2023届高考数学易错题专项突破-易错点5基本初等函数含解析

易错点5基本初等函数

一、单项选择题

1.形如=—（>4的函数，因其图象类似于汉字中的“冏”字，故我们称

其为“冏函数”.若函数（）=%>0,且有最小值，则=1,=

/时的“冏函数”图象与函数=log||图象的交点个数为（）

A.1B.2C.4D.6

2.形如=「L（>。，>功的函数因其函数图象类似于汉字中的''冏"字，故我们

把其生动地称为“冏函数”.若函数（）=2++/（>0且力;）有最小值，则

当=1,=/时的“冏函数”与函g=l0go网的图象交点个数为（）

A.1B.2C.4D.6

3.若集合-{|-V一=1],={|log5S劣，则n=（）

A.（〃切B.[4,9\C.[4句D.[0,9\

4.在一堆从实际生活得到的十进制数据中，一个数的首位数字是（=1,2,…，9的概

率为1g（/+-）,这被称为本特福定律.以此判断，一个数的首位数是1的概率约为（）

A.10%B.11%C.20%D.30%

5.已知集合={|log^(-I)<2},={|-2<<+7),若U=

则实数加的取值范围为()

A.(3冷B.[3,4\

C.(-0°,,3)U(4+°°)D.U

6.若函数（）=『啤（-?+2-劣在区间（1,$单调递减，则a的取值范围

是（）

A-[(.+-)B.©,+8)c.gjD.g今

7.正数，满足log式++y=10g2+10g2，贝IJ+的取值范围是

（）

A.[6；+8）B.（。向C.[/+近+8）D.（〃/+刊

8.已知命题：V€,3>2,命题：若小中，=5,=8,=7,贝！]一1-

=-20,则下列命题正确的是（）

A.AB.(-1)AC・V(「)D.（「）V（「）

二、多项选择题

9.如果一个函数（）在其定义区间内对任意x,y都满足（二;-）4—04-0,则称

这个函数为下凸函数，下列函数为下凸函数的是（）

A.（）=2B.=38in（2x+£）

C.（）=log?（＞0D.（）=[/I。,

10.下列判断中错误的是（）

A.函数=2+'是指数函数；

B.函数=7?一2019+72019—2既是偶函数又是奇函数;

C.函数=’的单调递减区间是（一8,0）U（0,+oo）；

D.c.

11.若/＜，＜,，则下列结论中正确的是（）

A.log>log

B.|log+log|>2

C.（log）2<1

D.|log|+|log|>|log+log|

三、填空题

12.已知正数a",c满足4-2+25=0,则当a与c满足关系时，1g+

1g-2的最大值为.

13.函数式》）=（乃一3），ln（力-2）的零点个数为.

14.若2+—22=0,则飞，一=；

15.设x,G,>7,>1,若==3+=W5则'的最大值为

四、解答题

16.已知函数（）=log/（2-2+4）.

（I）当=/时，求函数（）在£a上的值域;

（H）若函数（）在（4+8）上单调递增，求实数历的取值范围.

17.设函数（）=2+（-1）-2-（G）是偶函数，

（7）求不等式（）＞?的解集；

（0设函数（）=［（）一夕-］一（2）-2,若（）在6"+8）上有

零点，求实数〃的取值范围.

18.已知函数（）=log/+）的图像经过点（Z/）和（50,=+

（e*）

⑺求｛）：

（为设数列｛｝的前〃项和为，=1^+厂，求｛｝的前〃项和.

19.设函数（）=一一（＞0且47）是定义域为??的奇函数，（7）=宏

（1）若（？+2）+（-4）＞0,求0的取值范围；

(II)若()=+-2-2（）在［］,+8）上的最小值为一2,求加的值.

20.已知函数（）=•（其中a,6为常量，且>。，47）的图象经过点（46）,

｛,3,24）.⑺求（）的表达式；

（0若不等式（'）+（-）-20,在€（-8,7］时恒成立，求实数〃的取值范围.

