人教A版高中数学（选择性必修三）同步讲义第10讲 7.2 离散型随机变量及其分布列（教师版）

第03讲7.2离散型随机变量及其分布列课程标准学习目标1.通过具体案例，了解离散型随机变量的概念，理解随机变量的分布列及其性质。2.通过具体案例，了解两点分布的概念及特点。3.会求离散型随机变量的分布列及两点分布列的相关量。通过本节课的学习，要求会求简单应用问题中的离散型随机变量的分布列，能应用分布列的相关性质求问题中的相关量，会应用两点分布的特点解决与两点分布有关的问题知识点01：离散型随机变量（1）随机变量的定义一般地，对于随机试验样本空间SKIPIF1<0中的每个样本点SKIPIF1<0都有唯一的实数SKIPIF1<0与之对应，我们称SKIPIF1<0为随机变量．表示：用大写英文字母表示随机变量，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；用小写英文字母表示随机变量的取值，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：①取值依赖于样本点．②所有可能取值是明确的．（2）随机变量与函数的关系共同点：随机变量和函数都是一种映射区别:随机变量把试验的结果映为实数，函数把实数映为实数联系：试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当与函数的值域；注意：所有随机变量的取值范围的集合叫做随机变量的值域.（3）离散型随机变量的定义对于随机变量可能取的值，如果可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的特征：①可用数值表示；②试验之前可以判断其可能出现的所有值；③试验之前不能确定取何值；④试验结果能一一列出；⑤本章研究的离散型随机变量只取有限个值（4）连续型随机变量的定义随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.知识点02：离散型随机变量的分布列（1）离散型随机变量的分布列的定义一般地，设离散型随机变量SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，我们称SKIPIF1<0取每一个值SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的概率分布列，简称分布列．①解析式法：SKIPIF1<0i,SKIPIF1<0②表格法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0③图象法:（2）离散型随机变量的分布列的性质①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②SKIPIF1<0注意：①.列出随机变量的所有可能取值；②.求出随机变量的每一个值发生的概率.【即学即练1】1．（2024上·辽宁·高二校联考期末）设SKIPIF1<0，随机变量SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<0589SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D知识点03：两点分布对于只有两个可能结果的随机试验,用SKIPIF1<0表示“成功”,

SKIPIF1<0表示“失败”,定义SKIPIF1<0如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的分布列如下所示：SKIPIF1<001SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0我们称SKIPIF1<0服从两点分布或者SKIPIF1<0分布.【即学即练2】（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量SKIPIF1<0的分布列服从两点分布，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0的分布列服从两点分布，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.知识点04：写离散型随机变量的分布列的步骤(1)找：理解并确定SKIPIF1<0的意义，找出随机变量X的所有可能的取值SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)(2)求：借助概率的有关知识求出随机变量X取每一个值的概率SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)注意应用计数原理、古典概型等知识(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质.注意：写出分布列时要注意将SKIPIF1<0化为最简分式形式，但是在利用SKIPIF1<0检验分布列是否正确时可利用化简前的分式结果.题型01随机变量【典例1】（2024·全国·高三专题练习）袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（

）A．取到的球的个数 B．取到红球的个数C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率【答案】B【详解】选项A的取值是一个固定的数字，不具有随机性，故A错误；选项B取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B正确；选项C是一个事件而非随机变量，故C错误；选项D中一个事件的概率值是一个定值而非随机变量，故D错误．故选：B.【典例2】（2024·全国·高二假期作业）将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（）A．两次掷出的点数之和B．两次掷出的最大点数C．第一次与第二次掷出的点数之差D．两次掷出的点数【答案】D【详解】A中，将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．B中，两次掷出的最大点数是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．C中，第一次与第二次掷出的点数是一个变量，且随试验结果的变化而变化，之差也都是随机变量，D中，两次掷出的点数不是一个变量，所以不是随机变量．故选：D.【典例3】（2024·全国·高二假期作业）在下列表述中不是离散型随机变量的是（

