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文档简介
第04讲6.3.1二项式定理+6.3.2二项式系数的性质课程标准学习目标①理解二项式定理的概念,会用二项式定理求解二项展开式。②掌握二项式系数的规律和指数的变化规律。③掌握多项式展开式的通项及特殊项或系数。④理解二项式系数的性质。⑤会用赋值法求展开式系数的和。1.要求能运用二项式定理求解二项展开式;2.会求展开式中的二项式系数,特殊项及特殊项系数;3.能用待定法求展开式中的待定系数.能解决与二项式定理相关的综合问题;4.能理解二项式系数的性质;5.掌握二项式系数的增减性,灵活应用赋值法求二项展开式各项系数和.知识点01:知识链接(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0知识点02:二项式定理及相关概念(1)二项式定理一般地,对于每个SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0个,将它们合并同类项,就可以得到二项展开式:SKIPIF1<0(SKIPIF1<0).这个公式叫做二项式定理.(2)二项展开式公式中:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0等号右边的多项式叫做SKIPIF1<0的二项展开式.【即学即练1】(2023上·高二课时练习)用二项式定理展开下列各式:(1)SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(3)二项式系数与项的系数二项展开式中各项的二项式系数为SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.【即学即练2】(2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习)在二项式SKIPIF1<0的展开式中,二项式系数最大的是(
)A.第3项 B.第4项C.第5项 D.第3项和第4项【答案】B【详解】二项式SKIPIF1<0的展开式共有7项,则二项式系数最大的是第4项.故选:B.【即学即练3】(2023上·天津滨海新·高三塘沽二中校考阶段练习)若SKIPIF1<0的二项展开式中所有二项系数的和等于SKIPIF1<0,则在的展开式中,SKIPIF1<0的系数是.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0的二项展开式中所有二项系数的和等于SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0展开式的通项为SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0),令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.(4)二项式定理的三种常见变形①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0知识点03:二项展开式的通项二项展开式中的SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)叫做二项展开式的通项,用SKIPIF1<0表示,即通项为展开式的第SKIPIF1<0项:SKIPIF1<0.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用.知识点04:二项式系数的性质①对称性:二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等:SKIPIF1<0②增减性:当SKIPIF1<0时,二项式系数递增,当SKIPIF1<0时,二项式系数递减;③最大值:当SKIPIF1<0为奇数时,最中间两项二项式系数最大;当SKIPIF1<0为偶数时,最中间一项的二项式系数最大.④各二项式系数和:SKIPIF1<0;奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等:SKIPIF1<0【即学即练4】(2023·全国·高三专题练习)已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,则该展开式各项的二项式系数和为(
)A.81 B.64 C.27 D.32【答案】D【详解】SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,∴该展开式各项的二项式系数和为SKIPIF1<0.故选:D【即学即练5】(2023上·辽宁沈阳·高二校考阶段练习)若SKIPIF1<0展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为.【答案】15【详解】因为SKIPIF1<0展开式的二项式系数之和为64,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以二项式为SKIPIF1<0,所以第SKIPIF1<0项展开式为SKIPIF1<0,若求常数项,则令SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即常数项为15.故答案为:15.题型01求SKIPIF1<0型的展开式【典例1】(2023下·北京通州·高二统考期中)二项式SKIPIF1<0的展开式为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【典例2】(2023上·高二课时练习)求SKIPIF1<0的二项展开式.【典例3】(2023·全国·高二专题练习)利用二项式定理展开下列各式:(1)SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0.【变式1】(2023·全国·高二课堂例题)写出SKIPIF1<0的展开式.【变式2】(2023·全国·高二专题练习)求SKIPIF1<0的展开式.题型02二项展开式的逆用【典例1】(2023下·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中)SKIPIF1<0(
).A.1 B.-1C.(-1)n D.3n【典例2】(2023下·上海浦东新·高二校考期中)SKIPIF1<0.【典例3】(2023上·高二课时练习)化简SKIPIF1<0.【变式1】(2023上·高二课时练习)化简:设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.【变式2】(2023下·安徽合肥·高二统考期末)已知SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的值为.【变式3】(2023·辽宁大连·育明高中校考一模)SKIPIF1<0的值是.题型03二项展开式中的特定项或特定系数问题【典例1】(2023·四川南充·统考一模)二项式SKIPIF1<0的展开式中常数项为(
)A.SKIPIF1<0 B.60 C.210 D.SKIPIF1<0【典例2】(2023下·山东济宁·高二统考期中)SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数是(
)A.126 B.125 C.96 D.83【典例3】(2023·西藏拉萨·统考一模)二项式SKIPIF1<0的展开式中的第3项为(