已知数列｛｝的前"项和为，满足2=2,4=16,｛+7）是等比数列，

（7）求数列，%的通项公式；

（0若>0,设=log/5+孙求数列｛—上｝的前4+2）-16-2=0

项和

一、单项选择题

1.形如=「L（>"'>功的函数，因其图象类似于汉字中的“冏”字，故我们称

其为“冏函数”.若函数（）=4+《>0,且K7）有最小值，则=1,=

/时的“冏函数”图象与函数=log||图象的交点个数为（）

A.1B.2C.4D.6

【答案】C

【解析】当=1,=/时，=厂勺而（）='+<>0，且40有最小值，

故>/.

令（）=log||（>小（）=<，在同一坐标系中作出它们的大致图象如图所

示，

共4个不同的交点，故选C

2.形如=「L（>Q>功的函数因其函数图象类似于汉字中的‘‘冏"字，故我们

把其生动地称为“冏函数”.若函数（）=今+，（>殂羊7）有最小值，则

当=/,=/时的“冏函数”与函"=10go网的图象交点个数为（）

A.1B.2C.4D.6

【答案】C

【解析】:函数（）=；/++<>0,H7）有最小值，二>1,

•.・当=1,=/时，=-=^-

画出函数=+与=log||的图象在同一坐标系数内的图象：

I|一/

二结合图形，得到交点个数有4个.

故选C.

已知log-3>log-3>0,则，的取值范围是（）

A.7<<B.7<<C.0<<<2D.0<<<1

【答案】C

【解析】v>0.

二0<logic<log>6,

••・对数函数。=log产，它在定义域是减函数，

A1>>>0,

即0<VV/.

故选C.

3.若集合={|=V=1),={|log^工为，贝ijn=()

A.(“司B.[4f9\C.[4f6\D.[0,9\

【答案】A

【解析】因为集合={|=V—4]={|>

={|logj<\0<<9\,

所以n={\o<<9}=(ofg\,

故选A.

4.在一堆从实际生活得到的十进制数据中，一个数的首位数字是(=1,2,…，9的概

率为1g(1+」)，这被称为本特福定律.以此判断，一个数的首位数是1的概率约为()

A.10%B.11%C.20%D.30%

【答案】D

【解析】根据题意，一个数的首位数是1的概率为1g2,

而/=logje2<lg2<logg2=$

故选D.

5.已知集合={|log/-I)<2],={|-2<<+/),若U=,

则实数/〃的取值范围为()

A.(3,4)B.[30

C.(—8,9U(4+8)D.(-8,司U[4+8)

【答案】B

【解析】依题意，={Ilog/一/)<4={\0<-1<4]={\1<<5],

因为U=,

即£

—2>1,

1+<5.

故3W<4,

故选民

6.若函数（）=小翼（一2+2-为在区间（1分单调递减，则a的取值范围

是（）

A「3,、n,、cr37、n,37、

A.%+8）B.（5,+8）C.[-,^1D.（],）

【答案】C

【解析】（）=Jl吗-2+2二^在（/,｝单调递减，

即=-2+2一斑（/,$是单调递增且0<<1,

[就

故卜令+3-241'

I-/+2-2>0

解得三<7

故选C.

7.正数，满足logz（++3）=log^,+log?,则+的取值范围是

（）

A.[a+8）B.（0向C.[/+近+8）]）.（〃/+刊

【答案】A

【解析】由正数x,y满足logz（++为=log?+log?>-++3=

而三（—，）2,则++3wL3’.当且仅当=>时取等号.

/4

令+=(>功，贝I」+34二化为2一4-12>0,解得>6^<-2.

4

>。，・••取>6.

故选A.

