2020-2021学年北京市一零一实验学校高二（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年北京市一零一实验学校高二（下）期末数学试卷

一、选择题（共io小题）.

1.若全集U=R,A={x|x<l},8^{x\x>-1(,则()

A.AQBB.BQAC.BcCuAD.QVAQB

2.下列数列中，156是其中一项的是（）

A.{"2+1}B.{n2-1}C.{/+”}D.{n2+n-1}

3.已矢口x=k)g5*,y=(4)01-z=2；,则()

23

A.x<y<zB.x<z<yC.y<x<zD.z<x<y

4.已知a,h,c满足c<%Va,且acVO,那么下列选项中不一定成立的是（）

A.ab>acB.c（/?-a）<0C.cb2<ah2D.ac（a-c）<0

5.已知x>0,y>0,且x+y=8,则（1+x）（1+y）的最大值为（）

A.16B.25C.9D.36

6.设〃ER,若关于x的不等式1-分+120在区间［1,2］上有解，则（）

A.〃W2B.C.a^—D.

22

7.已知函数/（x）是定义在R上的偶函数，且在区间［0,+8）上单调递增，若实数。满

足f(log2〃)+f(-L)<2于（1）,则。的取值范围是（）

2

A.虎，2]B.[1,2]C.（0,y）D.（0,2］

8.设S”是等差数列{斯}的前〃项和且S6>S7>S5,则下列结论正确的是（）

A.Sii>0B.Si2VoC.Si3>0D.Ss>S6

,X41

9.已知函数/(x)="2,若关于X的额方程a=/（x）恰有两个不同实

-X2+4X-2,X>1

根，则实数a的取值范围是(）

A.(-co,1)UE1,2)B.（0,1）UE1,2）

c.(1,2)4侪，2）

10.关于函数/(元)=sinx-xcosx,下列说法错误的是（）

A.f（x）是奇函数

B.0不是/（幻的极值点

IT兀

c.于（x）在（一了，丁）上有且仅有3个零点

D./（X）的值域是R

二、填空题共5小题

11.若集合A=｛R-1W2X+1W3｝,B=｛x|三2wO｝,则ACB=

X

12.写出“xd4-2”成立的一个充分不必要条件.

X

13.已知函数/（x）,g（x）分别由下表给出

x123

f（x）131

x123

g（x）321

则满足力g（X）］＞然（外］的尢为.

14.已知f（x）=ln（N+l）,g（x）=（，）x-in,若对Vx©0,3］,3x2G［l＞2］,使得了

（xi）2g（X2）,则实数，W的取值范围是.

15.数列｛小｝中，如果存在即使得“以＞限|且公〉伙+1”成立（其中42,依N*）,则

称飙为｛3｝的一个峰值.

（1）若an=-3n2+lln，则｛飙｝的峰值为:

（2）若an=-3n2+tn，且｛"”｝不存在峰值，则实数f的取值范围是.

三、解答题共4小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程

16.已知函数/（%）=/+〃，（xGR）.

⑴对VM,X26R比较4与f（卫要"）的大小；

4142

（2）若在［-1,1］时，有|/（龙）区1,试求实数a的取值范围.

17.已知等比数列｛〃“｝的首项为2,等差数列｛瓦｝的前"项和为S”且0+G=6,2历+〃3=

04,S3=3〃2・

（I）求｛%｝,｛儿｝的通项公式;

（II）设Cn=ba.,求数列｛c"的前”项和.

219

is.已知函数是奇函数，且f(2)=^.

x+n2

(1)求实数m,n的值；

(2)设函数g(x)=f(%)+1,函数y=g(x)在点P(t,g(t))(t)*)处的切线与

坐标轴围成的三角形的面积为SC),求S(r)的单调区间及最值.

19.若函数f(X)满足：对于s,/eio,+8),都有/(6)20,f(t)20,且/(6)+fCt)

Wf(s+r),则称函数/(x)为“T函数”.

(1)试判断函数£[6)=*2与及(x)=ln(x+1)是否为“T函数”，并说明理由；

(2)设函数/(x)为“T函数”，且存在xo00,+8),使/(/(&))=xo,求证：f

(Xo)—J®；

(3)试写出一个“7函数”，满足/(2)=4,且使集合｛)，b，=/(x),0WxW2｝中元素

最少(只需写出你的结论).

参考答案

一、选择题共1()小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若全集U=R,A={x|x<l},B={x\x>-1),则()

A.AUBB.BUAC.BuCuAD.CuAUB

解：；CRA={X|X21},CRB={X|XW-1},...CRAUB,

故选：D.

2.下列数列中，156是其中一项的是()

A.{n2+1}B.{n2-1}C.{n2+n}D.{n2+n-1}

【解答】解；根据题意，依次分析选项：

对于A,若数列为{*+1},则有〃2+1=156,无正整数解，不符合题意；

对于8,若数列为{层-1},则有“2-1=156,无正整数解，不符合题意；

对于C,若数列为{〃2+〃},则有〃2+〃=156,解可得〃=12或-13(舍)，有正整数解〃

=12,符合题意，

对于。，若数列为{/+〃-1},则有”2+〃-1=匕6,无正整数解，不符合题意；

故选：C.

