2020-2021学年吉林大学附中力旺某中学八年级上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年吉林大学附中力旺实验中学八年级上学期期末数学试

卷

一、选择题（本大题共14小题，共56.0分）

1.)

2.

A.5个B.4个C.3个D.2个

3.已知命题：等边三角形是等腰三角形.则下列说法正确的是（）

A.该命题为假命题B.该命题没有逆命题

C.该命题的逆命题为真命题D.该命题的逆命题为假命题

4.点M（5,2）关于x轴对称的点的坐标为（)

A.(-5,2)B.(-5,-2)C.(5,-2)D.(2,-5)

5.如图，AB=AC,BD=CD,^BAD=35°,乙4OB=120°,则NC的度数

为（）

A.25°

B.30°

C.35°

D.55°

6.下列说法中正确的有多少个（）

①等边三角形是等腰三角形；②正五边形有五条对称轴；③等腰三角形的一边长为4,另一边长为

9,则它的周长是17或22；④等腰三角形的一个角是80。，则另外两个角的分别是80。，20。或50。,

50°

A.4个B.3个C.2个D.1个

7.在同■—直角坐标系中，函数y=kx+1和函数y=三（4是常数且k40）的图象只可能是（）

A.m=nB.m>n

C.m<nD.m,n的大小关系不确定

9.已知a为整数，且冷—黑+亨詈为正整数，求所有符合条件的a的值的和（）

A.0B.12C.10D.8

10.小莹和小亮在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休

息.已知小莹先出发4分钟，在整个步行过程中，两人的距离y（米）与小莹出发的时间t（分）之间

的关系如图所示，下列结论：①小莹的步行速度为60米/分；②小亮用16分钟追上小莹；③小

亮走完全程用了30分钟；④小亮到达终点时，小莹离终点还有300米，其中正确的结论有（）

11.将一副三角板按如图放置，三角板4BD可绕点。旋转，点C为4B与DE的交点，下列结论中正确

的个数是（）

（1）若CD平分乙4CB,贝此BCD=125°

（2）若4B〃DF,则NBDC=10°

（3）若440F=120°,贝UNADC=75°

（4）若4BJ.F0,则AB//EF

A.1个B.2个C.3个D.4个

12.如图，AB是。。的弦，点C在卷上，点。是AB的中点.将诧在沿

4c折叠后恰好经过点D,若O。的半径为2V5,AB=8.则"的长

是（）

A.6V2

B.V19

C.2V10

D.4V2

13.下列判断中正确的是（）

A.0.25的平方根是0.5B.-8是一64的一个平方根

C.（麻产的平方根是土西D.-1是1的算术平方根

14,已知y=（2m-l）x*V-里是正比例函数，且图像经过一、三象限，则函数的解析式为（）

A.y=-5%B.y=2xC.y=3xD.y=-2x

二、填空题（本大题共10小题，共50.0分）

15.要使分式。有意义，x的取值范围应满足____.

x-5

16.一次函数y=%+4的图象不经过的象限是.

17.如图，一只螳螂在一圆柱形松树树干的4点处，发现它的正上方B点处有一

只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是准备按如图所示的路

线，绕到虫子后面吃掉它.已知树干的周长为40cm,A,B两点间的距离为

30cm.若螳螂想吃掉B点处的小虫子，螳螂绕行的最短路程为cm.

18.阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题:

DC

已知：如图，DABCD.r~7

求作：在DABCD中截一个菱形.LJ

AB

小敏的作法如下:

(1)以点/为圆心，4D长为半径作弧，交43于点E：

(2)以点。为23心，R4长为半径作孤，交。C于点尸;

(3)连接E尸.

所以四边形AEFD就是所求作的菱形.

老师说：“小敏的作法正确.”

请回答：小敏的作图依据是

19.在平面直角坐标系中，矩形0ABe的顶点A,C为(10,0)、(0,3),。为。4

的中点，点P在BC边上运动.当AODP是腰长为5的等腰三角形时，点P

的坐标为

20.一张菱形纸片ABCD的边长为6cm,高力E等于边长的一半，将菱形纸片沿直线MN折叠，使点4与

点B重合，直线MN交直线CD于点F,则DF的长为cm.

