2020-2021学年新教材人教A版必修第二册第八章立体几何初步单元测试

2020-2021学年新教材人教A版必修第二册第八章立体几何

初步单元测试

一、选择题

1、如图，棱长为2的正方体ABC°-A隹GR中，点E、F分别为A3、4旦的中

点，则三棱锥F-ECD的外接球体积为（）

41441V4141V41

——71-71------------71------------71

A.4B.3c.64D.48

2、正三棱锥S-ABC的外接球半径为2,底边长AB=3,则此棱锥的体积为（）

9石9石垣276276V3

A.4B.4或4c.4D.4或4

3、某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的

体积为（）

24

A.§B.3c.2D.4

4、如图，在六边形ABCOEF中，四边形3CEF是边长为2的正方形，△说和

△COE都是正三角形，以BE和CE为折痕，将六边形ABCDE/折起并连接

BD,DF,AC,AE得到如图所示的多面体ABFDCE,其中平面ABF〃平面CDE,

♦

二面角的余弦值为3,则折叠后得到的多面体的体积为（）

1072

3

5、某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

78—兀87-71

A.孑B.3C.3D.3

6、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中

①BM与ED成45。角

②NF与BM是异面直线

③CN与BM成60。角

④DM与BN是异面直线

以上四个结论中，正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7、阿基米德（公元前287年一公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和

物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满

意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表

面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上

刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54〃

的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（）

64〃

A.4万B.16万c.36〃D.3

8、下列说法中正确的个数是（）

①圆锥的轴截面是等腰三角形；②用一个平面去截棱锥，得到一个棱锥和一个棱台;

③棱台各侧棱的延长线交于一点；④有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体

叫棱柱.

A.0B.1C.2D.3

9、在三棱锥产一ABC中，ABLBP,AC1PC,ABLAC,PB=PC=2O,

点P到底面ABC的距离为2,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（）

6兀

A.3万B.2C.12万D.24〃

10、已知不同直线/、m与不同平面a、B,且/ua,mu/3，则下列说法中正

确的是（）

A.若M3,则加B.若■夕,贝

C.若/J"尸，则D.若a，尸，则加上。

11、正四棱锥底面正方形的边长为4,高与斜高的夹角为3（y,则该四棱锥的侧面

积（）

32

A.32B.48c.64D.T

12、已知圆锥的表面积为27万，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面

半径为（）

A.6B.3C.26D.屈

二、填空题

13、有如下命题:

①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；

②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；

③平行于同一条直线的两条直线平行；

④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

其中作为公理（基本事实）的是（填写序号）.

14、如图为一个几何体的展开图，其中A8CO是边长为6的正方形，SD=PD=6,

CR=SC,AQ=APt点s、D、A、。及P、D、C、R共线，沿图中直线将

它们折叠，使尸、°、R、s四点重合，则需要个这样的几何体，就可以

拼成一个棱长为12的正方体

15、如图所示是一个三棱柱形状的容器，"口平面ABC,

AB=60,BC=3（），AC=70,A4,=300,这个容器能装进去的最大的球的体积为

（容器壁厚度不计）.

16、若两个正方体的外接球的表面积之和为121，则这两个正方体的表面积之和为

三、解答题

17、（本小题满分10分）如图为一简单组合体，其底面A8CO为正方形，棱PD与

EC均垂直于底面A3CO,PD=2EC,求证：平面EBC〃平面

18、(本小题满分12分)如图，已知三棱锥A-BPC中，ACJ.BC,M为

AB的中点，D为PB的中点，且为正三角形.

(1)求证：DM"平面APC；

(2)若BC=4,AB=1°,求三棱锥D-BCM的体积.

19、(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，AB=AC=2,PA=

26，PB=PD.

(1)证明：平面PAC_L平面ABCD；

(2)若PA_LAC,M为PC的中点，求三棱锥B-CDM的体积.

20、(本小题满分12分)如图所示,底面为平行四边形ABCD的四棱锥P-ABCD中,E

为PC的中点.求证:PA〃平面BDE.(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,

并最终把推理过程用简略的形式表示出来)

参考答案

1、答案D

解析三棱锥尸-ECO的外接球即为三棱柱的外接球，三棱柱外接球的球

心为MN的中点设为点0,利用勾股定理解得半径得到答案.

详解

如图所示：在正方体A'。。一AqCQ中，连接“"9,

三棱锥F-ECD的外接球即为三棱柱FCR-ECD的外接球，

在AECD中，取°。中点H,连接E",则为边C。的垂直平分线，

所以△ECO的外心在E”上，设为点M,同理可得△"GA的外心N,

连接MN,则三棱柱外接球的球心为MN的中点设为点o,

由图可得，EM2^CM2=CH2+MH2,又MH=2-EM,CH=1,

EM=CM='OC-=MO-+CM2=1+fOC=—

可得4,所以I",解得4

故选：D.