)A.160 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【典例4】(2023上·高二课时练习)SKIPIF1<0的展开式的第3项的系数为;常数项为.【变式1】(2023上·北京东城·高三景山学校校考阶段练习)二项式SKIPIF1<0的展开式中常数项为.(用数字作答)【变式2】(2023·山西临汾·校考模拟预测)SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的项的系数是.(用数字作答)【变式3】(2023下·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习)二项式SKIPIF1<0展开式中的含SKIPIF1<0项的系数为.【变式4】(2023下·江苏镇江·高二统考期中)在SKIPIF1<0展开式中,SKIPIF1<0项的系数为.题型04三项展开式中的特定项或特定系数问题【典例1】(2023下·河北邢台·高二统考期末)SKIPIF1<0展开式中的常数项为(
)A.6 B.15 C.20 D.28【典例2】(2023·广东广州·统考模拟预测)SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为(用数字作答).【典例3】(2023上·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试)SKIPIF1<0展开式中含SKIPIF1<0项的系数为.【变式1】(2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模)在SKIPIF1<0的展开式中,记SKIPIF1<0项的系数为SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的值为.【变式2】(2023上·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习)SKIPIF1<0展开式中,SKIPIF1<0项的系数为.【变式3】(2023下·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习)SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0项的系数为.题型05几个二项式的和或积的展开式中的特定项或特定系数问题【典例1】(2023上·江西宜春·高二校考阶段练习)SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为(
)A.SKIPIF1<0 B.7 C.77 D.SKIPIF1<0【典例2】(2023·安徽·校联考模拟预测)二项式SKIPIF1<0的展开式中,所有项系数和为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的系数为(用数字作答).【典例3】(2023上·全国·高三专题练习)SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的项的系数为.【典例4】(2023·天津·高三专题练习)若SKIPIF1<0的展开式中所有项的系数和为SKIPIF1<0,则展开式中SKIPIF1<0的系数为.【变式1】(2023·全国·模拟预测)SKIPIF1<0的展开式中常数项为.(用数字作答)【变式2】(2023下·山东临沂·高二统考期中)已知SKIPIF1<0,若其展开式中各项的系数和为81,则SKIPIF1<0.【变式3】(2023·江苏·统考模拟预测)已知SKIPIF1<0的展开式中所有项的系数之和为81,则展开式中含SKIPIF1<0的项的系数为.【变式4】(2023·全国·模拟预测)已知SKIPIF1<0的二项展开式中,偶数项的二项式系数之和为16,则展开式中SKIPIF1<0的系数为.题型06二项式系数最大项问题【典例1】(2023·四川绵阳·统考二模)SKIPIF1<0展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则n的值为(
)A.8 B.7 C.6 D.5【典例2】(2023下·广西防城港·高二防城港市高级中学校考期中)已知二项式SKIPIF1<0的展开式中仅有第4项的二项式系数最大,则SKIPIF1<0.【典例3】(2023上·高二课时练习)(1)已知SKIPIF1<0的展开式中第SKIPIF1<0项和第SKIPIF1<0项的二项式系数相等,求SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0的二项式系数的最大值是多少?【变式1】(2023下·陕西宝鸡·高二统考期末)若SKIPIF1<0的展开式中第3项与第9项的系数相等,则展开式中二项式系数最大的项为(
)A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项【变式2】(2023下·辽宁沈阳·高二沈阳市第十五中学校考阶段练习)SKIPIF1<0的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则第四项为.【变式3】(2023上·高二课时练习)若SKIPIF1<0的展开式中,SKIPIF1<0的系数是x的系数的7倍,求n的值及二项式系数的最大值.题型07系数最大(小)项问题【典例1】(2023上·全国·高三阶段练习)已知SKIPIF1<0的展开式中唯有第5项的系数最大,则a的取值范围是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【典例2】(2023·上海嘉定·统考一模)已知SKIPIF1<0的二项展开式中系数最大的项为.【典例3】(2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测)SKIPIF1<0的二项展开式中系数最大的项为.【典例4】(2023上·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习)(1)若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的值;(2)在SKIPIF1<0的展开式中,①求二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项是第几项;【变式1】(2023·河南安阳·统考二模)SKIPIF1<0的展开式中各项系数的最大值为(
).A.112 B.448 C.896 D.1792【变式2】(2023上·上海·高三上海市宜川中学校考期中)二项式SKIPIF1<0的展开式中,系数最大的项为.【变式3】(2023下·江苏南通·高二江苏省通州高级中学校考阶段练习)已知SKIPIF1<0的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2:5.(1)求n的值;(2)系数最大的项.【变式4】(2023下·四川雅安·高二校考阶段练习)(1)若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的值;(2)在SKIPIF1<0的展开式中,①求二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项是第几项?题型08赋值法解决系数和问题【典例1】(2023上·四川攀枝花·高二统考期末)从①第4项的系数与第2项的系数之比是SKIPIF1<0;②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36;这两个条件中任选一个,再解决补充完整的题目.已知SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),且SKIPIF1<0的二项展开式中,____.(1)求SKIPIF1<0的值;(2)①求二项展开式的中间项;②求SKIPIF1<0的值.【典例2】(2023下·山东济南·高二校考阶段练习)已知SKIPIF1<0,求:(1)SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0.【典例3】(2023上·高二课时练习)设SKIPIF1<0.求:(1)SKIPIF1<0的值;(2)SKIPIF1<0的值;(3)SKIPIF1<0的值.【典例4】(2023下·江苏·高二校联考阶段练习)若SKIPIF1<0,求下列各式的值.