为Un+\—t=2（dn—%）,即。九+1=2为一10t

-3.

故递推公式为an+1+3=2（an+3）,

.,,I1，,lbn+\Q〃+I+3

令bn-cin~\~3,则b\—a\~\~3=4,且~~=।-=2.

bnan+3

所以｛瓦｝是以bi=4为首项，2为公比的等比数列，

则瓦=4X2〃—i=2〃+i,

所以斯=2-1—3.

【据例说法】

1.累加法求通项公式的四步骤

（转化）一：求出四，将递推公式写成%+i-&=洗（〃）的形式\

JT二二二二二二二二二二二二二二二:

；分别将“=1,2,3,…,“T代入上式，得到n-1个等式j

;二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二;

（叠-加）!得出%-4的值，求其通项公式a.

1二二二二二二二二二二二二二二二I

—■「J检验4是否符合所得的通项公式.若符合，则合并；：

叱览尸若不符合，则写成分段形式：

2.累乘法求通项公式的四步骤

（转化H求出5,将递推公式写成等1=/■（"）的形式

\---1---）：**n：

T1T:........:

（赋超）—：分别将n=1,2,3,…,n-1代入上式，得到几-1个等式：

X；二二二三二二二二二二二二;

叠~利用。产元;,不工...行求其通项公式电\

点检验四是否符合所得的通项公式.若符合，则合并;

竺二丁］若不符合，则写成分段形式

3.构造法求通项公式的三步骤

（定关系口根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系

工:

（巧本形H通过关系式的灵活变形变为“差”或“商”的形式

根据“差”或“商”的形式，合理选用累加、累乘的

方式或转化为等差、等比数列的通项求解

［巩固迁移】I

1.数列｛斯｝中，（21=1,an+\+an=2n,则通项公式an=.

n,n为奇数,

答案(〃©N*)

n-l,〃为偶数

解析><2"+1+。”=2〃，♦.(7〃+2+<2"+1=2〃+2,Cln+2Un'」.

即数列｛斯｝是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.

当n为偶数时，（22=1,

故Cln=C12~\~21]11=721.

当〃为奇数时，•.,斯+1+。"=2〃，如+1=〃（r+1为偶数）,故a”=n.

,〃，〃为奇数，

综上所述,(n£N*).

n—1,"为偶数

2.在数列｛an｝中,ai=3,(3〃+2)a”+i=(3〃—则a“=.

6

答案

3n—1

角星«(3〃+2)(1"+1=(3〃——1)<7«,•.Un+1=।2Cln)••Un=

3(n-l)-l3(〃一2)—13X2-13-13〃-43〃―752、

--------------.--------------.•••.-------------------.=：--------X--------X,••X—X—X3

3(〃-1)+23(〃-2)+23X2+23+23n—13n—485

&61,当〃=1时，满足此等式，.二二=26

5n~13n~1

3,设｛Z｝是首项为1的正项数歹！J,且(〃+1)晶+1—〃届+或+1,斯=0(〃=1,2,3L,),

则它的通项公式an=.

答案\

解析因为(〃+1)届+1—几届+Q〃+I・Q〃=O,

所以(。升1+。〃)[(几+l)an+l—4词=0.

又因为a〃>0,所以

=

所以("+l)an+i—nan09

口口。1+1n

即丁E,心・

匕­、）。21a32a43an~\

所以加=》7=7扇=不n

Cln—l〃

以上各式相乘得

a123n~11

—n一.—.一.•••.-------一

<71234nn

所以斯

又QI=1,=5

题型四数列的性质及应用

【举例说明】

“+0.99

1.已知以=c00,那么数列｛丽｝是（）

n—0.99

A.递减数列B.递增数列

C.常数列D.摆动数列

答案A

九十0.99必—0.99+1.98」1.98198

解析n—0.99n—0.991n-0.999因为函数丁=1十=5^在

（0.99,+8）上是减函数，所以数列｛外｝是递减数列.