21.如图，在A4BC中，4B的垂直平分线CE交4B于点。，交4C于点E,

AC=15cm,△BCE的周长等于25czn厕8c边的长度为cm.

22.如图，将矩形4BCD绕着点4逆时针旋转得到矩形4EFG,点8的对应点E落在边CD上，且DE=EF,

若百，则3的长为

23.如图，AB=AC,BD=CD,AD=AE,^BAD=26°,

24.已知一次函数y=fcx+b(kH0)与y=kx(kH0)的图象交于百(-1,2),且与y轴分别交于B、C两

点，若点C的纵坐标为3,则A/lOB的面积为

三、解答题(本大题共13小题，共131.0分)

25.计算：|2-㈣+（或一1）2_e-2.

26.(1)先化简，再求值：(x—2―另一其中x=—4+V5;

(2)解方程：W^-1=0.

27.如图，一次函数y=/cc+b与反比例函数y=?的图象在第一象限交于力、B两点，B点的坐标为

(3,2),连接04、0B,过B作BD_Ly轴，垂足为D,交。4于C,若0C=&4.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)求AaOB的面积.

28.如图所示的长方形是圆柱的侧面展开图，如果这个长方形相邻的两

边长分别为6,4r,求圆柱的体积(温馨提示：考虑问题要全面哦，

).

29.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段4B的两个端点均在小正方形的顶点上.

(1)在图中画出以4B为一条直角边的等腰直角△4BC,且点C在小正方形的顶点上；

(2)在图中画出以4B为一边的菱形4BDE,且点。和点E均在小正方形的顶点上，菱形4BDE的面积为

15,连接CE,请直接写出线段CE的长.

30.如图，在矩形力BCD中，对角线力C、BD交于点0,自点4作AELB。

于点E,且BE：ED=1：3,过点。作OF12D于点F,若OF=3cm,

求BD的长.

31.为治理城市污水，需铺设一段全长300加的污水排放管，铺设了100m后，为提前完成任务，每

天的工作量比原计划增加25%,结果5天完成任务.问：原计划每天铺设管道多少米?

32.2018年元旦期间，某商场打出促销广告，如下表所示:

优惠一次性购物一次性购物超过200

一次性购物超过500元

条件不超过200元元，但不超过500元

优惠其中500元仍按九折优惠，

没有优惠全部按九折优惠

办法超过500元部分按八折优惠

(1)用代数式表示(所填结果需化简)

设一次性购买的物品原价是x元，当原价x超过200元但不超过500元时，实际付款为元;

当原价x超过500元时，实际付款为元；

(2)若甲购物时一次性付款490元，则所购物品的原价是多少元？

(3)若乙分两次购物，两次所购物品的原价之和为1000元(第二次所购物品的原价高于第一次),

两次实际付款共894元，则乙两次购物时，所购物品的原价分别是多少元？

33.三月三，放风筝.如图所示是小明制作的风筝，他根据DE=DF,EH=FH,

不用度量，就知道NDEH=请你用所学知识给予证明.

'H

34.如图，在两面墙之间有一个底端在4点的梯子，当它靠在左侧墙B

上时，梯子的顶端在8点；当它靠在右侧墙上时，梯子的顶端在DD

点.已知NB4C=60°,£.DAE=45。，点。到地面的垂直距离DE=

4V2.60叭45。

AE

(1)求梯子的长度；

(2)求BC和CE的长度.

35.如图1,RtAABC中，乙4=90°,AB=AC,点。是BC边的中点连接4D,则易证AD=BD=CD,

即4D=1BC；如图2,若将题中4B=4C这个条件删去，此时40仍然等于^BC.

理由如下：延长4。至使得=连接CH,先证得△ABD三△CHD,此时若能证得AABCmA

CHA,

即可证得4H=BC,此时4D=1BC,由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法.

