考研数学二模拟375

一、选择题：下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．设{an}、{bn}、{cn}均为非负数列，且，则必有______．A．an＜bn对任意n成立B．bn＜cn对任意n成立C．极限不存在D．极限不存在2．已知函数f(x)具有任意阶导数，且f'(x)=[f(x)]2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数f(n)(x)是______．A．n![f(x)]n+1B．n[f(x)]n+1C．[f(x)]2nD．n![f(x)]3．已知设F(x)=，则F(x)为______．4．当x→1时，函数的极限______．A．等于0B．等于1C．为∞D．不存在但不为∞5．设函数f(u)可导，y=f(x2)，当自变量x在x=-1处取得增量△x=-0．1时，相应的函数增量△y的线性主部为0．1，则f'(1)=______．A．-1B．0．1C．1D．0．56．曲线的渐近线有______．A．1条B．2条C．3条D．4条7．设F(x)=，则F(x)______．A．为正常数B．为负常数C．恒为零D．不为常数8．设函数f(x)在[0，1]上f"(x)＞0，则f'(0)，f'(1)，f(1)-f(0)或f(0)-f(1)的大小顺序是______．A．f'(1)＞f'(0)＞f(1)-f(0)B．f'(1)＞f(1)-f(0)＞f'(0)C．f(1)-f(0)＞f'(1)＞f'(0)D．f'(1)＞f(0)-f(1)＞f'(0)二、填空题：请将答案写在指定位置上．9．若在(-∞，+∞)上连续，则a=______．10．设函数y=y(x)由参数方程所确定，则=______．11．=______.12．微分方程的通解是______．13．设函数y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)向上凸的x取值范围为______．14．曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在点(0，1)处的切线方程为______．三、解答题：请将解答写在指定的位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知，求常数a．16．设函数y=y(x)由方程xef(y)=ey确定，其中f具有二阶导数，且17．求微分方程(y-x3)dx-2xdy=0的通解．18．计算不定积分19．求微分方程y"+y=x+cosx的通解．20．设f(x)在[0，1]上连续且递减，证明：当0＜λ＜1时，21．已知曲线L的方程为(1)讨论L的凹凸性；(2)过点(-1，0)引L的切线，求切点(x0，y0)，并写出切线的方程；(3)求此切线与L(对应于x≤x0的部分)及x轴所围成的平面图形的面积．22．过点P(1，0)作抛物线的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形．求此平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积．23．设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x,y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1．求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值．参考答案与解析一、选择题1．[考点提示]数列的极限．[解题分析]由题设，及知，当n充分大时，an＜bn但对任意n，an＜bn不一定成立，从而可排除A．同理ba＜cn对任意n也不一定成立，因此B也可排除．假设an，则，且，因此C也不成立．关于D，由于，所以极限不存在．综上，选D．2．[考点提示]可先求出一阶、二阶、三阶导数，再找出一般性的规律．[解题分析]由f'(x)=[f(x)]2，有f"(x)=2f(x)f'(x)=2f(x)[f(x)]2=2![f(x)]3(x)=2!·3[f(x)]2f'(x)=3![f(x)]4．一般地，用数学归纳法，有f(n)(x)=n![f(x)n+1]．故应选A．3．[考点提示]根据x的取值范围和积分的可加性，分段讨论积分即可．[解题分析]当0≤x＜1时，当1≤x≤2时故有故应选D．[评注]本题主要考查分段函数的变限积分．4．[考点提示]本题的关键是注意[解题分析]因为，故有可见,不存在但不为∞．[评注]等均是极限不存在的情形．遇此情形一般应通过左、右极限进行讨论．5．[考点提示]增量与微分．[解题分析]由于增量的线性主部等于函数的微分，因此由题设．写出△y=△f(x2)=2xf'(x2)△x+o(△x)，将x=-1，△x=-0．1代入，得△y｜x=-1=-2f'(1)△x+o(△x)=0．2f'(1)+o(△x)=0．1+o(△x)，所以0.2f'(1)=0．1，f'(1)=．选D．6．[考点提示]利用渐近线的定义，求极限便得渐近线．[解题分析]因为可知此曲线有一条水平渐近线．又故，可知此曲线有一条铅直渐近线．但x→1和x→-2，均有有限极限．