函数的表示方法（九大题型）（原卷版）

5.2函数的表示方法课程标准学习目标（1）结合实例，经历函数三种表示法的抽象过程，体会三种表示法的作用，发展学生的数学抽象素养.（2）结合实例，加深对分段函数概念的理解及应用，提升逻辑推理、数学运算素养.（1）掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.（4）会求函数的解析式.知识点01函数的表示法函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值．【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）（1）已知一次函数满足，求的解析式．（2）已知二次函数满足，，，求的解析式．知识点02分段函数分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．【即学即练2】（2023·全国·高一课堂例题）画出函数的图象．【方法技巧与总结】函数解析式的求解策略有：（1）直接法：已知的解析式，求的解析式类型，直接将整体代入中的；（2）待定系数法：即由已知函数类型设出函数解析式（通常是一次函数和二次函数类型），再根据条件列方程（或方程组），通过解方程（或方程组）求出待定系数，进而得出函数的解析式；（3）换元法（或者叫配凑法）：已知抽象函数的解析式求的解析式，这个方法可以看成代入法的逆向思维，即令，反解出，然后代入中得到，进而得到的解析式；（4）解方程组法：该方法是针对含有关于两个不同变量的函数，而这两种变量存在某种特定的关系，在中学阶段这种关系通常是互为相反数或者互为倒数，然后“互换”两个变量建立一个新的关于这两个变量的关系，通过解方程组消去一个变量，从而得到只含一个的解析式，最后可以得到的解析式；（5）赋值法：赋值法是很常用的处理抽象函数之间的一种方法，对涉及任意量词（含，）题目，要特别注意可以通过赋特殊的值，求出特殊的值对应函数值，进而求出函数的解析式．题型一：已知函数类型求解析式例1．（2023·河南郑州·高一中牟县第一高级中学校考阶段练习）已知二次函数，满足，.则.例2．（2023·河南南阳·高一河南省内乡县高级中学校考阶段练习）已已知是一次函数，且，求.例3．（2023·河南郑州·高一校考阶段练习）已知函数是一次函数且，则函数的解析式为．变式1．（2023·全国·高一专题练习）设为一次函数且，求.题型二：已知求解析式例4．（2023·广东东莞·高一东莞市常平中学校考阶段练习）已知，则的解析式为.例5．（2023·四川眉山·高一校考阶段练习）已知，则．例6．（2023·全国·高一专题练习）已知，则.变式2．（2023·陕西渭南·高一校考阶段练习）已知函数，则.变式3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数满足，则.变式4．（2023·江西赣州·高一统考期中）若且，则．变式5．（2023·江苏·高一专题练习）已知，则的值域为.变式6．（2023·全国·高一专题练习）若函数，则．题型三：求抽象函数的解析式例7．（2023·全国·高一课堂例题）是R上的函数，且满足，并且对任意的实数都有，则的解析式例8．（2023·全国·高一专题练习）已知函数满足，则的解析式可以是.（写出满足条件的一个解析式即可）例9．（2023·全国·高一专题练习）写出一个满足：的函数解析式为.变式7．（2023·高一课时练习）已知函数，，且，，，…，，，则满足条件的函数的一个解析式为.变式8．（2023·全国·高一专题练习）若函数满足，写出一个符合要求的解析式．变式9．（2023·安徽池州·高一校考期中）设函数满足，且对任意，都有，则=.题型四：求解析式中的参数值例10．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的最大值为7，最小值为1，求此函数解析式.例11．（2023·广西·高一校联考阶段练习）已知函数（、，且），，且方程有且仅有一个实数解．求函数的解析式．例12．（2023·安徽滁州·高一校考阶段练习）已知，，若，则a＝．变式10．（2023·海南·高一校考期中）已知且，则的值为.变式11．（2023·上海黄浦·高一上海市向明中学校考阶段练习）已知，且，则的值为．变式12．（2023·高一课时练习）设，，且，则的值为.变式13．（2023·北京西城·高一统考期中）已知一次函数，且，则．题型五：函数方程组法求解析式例13．（2023·湖北荆门·高一钟祥市第一中学校考阶段练习）已知满足，则解析式为．例14．（2023·江西南昌·高一校考期中）已知定义在上的函数满足，则的值为.例15．（2023·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，则.变式14．（2023·全国·高一假期作业）已知，则．变式15．（2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)满足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则f(x)的解析式为.变式16．（2023·全国·高一专题练习）已知函数满足，则.变式17．（2023·全国·高一专题练习）若，则．题型六：求分段函数的值或者解析式例16．（2023·广西钦州·高一校考阶段练习）设，令．(1)求的解析式(2)求的值域．例17．（2023·山西太原·高一校考阶段练习）已知函数，则．例18．（2023·新疆巴音郭楞·高一八一中学校考期中）已知函数，则．变式18．（2023·高一课时练习）分段函数可以表示为，分段函数可表示为.仿此，分段函数可以表示为．变式19．（2023·广西南宁·高一南宁三中校考阶段练习）已知函数，则f(2)=.变式20．（2023·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）已知函数，设，，则与的大小关系是．变式21．（2023·江西南昌·高一统考期中）已知函数，则.题型七：分段函数性质及应用例19．（2023·广东佛山·高一佛山市南海区九江中学校考阶段练习）已知(1)画出的图象；(2)若，求的值；(3)若，求的取值范围.例20．（2023·辽宁·高一校联考阶段练习）已知函数.（1）求，的值；（2）当时，求x的取值范围.例21．（2023·甘肃天水·高一秦安县第一中学校考期中）已知函数，试解答下列问题：（1）求的值；

