2017-2018学年高中数学 第二章 平面向量 2

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2.2平面向量的线性运算

第1课时向量加法运算及其几何意义

预

核心必知----自读教材找关键习

导

问题思考——辨析问题解疑惑

引

I

课前反思----锁定目标稳启程区

shutizhugan自主学习糕理主干

［核心必知］

1.预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P8。〜阵3的内容，回答下列问题.

(1)观察教材取图2.2—1,思考：某对象从4点经8点到C点，两次位移通、反的

结果是什么？与从力点直接到C点的位移有什么关系？

提示：从4点经8点到，点，两次位移血、戏的结果是位移而7,与从4点直接到

。点的位移市;相等.

(2)观察教材心“探究”的内容，思考：

①力户对橡皮条产生的效果，与力E与何共同产生的效果相同吗？

提示：产生的效果相同.

②力尸与力向、月有怎样的关系？

提示：力—是乱与何的合力.力尸在以一、/为邻边的平行四边形的对角线上，并且

大小等于平行四边形对角线的长.

(3)数的加法启发我们，从运算的角度看，户可以认为是E与凡的什么运算？

提示：一可以认为是⑸与尼的和，即位移、力的合成可看作向量的加法.

2.归纳总结，核心必记

(1)向量加法的定义

求两个向量和的运算,叫做向量的加法.

(2)向量加法的运算法则

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已知非零向量a、b,在平面内任取一点4作标=&BC=b,则向量近

叫做a与6的和，记作a+b,EPa+b=AB+

三角形

一

法则

向AaB

量这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.

求对于零向量与任一向量a的和有a+0=0+a=a.

和

的

法

则以同一点。为起点的两个已知向量a、b为邻边作。力阳则以。为起点的对

平行四

边形法角线3就是a与b的和.我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的壬

则行四边形法则.

Ba二

a

Or/

(3)向量加法的运算律

①交换律：a+b=b+a；

②结合律：a+6+c=(a+Z>)+c=a+(6+c).

［问题思考］

(1)两个向量相加就是两个向量的模相加吗？

提示：因为向量既有大小，又有方向，所以两个向量相加不是模的相加.两个向量相加

应满足三角形法则或平行四边形法则.

(2)当两非零向量a,6共线时，向量加法的平行四边形法则还能用吗？三角形法则呢？

提示：平行四边形法则不能用，但三角形法则可用.

(3)式子鹏+两=0正确吗？

提示:不B+丽的和为零向量.即不B+明-().0不能

写成0.敌式孑+=O不正确.

［课前反思］

(1)向量加法的定义：_________________________________________________

(2)求向量和的三角形法则：

(3)求向量和的平行四边形法则：

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(4)向量加法的交换律：........................................................

»

(5)向量加法的结合律：.......................................................

知识突破一能力提升

II

重点知识拔高知识

步步探究稳根基深化提能夺高分

师生共研突破重难skisHenggongyantupozhongnan

知识点1求作向量的和K重点知识'讲透练会】I

［思考1］求作两个向量和的方法有哪些？

提示：三角形法则和平行四边形法则.

［思考2］三角形法则和平行四边形法则的适用条件有什么不同？

名师指津：(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两

个不共线的向量求和.

(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的.

如图所示，ACAB+AD(平行四边形法则)，

DC

N

AB

又,.友=福

...前=瓦5+反(三角形法则).

(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围

的限制及和向量与两向量的起点相同.

讲一讲

1.(1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出a+b；

(2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出a+b.

①②

［尝试解答］(1)如图⑧所示，设市=a,与6有公共点4故过｛点作通=6,

连接而即为a+6.

(2)如图⑹，设赤=a,过。点作丽=6,则以。I、如为邻边作“WC3,连接a7,则

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OC—OA+OB—a+b.

类题•通决

应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题

(1)三角形法则可以推广到〃个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即〃个首尾相连

的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第〃个向量的终点的向量.

(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合.

(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单.

练一练

作丽=a,A百=。，阮=<:,则OC=a+b+c.

知识点2向量加法运算K重点知识•讲透练会

［思考］向量加法有哪些运算律？

名师指津：向量加法的交换律：a+b=b+a；向量加法的结合律：(a+Z>)+c=a+(6

+c).

讲一讲

2.化简下列各式：

(DAB+DF+CD+BC+FA；

(2)(AB+DE)+CD+BC+EA.

