人教A版高中数学（选择性必修三）同步讲义第15讲 7.1.1 条件概率（原卷版）

第01讲第01讲7.1.1条件概率课程标准学习目标①结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式。②了解条件概率与独立性的关系。③能计算简单的随机事件的条件概率。1.通过本节课的学习，要求会判断条件概率，掌握条件概率的基本求法，能解决与条件概率相关的问题；知识点01：条件概率（1）一般地，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为两个随机事件，且SKIPIF1<0，我们称SKIPIF1<0为在事件SKIPIF1<0发生的条件下，事件SKIPIF1<0发生的条件概率，简称条件概率．①一般地，每个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是指随机试验结果的部分信息已知（即在原试验条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率.②事件SKIPIF1<0在“事件SKIPIF1<0已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件下的概率在很多情况下是不同的.③当题目涉及“在…前提下”等字眼时，一般为条件概率.若题目没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率.④在条件概率的定义中，要强调SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时，不能用这一方法定义事件SKIPIF1<0发生的条件下，事件SKIPIF1<0发生的概率.（2）特别说明：①计算条件概率时，SKIPIF1<0表示事件SKIPIF1<0和SKIPIF1<0同时发生的概率，不能随便用事件SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0代替SKIPIF1<0；②在条件概率的表示中，“SKIPIF1<0”之后的部分表示条件；③SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的意义不同，SKIPIF1<0表示在事件SKIPIF1<0发生的条件下事件SKIPIF1<0发生的概率，而SKIPIF1<0是指在事件SKIPIF1<0发生的条件下事件SKIPIF1<0发生的概率；④SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的区别：二者的样本空间不一样，前者的样本空间为“原试验结果”，后者的样本空间为“在原试验条件下，再加上事件SKIPIF1<0发生的条件”，一般地，SKIPIF1<0.知识点02：乘法公式由条件概率的定义，对任意两个事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．我们称上式为概率的乘法公式．【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题意，知SKIPIF1<0.故选：C.知识点03：条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设SKIPIF1<0，则①SKIPIF1<0；②如果SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是两个互斥事件，则SKIPIF1<0；③设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互为对立事件，则SKIPIF1<0．④任何事件的条件概率都在0和1之间，即：SKIPIF1<0.知识点04：事件的相互独立性（1）事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0相互独立：对任意的两个事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0,如果SKIPIF1<0成立，则称事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0相互独立，简称为独立.（2）性质：若事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0相互独立，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0也都相互独立，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.（3）易混淆“相互独立”和“事件互斥”两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥.题型01条件概率的求法【典例1】（2024·福建漳州·统考模拟预测）甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四个社区中随机选择一个社区，设事件SKIPIF1<0为“甲和乙至少一人选择了SKIPIF1<0社区”，事件SKIPIF1<0为“甲和乙选择的社区不相同”，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为SKIPIF1<0，下雨的概率为SKIPIF1<0，既刮风又下雨的概率为SKIPIF1<0.记事件SKIPIF1<0为“8月份某天刮风”，事件SKIPIF1<0为“8月份某天下雨”，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2024·全国·高三专题练习）已知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到的是黑球的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例4】（2024·全国·高三专题练习）盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，10个是F型玻璃球．E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是E型玻璃球的概率是多少？【变式1】（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）小张､小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2024上·江苏泰州·高三统考期末）袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为.【变式3】（2024·广东肇庆·校考模拟预测）一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的9个球，其中黄球4个，蓝球3个，绿球2个，现从盒子中随机取出两个球，记事件SKIPIF1<0“取出的两个球颜色不同”，记事件SKIPIF1<0“取出一个蓝球，一个绿球”，则SKIPIF1<0.题型02乘法公式的应用【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023上·上海·高二上海市行知中学校考阶段练习）一个盒子中装有2个红球，8个黑球，从中不放回地任取1个小球，则第二次才取出红球的概率是.【典例3】（2024·全国·高三专题练习）某厂产品的废品率为4%，而合格品中有75%是一等品，求一等品率．【变式1】（2024·全国·高二假期作业）设A，B是两个事件，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【变式3】（2024·全国·高三专题练习）玛丽想在网上购买一款品牌手机，客服承诺该品牌手机从1m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，玛丽想如果手机从1m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率大于0.2就可以购买，否则放弃．请你用所学的概率知识帮玛丽做一下决策．题型03条件概率的性质及应用【典例1】（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为任意两个事件，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列选项必成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（多选）（2024·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是一个随机试验中的两个事件，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（多选）（2024上·辽宁沈阳·高二沈阳市第八十三中学校联考期末）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和SKIPIF1<0道填空题)，不放回地依次随机抽取SKIPIF1<0道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第SKIPIF1<0次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】（2024·全国·高二假期作业）下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0是可能的C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（多选）（2024·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为随机事件SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对立事件，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【变式3】（2024·全国·高三专题练习）设某种灯管使用了500h还能继续使用的概率是0.94，使用到700h后还能继续使用的概率是0.87，问已经使用了500h的灯管还能继续使用到700h的概率是多少？A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024上·陕西汉中·高二统考期末）袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为（

）A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.62．（2024·全国·高三专题练习）某工厂生产了一批产品，需等待检测后才能销售.检测人员从这批产品中随机抽取了5件产品来检测，现已知这5件产品中有3件正品，2件次品，从中不放回地取出产品，每次1件，共取两次.已知第一次取得次品，则第二次取得正品的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2024·全国·高三专题练习）掷一个均匀的骰子．记SKIPIF1<0为“掷得点数大于SKIPIF1<0”，SKIPIF1<0为“掷得点数为奇数”，则SKIPIF1<0为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2024上·全国·高三期末）某校举办中学生乒乓球运动会，高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛，并从中随机选取3人组成代表队参赛，在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2024·全国·高二假期作业）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0.02 B．0.03C．0.04 D．0.056．（2024·全国·高二假期作业）核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（

）A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995%7．（2024·全国·高三专题练习）某学校安排音乐､阅读､体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲､乙､丙､丁4位同学每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2024上·山东潍坊·高二昌乐二中校考期末）已知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0独立，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题9．（2024上·全国·高三期末）已知随机事件SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．不可能事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0互斥B．必然事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0相互独立C．SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<010．（2024·全国·高二假期作业）某气象台统计，该地区不下雨的概率为SKIPIF1<0；刮四级以上风的概率为SKIPIF1<0，既刮四级以上的风又下雨的概率为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为下雨，SKIPIF1<0为刮四级以上的风，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题11．（2024·全国·高三专题练习）抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，则P（B|A）＝；P（A|B）＝.12．（2024·广东肇庆·统考模拟预测）小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是.四、解答题13．（2024上·河南南阳·高二统考期末）一个袋子里放有除颜色外完全相同的2个白球、3个黑球.(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求两个小球颜色不同的概率；(2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求在第1次摸到的是黑球的条件下，第2次摸到的是黑球的概率.14．（2024下·全国·高二随堂练习）已知某大学数学专业二年级的学生中，是否有自主创业打算的情况如下表所示．男生/人女生/人有自主创业打算1615无自主创业打算6460从这些学生中随机抽取一人：(1)求抽到的人有自主创业打算的概率；(2)求抽到的人是女生的概率；(3)若已知抽到的人是女生，求她有自主创业打算的概率；(4)判断“抽到的人是女生”与“抽到的人有自主创业打算”是否独立．B能力提升1．（多选）（2023下·河北·高二校联考阶段练习）设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为随机事件，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0可能不相互独立B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF