江苏专升本高等数学真题(附答案)

江苏专转本高数考纲及重点总结一、函数、极限和连续（一）函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。（2）理解和把握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。（4）把握函数的四则运算与复合运算。（5）理解和把握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。（6）了解初等函数的概念。重点：函数的单调性、周期性、奇偶性，分段函数和隐函数（二）极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，把握极限的四则运算法则。（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。（4）把握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。（6）熟练把握用两个重要极限求极限的方法。重点：会用左、右极限求解分段函数的极限，把握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限。（三）连续（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的中断点及其分类。（2）把握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的中断点及确定其类型。（3）把握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题。（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。重点：理解函数（左、右连续）性的概念，会判别函数的中断点。理解闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质（如介值定理、最值定理）用于不等式的证实。二、一元函数微分学（一）导数与微分（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。（3）熟练把握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。（4）把握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。（5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。（6）理解函数的微分概念，把握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。重点：会利用导数和微分的四则运算、复合函数求导法则和参数方程的求导，会求简单函数的高阶导数（尤其是二阶导数）。（二）中值定理及导数的应用（1）了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义。（2）熟练把握洛必达法则求“0/0”、“∞/∞”、“0∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞0”型未定式的极限方法。（3）把握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证实简单的不等式。（4）理解函数极值的概念，把握求函数的极值和最大（小）值的方法，并且会解简单的应用题目。（5）会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。（6）会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线。重点：会用罗必达法则求极限，把握函数单调性的判别法，利用函数单调性证实不等式，把握函数极值、最大值和最小值的求法及其运用，会用导数判别函数图形的拐点和渐近线。三、一元函数积分学（一）不定积分（1）理解原函数与不定积分概念及其关系，把握不定积分性质，了解原函数存在定理。（2）熟练把握不定积分的基本公式。（3）熟练把握不定积分第一换元法，把握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。（4）熟练把握不定积分的分部积分法。（二）定积分（1）理解定积分的概念与几何意义，了解可积的条件。（2）把握定积分的基本性质。（3）理解变上限的定积分是变上限的函数，把握变上限定积分求导数的方法。（4）把握牛顿―莱布尼茨公式。（5）把握定积分的换元积分法与分部积分法。（6）理解无穷区间广义积分的概念，把握其计算方法。（7）把握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积。重点：把握不定积分的基本性质和基本积分公式，把握不定积分的换元法与分部积分法，会求一般函数的不定积分；把握积分上限的函数并会求它的导数，把握牛顿―莱布尼兹公式以及定积分的换元积分法和分部积分法；会计算（被和谐）积分，会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积。四、向量代数与空间解析几何（一）向量代数（1）理解向量的概念，把握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。（2）把握向量的线性运算、向量的数目积与向量积的计算方法。（3）把握二向量平行、垂直的条件。（二）平面与直线（1）会求平面的点法式方程、一般式方程。会判定两平面的垂直、平行。（2）会求点到平面的间隔。（3）了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。会判定两直线平行、垂直。（4）会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）。重点：会求向量的数目积和向量积、两向量的夹角，会求平面方程和直线方程。五、多元函数微积分（一）多元函数微分学（1）了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极值与连续概念（对计算不作要求）。会求二元函数的定义域。