［尝试解答］(1)而+诉+E+阮+FX

-AB+BC+CD+DF+FA

~^AC+CD+(DF+FA)

=AD+DA^O.

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(2)(AB+DE)+CD+BC+E^

=(AB+BC)4-(CD+DE)+EA

=AC+CE+EA

:荏+而0.

类题•通决

解决向量加法运算时应关注两点

(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算.

(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺

序，特别注意勿将0写成0.

练一练

2.如图，在△/比1中，。为重心，D、E、尸分别是8aAC.的中点，化简下列三式:

(DW+CE+EA；

(2)OE+AB+EA；

(S'lAB+FE+DC.

解：(1)反+屋+胡=屈+丽丽.

..,・一・一♦，，・一・,・.

(2)OE+AB+EA-^(OE+EA')+AB=OA+AB-OB.

(3)AB+FE+DC=AB+BD+DC=AD+DC=AC.

知识点3向量加法的应用〜-----K拔高知识・拓宽提熊】I

讲一讲

3.在某地抗震救灾中，一架飞机从/地按北偏东35°的方向飞行800km到达8地接

到受伤人员，然后又从6地按南偏东55°的方向飞行800km送往。地医院，求这架飞机飞

行的路程及两次位移的和.

［尝试解答］如图所示，设湎，就分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800

km,从B地按南偏东55°的方向飞行800km.

则飞机飞行的路程指的是I而|+|反|；两次飞行的位移的和指的是通+及AC.

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依题意，初而1+11=800+800=1600(km).

又a=35°,B=55°,/ABC=35°+55°=90°.

所以I旗IV\AB\2+\BC\2=［80()2+SOO?=800*(km).

其中/阴Q45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°.

从而飞机飞行的路程是1600km,两次飞行的位移和的大小为800艰km,方向为北偏

东80°.

类题•通决

利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤

练一练

3.轮船从1港沿东偏北30°方向行驶了40km到达8处，再由8处沿正北方向行驶40

km到达。处，求此时轮船与A港的相对位置.

解：如图所示，设而、支分别是轮船的两次位移，则充表示最终位移，且印T'=前

+BC.

\AD\=2073km,

在RtAACD中.|衣|

=\/1AD|2+|DC|-^"=40、Rkm,

/az?=6(r,

即此时轮船位于/港东偏北60°,且距离4港4附km处.

-----------------------------［课堂归纳•感悟提升］一—

1.本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用.

2.要掌握向量加法的三个问题

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(1)求作向量的和，见讲1;

(2)向量加法运算，见讲2；

(3)向量加法的应用，见讲3.

3.求作向量时应注意以下两点

(1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个

向量的起点指向最后一个向量的终点.

(2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”.

训

练

达标练一能力练

提II

能学业水平小测，让学课下能力提升，提速

区生趁热打铁消化所学.提能，每课一检测，步

既练速度又练准度步为营步步赢

分层练习固本提能/

课下能力提升(十四)

［学业水平达标练］

题组1求作向量的和

1.如图，已知两个不共线的非零向量a,b,求作a+6.

解：在平面内任取一点。

作OA=a,AB=b.

则OB=a+b.

2.已知两非零向量a,从如图所示)求作a+6.

解：如图

OFA

所示：在平面内任取一点。，作函a.AB人则而a+b.

题组2向量加法运算

3.化简恁+通+反等于()

A.ABB.CE

C.ACD.BE

解析：选C(荏+而)+反=荏+反=&.故选C.

4.下列等式错误的是()

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A.a+O=O+a=a

B.AB+BC+AC0

C.AB+BA-0

D.CA+AC=MN-\-NP+PM

解析：选BAB+BC+AC=2AC#O.

5.在矩形ABCD中，|荏|=4,|反|=2,则向量彳B+而

+前的长度等于（）

A.2#B.44

C.12D.6

解析：选B因为过3+而=尼,所以冗§+油+不己的

长度为界的模的2倍，故卷案是4底

6.根据图示填空.

(1)AB+OA=；

(2)BO+00+00=；

(3)而+BO+2OD=.

解析：由三角形法则知

(DAB+OA^OA+7iB=OB；

(2')BO+OD+DOBO：

(3)而+丽+2OD^=AD+BD.

答案：(1)而(2)BO(3)AD+BD

7.已知正方形ABCD的边长为1,AB^a,AC-=c,BC=b,则a+b+c为

解析：\a+b+c\=\AB+BC+AC\=IAC+AC|=2|AC|

=2A/2.