因此曲线共有两条渐近线．[评注]渐近线有水平、铅直和斜渐近线三种．若函数是由一个表达式给出，一般水平与斜渐近线不共存．7．[考点提示]周期函数、定积分．[解题分析]由题设，被积函数f(x)=esinx·sinx具有周期2π，所以8．[考点提示]函数单调性．[解题分析]由f"(x)＞0，知．f'(x)单调增加．而f(1)-f(0)涉及到两点的函数值之差，自然联想到用拉格朗日中值定理．[详解]由f"(x)＞0知，f'(x)单调增加，又由微分中值定理，有f(1)-f(0)=f'(ξ)(1-0)(0＜ξ＜1)，根据f'(0)＜f'(ξ)＜f'(1)知，f'(0)＜f(1)-f(0)＜f'(1)．故应选B．[评注]涉及到两点的函数值之差，一般用微分中值定理．二、填空题9．[考点提示]极限中常数的确定．[解题分析]因为当x≠0时，初等函数有定义，因而连续．在x=0处，利用于是a=-2.10．[考点提示]参数方程的导数．[解题分析]因为于是11．[考点提示]本题是无穷限的广义积分，用分部积分法和形式上的牛顿-莱布尼兹公式即可．[解题分析][评注]无穷限广义积分的计算同普通定积分类似．也可作变量代换和进行分部积分，可应用牛顿-莱布尼兹公式．但对广义积分进行加减运算时，应十分小心．因为此时有可能是不成立的．12．[考点提示]一阶微分方程的通解．[解题分析]微分方程是可变量分离的一个方程，分离变量得积分得ln｜y｜=ln｜x｜-x+C1，即所以，原方程的通解为y=Cxe-x，C为任意常数．13．[考点提示]参数方程求导、曲线上凸．[解题分析]由题设，则令即t＜0．又由已知x=x3+3t+1，则，从而x=x(t)是严格单调递增的，且x(0)=1，所以t＜0等价于x＜1，此即所求x的取值范围．注：当t≤0时，x≤1．14．[考点提示]曲线的切线方程．[解题分析]先求曲线在点(0，1)处切线的斜率，即隐函数求导．对曲线方程两边求导数，得将点(0，1)代入上述方程可得1+y'(0)-1=1，即y'(0)=1．故切线方程为y-1=x，即y=x+1．三、解答题15．[考点提示]极限中常数的确定．[解题分析]由，有2a=ln9,于是a=ln3.16．[考点提示]本题可先取对数再求导，也可直接按隐函数求导．[解题分析][详解1]方程两边取自然对数，得lnx+f(y)=y．对x求导，得从而故[详解2]在等式xef(y)=ey两边对x求导，得ef(y)+xef(y)f'(y)y'=eyy'，从而y"的求法同详解1．17．[考点提示]微分方程的通解．[解题分析]先化为一阶线性微分方程的标准形式：由一阶线性微分方程的通解公式，得18．[考点提示]用分部积分法来求不定积分．[解题分析]被积函数为反二三角函数与幂函数的乘积，因此采用分部积分法，将反三角函数看作u.注意[详解1][详解2]令arctanx=u，则x=tanu，dx=sec2udu，因此[评注]根据被积函数的类型，选择适当的积分方法是解题的关键．19．[考点提示]本题应注意方程的右端为两项之和，因此由叠加原理，方程y"+y=x+cosx的特解为方程y"+y=x的特解与方程y"+y=cosx的特解之和．[解题分析]方程y"+y=x+cosx对应的齐次方程的特征方程为λ2+1=0，特征根为λ1.2=±i，故对应的齐次方程通解为C1cosx+C2sinx．方程y"+y=x的特解可设为，代入方程得A=1，B=0，于是．方程y"+y=cosx的特解可设为=x(Ccosx+Dsinx)，代入方程得C=0，D=，于是所以原方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+x+xsinx．20．[考点提示]利用函数的单调性及积分中值定理．[解题分析][详解1]因f(x)在[0，1]上连续，南定积分的可加性和积分中值定理，知又0＜λ＜1，f(x)在[0，1]上递减，则0＜1-λ＜1，f(ξ)＞f(η)，因此λ(1-λ)[f(ξ)-f(η)]≥0，故[详解2]设，则F(1)=F(0)=0．因f(x)在[0，1]上连续，由积分中值定理知，存在ξ∈(0，1)，使于是F'(λ)=f(λ)-f(ξ)．又f(x)在[0，1]上递减，因此，当λ＞ξ时，F'(λ)＜0，即F(λ)＞F(1)=0；当λ≤ξ时，F'(λ)≥0，即F(λ)≥F(0)=0．所以，当λ∈(0，1)时，21．[考点提示]切线方程、平面图形的面积．[解题分析](1)先求由已知，代入y得y=．于是所以曲线L是凸的．(2)设L上切点(x0，y0)处的切线方程是令x=-1．y=0，则有再令，得即+t0-2=0.解得t0=1，t0=-2(不合题意)．所以切点是(2，3)，相应的切线方程是：y=3+(x-2)，即y=x+1．(3)切点为(x0，y0)的切线与L及x轴所围成的平面图形如图所示，则所求平面图形的面积为22．[考点提示]先求切点，然后求切线方程，最后用旋转体的计算公式得旋转体体积．[解题分析]设所作切线与抛物线相切于点(),在此点处的切线斜率为于是，切线方程为将点P(1，0)的坐标x=1，y=0代入切线方程中，解得x0=3．因此切线方程为y=，故所求旋转体的体积[评注]本题综合考查了导数的几何应用和定积分的几何应用．23．[考点提示]曲率、二阶微分方程．[解题分析]由题设，由线上凸，