(1)请你先证明△ABCWACHA,并用一句话总结题中的结论；

(2)现将图1中△ABC折叠(如图3),点4与点。重合，折痕为EF,此时不难看出△BDE和△CDF都是等

腰直角三角形.BE=DE,CF=。凡由勾股定理可知DE?+DF2=EF2,因此BE?+CF2=EF2,

若图2中△力BC也进行这样的折叠(如图4),此时线段BE、CF、EF还有这样的关系式吗？若有,

请证明；若没有，请举反例.

(3)在(2)的条件下，将图3中的ADEF绕着点。旋转(如图5),射线DE、。尸分别交AB、AC于点E、F,

此时(2)中结论还成立吗？请说明理由.图4中的ADEF也这样旋转(如图6),直接写出上面的关

系式是否成立.

36.已知，△力BC中，/.ABC=/.C,P是BC边上一点，作NCPE=NBPF,分别交边AC,AB于点E,

F.

(1)若/CPE=NC(如图1),求证：PE+PF=AB-.

(2)若NCPEK4C,过点B作4CBD=NCPE,交C4(或C4的延长线)于点D,试猜想：线段PE,PF和8。

之间的数量关系，并就乙CPE>ZC情形(如图2)说明理由：

(3)若点尸与4重合(如图3),ZC=27°,且P4=AE.

①求/CPE的度数；

②设P8=a,PA=b,AB=c,试证明：a2=bc+c2.

37.如图，在平面直角坐标系中，直线，的解析式为y=-?x+4,与x轴交于点C,直线［上有一点B

的横坐标为％,点4是0C的中点.

(1)求直线的函数表达式；

(2)在直线BC上有两点P、Q,且PQ=4,使四边形04PQ的周长最小，求周长的最小值；

(3)直线力B与y轴交于点H,将4OBH沿4B翻折得至必HBG,M为直线上一动点，N为平面内一点，

是否存在这样的点M、N,使得以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的

坐标，若不存在，说明理由.

备用图

参考答案及解析

1.答案：B

解析：本题考查轴对称图形与中心对称图形.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，

这样的图形叫做轴对称图形.在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能

和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.第2个图形是中心对称图形，第4个是轴对

称图形，只有第1个和第3个既是轴对称图形又是中心对称图形.

2.答案：B

解析：解：在工，3—＞理，2，■中，分式的是在三，—,京，a+工，

x2xyrx+ymxxx+ym

故选：B.

判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.

本题主要考查分式的定义，注意兀不是字母，是常数.

3.答案：D

解析：解：等边三角形是等腰三角形，此命题为真命题，它的逆命题为：等腰三角形是等边三角形，

此逆命题为假命题.

故选：D.

先交换命题的题设与结论得到原命题的逆命题，然后根据三角形的分类对原命题与逆命题的真假进

行判断.

本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个

命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.也考查

了逆命题.

4.答案:C

解析：解：点M(5,2)关于x轴对称的点的坐标为：(5,-2).

故选：C.

直接利用关于％轴对称点的性质得出答案.

此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键.

5.答案：A

解析：

在AABD中，根据三角形内角和定理求得NB,根据全等三角形的对应角相等即可解决.

本题主要考查了全等三角形的性质，正确判断对应角，对应边是解决本题的关键.

解：在△ABD中，zB=180°-^BAD-^LADB=25°

-AB=AC,BD=CD,AD=AD

••・△ABDz〉ACD

乙C=Z-B=25°.

故选A.

6.答案：B

解析：解：①等边三角形是等腰三角形，说法正确；

②正五边形有五条对称轴，说法正确；

③等腰三角形的一边长为4,另一边长为9,则它的周长是22,说法错误；

④等腰三角形的一个角是80。，则另外两个角的分别是80。，20。或50。，50。，说法正确；

故选：B.

根据等边三角形的概念、轴对称图形、三角形的三边关系、等腰三角形的性质判断即可.

本题考查的是命题的真假判断，掌握等边三角形的概念、轴对称图形、三角形的三边关系、等腰三

角形的性质是解题的关键.

7.答案：B

解析：解：当人>0时，一次函数过一二三象限，反比例函数过一三象限；

当k<0时，一次函数过一二四象限，反比例函数过二四象限；

故选:B.

比例系数相等，那么这两个函数图象必有交点，进而根据一次函数与y轴的交点判断正确选项即可.