点睛

本题考查了三棱锥外接球问题，转化为三棱柱的外接球是解题的关键.

2、答案B

解析画出空间几何体，讨论球心的位置，结合球的性质求得棱锥的高，可求得棱锥的体

积。

详解

设正三棱锥的高为h,球心在正三棱锥的高所在的直线上，H为底面正三棱锥的中心

=-)32-|-|=#)

因为底面边长AB=3,所以33V

当顶点S与球心在底面ABC的同侧时，如下图

此时有A〃2+Q”2=OA2,即㈣+e-2）-=22

可解得h=3

k—理＜32

因而棱柱的体积3224

当顶点S与球心在底面ABC的异侧时，如下图

有A"2+O〃2=32,即（可+（2-〃）2=”

可解得h=l

^S-ABC

所以3224

9-3G

综上，棱锥的体积为丁或4

所以选B

点睛

本题考查了棱锥的外接球的综合应用，注意分类讨论及空间线段的关系，属于难题。

3、答案A

解析根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状，

结合图形，求出该三棱锥的体积.

详解

解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥P-ABC,

1.1「2

gXSc.ABcX2=]Xlx2=]

三棱锥P-ABC的体积为:

点睛

本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题.

4、答案B

解析多面体ABFDCE的体积转化为两个相等的四棱锥的体积和•

C

详解：

图⑴

如图(1),设3ECE的中点分别为M和N,连接40，“'，

由题意得AM工BF,MN工BF,故NNM4为二面角A—BE-C的平面角,

cosZWA=—

所以3,

过A作于出易证AHJ•平面6CEE,

AM=2x—=y/3AH=AM-sinNNMA=y5x^~=E

因为2,所以3

VA-BCEF=£x近x22=――

所以33

c4夜8V2

故多面体A3尸。CE的体积为33.

故选：B

点睛

本题考查平面图形翻折成立体图形、二面角、求多面体体积等基本知识，考查了空间想

象能力，数学运算能力，属于中档题.

5、答案B

解析由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减

去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积.

详解

由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为

、222-=

3233.故选B.

点睛

本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于

基础题.

6、答案C

解析根据展开图，画出立体图形，BM与ED垂直,不成45。，与8W是异面直线,

CN与BM成60。,0M与是异面直线，故②③④正确，故选C.

7、答案C

解析设球的半径为R,根据组合体的关系，圆柱的表面积为

S=2乃川+ZtRX27?=54万，解得球的半径R=3,再代入球的体积公式求解.

详解：设球的半径为R,

根据题意圆柱的表面积为S=24*+ZtRx2k=547，

解得R=3,

4o4o

V=—九N=-x乃x3'=36万

所以该球的体积为33

故选：C

点睛

本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.

8、答案C

解析利用空间几何体的概念对每一个命题的正误逐一判断得解.

详解

对于①，圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，①正确；

对于②，只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，②错

误；

对于③，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥所得的几何体，所以它的各侧棱延长

线交于一点，③正确；

对于④，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如：把两个

同底面的倾斜方向不同的斜四棱柱拼在一起，这个几何体有两个面平行，其余各面都是

平行四边形，但是这个几何体不是四棱柱，所以④错误；

综上所述，正确命题的序号是①③，共2个.

故选：C.

点睛

本题主要考查空间几何体的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理

能力.

9、答案C

解析首先根据垂直关系可确定OP=OA=OB=OC,由此可知°为三棱锥外接球的球

心，在"AB中，可以算出AP的一个表达式，在AOAG中，可以计算出A0的一个表

达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积.

详解：取AP中点0,由AC_LPC可知：OP=OA=OB=OCt

■为三棱锥P-ABC外接球球心，

过尸作平面ABC,交平面ABC于"，连接A"交于G,连接°G,HB,

吟

,:PB=PC,HB=HC,.\AB=ACf.，.G为BC的中点

OG=—

由球的性质可知：平面ABC,S.OG//PHy且2

设A8=x,

厂:.AO=-PA=-y/x2+S

QPB=2V2,22,

1八夜

•/AG=-BC=----x

22,.•.在AOAG中，AG92+OG92=OA72,

AO=1J.+(2利2=1%+(2扃=百

三棱锥P_ABC的外接球的半径为：2、''2VV,

•••三棱锥P-ABC外接球的表面积为S=4万2=12万.

故选：5

点睛

本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够

利用球的性质确定外接球球心的位置.

10、答案C

解析根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.

详解：对于A,若£//,则/，机可能为平行或异面直线，A错误；

对于8,若。工厂,则/，机可能为平行、相交或异面直线，8错误;

对于C,若“,，且，ua,由面面垂直的判定定理可知。工,，C正确；

对于。，若。,尸，只有当s垂直于外，的交线时才有加工2,。错误.