2.（2019・大庆模拟）已知数列｛m｝的通项公式或=（咒+2）停）,则数列｛所｝的项

取最大值时，n=.

答案4或5

解析因为a〃+i—a〃=（“+3）b）"+i—（"+2），）

=削中-（"2）卜卧〒

当n<4时，斯+1>0,即an+i>an;

当72=4时，Cln+1一斯=0,即Cln+\=dn,

当n>4时，an+i-an<0,即an+i<an.

所以该数列中最大项为第4项和第5项.

3.（2020•大兴一中月考）数列｛z｝满足z+i=

2ciri,

23

<Qi=《，则数列的第2019项为

2Q〃195VClnV1,

2

答案5

解析•〃1=亍・・。2=2。1—1=不

・__2.__4

・・。3=2〃2=亍・・Q4=2〃3=亍

・31

・・。5=2〃4—1=5，。6=2。5—1=予

2

,该数列的周期为4.02019=。3=亍

【据例说法】I

1.判断数列增减性的两种方法

⑴作差比较法：a〃+i—所＞0台数列｛丽｝是递增数列；a〃+i—以＜0台数列｛丽｝是递

减数列；。〃+1—以=0台数列｛。〃｝是常数列.

(2)作商比较法

①当板＞0时，刀＞1台数列｛或｝是递增数列；三＜1台数列｛。“｝是递减数列;

UnUn

黑=1台数列｛m｝是常数列.

②当如＜0时，宁＞1台数列｛。〃｝是递减数列；于1＜10数列｛劣｝是递增数列;

ClnCln

竽=10数列｛Z｝是常数列.

Cln

2.求数列最大项或最小项的方法

(1)可以利用不等式组(〃三2)找到数列的最大项.

Cln+l^zCln

(2)利用不等式组“'二'(九三2)找到数列的最小项.

Cln^zCln+l

【巩固迁移】

1.若数歹U｛〃〃｝¥两足Q1=2,€12=3,Cln—(7123且〃£N),则。2019=()

Cln-2

3

A，2B.2

C.1D.|

答案A

解析因为QI=2,。2=3,cin=（〃三3且〃£N）,

an-2

3112

空2023〃321〃4214532〃63

所以。3=一a\=72，〃4=一〃2=]3=72，。5=一<73=13=13，。6=一〃4=彳=73，。7=—a5=了1=2

223

〃723

=。1,。8=：=5=3=。2,所以｛〃〃｝的周期T=6,所以〃2019=06x336+3=。3=不

C16ZN

3

2.（2019,永州模拟）已知数列｛a”｝中，ai=a,<22=2—a,cin+2—cin—2,右数列

｛。〃｝是递增数列，则实数。的取值范围为.

答案（0,1）

解析由an+2-an=l可知数列｛劣｝的奇数项、偶数项分别递增，若数列｛斯｝

=

是递增数列，则必有。2—ai=（2—a）—a>0且。2—ai（2—a）—a<an+2—an=2,可

得0<a<l,故实数a的取值范围为（0,1）.

课时作业

@组基础关

1.如图所示，这是一个正六边形的序列，则第〃个图形的边数为（）

O03030.

A.5n—1B.6n

C.5〃+1D.4n+2

答案c

解析第一个图形是六边形，即ai=6,以后每个图形是在前一个图形的基础

上增加5条边，所以02=6+5=11,<23=11+5=16,观察可得选项C满足此条件.

8

246-

2.（2020•秦皇岛质检）数列于-7,9…的第10项是（）

2022

C.D.———

2123

答案c

解析观察前4项可知,此数列的一个通项公式为由=(—I)/1•市p所以

20

410=一五.

3.数列｛或｝中，z=—2/+29〃+3,则此数列最大项的值是()

A.103B.1081

C.103/D.108

答案D

n2-券+3=—2,29Y,,29X29在人

解析an=——2n2+29n+3=——2\了J+3+---.结合

二次函数的性质可得此数列的最大项为07=108.