本题考查了一次函数的图象及反比例函数的图象，重点是注意y=k6+b中的、匕及丫=孑中心的取

值.

8.答案：C

解析：解：一次函数y=3x+b中，k=3,

••.y随》的增大而增大，

•••点4(—l,?n),B(3,n)中,3>-1,

・•・n>m；

故选：C.

根据一次函数解析式中k>0,所以y随X的增大而增大，B点的横坐标大，所以对应的纵坐标大.

本题考查一次函数图象的性质.牢记k对久、y的变化情况的影响是解题的关键.

9.答案：C

解析：解：若-震+罟

a+1CL-3(a—3)2

a—3a+2(a+2)(a—2)

a+1CL—3(a+2)(a—2)

a—3a+2(a—3)2

a+1CL-2

CL—3a-3

3

-a^3,

•••a为整数，且分式的值为正整数，

•••a-3=1>3>

a=4,6>

••.所有符合条件的a的值的和：4+6=10.

故选：C.

首先对于分式进行化简，然后根据a为整数、分式值为正整数可求出a的值，最后将a的所有值相加

即可.

本题考查了分式的混合运算，正确分解因式是解题的关键.

10.答案：B

解析：解：由图可得：

小莹步行的速度为：240+4=60米/分，故①正确，

小亮追上小莹用的时间为：16-4=12(分钟)，故②错误，

小亮走完全程用的时间为：2400+(16x60+12)=30(分钟)，故③正确，

小亮到达终点时，小莹离终点距离是：2400-(4+30)x60=360米，故④错误，

故选：B.

根据题意和函数图象中的数据可以判断各个结论是否正确，从而可以解答本题.

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合

的思想解答.

11.答案：A

解析：解：(1)当CD平分乙4DB,则乙4DC=45。，

•••^BCD=乙4+乙40c=105°,故(1)不合题意；

(2)若4B//0F,且4B在。尸的上方，贝=4BOF=30°,

Z.BDC=4EDF-乙BDF=15°,故(2)不合题意;

(3)若乙40F=120。时，且4D在CF的下方时，则乙4DC=180。，故(3)不合题意;

(4)若且EF1OF,则EF〃AB,故(4)符合题意,

故选：A.

由旋转的性质和平行线的性质依次判断可求解.

本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键.

12.答案：A

解析：解：如图，延长BO交。。于E,连接4E,OA,OD,OC,BC,

作CHJ.AB于H.

,:AD=DB,；;>

AOD1AB,

DH

・•・Z.ADO=90°,

•••OA=2遮，AD=DB=4,

•••OD=y/OA2-AD2=2,

・••BE是直径，

•••Z.BAE=90°,

vAD=DB,EO=OB,

・•・OD//AE,AE=2OD=4,

・•・AE=AD,

・•.AD=AE，

/-*、/•—、

:.CE=CD,

・•・ACAE=Z.CAH=45°,

・・・Z.BOC=2乙CAB=90°,

ABC=V2OC=2vIU，

•••CHLAB,

ACAH=乙ACH=45°,

AH=CH,设4H=CH=x,则BH=8-x,

在RMBCH中，vCH2+BH2=BC2,

：.x2+(8-x)2=(2同产，

.•.x=6或2(舍弃)，

在Rt△ACH中，vAC=>JAH2+CH2,

AC=6A/2.

故选:A.

延长BO交。。于E,连接ZE,OA,OD,OC,BC,作CHd.AB于H.首先证明/CAE=NCAH=45。，

推出NBOC=90。，推出BC=2A/TU，设AH=CH=X,则BH=8-X,在RtABCH中，根据CH?+

BH2^BC2,构建方程求出x即可解决问题；

本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、解直角三角形等知识，综合性比较强，作出辅助线，

构造直角三角形是解题的关键.

13.答案：C

解析：解：4、0.25的平方根是±0.5,故本选项错误；

B、-64是负数，没有平方根，故本选项错误；

C、（后产的平方根是土遮，故本选项正确；

力、1的算术平方根是1,故本选项错误.

故选：C.

分别利用平方根、算术平方根的定义计算即可.

此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，解题注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，

正值为算术平方根.