8.已知命题：V6,3>2,命题：若△中，=5,=8,=7,则

一'=一20,则下列命题正确的是（）

A.AB.（-.）AC.V（-,）D.（「）V（~,）

【答案】B

【解析】命题p：小e此3°＞肥，由指数函数图像及其性质可得，当〈附，3＜2,

即命题O为假命题；

命题：若△中，=5,=8,=7,由余弦定理得=”一？二

25+64-49_1

2x5x8~?

即动■互才=&，必*（"-C）=5X8X（一［）=-20故命题（7为真命题.

二命题（F?）AQ为真命题，

故选区

二、多项选择题

9.如果一个函数（）在其定义区间内对任意必y都满足（十）《（）：（）,则称

这个函数为下凸函数，下列函数为下凸函数的是（）

A.（）=2B.f（o?）=38in（2x+］）

C.（）=1%（＞OD.（）=［2',£

【答案】AD

【解析】对于从函数（）的定义域为此

V,6，-＜一9—?=乂2+2）＞

L

2-242~2~=2^~=*）,

当且仅当2=2,即=时，等号成立，因此/是下凸函数;

对于反函数（）的定义域为兄

当=。,“4时，唔侬=扣崂+3血怎+割=虫件1,

而=3ein（l+i）=3ein^coej+3coe^ein^

_3/2、_WZ（/+O）、炙O+/）

—I―了，

4444

即（一卜），因此8不是下凸函数;

对于G函数（）的定义域为（〃+8）,

当=1,=刷，（）；（）=.[log2]+log2a=、

而C）=（3=号1cM4

即（）：（）＜（丁二），因此C不是下凸函数；

对于〃、函数（）的定义域为尼

,e1-8,6,则"：6（一乃0,

+）=+

而㈠）=十，

即_0^2=（+）.

（gVe（一8,。，v€[”+叼，

^7^=^+2）T'

而/）当+＜如寸，（+）二十＜^^，

即―2＜m-

0当十》即（/）一.亳=/＜—，

即（t）；

③v,w[4+8）,则」7-w[a+8）,

3=贸2+2）=+,

而，

即—2=（+）.

综上所述，。是下凸函数.

故选仞

10.下列判断中错误的是（）

A.函数=2+'是指数函数；

B.函数=。2-2019+72019-?既是偶函数又是奇函数;

C.函数=，的单调递减区间是（—8,0）U（0,1O）；

D.c.

【答案】AC

【解析】对于4由指数函数的定义可知，错误；

对于反使式子有意义得2=2019,=0,既是奇函数又是偶函数，正确；

对于C,函数=,在整个定义域上不单调，错误；

对于〃，空集是任何集合的子集，正确.

故选AC.

11.若/<，<，,则下列结论中正确的是（）

A.log>log

B.|log+log\>2

c.（log）2<1

D.|log|+|log|>|log+log|

【答案】ABC

【解析】解法一：（常规做法）<<1,

ab

则log>7,0<log<1,log-log=7,Alog>log,故力正确.

p

由基本不等式得：log+log>^logablogba=2,故8正确.

A0<（log/v/,故C正确.

Ilog|+|log|=|log+logI，故〃错误.

解法二：（特殊值代入法）.•.〃<<</,

ab

不妨令=1=1贝ijlog=2,log/易得力,B,C均正确，只有〃错误.

故选：ABC.

三、填空题

12.已知正数a",c满足4-2+25=。,则当a与c满足关系时，1g+

1g-2的最大值为.

【答案】4=25--2

【解析】由题意：4-2+25=0,变形为：4+25=2,

v4+25>2^/700—,当且仅当4=25时，取等号.

2>2-nod;即2>100

那么：+-2=lg—<lg=—2

100

故答案为4=25;-2

13.函数火⑼=（乃一3），111（0?-2）的零点个数为一

【答案】1

【解析】函数定义域为［2+8）,

6［2+河时2—3＞。恒成立，

只有当=冼寸，ln（—4="

所以（）在［2+8）上只有一个零点,

故答案为1.