（2）理解偏导数、全微分概念，知道全微分存在的必要条件与充分条件。（3）把握二元函数的一、二阶偏导数计算方法。（4）把握复合函数一阶偏导数的求法。（5）会求二元函数的全微分。（6）把握由方程F（x，y，z）=0所确定的隐函数z=z（x，y）的一阶偏导数的计算方法。（7）会求二元函数的无条件极值。重点：会求多元复合函数的一阶、二阶偏导数，会求多元隐函数的偏导数。（二）二重积分（1）理解二重积分的概念、性质及其几何意义。（2）把握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。重点：把握二重积分的计算方法，会将二重积分化为累次积分以及会交换累次积分的次序六、无穷级数（一）数项级数（1）理解级数收敛、发散的概念。把握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质。（2）把握正项级数的比值数别法。会用正项级数的比较判别法。(3)把握几何级数、调和级数与p级数的敛散性。（4）了解级数尽对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法。（二）幂级数（1）了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间。（2）了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）。（3）把握求幂级数的收敛半径、收敛区间（不要求讨论端点）的方法。重点：把握正项级数收敛性的判别法，几何级数与P级数及其收敛性，了解任意项级数尽对收敛与条件收敛的概念以及它们之间的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法，会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域。八、常微分方程（一）一阶微分方程（1）理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。（2）把握可分离变量方程的解法。（3）把握一阶线性方程的解法。（二）二阶线性微分方程（1）了解二阶线性微分方程解的结构。（2）把握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。重点：把握变量可分离微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法、会解二阶常系数齐次线性微分方程，会解自由项为多项式、指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程。20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、下列各极限正确的是（）A、 B、 C、D、2、不定积分（）A、 B、 C、 D、3、若，且在内、，则在内必有（）A、, B、,C、, D、,4、（）A、0 B、2 C、－1 D、15、方程在空间直角坐标系中表示（）A、圆柱面 B、点 C、圆 D、旋转抛物面二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6、设，则7、的通解为8、交换积分次序9、函数的全微分10、设为连续函数，则三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11、已知，求.12、计算.13、求的间断点，并说明其类型.14、已知，求.15、计算.16、已知，求的值.17、求满足的特解.18、计算，是、、围成的区域.19、已知过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线，若，且在处取得极值，试确定、的值，并求出的表达式.20、设，其中具有二阶连续偏导数，求、.四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分）21、过作抛物线的切线，求（1）切线方程；（2）由，切线及轴围成的平面图形面积；（3）该平面图形分别绕轴、轴旋转一周的体积。22、设，其中具有二阶连续导数，且.（1）求，使得在处连续；（2）求.23、设在上具有严格单调递减的导数且；试证明：对于满足不等式的、有.24、一租赁公司有40套设备，若定金每月每套200元时可全租出，当租金每月每套增加10元时，租出设备就会减少一套，对于租出的设备每套每月需花20元的维护费。问每月一套的定金多少时公司可获得最大利润？20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、下列极限中，正确的是（）A、 B、C、 D、2、已知是可导的函数，则（）A、 B、 C、 D、3、设有连续的导函数，且、1，则下列命题正确的是（）A、 B、C、 D、4、若，则（）A、 B、 C、D、5、在空间坐标系下，下列为平面方程的是（）A、B、C、==D、6、微分方程的通解是（）A、B、C、D、7、已知在内是可导函数，则一定是（）A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、不能确定奇偶性8、设，则的范围是（）A、B、C、D、9、若广义积分收敛，则应满足（）A、 B、 C、 D、10、若，则是的（）A、可去间断点 B、跳跃间断点 C、无穷间断点 D、连续点二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11、设函数是由方程确定，则12、函数的单调增加区间为13、14、设满足微分方程，且，则15、交换积分次序三、计算题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）16、求极限17、已知，求18、已知，求，19、设，求20、计算21、求满足的解.22、求积分23、设，且在点连续，求：（1）的值（2）四、综合题（本大题共3小题，第24小题7分，第25小题8分，第26小题8分，共23分）24、从原点作抛物线的两条切线，由这两条切线与抛物线所围成的图形记为，求：（1）的面积；（2）图形绕轴旋转一周所得的立体体积.25、证明：当时，成立.26、已知某厂生产件产品的成本为（元），产品产量与价格之间的关系为：（元）求：(1)要使平均成本最小，应生产多少件产品？