答案：272

8.如图，。为正六边形/及协的中心，根据图示计算：

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(DOA+OC；

(2)BC+FE；

(3)OA+FE.

解：(1)因为四边形04%是以04,%为邻边的平行四边形，仍为其对角线，所以

OA+OC=OB.

(2)因为反与方方向相同且长度相等，所以反与立

是相等向量.故反+百百与BC方向相同.长度为反长

度的2倍.因此前+屋可用DA表示.所以BC+FE=

-DA.

(3)因为国与而长度相等且方向相反.所以OA+FE

=0.

题组3向量加法的应用

9.若a等于“向东走8km”,6等于"向北走8km”则a+b\—,a+6的方

向是________.

解析：如图所示，设而=a,BC^b,则阳=a+6,且△?1比为等腰直角三角形，

则而11=8筐km,N刈0=45°.

答案：8班km北偏东45°

10.雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的,无风时雨滴下落的速度是4.0m/s,现在

4A(3

有风，风使雨滴以里m/s的速度水平向东移动,求雨滴着地时的速度和方向.

,5

解：如图，用示表示雨滴下落的速度，而表示风使雨滴水平向东的速度.以示，

0B为邻边作平行四边形OACB,(X'就是雨滴下落的实际速度.

在口△如。中，13Al=4,|而1=芈,

O

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.-.IOCI=/a|2+|前12f2+（小?二竽,

4^/3

干

AtanZAOC

IOAI~7——T'

：.ZAOC=30Q.

故雨滴着地时的速度大小是芈m/s,方向与垂直方向成30°角向东.

O

［能力提升综合练］

1.设a=（而+丽）+（配+砺）"是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为（）

①a〃b；②a+6=a；③a+Z）=6；④|a+6|</a|+b；⑤/a+Z>=Ia|+|引.

A.①@B.①③

C.①@⑤D.③④⑤

解析：选Ca=（AB+CD）+（BC+DA）=AB+BC+（CD+D^）=O,

①③⑤是正确的.

2.已知，E,产分别是的边力区BC,。的中点，则下列等式中不正确的是（）

A.FD+DA=FA

B.FD+DE+EF=0

C.DE+DA^EC

D.DA+DE=FD.

解析：选D由向量加法的平行四边形法则可知，示十力巨DF^FD.

3.如图，四边形46切是梯形，AD//BC,则和+反+而=（）

A.CDB.OC

C.DAD.W

解析：选BOA+liC+AB

=OA+AB+BC

-OB+BC-OC.

4.已知△力a1的三个顶点/,B,C及平面内一点夕满足巨彳+而PC,则下列结论

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中正确的是（）

A."在△/%■的内部

B.尸在△/回的边45上

C."在48边所在的直线上

D.7?在的外部

解析：选DPA+PBPC,根据平行四边形法则，如图，则点尸在△49C外.

5.PQ+OM+^）+MQ=.

解析：田+而+E+血山+（如+而）+砒

PQ+QM+MQPQ.

答案：PQ

6.若尸为△49C的外心，且丽+而-PC,则/4为=

解析：•.•丽+而PC,则四边形小笫是平行四边形.

又尸为△49C的外心，

：.\PA\=\PB\=\PC\.

因此万=120°.

答案：120°

7.在四边形ABCD中，对角线AC,劭交于点。且|丽|=

|而|=1,丽+说=丽+丽=0,cosN的5=上.求I反+阮I与I①+反L

解：,.,示+况:=而+。15=0.

.*.OA=CO,OB=DO.

四边形ABCD是平行四边形.

又|不回=\AD\=1,知四边形ABCD为菱形.

又cosN215=；,ZDAB^（0,n）,

AZ的5=60°,

，△力劭为正三角形.

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/.IDC+BCI=\AB+AD\=\AC\=2\AO\=行，

|CD+BC|=|BD|=|AB|=1.

8.已知船在静水中的速度为20m/min,水流的速度为10m/min,如果船从岸边出发沿

垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.

解：作出图形，如图.

A“水3

船速r研与岸的方向成a角，由图可知〃水十〃期=「实际，结合已知条件,

四边形/腼为平行四边形,

在中，I①1=1瓦由=|y1=10m/min,

\AD\=|vuI=20m/min,

.._|CD|_1O_1

••COSa~~z-,

IADI20j

・・・。=60°,从而船与水流方向成120°的角.

故船行进的方向是与水流的方向成120°的角.

