高中数学必修2课下能力提升（九）两平面垂直

课下能力提升(九)两平面垂直1．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则a与α的位置关系是________．2．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α.则所有正确命题的序号是________．3．如图所示，在三棱锥D—ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是________．4．下列四个命题：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；④如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．其中真命题的序号是________．5．设l，m是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是________．①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.6.如图所示，在四面体ABCD中，△BDA，△CDA，△DBC，△ABC都全等，且AB＝AC＝eq\r(3)，BC＝2，求以BC为棱，以△BCD和△BCA为面的二面角的大小．7．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝eq\r(2)a，(1)求证：PD⊥平面ABCD；(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；(3)求证：∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．8．如图(1)所示，在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝a，∠B＝90°，∠C＝135°.沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图(2)所示．(1)求证：平面ABD⊥平面BCD；(2)求二面角B－AD－C的大小．答案1．a∥α或a⊂α2．解析：若l⊂β，α⊥β，则l，α可以平行或相交，l也可能在平面α内，故①错误；由面面平行的性质、线面垂直的判定方法，得②正确；若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α，故③错误；若α∩β＝m，l∥m，则l∥α或l⊂α，故④错误．所以正确命题的序号是②.答案：②3．解析：易知BE⊥AC，DE⊥AC，∴AC⊥平面BDE.又AC⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDE.答案：垂直4．解析：根据空间点、线、面间的位置关系，过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，故①正确；过平面外一点有无数条直线与该平面平行，故②不正确；根据平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行，故③正确；根据两个平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内，故④正确．从而正确的命题有①③④.答案：①③④5．解析：对于①，直线l需垂直于平面α内两相交直线才能判定线面垂直，故①错误；对于②，可用线面垂直的判定定理证明，如在平面α内作两条相交直线，由l∥m与l⊥α可证明m也垂直于这两条相交直线，即m⊥α，故②正确；对于③，也有可能是l∥β或l与β相交或l⊂β，故③错误；对于④，也有可能是α与β相交，故④错误．答案：②6．解：如图所示，取BC的中点E，连结AE，DE，∵AB＝AC，∴AE⊥BC.又∵△ABD≌△ACD，AB＝AC，∴DB＝DC，∴DE⊥BC.∴∠AED为二面角A－BC－D的平面角．又∵△ABC≌DBC，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，△DBC也是以BC为底的等腰三角形，∴AB＝AC＝DB＝DC＝eq\r(3).又△ABD≌△CDB，∴AD＝BC＝2.在Rt△DEB中，DB＝eq\r(3)，BE＝1，∴DE＝eq\r(DB2－BE2)＝eq\r(2)，同理AE＝eq\r(2).在△AED中，∵AE＝DE＝eq\r(2)，AD＝2，∴AD2＝AE2＋DE2.∴∠AED＝90°.∴以△BCD和△BCA为面的二面角大小为90°.7．证明：(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝eq\r(2)a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.(3)由(1)知PD⊥BC，又BC⊥DC，PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．8.解：(1)证明：如图，∵∠ACD＝135°－45°＝90°，∴CD⊥AC.由已知二面角B－AC－D是直二面角，过B作BO⊥AC，垂足为O，由AB＝BC知O为AC中点，作OE⊥AC交AD于E，则∠BOE＝90°，∴BO⊥OE.而OE∩AC＝O，∴BO⊥平面ACD.又∵CD⊂平面ACD，∴BO⊥CD.又AC∩BO＝O，∴CD⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴AB⊥CD，由已知∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.而BC∩CD＝C，∴AB⊥平面BCD.又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD.(2)如图，由AC中点O作OF⊥AD，垂足为F，连结BF.由(1)知BO⊥平面ACD，∴BO⊥AD.∵BO∩OF＝O，∴AD⊥平面BOF，而BF⊂平面BOF，∴AD⊥BF，∴∠BFO是二面角B－AD－C的平面角．由已知AB＝BC＝CD＝a，∴AC＝eq\r(2)a，∴BO＝eq\f(\r(2),2)a.由(1)知AC⊥CD，∴AD＝eq\r(3)a.∵△AOF∽△ADC，∴eq\f(OF,DC)＝eq\f(AO,AD)，∴OF＝eq\f(a·\f(\r(2),