3.3知x=log54,y=(,)01,z=2；,则()

223

A.x<y<zB.x<z<yC.y<x<zD.z<x<y

解：Vx=log5—<logsl=0,

0<产(1)0><(1)°=1

Z=2y>20=l,

.\x<y<z.

故选：A.

4.已知b,c满足cVbVa,且acVO,那么下列选项中不一定成立的是()

A.ab>acB.c(/?-«)<0C.cb2<ab2D.ac(a-c)<0

解：因为cV〃Vm且acVO,所以。>0,c<0,

对于A,〃>0,b-c>0,所以ab-ac=a(b-c)>0,所以故A正确；

对于8,c(b-a)>0,故3错误；

对于C,当b=0时，仍2=〃/落故C错误；

对于£),ac<0,a-c>0,所以〃c(a-c)<0,故。正确.

故选：BC.

5.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为()

A.16B.25C.9D.36

解：Vx>0,y>0,且x+y=8,

(l+x)(1+y)=1+(x+y)+xy=9+xyW9+(，刊)_=9+16=25,

4

当且仅当x=y=5时，取等号，

A(1+x)(1+y)的最大值为25.

故选：B.

6.设〃ER,若关于x的不等式/-以+120在区间[1,2]上有解，则()

RR

A.B.C.cO—D.a^—

22

解：•・•关于x的不等式/-公+120在区间[1,2]上有解，

在xW[l,2]上有解=a<(x^^)边写，xE[\f2].

函数/(x)=XA在口,2]上单调递增,

X

f()=f(2)=->

八x,111ax22

故选：D.

1.已知函数/(X)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+8)上单调递增，若实数“满

足/(log2。)^2/(1),则〃的取值范围是()

2

A.[y,2]B.[1,2]C.(0,y)D.(0,2]

解：因为函数/(x)是定义在R上的偶函数，

所以/(=f(-log26f)=/(logaa),

2

则/(log2〃)4/(^2/(1)为：f(log267)W/(l),

2

因为函数/(x)在区间[0,+8)上单调递增，

所以|log2〃|〈l,解得

则a的取值范围是[£，2],

故选：A.

8.设5〃是等差数列｛斯｝的前〃项和，且S6>S7>S5,则下列结论正确的是()

A.Sn>0B.5I2<0C.5i3>0D.S8>S6

解：由｛小｝是等差数列且S6>S7,得〃7V0,又S7>S5,得〃6+〃7>0，所以〃6>0，

即当九16时,an>0；当〃N7时，an<09则Sii=lla6>0,所以选项A正确；

10

Si2=g(m+02)=6(燃+s)>0,所以选项B错误；S13=13〃7〈O,所以选项。错误,

S8-S6=m+〃8V0,所以S8Vs6,选项。错误.

故选：A.

心严吟,X<1

9.已知函数/(x)=｛22，若关于x的额方程a=/(x)恰有两个不同实

-X2+4X-2,X>1

根，则实数”的取值范围是()

A.(-8,2)B.(0,2)

C.(y,1)U(y»2)D.(y,2)

又f(1)=1,

又因为无>1时，/'(x)=-(X-2)2=2,

此时/(x)最大值为2,

所以当或时，方程a=/(x)恰有两个不同的实数根，

故选：C.

10.关于函数/(x)=sinx-xcosx,下列说法错误的是()

A./(x)是奇函数

B.0不是/(x)的极值点

兀兀

c./(X)在(号，丁)上有且仅有3个零点

D./(x)的值域是R

解：对于A：由/(-x)=sin(-x)+xcos(-x)=-/(x),.*./(%)是奇函数，A对;

对于B,f(x)=siru'-xcosx,f(x)=cosx-cosx-xsinx=-%sinx,当x=0时，f(x)

=0,f(x)=0,0不是/(x)的极值点.B对.

对于C：f(x)=sirtv-xcosx,f(x)=cosx-cosx+xsinx=xsinx,可得在(■——,0)

TTJT

上单调递减.(0,-y)上单调递增./(0)可得最小值，/(0)=0,所以，f(x)在(号,

JT

色)上不是3个零点.C不对；

对于。当x无限大或无线小时，可得/(x)的值域为R,。对.

故选：C.

二、填空题共5小题

11.若集合A={x|-lW2x+l<3},8={x|^^W0},则4nB={ROVxWl].

X

解：・・・A={x|-1W2X+1W3},由不等式-1W2X+1W3解得，xG[-1,1],

：.A={x\-

VB={x|—^0),不等式等价为：卜丁)<0,

xIx#0

解得xe(0,2],：.B={x\0<x^：2},

所以，AnB=W-l《xWl}C{x[0<xW2}={x[0<xWl},

即,AnB={x[0<xWl},

故答案为：HOVxWl}.