（2）求方程=的解．变式22．（2023·云南红河·高一校考阶段练习）给定函数，，．(1)在所给坐标系（1）中画出函数，的大致图象；（不需列表，直接画出．）(2)，用表示，中的较小者，记为，请分别用解析法和图象法表示函数．（的图象画在坐标系（2）中）(3)直接写出函数的值域．题型八：解分段函数不等式例22．（2023·全国·高一专题练习）已知,则使成立的的取值范围是（

）A． B．C． D．例23．（2023·全国·高一专题练习）设函数,则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．例24．（2023·全国·高一专题练习）已知，满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．变式23．（2023·全国·高一专题练习）已知，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．变式24．（2023·全国·高一专题练习）已知，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式25．（2023·甘肃天水·高一天水市第一中学校考期末）已知函数,则使得的的取值范围为（

）A． B． C． D．题型九：已知分段函数的值求参数或自变量例25．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）(多选)设函数，若，则（

）A． B．3C． D．1例26．（多选题）（2023·贵州毕节·高一统考期末）已知函数，若，则的值可以为（

）A． B．3 C．7 D．8例27．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若，则实数a的值为（

）A． B． C．2 D．8变式26．（多选题）（2023·广东佛山·高一校考阶段练习）已知函数，若，则实数的值可以是（

）A．3 B． C．4 D．4变式27．（多选题）（2023·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考期中），且，则实数a的值为（

）A．－ B． C． D．变式28．（多选题）（2023·广西梧州·高一校考开学考试）设函数若，则实数a的值可以是（

）A． B．2 C． D．一、单选题1．（2023·辽宁大连·高一校联考阶段练习）已知，则的值等于（

）A． B．4 C．2 D．2．（2023·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）已知函数是一次函数，且，则（

）A．11 B．9 C．7 D．53．（2023·北京·高一北京市陈经纶中学校考阶段练习）已知函数，若，则（

）A． B．0 C．或0 D．4．（2023·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）已知函数在定义域上是单调函数，若对任意）都有，则（

）A． B．2022C．2023 D．20245．（2023·浙江宁波·高一慈溪市杨贤江中学校考阶段练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．6．（2023·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考阶段练习）设函数的定义域为，，若，则等于（

）A． B．1 C． D．7．（2023·全国·高一专题练习）设函数，则的值域是（

）A． B．C． D．8．（2023·全国·高一专题练习）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2023·吉林长春·高一校考阶段练习）已知函数，关于函数的结论正确的是（

）A．的定义域为R B．的值域为C． D．若，则x的值是10．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．11．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则（

）A． B．C．的最小值为1 D．的图象与轴有1个交点12．（2023·高一课时练习）设，定义符号函数，则下列各式不正确的是（）A．

B．

C． D．

三、填空题13．（2023·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）设函数，则．14．（2023·福建厦门·高一校考阶段练习）已知定义域为的函数，对于任意的恒有，且，则.15．（2023·辽宁大连·高一校联考阶段练习）设a，，记，则函数的最大值．16．（2023·山东德州·高一校考阶段练习）已知函数，令，则不等式的解集是．四、解答题17．（2023·海南海口·高一校考期中）求下列函数的解析式：(1)已知，求；(2)已知二次函数的图象与轴的两交点分别为，且，求.18．（2023·山西太原·高一太原五中校考阶段练习）给定函数，，．用表示，中的较大者，即.(1)请用图象法表示函数，注：画出上的图象即可；(2)写出函数的值域；(3)若，则求a的值．19．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考阶段练习）已知定义在上的函数满足：．(1)求函数的表达式；(2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．20．（2023·全国·高一专