人教A版选择性必修时等比数列的前n项和公式课件

4.3.2等比数列的前n项和公式第一课时等比数列的前n项和公式学习目标1.掌握等比数列的前n项和公式,了解推导等比数列前n项和公式的过程与方法,发展逻辑推理的核心素养.2.能够运用等比数列的前n项和公式进行有关的计算及解决简单的实际问题,增强数学建模与数学运算的核心素养.3.掌握等比数列的前n项和的性质及其应用,提升逻辑推理与数学运算的核心素养.知识梳理·自主探究师生互动·合作探究知识梳理·自主探究[问题1](1)数列1,3,32,33,…,3n的首项和公比分别是多少?知识探究提示:(1)首项为1,公比为3.(2)把该数列的前n项和Sn=1+3+32+…+3n-1,①两边同乘公比3得3Sn=3+32+33+…+3n,②这两个等式的右边有何相同点?若用②式减去①式,会有什么结果?(3)对Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1(q≠1)按(2)的方法处理会怎样呢?1.等比数列的前n项和公式[思考1]等比数列{an}的前n项和公式中涉及a1,an,n,Sn,q五个量,已知几个量方可以求其他量?提示:三个.B[问题2](1)若数列{an}为等比数列,a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比数列吗?提示:(1)a3+a4=q2(a1+a2),a5+a6=q2(a3+a4),所以a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比数列.(2)若数列{an}为等比数列,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9成等比数列吗?提示:(2)成等比数列.2.等比数列“片段和”性质等比数列{an}中,公比为q,前n项和为Sn(Sn≠0),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,Skn-S(k-1)n,…构成公比为qn的等比数列.[做一做2]在等比数列{an}中,若a1+a2=20,a3+a4=40,则S6等于(

)A.140 B.120C.210 D.520A解析:因为S2=20,S4-S2=40,且(S4-S2)2=S2×(S6-S4),所以S6-S4=80,S4=40+S2=60,所以S6=140.故选A.[问题3]类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题,等比数列是否也有相似的性质?3.等比数列“奇、偶数项和”的性质若{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则:[问题4]你能从函数角度认识等比数列的前n项和公式吗?4.等比数列前n项和公式的函数特征(1)若数列{an}为非常数列的等比数列,且其前n项和Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1,n∈N*),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*),则该数列必为等比数列.(2)如果公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列.[思考2]若等比数列{an}的公比q不为1,其前n项和为Sn=Aqn+B,则A与B有什么关系?提示:A=-B.[做一做3]若数列{an}是等比数列,且其前n项和Sn=3n+1-3k,则实数k等于

.解析:因为Sn=3n+1-3k=3×3n-3k,所以3=3k,即k=1.答案:1师生互动·合作探究[例1]在等比数列{an}中,探究点一等比数列基本量的计算(2)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q;[例1]在等比数列{an}中,(3)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.[例1]在等比数列{an}中,方法总结(1)在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.(2)在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.(3)在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元.[针对训练](1)已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,若a1=1,a6=8a3,则S5等于(

)A.2n-1 B.2-21-nC.2-2n-1 D.21-n-1[例2](1)在等比数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,S2=3,S4=9,则S6等于(

)A.12 B.18 C.21 D.27探究点二等比数列前n项和的性质解析:(1)法一设数列{an}的公比为q,因为S2=3,S4=9,所以S4-S2=6,q≠-1,所以S2,S4-S2,S6-S4构成以S2为首项,2为公比的等比数列,所以62=3(S6-9),所以S6=12+9=21.故选C.法二设等比数列{an}的公比为q.①若q=1,可得S4=2S2,即9=2×3,显然不成立;答案:(1)C(2)等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=

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答案:(2)2方法总结灵活运用等比数列前n项和的有关性质,处理等比数列前n项和有关问题时的注意事项:(1)等比数列“片段和”性质的成立是有条件的,即Sn≠0.答案:(1)80(2)等比数列{an}的前n项和Sn=48,前2n项和S2n=60,则前3n项和S3n=

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答案:(2)63(3)一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.[例3]某人准备购买一台售价为5000元的电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款项全部付清.商场提出的付款方式:购买2个月后第1次付款,再过2个月后第2次付款,…,购买12个月后第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算,求此人每期付款金额是多少.探究点三等比数列前n项和公式的实际应用解:法一设此人每期付款x元,第k个月末付款后的欠款本利为Ak,则A2=5000×(1+0.008)2-x=5000×1.0082-x,A4=A2(1+0.008)2-x=5000×1.0084-1.0082x-x,…A12=5000×1.00812-(1.00810+1.0088+…+1.0082+1)x=0,方法总结解数列应用题的具体方法步骤(1)认真审题,准确理解题意,达到如下要求:①明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列问题还是等比数列问题,还是含有递推关系的数列问题,是求an,还是求Sn.特别要注意准确弄清项数是多少.②弄清题目中主要的已知事项.(2)抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达.(3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,列出满足题意的数学关系式.[针对训练]一个热气球在第一分钟上升了25m的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%,这个热气球上升的高度能超过125m吗?备用例题[例1](2021·广东高州高二期末)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{an}的通项公式;[例1](2021·广东高州高二期末)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.(1)求a1,a2;(2)设bn=an+2,求证:数列{bn}是等比数列;(3)求数列{an}的前n项和Sn.学海拾贝等比数列的判定与证明判断给定的数列{an}是等比数列的方法(3)通项公式法:若数列的通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.(4)前n项和法:数列{an}的前n项和为Sn=A-Aqn(常数A≠0,公比q≠1).提醒:通过等比数列的判定与证明,可培养逻辑推理,数学运算的核心素养.需要注意的是前两种方法常用于解答题中,而后两种方法常用于选择、填空题中.典例探究:数列{an}满足a1=-1,且an=3an-1-2n+3(n∈N*,且n≥2).(1)求a2,a3,并证明数列{an-n}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.思路点拨:利用等比数列的定义及通项公式求解.(2)由(1)知an-n=-2·3n-1,所以an=n-2·3n-1.(1)证明:{an+1}为等比数列;(2)求数列{cn}的前n项和Sn.当堂检测1.已知等比数列{an}的首项a1=3,公比q=2,则S5等于(

)A.93B.-93 C.45D.-45AA.3 B.2 C.-2 D.-3D3.(2022·山东临沂高二期末)中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难