(2)当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润.20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1、已知，则（）A、2 B、4 C、0 D、2、若已知，且连续，则下列表达式正确的是（）A、 B、C、 D、3、下列极限中，正确的是（）A、 B、 C、 D、4、已知，则下列正确的是（）A、 B、C、 D、5、在空间直角坐标系下，与平面垂直的直线方程为（）A、 B、C、 D、6、下列说法正确的是（）A、级数收敛 B、级数收敛C、级数绝对收敛 D、级数收敛7、微分方程满足，的解是A、 B、C、 D、8、若函数为连续函数，则、满足A、、为任何实数 B、C、、 D、二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）9、设函数由方程所确定，则10、曲线的凹区间为11、12、交换积分次序三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）13、求极限14、求函数的全微分15、求不定积分16、计算17、求微分方程的通解.18、已知，求、.19、求函数的间断点并判断其类型.20、计算二重积分，其中是第一象限内由圆及直线所围成的区域.四、综合题（本大题共3小题，第21小题9分，第22小题7分，第23小题8分，共24分）21、设有抛物线，求：（i）、抛物线上哪一点处的切线平行于轴？写出该切线方程；（ii）、求由抛物线与其水平切线及轴所围平面图形的面积；（iii）、求该平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积.22、证明方程在区间内有且仅有一个实根.23、要设计一个容积为立方米的有盖圆形油桶,已知单位面积造价：侧面是底面的一半，而盖又是侧面的一半，问油桶的尺寸如何设计，可以使造价最低？五、附加题（2000级考生必做，20XX级考生不做）24、将函数展开为的幂级数，并指出收敛区间。（不考虑区间端点）（本小题4分）25、求微分方程的通解。（本小题6分）20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）1、，是：（）A、有界函数 B、奇函数 C、偶函数D、周期函数2、当时，是关于的（）A、高阶无穷小 B、同阶但不是等价无穷小 C、低阶无穷小D、等价无穷小3、直线与轴平行且与曲线相切，则切点的坐标是（）A、 B、 C、 D、4、设所围的面积为，则的值为（）A、 B、 C、 D、5、设、，则下列等式成立的是（）A、 B、 C、 D、6、微分方程的特解的形式应为（）A、 B、 C、 D、二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）7、设，则8、过点且垂直于平面的直线方程为9、设，，则10、求不定积分11、交换二次积分的次序12、幂级数的收敛区间为三、解答题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）13、求函数的间断点，并判断其类型.14、求极限.15、设函数由方程所确定，求的值.16、设的一个原函数为，计算.17、计算广义积分.18、设，且具有二阶连续的偏导数，求、.19、计算二重积分，其中由曲线及所围成.20、把函数展开为的幂级数，并写出它的收敛区间.四、综合题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）21、证明：，并利用此式求.22、设函数可导，且满足方程，求.23、甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元。问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、是的（）A、可去间断点 B、跳跃间断点 C、第二类间断点 D、连续点2、若是函数的可导极值点，则常数（）A、 B、 C、 D、3、若，则（）A、 B、C、D、4、设区域是平面上以点、、为顶点的三角形区域，区域是在第一象限的部分，则：（）A、 B、C、 D、05、设，，则下列等式成立的是（）A、 B、C、D、6、正项级数(1)、(2)，则下列说法正确的是（）A、若（1）发散、则（2）必发散B、若（2）收敛、则（1）必收敛C、若（1）发散、则（2）可能发散也可能收敛D、（1）、（2）敛散性相同二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、；8、函数在区间上满足拉格郎日中值定理的；9、；10、设向量、；、互相垂直，则；11、交换二次积分的次序；12、幂级数的收敛区间为；三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、设函数在内连续，并满足：、，求.14、设函数由方程所确定，求、.15、计算.16、计算17、已知函数，其中有二阶连续偏导数，求、18、求过点且通过直线的平面方程.19、把函数展开为的幂级数，并写出它的收敛区间.20、求微分方程满足的特解.四、证明题（本题8分）21、证明方程：在上有且仅有一根.五、综合题（本大题共4小题，每小题10分，满分30分）22、设函数的图形上有一拐点，在拐点处的切线斜率为，又知该函数的二阶导数，求.23、已知曲边三角形由、、所围成，求：（1）、曲边三角形的面积；（2）、曲边三角形饶轴旋转一周的旋转体体积.24、设为连续函数，且，，（1）、交换的积分次序；（2）、求.20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、若，则（）A、 B、 C、 D、2、函数在处（）A、连续但不可导 B、连续且可导 C、不连续也不可导 D、可导但不连续3、下列函数在上满足罗尔定理条件的是（）A、 B、 C、D、4、已知，则（）A、 B、C、D、5、设为正项级数，如下说法正确的是（）A、如果，则必收敛B、如果，则必收敛C、如果收敛，则必定收敛D、如果收敛，则必定收敛6、设对一切有，，，则（）A、0B、C、2D、4二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、已知时，与是等级无穷小，则8、若，且在处有定义，则当时，在处连续.9、设在上有连续的导数且，，则10、设，，则11、设，12、.