）①某机场候机室中一天的旅客数量SKIPIF1<0；

②某寻呼台一天内收到的寻呼次数SKIPIF1<0；③某篮球下降过程中离地面的距离SKIPIF1<0；

④某立交桥一天经过的车辆数X．A．①中的SKIPIF1<0 B．②中的SKIPIF1<0 C．③中的SKIPIF1<0 D．④中的SKIPIF1<0【答案】C【详解】①②④中的随机变量SKIPIF1<0可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的SKIPIF1<0可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故SKIPIF1<0不是离散型随机变量.故选：C【变式1】（2024·全国·高三专题练习）下列叙述中，是离散型随机变量的为（）A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和B．某人早晨在车站等出租车的时间C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数D．袋中有SKIPIF1<0个黑球SKIPIF1<0个红球，任取SKIPIF1<0个，取得一个红球的可能性【答案】C【详解】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为SKIPIF1<0，是常量，A错误；对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确；对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误.故选：C.【变式2】（2024·全国·高二假期作业）5件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（

）A．取到产品的件数 B．取到正品的概率C．取到次品的件数 D．取到次品的概率【答案】C【详解】对于A，5件产品中有3件次品，从中任取2件，取到产品的件数是一个常量不是变量，BD也是一个定值，而C中取到次品的件数可能为0、1、2是随机变量.故选：C【变式3】（2024·全国·高二假期作业）袋中有大小相同质地均匀的5个黑球、3个白球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（