14.若？+—22=0,则+［；=

2+2

【答案】X

【解析】•••2+—22=0,

（一）'+一一2=0，

解得：一=/或—2

当一=/时，原式

㈠-+/

1+3+15

=1+1-5；

当一=_却寸，原式=

4+15

故答案为:

15.设x,G,>],>7,若==则'+’的最大值为

【答案】3

【解析】•:>7»>7,==3,

**==3,

..."=一+一=—=

333-33

当且仅当=前时取等号.

—+’的最大值为3.

故答案为3.

四、解答题

16.已知函数（）=log/2一2+4）.

（I）当=/时，求函数（）在£勿上的值域;

（II）若函数（）在（夕+8）上单调递增，求实数卬的取值范围.

【答案】解：（I）当=/时，函数（）=4（2_2+£,

Veg,为上，令=2一2+4,最小值为/-2+彳=3,

最大值为4-4+4=4,

故函数（）在色，司上的值域为[43A

（H）若函数（）在（4+叼上单调递增，

因=10g《在（”+河上单调递增，

令=2-2+4在（幺+8）上单调递增，

f>。

故有产S4,求得>|,

116-8+4>0

故要求的实数0的取值范围为厚+河.

17.设函数（）=2+（-/）•，（e）是偶函数，

（7）求不等式（）>9的解集；

（为设函数（）=[（y-2'-]-（2）一2若（）在e[1,+8）上有

零点，求实数〃的取值范围.

【答案】解：（/）因为（）是偶函数，所以（一）=（）恒成立，

即7+(-1)-2=2+(-1)-2-恒成立.

也即（-0（/-/）=而成立，所以=2,

由（）=2+2~>翳-5-2+2>0,解得2<煞2>2,即<一1或

>1,

所以不等式（）>舶解集为{|<一/或>/}.

（0（）=[（）一少-]-（2）-2

=（2+7-21-）-/-2~2-2

=（2~2-）-（/+2-2）一斑€[1,+8）上有零点，

即为（2-2-）-（/+2-2）-2=麻eU+河上有解.

因为G[4+00）.所以2-牙>0,

所以条件等价于=笆+7'）+2在e[/,+右）上有解，

2-2~

令=2,则22令=

则〃在€圈+«>）上单调递增，

因此<=—.

设（）=_至=+4（）在[2+8）上单调递增，在区目上单调递减，

所以函数（）在=牙寸取得最小值，且最小值（0=4,所以（）6[幺+河，

从而满足条件的实数〃的取值范围是[4+叼.

18.已知函数（）=log/+）的图像经过点（2/）和{5,2）,=+

（G,）

⑺求{）；

（为设数列｛｝的前〃项和为，=—£―+―，求｛｝的前〃项和

I十勾

【答案】解：（/）由题意得｛；二;解得=2,=-1,

所以=2-1,G*；

（0由（/）易知数列｛｝为以1为首项，2为公差的等差数列，

所以=+，^x2=2,

所以=-懑+厂=,一十+2

前〃项和=（/_/+/_：+：­/+•••+，—q）+（2+4+…+2）

32435+?

311,ZJ-2）°+/2+31

2+1+21-2（+/）（+劣2,

19.设函数（）=--（>OS.。1）是定义域为斤的奇函数，（。=*

（I）若（2+2）+（-4）>0,求加的取值范围;

（H）若（）=2+-2一z（）在［/,+8）上的最小值为一2,求小的值.

【答案】解：（I）由题意，得（少=0,即一/=0,解得=1,

由（/）=多得一一/=（，解得=2,=--2（舍去），

所以（）=2-7为奇函数且是上的单调递增函数.

由（？+2）+（一£>“得（？+2）>0-）,

所以2+2>4-，解得〈一臧>1.

所以加的取值范围为（一8,—£U（1,+8）.

（II）（）=/+L_2（2-7）=（2一牙）2-2（2-7）+2,

令=2-牙，由3/所以N幺一牙，=匕,

所以=2一2+2对称轴=,

（7）时,=2—22+2=—2,解