4.(2019•沈阳模拟)已知数列｛而｝中ai=l,=—a”)(〃GN*),则an=

()

(.n'\-

A.2n-lB.匕一『i

C.nD.n2

答案C

解析解法一：特值法可确定c正确.

n+1anCln-\as42n

解法二：a=n(an+i~an),则a=—^X——X・・・x—x—

na而---n=----n

nan-ian—2。2a\n~1

n—132u

义三X…吗行=-故选C

5.(2019长春模拟)设数列｛诙｝的前〃项和为5,且ai=l,｛S"+〃a”｝为常数

列，则。”=()

12

A.^FT

65—2n

C----------------D-------

(〃+1)5+2)3

答案B

解析由题意知，Sn+nan—2,当〃三2时，(〃+1)斯=(〃-,从而

--=OXTX---X-何an=—।1V〃=1时，上式也成立.故选

a\aia3an-\34〃十1n(n-r1)

B.

6.（2019・湖北八校联考）已知数列｛羸｝满足0=25〃-1（〃GN*）,将数列｛劣｝

中的整数项按原来的顺序组成新数列｛瓦｝,则。2019的末位数字为（）

A.8B.2

C.3D.7

答案D

解析由一二金5〃一1,可得数列｛期｝的整数项为2,3,7,8,12,13,17,18,…，末

位数字分别是23,7,8,2,3,7,8,…,因为2019=4X504+3,故历019的末位数字为

7.故选D.

7.（2019•辽宁省葫芦岛市普通高中高三第二次模拟）九连环是我国从古至今广

泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹

铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关按，解之为二，又合而为一”.在某

种玩法中，用所表示解下n（nW9,〃©N*）个圆环所需的最少移动次数，｛斯｝满足

2an-i—1,肛为偶数,

01=1,且r必/粕则解下4个环所需的最少移动次数为（）

[2an-]+2,〃为奇数，

A.7B.10

C.12D.22

答案A

解析依题意a4=2a3—1=2(2或+2)—l=2[2(2ai—1)+2]—1=7.

8.设数列｛圆｝的前〃项和为Sn,且S〃=—若44=32,则0=.

答案2

能在.r_m(4f)=.255alJ53ai

用牛19T•3〃3，〃432,•・3332,

.-1

・・Q1-2，

9.（2019•陕西商洛期中）在数列｛如｝中，已知外=（-为常数），且

。1+。4=3。2,贝！J4Z100—.

答案97

解析由题意，得Q1=Q,Q4=5+。，〃2=3+Q.

因为。1+。4=3.2,所以口+5+〃=3（3+〃），解得。=—4,所以。〃=（—1）"+〃

-4,所以000=（—1严0+100—4=97.

10.（2019,河南省八市重点高中联盟“领军考试”高三第五次测评）在数列｛z｝

中，Q1=Q,痴+1=（〃九+1）,COS7271,S〃是数列｛如｝的刖〃项和，若512019=-2019,则

CL—.

答案1010

角军因为〃1=。，〃2=—〃3=—Q,=〃-1,。5=a,。6=—（Q+1）,

Q7=-Q,…，所以数列｛〃”｝是周期为4的数列.又因为〃1+〃2+。3+。4=〃一（。+

1）—a~\~（a—1）=-2,故S2oi9=5O4X（—2）+。1+。2+。3=—1008—a—1=—2019,

则4=1010.

@组能力关

1.（2020.广东中山一中月考）已知数列1,15,P21不25,3P1R2不3±了4，…，

4j.J乙iI,J乙J.

Q

则5是该数列的（）

A.第127项B.第128项

C.第129项D.第130项

答案B

解析将该数列的第一项1写成;，再将该数列分组，第一组1项：1;第二

121231234

组2项：5,T；第三组3项：5,7；第四组4项：T,子志