故选：C.

点睛

本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关

系与垂直关系的相关命题.

11、答案A

解析详解：如图：

p

底面边心距0E组成直角△POE.

V0E=2cm,Z0PE=30°,

斜高h'=PE=sin3O",

,

Ic/Z=lx4x4x4=32

S正极雄网二22

故选：A

12、答案B

解析设底面圆半径为「，高为力，根据题目条件列出关于「和〃的方程组，解出

详解：设圆锥的底面半径为广，高为〃，则母线长为/="^,

—7rl2--7r(r2+")

则圆锥的侧面积为22'),

+*)+%/=27灯3/+，〃2=27

故表面积为2V'，得22①，

又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故2仃=£产+/，即2r=Jr2+”’，

得〃2=3'②,

联立①②得：r=3,h=3s/3

故答案为：B.

点睛

本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关系.

13、答案①②③

解析根据公理1~4可得出结论.

详解：公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命

题②为公理1；

公理2：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题①为公理2；

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直

线；

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行，命题③为公理4.

命题④为等角定理.

故答案为：①②③.

点睛

本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.

14、答案24

解析先将展开图还原为原图：四棱锥，求出棱锥的体积和正方体的体积，然后确定几何

体的个数.

详解

将展开图折叠起来后，得到四棱锥P-MC。，其中PZ)_L平面因此该四棱锥

]x6x6x6_72

的体积为3,而棱长为12的长方体体积为12x12x12=1728,

1728〜

------=24

所以需要72个这样的几何体.

故填：24.

点睛

本小题主要考查折叠问题，考查锥体体积计算和正方体体积计算，属于基础题.

15、答案2500&

3

详解：解：由于A4〉AC>AB〉8C,则容器足够长，所以最大的球应与三棱柱的三

个侧面相切，作截面如图所示，作RS,PQ,垂足为s.

R

“602+702-30219

PQ=70,PR=60,QR=30,由余弦定理得2x60x7021,

,D_4亚,„_46_806._1_80>/5_/T

..sinP-------..RSc—6A0nx------=--------..Sc——x70nx--------=400>/5

21,217,"QR27.设圆(

的半径为r,

・・・、=9(70+60+3。"=40。石”=56

V=&XC(56、25。。&

•••球。的体积33

2500辰

故答案为：3.

点睛

本题考查球的体积，关键是利用等面积法求球体半径，属于中档题.

16、答案24

解析设出两个正方体的棱长，分别求得对应的外接球的半径，由两个正方体的外接球的

表面积之和列方程，求得。2+〃的值，进而求得两个正方体的表面积之和.

详解：设这两个正方体的棱长分别为。，0，则这两个正方体的外接球的半径分别为

A/3百/‘4万=3万(/+〃)=12乃

2",2,则2JI2〃，即片+〃=4,故这

两个正方体的表面积之和为6(矿+〃)=24.

故答案为：24

点睛

本小题主要考查正方体外接球表面积的有关计算，属于基础题.

详解：由于四边形ABC。是正方形，.•.3C//4),

•••3CZ平面PDA,ADu平面PD4，〃平面P/M,

♦.P£>_L平面ABC。，CE_L平面ABC。，-.-CE//PD,

•••CE<z平面PD4,PDu平面P/M,CEU¥WiPDA,

•••8CnCE=C,平面EBCH平面PDA.

点睛

本题考查面面平行的证明，考查推理能力，属于基础题.

解析

18、答案(1)证明见解析；(2)拽

2

(2)根据题意得M到平面BCD的距离为的长，由三棱锥D-BCM的体积即为三棱锥

M-BCD的体积，由题设条件求出的长，及三角形BCD的面积，由椎体体积公式代入

数据求解即可.

详解

(1)证明：因为M为AB的中点，D为PB的中点，

所以MD是AABP的中位线，MDPAP.

又加。它平面APC,APu平面APC,

所以"OP平面APC.

(2)在等边三角形PMB中，D为PB的中点，

：.MD±PB,：.AP±PB,

又AP_LPC,PB、PCu平面PBC,PBcPC=P,

.•.AP_L平面PBC,.•.MD，平面PBC,

•.•3Cu平面PBC,.-.AP_LBC,

又•.•8C_LAC,PA.ACu平面PAC,PAp\AC=A,

平面PAC,.^.PCu平面PBC,.•.BC，PC.

平面PBC,即MD是三棱锥M-DBC的高.

又因为AB=10,M为AB的中点，为正三角形，

cFi

所以PB=MB=5,MD;士,

2

由8CJ_平面APC,可得BCJ.PC,

在直角三角形PCB中，由尸8=5,BC=4,可得PC=3.

于是