第2课时向量减法运算及其几何意义

预

习核心必知----自读教材找关键

导I

问题思考——辨析问题解疑惑

引

区课前反思----锁定目标稳启程

［核心必知］

1.预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材电〜PB6的内容，回答下列问题.

(1)一个数x的相反数是什么？一个向量a有相反向量吗？若有，如何表示？

提示：一个数X的相反数是一X.一个向量a有相反向相，记为一a.

(2)任何一个数x与它相反数的和为0,那么向量a与它的相反向量的和是什么？

提示：a+(~~a)=0.

(3)根据前一节所学的内容，你能作出向量a与力的差a-b吗2

提示：可以，先作一A再按向量加法的平形四边形法则或三角形法则作出a+(—6)即

可.

2.归纳总结，核心必记

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(D相反向量

与a长度相等，方向方反的向量,叫做a的相反向量，记作一&

①规定：零向量的相反向量仍是零向量;

②一(一a)—a；

③a+(—a)=(—a)+a=0；

④若a与6互为相反向量，则a=j,b——a,a+b=Q.

(2)向量的减法

①定义：a—b=a+(―/>),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.

②几何意义：以。为起点，作向量M=a,OB=b,则明=a—b,如图所示，即a

一6可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.

［问题思考］

(1)若两个非零向量a与6互为相反向量，则a与b应具备什么条件？

提示：①长度相等；②方向相反.

(2)相反向量与相反数一样吗？

提示：不一样.相反数是两个数符号相反，绝对值相等，相反向量是指两个向量方向相

反，模相等.

(3)若a—b—c——,则a+d=6+c成立吗？

提示：成立.移项法则对向量的运算是成立的.

［课前反思］

(1)相反向量的定义：..........................................................

?

(2)向量减法的定义：..........................................................

(3)向量减法的几何意义：......................................................

课

堂

知识突破—能力提升

互

II动

重点知识拔高知识

步步探究稳根基深化提能夺高分区

知识点1向量的减法运算-K重点知识•讲透练会】I

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讲一讲

1.化简：(1)(氐D-E)-(旗一厢)；

(2)(AC+Bd+OA)-(DC-DO-OB).

［尝试解答］(D(AB-CD)-(AC-BjD)

=(AB+BD)-(AC+CD)

=AD-AD^O.

(2)(AC+BO+Q4)-(DC-DO-OB)

=(AC+BA)-(OC-OB)

=BC-BC

=0.

类题•通决

(1)向量减法运算的常用方法

(2)向量加减法化简的两种形式

①首尾相连且为和；

②起点相同且为差.

做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用.

练一练

1.化简下列各式：

(DAB-AC-ZJB；

(2)AB+BC-AD；

(3)AB-CD-DB.

解：(1)用5一死一丽

=CB4-BD=CD.

(2)AB+BC-AD

=AC—Ab=DC.

(.3)AB-CD-DB

-AB+DC+BD

=AB+BD+DC

=AC.

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知识点2向量减法及其几何意义«重点知识•讲透练会】I

［思考1］已知两个非零向量a,b,如何作a-6?

名师指津：求作两向量的差可以转化为两个向量的和，也可以直接用向量减法的三角形

法则，即把两向量的始点重合，则差向量就是连接两个向量的终点，并指向被减向量.

［思考2］a—6的几何意义是什么？

名师指津：a—b的几何意义是：当向量a,b的始点相同时，从向量b的终点指向向量

a的终点的向量.

讲一讲

2.(1)四边形/腼中，若须°，而尻反c,则反()

A.a-b~\-cB.b—(a+c)

C.a+A+cD.b—a+c

(2)如图，已知向量&b,c不共线，求作向量a+力-c.

［尝试解答］(1)DC=AC-AD=(AB+BC)-AD=a+c-b.

(2)法一：如图①所示，在平面内任取一点0,作。AB=b,则诙=a+6,再

作OC=c,则CB=a+b—c.

法二：如图②所示，在平面内任取一点。作示=a,Ali=bf则而=a+6,再作屈

=c,连接。C,则(9C=a+6—c.

图①图②

答案：(DA

类题•通凄

求作两个向量的差向量的两种思路

(1)可以转化为向量的加法来进行，如a-b,可以先作一6,然后作a+(一加即可.

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(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两

个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.

练一练

2.如图，。为内一点，OA=a,OB=b,(X'=c.求作：

(1)b+c-a；

(2)a~b-c.