(1)SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0;(3)SKIPIF1<0.【变式1】(2023上·上海·高二上海市第二中学校考阶段练习)若SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值;(2)求SKIPIF1<0的值;(3)求SKIPIF1<0的值.【变式2】(2023上·高二单元测试)已知SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0;(2)求SKIPIF1<0;(3)求SKIPIF1<0.【变式3】(2023下·河北保定·高二校考阶段练习)设设SKIPIF1<0十SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值;(2)求SKIPIF1<0的值;(3)求SKIPIF1<0的值.【变式4】(2023下·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末)已知SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值;(2)求SKIPIF1<0的值.题型09有关整除或求余问题【典例1】(2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末)设SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0能被7整除,则SKIPIF1<0(
)A.-4 B.-5 C.-6 D.-7【典例2】(2023上·山东·高二校联考阶段练习)SKIPIF1<0被8除的余数为(
)A.1 B.3 C.5 D.7【典例3】(2023下·江苏连云港·高二校考阶段练习)如果今天是星期三,经过7天后还是星期三,那么经过SKIPIF1<0天后是(
)A.星期三 B.星期四 C.星期五 D.星期六【变式1】(2024下·全国·高二随堂练习)设SKIPIF1<0的小数部分为x,则SKIPIF1<0(
)A.1 B.2 C.3 D.4【变式2】(2023上·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习)二项式SKIPIF1<0展开式的各项系数之和被7除所得余数为.【变式3】(2023上·高二课时练习)用二项式定理证明SKIPIF1<0能被8整除.题型10利用二项式定理近似计算【典例1】(2023·江西南昌·统考一模)二项式定理,又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理:对于任意实数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0比较小的时候,取广义二项式定理的展开式的前两项可得:SKIPIF1<0,并且SKIPIF1<0的值越小,所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算SKIPIF1<0的近似值,可以这样操作:SKIPIF1<0SKIPIF1<0,用这样的方法,估计SKIPIF1<0的近似值约为(
)A.2.922 B.2.928 C.2.926 D.2.930【典例2】(2023·江苏·高二专题练习)估算SKIPIF1<0的结果,精确到0.01的近似值为(
)A.30.84 B.31.84 C.30.40 D.32.16【变式1】(2023·全国·高二专题练习)SKIPIF1<0的计算结果精确到0.001的近似值是(
)A.0.930 B.0.931 C.0.932 D.0.933【变式2】(2023·全国·高三专题练习)SKIPIF1<0的计算结果精确到0.01的近似值是.A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1.(2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末)SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的项是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<02.(2023上·湖北黄冈·高三校联考期中)若SKIPIF1<0为一组从小到大排列的数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的第六十百分位数,则二项式SKIPIF1<0的展开式的常数项是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<03.(2023上·江苏·高三校联考阶段练习)在SKIPIF1<0的展开式中,含SKIPIF1<0项的系数为(
)A.SKIPIF1<0 B.20 C.SKIPIF1<0 D.154.(2023下·山东滨州·高二统考期中)若SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为40,则SKIPIF1<0(
)A.2 B.SKIPIF1<0 C.4 D.SKIPIF1<05.(2023上·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末)若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0(
)A.1 B.513 C.512 D.5116.(2023下·四川资阳·高二统考期末)SKIPIF1<0展开式中,系数最大的项是(
)A.第5,6项 B.第6,7项 C.第6项 D.第7项7.(2024上·辽宁·高二辽宁实验中学校联考期末)SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0(
)A.31 B.1023 C.1024 D.328.(2023上·全国·高三阶段练习)已知SKIPIF1<0的展开式中唯有第5项的系数最大,则a的取值范围是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<09.(2023上·甘肃庆阳·高二校考期末)下列说法正确的是(
)A.已知SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0可能取值为6B.已知SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0可能取值为7C.在SKIPIF1<0的二项式展开式中,常数项是84D.在SKIPIF1<0的二项式展开式中,常数项是SKIPIF1<010.(2023上·广东佛山·高三校考阶段练习)若SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0为实数,则(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0三、填空题11.(2024上·全国·高三专题练习)若SKIPIF1<0的展开式中含x的项的系数为60,则SKIPIF1<0的最小值为.12.(2024上·甘肃武威·高三民勤县第一中学校联考开学考试)干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下:天干:甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸地支:子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥把天干与地支按以下方法依次配对:把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”,把第二个天干“乙”与第
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