14.答案：C

解析：根据正比例函数的定义求得Tn的值，再根据图像经过一、三象限确定m的取值范围，对己求

得的m的值进行取舍.

2

解：由正比例函数的定义可得：m-3=1,解得=01]=2,m2=-2,

又因为函数的图像经过一、三象限，所以k>0,即27n—1>0,当m=—2时，2m-1=-5不成立。

当m=2时，2m-1=3成立，故选C.

15.答案：x*5

解析：解：由题意得：x—5H0,

解得：x。5,

故答案为：XK5.

利用分式有意义的条件可得x-540,再解即可.

此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零.

16.答案:四

解析：解：一次函数y=x+4中，

k=4>0,

••.一次函数经过第一、三象限，

,■b=4>0,

二一次函数与y轴的交点在x轴上方，

•••一次函数经过第一、二、三象限

•••一次函数图象不经过第四象限，

故答案为四.

根据一次函数y=x+4中院b的取值特点，判断函数图象经过第一、二、三象限.

本题考查一次函数的性质，掌握一次函数晨b的特点与函数图象的关系是解题的关键.

17.答案：50

解析：解：把这段树干看成用纸卷成的圆柱，从AB处将它展开如下：

则48极为所为的最短距离.

其中BC-30cm,AC-40cm,

在RT△4cB中，AB=<AC2+BC2=A/302+402=50(cm).

答：螳螂绕行的最短路程是50cm.

故答案为：50.

把这段树干看作圆柱，根据题意画出沿高展开图形，进而得出最短路径即可.

此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，画出圆柱的平面展开图，利用勾股定理求解是解题关

键.

18.答案：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形

解析：解：••・£>「=4D=AE,DF//AE,

•••四边形4EFD为平行四边形，

AD=DF,

•••四边形4EFD为菱形.

故答案为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

先判断四边形4E尸。为平行四边形，然后利用40=判断四边形4EF。为菱形.

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图

形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本

性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了菱形的判定.

19.答案：(1,3)或(4,3)或(9,3)

解析：解：过P作PM104于M

(1)当0P=。。时，如图1所示：

0P=5,C0=3,

由勾股定理得：CP=4,

•••P(4,3)；

(2)当。。=PD时如图2所示：

PD=D0=5,PM=3,

由勾股定理得：MD=4,

•••CP=5-4=1或CP'=9,

P(1,4)或(9,3)；

综上，满足题意的点P的坐标为(1,3)、(4,3)、(9,3),

故答案为：(1,3)或(4,3)或(9,3).

根据当0P=。。时，以及当0C=PD时，分别进行讨论得出P点的坐标.

此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，根据△0DP是腰长为5的等

腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键.

20.答案：(3遮+3)或(3%-3)

解析：解：①根据题意画出如图1：

图1

•••菱形纸片4BC0的边长为6cm,

，AB=BC=CD=AD=6,

•・,高AE等于边长的一半,

:.AE=3,

AE1

vsinz^n=—=

AB2

・・・乙B=30°,

将菱形纸片沿直线MN折叠，使点4与点B重合,

BH=AH=3,

CG=BC-BG=6-2V3，

■•■AB//CD,

：./.GCF=48=30°,

CF=CG-cos300=(6-273)x曰=36一3,

DF=DC+CF=6+3V3-3=(3V3+3)cm;

②如图2,BE=AE=3,

图2

综上所述：则DF的长为(3b+3)或(3b一3)cm.

故答案为:(38+3)或(3再一3).

根据题意分两种情况：①如图1：根据菱形纸片4BC0的边长为6cm,高4E等于边长的一半，可得菱

形的一个内角为30。，根据折叠可得BH=4"=3,再根据特殊角三角函数即可求出CF的长，进而可

得DF的长；如图2,将如图1中的点4和点B交换一下位置，同理即可求出DF的长就是如图1中的CF的

长.

本题考查了翻折变换、菱形的性质，解决本题的关键是分两种情况分类讨论，进行计算.

21.答案：10

解析：解：「MN是4B的垂直平分线,

EA=EB,

BCE的周长=BC+BE+EC=BC+AE+EC=BC+AC=25,

•••BC=25-AC=10(cm),

故答案为：10.

根据线段的垂直平分线的性质得到E4=EB,根据三角形的周长公式计算.

本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相

等是解题的关键.

22.答案：?

解析：解：连接4C、AF,

•・・DE=EF,

:.DE=BC=AD,

在RH4DE中，DE=AD,

ZJME=45°,AE=\[2AD=巫=AB,

Z.EAB=90°-45°=45°,即旋转角为45。，

•••/.FAC=45°,

在Rt△力BC中，AC=y/AB2+BC2=VT+6=3，

z-sAA1/45°X7TX33n

・."F的长=F^=7,

故答案为：

4

连接AC、AF,根据等腰直角三角形的性质得到NZZ4E=45。，AE=依,根据旋转变换的性质、弧

长公式计算，得到答案.

本题考查的是旋转变换的性质，矩形的性质，弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键.

23.答案：13

解析：解：•••AB=4C,BD=CD,

・・・4。平分匕BAC,ADIBC,

:.乙CAD=乙BAD=26°,^ADC=90°.

vAD=AE,

・•・Z.ADE=Z.AED=77°,

・•・（CDE=乙ADC-4ADE=13°.

二故答案为：13.

根据等腰三角形三线合一性质可得到40同时还是顶角的角平分线和底边的高线，从而可求得NC4O

与N4OC的度数，再根据4D=4E,利用三角形内角和定理可求得Z40E的度数，从而不难求解.

本题主要考查等腰三角形的判定与性质，还涉及三角形内角和等知识点，需要熟练掌握等腰三角形

的判定与性质.

24.答案：3

解析：解：将4（一1,2）、。（0,3）代入、=卜％+。中，

{/¥=2,解得:（fc=l

3=33=3

•••直线BC的解析式为y=x+3.

当y=x+3=0时，x=—3,

•••点B的坐标为（一3,0）,

•••0B——3.

SRAOB~=-X3X2=3.

故答案为：3.

根据点4、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，由直线BC的解析式利用一次函数图

象上点的坐标特征即可求出点B的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出结论.

本题考查了两条直线相交或平行问题、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标

特征，根据点4、C的坐标利用待定系数法求出直线BC的解析式是解题的关键.

25.答案：解：原式=2&-2+2-2鱼+1-（专T

=1-2

=-1.

解析：先利用绝对值的意义、完全平方公式和负整数指数嘉的意义计算，然后合并即可.

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.在

二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往

往能事半功倍.

26.答案：(1)原式=X2

4-X

42-16%2

X24-X

(%4)(x-4)X2

x2X-4

=—(%+4)

=-%-4,

当％=—4+遍时，原式=4—V3—4=-A/3;

(2)去分母，得：x2-2(%-I)2--1)=0,

即2/-5%+2=0,

解得：%1=%2=2.

经检验：%!x2=2都是方程的解.

解析：(1)首先把括号内的式子通分相减，把除法转化为乘法运算，计算乘法即可化简，然后把X的

值代入即可求解；

(2)首先去分母转化为整式方程，解整式方程即可求得x的值，然后进行检验即可.

27.答案：解：(1)如图，过点4作轴交BD于E,

•・•点B(3,2)在反比例函数y=?的图象上,

・•・Q=3X2=6,

・••反比例函数的表达式为y=*

v8(3,2),

・・・EF=2,

•••BDJLy轴，OC=CA,

AE=EF=-AF,

2

.•MF=4,

・・•点A的纵坐标为4,

•・・点4在反比例函数y=:图象上，

.•・4(|,4),

•・,一次函数y=for+b经过48,

产+b=2

,,,(|/c+6=4,

•。=V

U=6

・•・一次函数的表达式为y=-^x+6；

(2)如图1,过点4作4F1》轴于尸交0B于G,

・・・8(3,2),

・,・直线。8的解析式为y=

・・・G(|,1),

吗4),

:.AG=4—1=3,

19

"SAAOB=SA40G+SA4BG=-X3X3=-.

解析：此题主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，三角形的中位线，解本题的关键是用待定

系数法求出直线4B的解析式.