）A．至少取到1个黑球 B．取到黑球的个数C．至多取到1个黑球 D．取到的球的个数【答案】B【详解】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项，其中A、C选项是事件，D选项取到球的个数是2个为确定值，ACD错误；故选：B．题型02分布列及其性质的应用【典例1】（2024·全国·高三专题练习）设某种疫苗试验的失败率是成功率的5倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则SKIPIF1<0等于（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】C【详解】解：根据题意得，“SKIPIF1<0”表示试验失败，“SKIPIF1<0”表示试验成功，成功率为p，失败率为5p，故X的分布列为：X01P5pp所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以失败率为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：C.【典例2】（2024下·全国·高二随堂练习）随机变量ξ的分布列如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D.【典例3】（2024上·吉林·高二校联考期末）随机变量SKIPIF1<0的分布列如下表所示：SKIPIF1<01234SKIPIF1<00.1SKIPIF1<00.3SKIPIF1<0则SKIPIF1<0.【答案】0.7/SKIPIF1<0【详解】由分布列的性质可得，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：0.7【典例4】（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则m的值为.SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】依题意，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不符合题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，符合题意，所以m的值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式1】（2024下·全国·高二随堂练习）设随机变量X的分布列为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：A．【变式2】（多选）（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量X的分布列为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），其中SKIPIF1<0是常数，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．以上均不正确【答案】ABC【详解】根据题意，随机变量SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：ABC.【变式3】（2024上·河南·高二校联考期末）设随机变量SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0，则常数SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.【变式4】（2024·全国·高三专题练习）离散型随机变量SKIPIF1<0的概率分布规律为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是常数，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型03求离散型随机变量的分布列【典例1】（2024·全国·高三专题练习）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．(1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；(2)设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列见解析【详解】（1）从6名老师中选3人的方法种数有：SKIPIF1<0.数学老师多于语文老师的选法有：①1名数学，2名英语的选法：SKIPIF1<0种；②2名数学的选法有：SKIPIF1<0种.所以数学老师多于语文老师的选法有：SKIPIF1<0种.故数学老师多于语文老师的概率为：SKIPIF1<0.（2）由题意，SKIPIF1<0的可能取值为：0，1，2.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<0012SKIPIF1<00.20.60.2【典例2】（2024下·全国·高二随堂练习）一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.2，各部件的状态相互独立．(1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求随机变量X的分布列．【答案】(1)0.28(2)分布列见解析【详解】（1）部件1，2都不需要调整的概率为SKIPIF1<0，则部件1，2中至少有1个需要调整的概率为P＝1－0.72＝0.28；（2）由题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典例3】（2024下·全国·高二随堂练习）某食堂为了了解同学们在高峰期打饭的时间，故安排一名食堂阿姨随机收集了在食堂某窗口打饭的100位同学的相关数据(假设同学们打饭所用时间均为下表列出时间之一)，如下表所示.学生数(人)x25y10打饭时间(秒/人)10152025已知这100位同学的打饭时间从小排到大的第65百分位数为17.5秒．(1)确定x，y的值；(2)若各学生的结算相互独立，记X为该窗口开始打饭至20秒末已经打饭结束的学生人数，求X的分布列．(注：将频率视为概率)【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列见解析【详解】（1）因为第65百分位数为17.5＝SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由已知得打饭时间为10秒的概率为SKIPIF1<0，打饭时间为15秒的概率为SKIPIF1<0，打饭时间为20秒的概率为SKIPIF1<0，打饭时间为25秒的概率为SKIPIF1<0，由题可知X的可能取值为0，1，2，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴分布列如下：X012P0.10.740.16【典例4】（2024·全国·高二假期作业）第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大?(2)如果甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为SKIPIF1<0，求p的值；(3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列．【答案】(1)乙(2)SKIPIF1<0(3)分布列见解析【详解】（1）解：甲进入决赛的概率为SKIPIF1<0，乙进入决赛的概率为SKIPIF1<0，丙进入决赛的概率为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，显然，乙进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大.（2）解：因为甲、乙、丙三人中恰有两队进入决赛的概率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（3）解：由（2）知，丙进入决赛的概率为SKIPIF1<0，所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分布为SKIPIF1<0，根据题意，得到随机变量SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以随机变量SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【变式1】（2024·全国·高三专题练习）学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是SKIPIF1<0.(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；(2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列见解析【详解】（1）设“小明在投篮过程中直到第三次才投中”为事件SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0说明小明前两次没有投中，第三次投中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为SKIPIF1<0.（2）小明在4次投篮后的总得分ξ的可能取值为0，2，4，6，8，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则总得分的分布列为：SKIPIF1<002468SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【变式2】（2024下·全国·高二随堂练习）已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分．每道多选题共有4个选项，正确答案往往为2项或3项.为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为SKIPIF1<0，正确答案是“选三项”的概率为SKIPIF1<0.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜.(1)已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得0分的概率；(2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试写出甲、乙两名学生得分的分布列.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)答案见解析.【详解】（1）某题正确答案是“选两项”的条件下，他不得0分的情况有两种：①只选一个选项得2分的概率为：SKIPIF1<0;②选两个选项，得5分的概率为：SKIPIF1<0;所以某题正确答案是“选两项”的条件下，学生甲不得0分的概率为：SKIPIF1<0;（2）结合题意：设学生甲得分为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0;SKIPIF1<0;学生甲得分的分布列为:SKIPIF1<002SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0设学生乙得分为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0;SKIPIF1<0;SKIPIF1<0;学生乙得分的分布列为:SKIPIF1<002

5SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【变式3】（2024下·全国·高二随堂练习）设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m(1)求随机变量SKIPIF1<0的分布列；(2)求随机变量SKIPIF1<0的分布列.【答案】(1)分布列见解析(2)分布列见解析【详解】（1）由分布列的性质知：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，列表为X01234SKIPIF1<010123即随机变量SKIPIF1<0的可能取值为0，1，2，3，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的分布列为η0123P0.10.30.30.3（2）列表得X01234SKIPIF1<0014916即随机变量SKIPIF1<0的可能取值为0，1，4，9，16.从而SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0014916P0.20.10.10.30.3【变式4】（2024·全国·高二假期作业）某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求SKIPIF1<0的分布列【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列见解析【详解】（1）设事件SKIPIF1<0为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，抽到的2名学生都获一等奖”，则SKIPIF1<0.（2）随机变量SKIPIF1<0的所有可能取值为0，1，2.记事件SKIPIF1<0为“从该地区高一男生中随机抽取1名，该学生获奖”，事件SKIPIF1<0为“从该地区高一女生中随机抽取1名，该学生获奖”.由题设知，事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相互独立，且SKIPIF1<0估计为SKIPIF1<0估计为SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0题型04由随机变量分布列求概率【典例1】（2024·全国·高二假期作业）设离散型随机变量X的概率分布为X01234P0.150.150.150.25m若随机变量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7【答案】A【详解】由0.15＋0.15＋0.15＋0.25＋m＝1，得m＝0.3，所以SKIPIF1<0.故选：A.【典例2】（2024·全国·高二假期作业）一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】令SKIPIF1<0表示前k个球为白球，第SKIPIF1<0个球为红球，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故选：A．【典例3】（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量SKIPIF1<0的分布列为：X123PSKIPIF1<0mSKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】由离散型随机变量SKIPIF1<0的分布列的性质，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【变式1】（2024·全国·高二假期作业）设随机变量X的分布列SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为随机变量X的分布列SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B.【变式2】（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量X的分布列如下表：X0123PaSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若离散型随机变量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由分布列的性质可知：SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，由表可知SKIPIF1<0；故选：A.【变式3】（2024下·全国·高二随堂练习）设随机变量X的分布列如下表：X1234PmSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型05两个相关随机变量的分布列【典例1】（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量SKIPIF1<0服从两点分布，且SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0等于（