其中为以点、、为顶点的三角形区域.三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、计算.14、若函数是由参数方程所确定，求、.15、计算.16、计算.17、求微分方程的通解.18、将函数展开为的幂函数（要求指出收敛区间）.19、求过点且与二平面、都平行的直线方程.20、设其中的二阶偏导数存在，求、.四、证明题（本题满分8分）.21、证明：当时，.五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）22、已知曲线过原点且在点处的切线斜率等于，求此曲线方程.23、已知一平面图形由抛物线、围成.（1）求此平面图形的面积；（2）求此平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积.24、设，其中是由、以及坐标轴围成的正方形区域，函数连续.（1）求的值使得连续；（2）求.20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、若，则（）A、 B、 C、 D、2、已知当时，是的高阶无穷小，而又是的高阶无穷小，则正整数（）A、1 B、2 C、3 D、43、设函数，则方程的实根个数为（）A、1 B、2 C、3 D、44、设函数的一个原函数为，则（）A、 B、 C、D、5、设，则（）A、B、C、D、6、下列级数收敛的是（）A、 B、 C、 D、二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、设函数，在点处连续，则常数8、若直线是曲线的一条切线，则常数9、定积分的值为10、已知，均为单位向量，且，则以向量为邻边的平行四边形的面积为11、设，则全微分12、设为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限.14、设函数由方程确定，求、.15、求不定积分.16、计算定积分.17、设其中具有二阶连续偏导数，求.18、求微分方程满足初始条件的特解.19、求过点且垂直于直线的平面方程.20、计算二重积分，其中.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）21、设平面图形由曲线（）及两坐标轴围成.（1）求该平面图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积；（2）求常数的值，使直线将该平面图形分成面积相等的两部分.22、设函数具有如下性质：（1）在点的左侧临近单调减少；（2）在点的右侧临近单调增加；（3）其图形在点的两侧凹凸性发生改变.试确定，，的值.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、设，证明：.24、求证：当时，.20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、设函数在上有定义，下列函数中必为奇函数的是（）A、 B、C、 D、2、设函数可导，则下列式子中正确的是（）A、 B、C、 D、3、设函数，则等于（）A、 B、 C、 D、4、设向量，，则等于（）A、（2，5，4） B、（2，－5，－4） C、（2，5，－4） D、（－2，－5，4）5、函数在点（2，2）处的全微分为（）A、 B、 C、 D、6、微分方程的通解为（）A、 B、C、 D、二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、设函数，则其第一类间断点为.8、设函数在点处连续，则＝.9、已知曲线，则其拐点为.10、设函数的导数为，且，则不定积分＝.11、定积分的值为.12、幂函数的收敛域为.三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限：14、设函数由参数方程所决定，求15、求不定积分：.16、求定积分：.17、设平面经过点A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，5），求经过点P（1，2，1）且与平面垂直的直线方程.18、设函数，其中具有二阶连续偏导数，求.19、计算二重积分，其中D是由曲线，直线及所围成的平面区域.20、求微分方程的通解.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）21、求曲线的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值.22、设平面图形由曲线，与直线所围成.（1）求该平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积.（2）求常数，使直线将该平面图形分成面积相等的两部分.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、设函数在闭区间上连续，且，证明：在开区间上至少存在一点，使得.24、对任意实数，证明不等式：.20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、已知，则常数的取值分别为（）A、B、C、D、2、已知函数，则为的A、跳跃间断点 B、可去间断点C、无穷间断点D、震荡间断点3、设函数在点处可导，则常数的取值范围为（）A、 B、 C、 D、4、曲线的渐近线的条数为（）A、1 B、2 C、3 D、45、设是函数的一个原函数，则（）A、 B、 C、 D、6、设为非零常数，则数项级数（）A、条件收敛 B、绝对收敛C、发散D、敛散性与有关二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、已知，则常数.8、设函数，则＝.9、已知向量，，则与的夹角为.10、设函数由方程所确定，则＝.11、若幂函数的收敛半径为，则常数.12、微分方程的通解为.三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限：14、设函数由参数方程所确定，，求.15、求不定积分：.16、求定积分：.17、求通过直线且垂直于平面的平面方程.18、计算二重积分，其中.19、设函数，其中具有二阶连续偏导数，求.20、求微分方程的通解.