(1)先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点4的坐标，再用待定系数法求出一次函

数解析式；

(2)先求出。8的解析式，进而求出4G长度，用三角形的面积公式即可得出结论.

28.答案：解：①底面周长为6高为4兀，

7TX(/)2x47r

9

=7TX—X471

71’

=36；

②底面周长为4兀高为6,

47r-

兀x匕一)x6

£71

=7TX4X6

=247r.

答：这个圆柱的体积可以是36或247r.

解析：分两种情况：①底面周长为6高为4兀；②底面周长为4兀高为6；先根据底面周长得到底面半

径，再根据圆柱的体积公式计算即可求解.

本题考查了展开图折叠成几何体，解题的关键是熟练掌握圆柱的体积公式，注意分类思想的运用.

(2)如图所示，菱形4BDE即为所求，CE=V22+42=275.

解析：(1)根据等腰直角三角形的定义作图可得；

(2)根据菱形的定义及勾股定理作图可得.

本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形与菱形的定义及勾股

定理的应用.

30.答案：解：在矩形4BC0中，OB=OD,

•・•BE：ED=1：3,

・•,BE—OE,

vAELBO,

AOB是等边三角形,

・•・乙ABO=60°,

・••乙4。8=90。-60。=30。，

vOFLAD,

・・.OD=20F=2x3=6cm9

••・BD=20D=2x6=12cm.

解析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB=0D,然后求出8E=0E,从而判断出A40B是

等边三角形，根据等边三角形的性质求出NAB。=60。，再求出N4DB=30。，根据直角三角形30。角

所对的直角边等于斜边的一半可得。。=20F,再根据BO=2。。计算即可得解.

31.答案：解：设原计划每天铺设管道x米，则后来每天铺设管道(l+25%)x=1.25x米，由题意得

-10-0-1,--30-0---1-00=5-,

X1.25%

解得:x=52,

经检验，x=52是原分式方程的解.

答：原计划每天铺设管道52米.

解析：设原计划每天铺设管道x米，则后来每天铺设管道(l+25%)x=1.25x米；根据等量关系：按

计划速度铺设100巾用的时间+后来铺剩下的用的时间=5,列出方程即可解决问题.

此题主要考查了列分式方程来解决现实生活中的工程问题；解题的关键是深入把握题意，准确找出

命题中隐含的等量关系，正确列出方程.

32.答案：⑴0.9x；(0.8x4-50)；

(2)设甲所购物品的原价是y元，

•••490>500x0.9=450,

・,•y>500.

根据题意得：0.8y+50=490,

解得：y=550.

答：甲所购物品的原价是550元.

(3)•••第二次所购物品的原价高于第一次，

第二次所购物品的原价超过500元，第一次所购物品的原价低于500元.

设乙第一次所购物品的原价是z元，则第二次所购物品的原价是(1000-z)元，

①当0<z<200时,有z+0.8(1000-z)+50=894,

解得：z=220(舍去)；

②当200<z<500时，有0.9z+0.8(1000-z)+50=894,

解得：z=440,

・•・1000—z=560.

答：乙第一次所购物品的原价是440元，第二次所购物品的原价是560元.

解析：解：⑴当200<xW500时,实际付款0.9x元；

当x>500时，实际付款500x0.9+0.8(%-500)=(0.8%+50)元.

故答案为：0.9x；0.8x+50.

(2)见答案；

(3)见答案.

(1)根据给出的优惠办法，用含x的代数式表示出实际付款金额即可；

(2)设甲所购物品的原价是y元,先求出购买原价为500元商品时实际付款金额，比较后可得出y>500,

结合(1)的结论即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论；

(3)由第二次所购物品的原价高于第一次，可得出第二次所购物品的原价超过500元且第一次所购物

品的原价低于500元，设乙第一次所购物品的原价是z元，则第二次所购物品的原价是(1000-z)元，

分0<zW200、200Vz<500两种情况列出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论.

本题考查了一元一次方程的应用、列代数以及代数式求值，解题的关键是：(1)根据优惠政策，列出

代数式；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(3)分0<zW200、200Vz<500两种情况列

出关于z的一元一次方程.