）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4【答案】D【详解】当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D【典例2】（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量SKIPIF1<0的分布列如表所示．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)求随机变量SKIPIF1<0的分布列；(2)若SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)分布列见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由随机变量SKIPIF1<0的分布列知，SKIPIF1<0的可能取值为0，1，4，9，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．可得随机变量SKIPIF1<0的分布列如表所示．SKIPIF1<00149SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.∴实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．【变式1】（2024·全国·高二假期作业）随机变量SKIPIF1<0的取值范围是{1，2，3，4，5}，且SKIPIF1<0．则Y的取值范围是．【答案】{3，5，7，9，11}【详解】因为SKIPIF1<0的取值范围是{1，2，3，4，5}，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是{3，5，7，9，11}．故答案为：{3，5，7，9，11}【变式2】（2024·全国·高二假期作业）某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000元，每工作1小时获取30元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X小时，获取的税前月工资为Y元．(1)当SKIPIF1<0时，求Y的值；(2)写出X与Y之间的关系式；(3)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)4300(2)SKIPIF1<0(3)0.4【详解】（1）当SKIPIF1<0时，表示工作了110个小时，所以SKIPIF1<0．（2）由题意得：SKIPIF1<0．（3）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0SKIPIF1<0.题型06两点分布【典例1】（2023上·江西吉安·高三江西省泰和中学校考阶段练习）已知随机变量X服从两点分布，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知X服从参数为0.3的两点分布，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】0.7/SKIPIF1<00.3/SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0服从参数为0.3的两点分布，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：0.7，0.3【典例3】（2023上·高二课时练习）在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列．【答案】分布列见解析【详解】抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有1和0两种情况．SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因此X的分布列为：X01PSKIPIF1<0SKIPIF1<0【变式1】（2023下·山东聊城·高二统考期末）已知随机变量SKIPIF1<0服从两点分布，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0/0.5【详解】由题意可知SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【变式2】（2023·全国·高二课堂例题）从装有SKIPIF1<0个白球和SKIPIF1<0个红球的口袋中任取SKIPIF1<0个球，用SKIPIF1<0表示“取到的白球个数”，则SKIPIF1<0的取值为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，求随机变量SKIPIF1<0的概率分布．【答案】分布列见解析【详解】由题意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故随机变量SKIPIF1<0的概率分布列如下表所示：SKIPIF1<001SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【变式3】（2023上·高二课时练习）掷一颗骰子，观察掷得的点数.(1)求点数X的分布；(2)只关心点数6是否出现.若出现，则记SKIPIF1<0，否则记SKIPIF1<0.求Y的分布.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）因为掷得每个点数为等可能事件，所以点数X的分布为SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以Y的分布为SKIPIF1<0．A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024下·全国·高二随堂练习）设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则下列各式正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，A错误；SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，B错误；SKIPIF1<0，C正确；SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，D错误.故选：C2．（2024·全国·高二假期作业）抛掷2枚骰子，所得点数之和记为SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0表示的随机试验结果是（