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）21、已知函数，试求：（1）函数的单调区间与极值；（2）曲线的凹凸区间与拐点；（3）函数在闭区间上的最大值与最小值.22、设是由抛物线和直线所围成的平面区域，是由抛物线和直线及所围成的平面区域，其中.试求：（1）绕轴旋转所成的旋转体的体积，以及绕轴旋转所成的旋转体的体积.（2）求常数的值，使得的面积与的面积相等.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、已知函数，证明函数在点处连续但不可导.24、证明：当时，.20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1.设当时，函数与是等价无穷小，则常数的值为()A.B.C.D.2.曲线的渐近线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条3.设函数，则函数的导数等于()A.B.C.D.4.下列级数收敛的是()A.B.C.D.5.二次积分交换积分次序后得()A.B.C.D.6.设，则在区间内()A.函数单调增加且其图形是凹的B.函数单调增加且其图形是凸的C.函数单调减少且其图形是凹的D.函数单调减少且其图形是凸的二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7.8.若，则9.定积分的值为10.设，若与垂直，则常数11.设函数，则12.幂级数的收敛域为三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限14、设函数由方程所确定，求15、求不定积分16、计算定积分17、求通过点，且与直线垂直，又与平面平行的直线的方程。18、设，其中函数具有二阶连续偏导数，求19、计算二重积分，其中D是由曲线，直线及轴所围成的闭区域。20、已知函数和是二阶常系数齐次线性微分方程的两个解，试确定常数的值，并求微分方程的通解。四、证明题（每小题9分，共18分）21、证明：当时，22、设其中函数在处具有二阶连续导数，且，证明：函数在处连续且可导。五、综合题（每小题10分，共20分）23、设由抛物线，直线与y轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为，由抛物线，直线与直线所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为，另，试求常数的值，使取得最小值。24、设函数满足方程，且，记由曲线与直线及y轴所围平面图形的面积为，试求20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、C2、D3、B4、D5、A6、27、，其中、为任意实数8、 9、 10、11、 12、13、是第二类无穷间断点；是第一类跳跃间断点；是第一类可去间断点.14、115、16、17、，.18、解：原式19、解：“在原点的切线平行于直线”即又由在处取得极值，得，即，得故，两边积分得，又因曲线过原点，所以，所以20、，21、（1）；（2）；（3），22、.23、由拉格朗日定理知：，由于在上严格单调递减，知，因，故.24、解：设每月每套租金为，则租出设备的总数为，每月的毛收入为：，维护成本为：.于是利润为：比较、、处的利润值，可得，故租金为元时利润最大.20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案01－05、ACABD 06－10、CBABB11、112、，13、014、15、16、17、118、，19、解：令，则时，时，，所以20、原式21、22、23、（1）（2）24、（1）（2）25、证明：，因为，所以是偶函数，我们只需要考虑区间，则，.在时，，即表明在内单调递增，所以函数在内严格单调递增；在时，，即表明在内单调递减，又因为，说明在内单调递增.综上所述，的最小值是当时，因为，所以在内满足.26、（1）设生产件产品时，平均成本最小，则平均成本，（件）（2）设生产件产品时，企业可获最大利润，则最大利润，.此时利润（元）.20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、B2、C3、D4、C5、D6、B7、B8、C9、10、11、012、 13、原式14、15、16、原式 17、18、、19、是的间断点，，是的第一类跳跃间断点.20、21、（i）切线方程：； （ii）（iii）22、证明：令，，，因为在内连续，故在内至少存在一个实数，使得；又因为在内大于零，所以在内单调递增，所以在内犹且仅有一个实根.23、解：设圆柱形底面半径为，高位，侧面单位面积造价为，则有由（1）得代入（2）得：令，得：；此时圆柱高.所以当圆柱底面半径，高为时造价最低.24、解：，，，…，，，，…，，收敛区间25、解：对应特征方程，、，所以，因为不是特征方程的根，设特解方程为，代入原方程，解得：.20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、A2、B3、C4、B5、A6、D7、8、 9、 10、11、 12、13、间断点为，，当时，，为可去间断点；当，，时，，为第二类间断点.14、原式.15、代入原方程得，对原方程求导得，对上式求导并将、代入，解得：.16、因为的一个原函数为，所以，17、18、；19、原式20、，21、证明：令，故，证毕.22、等式两边求导的即且，，，，，，所以，由，解得，23、设污水厂建在河岸离甲城公里处，则，，解得（公里），唯一驻点，即为所求.20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、A2、C3、D4、A5、A6、C7、28、9、10、511、12、13、因为在处连续，所以，，，故.14、，.15、原式.16、原式17、，18、，，平面点法式方程为：，即.19、，收敛域为.20、，通解为 因为，，所以，故特解为.21、证明：令，，且，，，由连续函数零点定理知，在上至少有一实根.22、设所求函数为，则有，，.由，得，即.因为，故，由，解得.故，由，解得.所求函数为：.23、（1）（2）24、