33.答案：证明：连接/父

b………Zi/

・•・乙DEH=乙DFH.

解析：证ADE，三连接证角相等，常常通过把角放到两个全等三

角形中来证，OH是公共边，可考虑SSS证明三角形全等，从而推出NDEH=NDFH相等.

本题考查全等三角形的应用.在实际生活中，常常通过两个全等三角形，证角相等，做题时注意应

用.

34.答案：解：(1)在中，

vZ.DAE=45°,

:.Z-ADE=Z.DAE=45°,AE=DE=4am,

・・・4。2=心+。£2=64,

・•.AD=8,即梯子的总长为87n.

(2)由(1)可得：AB=AD=8m.

在RtZkABC中，vZ.BAC=60°,

:./.ABC=30°,

・•・AC=-AB=4m,

2

・・・CE=AC+AE=(4+4V2)m;

・・•BC2=AB2-AC2=82-42=48,

BC=4A旧TH，

・,•点8到地面的垂直距离BC的大小4757n.

解析：(1)在Rt△?!!)£中，运用勾股定理可求出梯子的总长度；

(2)利用勾股定理求得4C的长，从而求得线段CE的长，在中，根据已知条件再次运用勾股

定理可求出8C的长.

本题考查了勾股定理的应用，如何从实际问题中整理出直角三角形并正确运用勾股定理是解决此类

题目的关键.

35.答案：(1)证明：如图2中,

•・•BD=DC,UDB=LHDC,AD=HD,

・MADB"HDC(SAS),

・・・乙B=乙HCD,AB=CH,

・•・AB//CH,

・・・NBAC+〃CH=180。，

・・・2LBAC=90°,

:.乙4cH=^LBAC=90°,

-AC=CAf

:・AH=BC,

:.AD=DH=BD=DC,

•••AD=-BC.

2

结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

(2)解：有这样分关系式.

理由：如图4中，延长E。到H山顶=0E.

•:ED=DH,乙EDB=LHDC,DB=DC,

2EDB三AHDC(SAS),

:.乙B=LHCD,BE=CH,

■：乙B+Z.ACB=90°,

•••4ACB+4HCD=90°,

乙FCH=90°,

FH2=CF2+CH2,

•：DF1EH,ED=DH,

■■■EF=FH,

•••EF2=BE2+CF2.

(3)图5,图6中，上面的关系式仍然成立.结论：EF2=BE2+CF2.

证明方法类似(2).

解析：(1)想办法证明推出NBAC="CH,再利用S4S证明△ABC三△CHA即可.

(2)有这样分关系式.如图4中，延长ED到H山顶DH=DE,证明AEDB三△HDC(SAS),推出=

乙HCD,BE=CH,NFC"=90。，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题.

(3)图5,图6中，上面的关系式仍然成立.

本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

36.答案：(1)证明：•••=NC,乙CPE=4BPF,/.CPE=ZC

E

B'C

•••NB=乙BPF=乙CPE=zC,

•••PF=BF,PE//AF,PF//AE,

•••四边形4EPF是平行四边形，

•••PE=AF,

•••PE+PF=AF+BF=AB,

(2)结论：PE+PF=BD,

理由：过B作BG〃C。交EP的延长线于G,

Z.ABC=zC=4CBG,

v乙CPE=乙BPF,

：•(BPF=乙CPE=乙BPG,

•・•BP=BP

••.△FBP"GBP(ASA),

:・PF=PG,

vZ-CBD=乙CPE,

・•・PE“BD,

又「BG//CD,

四边形BDEG是平行四边形，

・•・EG=BD,

・•・PEPF=PE+PG=EG=BD；

(3)①设4CPE=乙BPA=%

vZC=27°,PA=AE,

・•.Z.APE=Z.AEP=zC+Z-CPE=27°+%,

vZ.BPA+/.APE+乙CPE=180°,

・,・%+%+27°+%=180°,

・•・x=51°,

即ZTPE=51°；

②延长到M,使得4M=AP,连接PM,

•・・ZB=zC=27°,Z.BPA=乙CPE=51°,

・•・乙BAP=180°-27°-5