）A．2枚都是4点B．1枚是1点，另1枚是3点C．2枚都是2点D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点【答案】D【详解】A表示的是随机试验中SKIPIF1<0的其中一个结果，B，C中表示的是随机试验中SKIPIF1<0的部分结果，而D是代表随机试验中SKIPIF1<0的所有试验结果.故选：D.3．（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0，2，3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】根据题意，随机变量SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0，由分布列的性质，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.故选：C.4．（2024·全国·高二假期作业）若随机变量的分布列如表，则SKIPIF1<0的值为（

）SKIPIF1<01234SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】根据题意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.5．（2024·全国·高二假期作业）抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0表示的试验结果是（

）A．第一枚6点，第二枚1点 B．第一枚5点，第二枚1点C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚2点【答案】A【详解】由题意知SKIPIF1<0表示第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，当第一枚6点，第二枚1点时，SKIPIF1<0，满足题意，所以选项A正确；当第一枚5点，第二枚1点时，SKIPIF1<0，不满足SKIPIF1<0，所以选项B错误；当第一枚2点，第二枚6点时，SKIPIF1<0，不满足SKIPIF1<0，所以选项C错误；当第一枚5点，第二枚1点时，SKIPIF1<0，不满足SKIPIF1<0，所以选项D错误.故选：A6．（2024·江苏·高二假期作业）如图，我国古代珠算算具算盘每个档SKIPIF1<0挂珠的杆SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0颗算珠，用梁隔开，梁上面SKIPIF1<0颗叫上珠，下面SKIPIF1<0颗叫下珠，若从某一档的SKIPIF1<0颗算珠中任取SKIPIF1<0颗，记上珠的个数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】方法一：由题意可知，SKIPIF1<0的所有可能取值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．方法二：由题意可知，SKIPIF1<0的所有可能取值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故选：A7．（2024·全国·高三专题练习）泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为自然对数的底数，SKIPIF1<0是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数SKIPIF1<0服从参数为SKIPIF1<0的泊松分布，若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由题意可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，故该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为SKIPIF1<0.故选：D8．（2024·全国·高二假期作业）设SKIPIF1<0是一个离散型随机变量，其分布列如下，则SKIPIF1<0等于（

）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0

SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：由离散型随机变量的性质可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，不合题意，SKIPIF1<0．故选：B．二、多选题9．（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量ξ的分布列为：ξ－2－10123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值可以是（

）A．5 B．7C．9 D．10【答案】ABC【详解】由随机变量SKIPIF1<0的分布列，知：SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：ABC.10．（2023下·河南周口·高二校联考期中）已知离散型随机变量SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<01246SKIPIF1<00.2SKIPIF1<0SKIPIF1<00.1则下列选项正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【详解】对于A中，由分布列的性质，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以A正确；对于B中，若SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故B正确；对于C中，由概率的定义知SKIPIF1<0，所以C不正确；对于D中，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以D正确．故选：ABD.三、填空题11．（2023下·高二课时练习）离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y代替，其概率分布如下：X123456P0.200.10x0.10y0.20则SKIPIF1<0等于.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】由概率分布的性质可知随机变量的所有取值的概率和为1，则SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.12．（2023下·高二课时练习）若随机变量X的概率分布列为SKIPIF1<0，k＝1，2，3，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0/0.5【详解】由题意知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.四、解答题13．（2023·全国·高二课堂例题）设随机变量X的分布列为SKIPIF1<0，k=1，2，3，4，其中c为常数，求SKIPIF1<0的值．【答案】SKIPIF1<0【详解】解

由离散型随机变量分布列的性质可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．14．（2023·四川成都·校联考模拟预测）在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为SKIPIF1<0．(1)求p的值；(2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案见解析【详解】（1）因为甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以随机变量X的分布列为X0123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0B能力提升1．（2023上·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为SKIPIF1<0，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为SKIPIF1<0，第二次抽中选择继续抽奖的概率为SKIPIF1<0，且每次是否抽中互不影响．(1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；(2)设小李所得奖金总数为随机变量SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案见解析【详解】（1）记小李第SKIPIF1<0次抽中为事件SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0