解：(1)以OB,OC为邻边作OOBDC,连接OD,AD.则

OD=OB-\-OC=b+c,

所以b+c—a=OD—OA=AD,

如图所示.

(2)由a—b—c=a—(6+c),

如图，作。OBEC,连接庞

则+c,

连接AE,则EA—a—(b+c)

—a-b—c.

利用已知向量表示未知向量•-----K拔高知识・拓宽提能】I

讲一讲

3.如图，解答下列各题:

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(1)用a.d・e表示D3；

(2)用b・c表示丽;

(3)用a・b・e表示EC；

(4)用d.c表示EC.

尝试解答］由题意知•用5，祝=b.CDc,DE=d.

而=e,则(1)丽=阮+丽+荏一+0Ta.

(2)DB=CB-CD=-BC-CD=-b-c.

(3)EC=EA+AB+BC=e+a+b.

(4)EC=-CE=-(CD+DE)=­c—d.

类题•通决

利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意

(1)一个关键

一个关键是确定己知向量与被表示向量的转化渠道.

⑵三点注意

①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系;

②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律；

③注意在封闭图形中利用多边形法则.

练一练

3.如图.已知示一＜1.丽=人。，c.ODd./=/,试用

a.b.c.d.f表示以下向量：

A

BDC

(l)ACs(2)AD；

(3)AD-AB：

(4)AB+CF；

(5)BF-BD.

解：(1)而一玩一丽一c—a.

(2)而=而+而=而一丽=d-a.

(3)AD-ABBD=OD-QBd-b.

(4)AB4-CF

=OB-(M+OF-OC

b~~a+f-c.

(S'fBF-BD

^OF-OB-(.OD-OB)

=OF—OD=f~d.

--------------------------［课堂归纳•感悟提升］

1.本节课的重点是相反向量、向量减法的运算以及利用已知向量表示未知向量，难点

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是利用已知向量表示未知向量.

2.要掌握向量减法的三个问题

（1）向量的减法运算，见讲1;

（2）向量减法及其几何意义，见讲2；

（3）利用已知向量表示未知向量，见讲3.

3.掌握用已知向量表示某向量的基本步骤

第一步：观察各向量的位置；

第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形;

第三步：运用法则找关系；

第四步：化简结果.

训

练

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课下能力提升（十五）

［学业水平达标练］

题组1向量的减法运算

1.已知非零向量a与6同向，则a—6（）

A.必定与a同向

B.必定与b同向

C.必定与a是平行向量

D.与b不可能是平行向量

解析：选C若/a/>/。/,则a—6与a同向，若则a—Z（与一6同向，若/a!

=1引，则a—6=0,方向任意，且与任意向量共线.故A,B,D皆错，故选C.

2.化简旗一前+E一而得（）

A.ABB.DAC.BCD.0

解析：选D原式=而一加一瓶

AD+DB-ABAB-AB0.故选D.

3.给出下面四个式子，其中结果为0的是（）

①通+反+夙；②而+无+的+面;③而一衣+

BD-CDi^NO-i-OP+MN-MP.

A.①@B.①③

C.①③④D.②③

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解析：选c①不B+支+母=旗+母=。•②。X+/

4-BO+CO=BO+OA=BA^O.③蒜一弑+加一亦

*，，・.—.，*・..—.

=AB+BD-(AC+CD)-AD-AD=O.④NQ+QP+

^-.W=NP+.WN+PM==XP+PA'=O.

题组2向量减法及其几何意义

4.若0,E,6是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()

A.EF=OF+OEB.EF=OF-OE

C.EF=-OF+OED.EF=-OF-OE

解析：选B由减法法则知B正确.

5.若|刀|=8,|而|=5,则I初I的取值范围是()

A.[3,8]B.(3,8)

C.[3,13]D.(3,13)

解析：选C因为无8=而一市，

故砺，而同向共线时，|屈|一|加|一|而1-3；

当丽,加反向共线时.则得1KBi=|QA|+|OB|=13；

当丽，而不共线时.由||示|一|而||VI而一。X|V

I示|+|而|,可得3<|不西V13.综合上述情况可得3

《|砌《13.

6.如图，在正六边形力比W中，明+迎+存=()

A.OB.BE

C.ADD.CF

解析：选D由于瓦4=无，

故BA+CD+E?=CD+DE+EF^CF.

7.已知菱形4质边长都是2,求向量荏一而+B的模.

解:•.,而一通+国=15+配+丽=而，

：.\AB-CB+CD\-IADI2.

H

题组3利用已知向量表示未知向量

8.如图，向量而a.ACh.C15c,则向量而可以表示为()

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A.a+b—cB.a—b-\~c

C.b—a+cD.b—a—c

解析：选C而就+也而一不B+前=6—a+c.故选C.

9.已知一点。到。缪的3个顶点A,8,C的向量分别是a,b,c,则向量而等于（）

A.a+5+cB.a—Z>+c

C.a+b-cD.a—b—c

解析：选B如图，点。到平行四边形4W9的三个顶点4B,。的向量分别是&b,c,

结合图形有丽=示+而=示+阮=砺+反一丽=a—b+c.

10.如图，已知/腼即是一正六边形，。是它的中心，其中丽=b,OC=c,则并等

于.

解析：EFOA（'fi而F）C—b—c.

答案：b-c

11.如图，在五边形4?砒'中，若四边形力侬是平行四边形，且而=a,AC=b,存

=c,试用a,Ac表示向量南•灰，而，而及屋.

解：•.•四边形ACDE是平行四边形..*.E：荏=c.反

=AC——a.BE=AE—AB=c—<i»CE=AE—

AC=c-b,：.BD=BC+CD^b-a+c.

［能力提升综合练］

1.有下列不等式或等式：

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①Ia|一|引〈|a+引〈a+|引；

②|a|一|b|=a+b=|a+|b|；

③|a|一|6|=a+6<|a|+|引；

@|a|—\b\<\a-\-b\—a+|b|.

其中，一定不成立的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

解析：选A①当a与Z>不共线时成立；②当a=b=O,或6=0,aWO时成立；③当a

与6共线，方向相反，且㈤时成立；④当a与6共线，且方向相同时成立.

2.如图，D,E,尸分别是△46C的边49,BC,。的中点，则（）

A.AD+BE+CF=O

B.BD-CF+DT-O

C.AD+CE-CF=O

D.BD-BE-FC'^O

解析：选A'：ADDB.：.Ab+BEDB+BEDE

FC,.•..4D+BE+CT-FC+CF=O.

3.设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外.|阮E=

16,|瓶+旗|=|；12一旗|,则|砌|=（）

A.8B.4C.2D.1

解析：选CV|BC|2=16..\|BC|=4.

\AB+AC\=\AB-AC\=|CB|=4.

；M为BC中点，二硕=^（AB+AC）,

/.IAMI=4-IAB+ACI=2.

4.平面上有三点A,B,c,设，“无百+就,〃另一BT，若出〃的长度恰好相等,

则有（）

A.A,B,。三点必在同一直线上

B.△/重必为等腰三角形且N6为顶角

C.比'必为直角三角形且/8=90°

D.△?!勿必为等腰直角三角形

解析：选C由|血=|川，知4B,C为一矩形的三顶点，且△力回中为直角.

5.化简用百十而一丽一反一GA的结果是

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解析：原式=AB+(DA-DB)-(BC+CA)

-AB+BA-BA-AB.

答案：AB

6.设平面向量为,a，的满足a-&+a=0,如果平面向量历,b2,♦满足/b,—2\a],

且a,顺时针旋转30°后与6,同向，其中，=1,2,3,则6—62+63=.

解析：将&顺时针旋转30°后得,则a'-a/+&'=0.

又,：从与a,同向，且|瓦|=2a,\,bi-b>+bt=0.

答案：0

7.设。是比1内一点，且两<i-OBb.(Tc,若以线段力，出为邻边作平行

四边形，第四个顶点为〃再以0G勿为邻边作平行四边形，其第四个顶点为〃试用a,b,

c表示方乙丽•丽.

解：由题意可知四边形。1的为平行四边形，

：.OD-OA+Uii-a+b.

DC—OC-OD=c-(n+b)—c~a~b.

又四边形胸为平行四边形，

：.OH=OC+OD=c+a-\-b.

BH-OH—OBa+b+c—b-^a+c.

8.已知。为四边形四切所在平面外一点，且向量和、而、反、而满足等式

0X+充丽+丽.作图并观察四边形46徵的形状，并证明.

解：通过作图(如图)可以发现四边形46"为平行四边形.

证明如下：

\'OA+OC=OB+OD,

：.OA-O5=OD-OC,：.BA=CD,DC,

四边形力腼为平行四边形.

第3课时向量数乘运算及其几何意义

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