12.写出“x」"4-2”成立的一个充分不必要条件x<-1(答案不唯一).

解：由xd4-2,得阳”

40，可得xVO,

；・“xd《-2”成立的一个充分不必要条件是x<-1(答案不唯一)•

故答案为：x<-1(答案不唯一).

13.已知函数/(x),g(x)分别由下表给出

x123

f(x)131

x123

g(x)321

则满足yig(X)]>g[/(x)1的x为2.

解：•..当x=l时，惫⑴]=1,g[f⑴]=g⑴=3不满足虑(x)]>g[f(x)],

当x=2时，f[g(2)]=/(2)=3,gif(2)]=g(3)=1满足Hg(x)]>^(x)J,

当x=3时，f[g(3)]=/(1)=1,g,⑶]=g(1)=3不满足/Ig(x)]>g[f(x)],

故满足,Ag(x)]>g[f(x)]的x的值是2,

故答案为：2.

14.已知f(x)=ln(/+1),g(x)=(1)若对VxiRO,3],3x2e[l,2],使得了

(xi)2g(X2),则实数1的取值范围是+8).

解:因为xiRO,3]时,/(xi)G[0,/nlO]；

44

故答案为：-KX>).

15.数列｛小｝中，如果存在诙,使得“以>以一|且以成立(其中*22,依N*),则

称以为｛〃〃｝的一个峰值.

(1)若an=-3n2+lln，则｛斯｝的峰值为10；

(2)若an=-3n2+tn，且S，｝不存在峰值，则实数/的取值范围是(-8,6].

解：(1)因为二次函数y=-3/+1以在>=^~=早时有最大值,又"€N+,

-2X(-3)6

所以当”=2时，有及=-3X4+11X2=10为数列｛斯｝的峰值;

(2)由｛斯｝不存在峰值，得斯=-3序+〃7是递减数列，所以对称轴〃=

~2X(-3)

解得，W6,所以实数/的取值范围是(-8,6].

故答案为：(1)10：(2)(-8,6］.

三、解答题共4小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程

16.已知函数/(x)=N+a,(xeR).

(1)对X26R比较之［f(X1)+f(X2)］与f(X詈)的大小；

(2)若在［-1,1］时，有1/(%)|WL试求实数。的取值范围.

解：(1)对Vxi,X2GR,由之［f(x,+f(乂2)］-f(_:2)(勺-、2)2>0，

1X2

得之［f(x1)+f(x2)］>f(--)-

(2)由于|/(x)区1,等价于-lW/(x)W1,等价于-IWN+aWl,等价于-N-iw”

W-N+i在［-1,1］上恒成立,

a>(-*2-1)回,xE[-1,1]

所以，只须V，求得-IWaWO,所以所求实数。的取

a《(M+D疝n，x€[-1»1]

值范围是[-1,0].

17.己知等比数列｛〃“｝的首项为2,等差数列｛为｝的前“项和为且0+痣=6,27I+3=

力4,S3=3S.

(I)求｛〃〃｝，｛儿｝的通项公式;

(II)设Cn=ba，求数列｛5｝的前〃项和.

0

解:(I)设数列｛如｝的公比为q,数列｛仇｝的公差为d.

由。]+〃2=6,得a\+a\q=6.因为m=2,所以q=2.

n-1n-1n

^Wan=aiq=2-2=2.

’2bi+aq=匕，f2bi+8=bi+3d,bi=1

由得1解得《1

=

S3=3a2»3b1+3d=12,d3.

所以bn=bi+(n-1)d=3n-2.

n

(II)由(I)知an=2，h,t=3n-2.

n

mcn=ba/3X2-2.

从而数列｛。｝的前〃项和Tn=3x(21+22+2?+…+2"A2n=3x2^dZ3-2n=

1-2

6X2Z/-2H-6..

21Q

18.已知函数£&)=延工T.是奇函数,且f(2)=\.

x-hm2

(1)求实数m,n的值；

(2)设函数g(x)=f(x)+1,函数y=g(x)在点P(t,处的切线与

坐标轴围成的三角形的面积为S(f),求S(f)的单调区间及最值.

解：(1)函数f(x)=mx-1是奇函数,可得/(-x)=-/(x),

x+n

22

即mx1.=mx-1,

-x+n-x-n

可得-x+n=-x-n,即〃=0,

又f⑵可得写=会

解得机=1,

所以力=1,n—0；

“2_111

(2)f(x)=2_L,g(x)=x-^+\的导数为g'(x)=\+—^,

XxX’

函数y=g(x)在点P(t,g(t))&¥)处的切线斜率为1+/,

且g(r)=t--+1,

t

则切线的方程为y-(LL1)=(1+A-)(x-0,

tt"

o9+-1

令x=0,可得y=l；令y=0,可得x=----.

t"

所以s⑺=［i-2卜|@二百=春・正当(彦春)，

2ti+y2i+d2

(t-2)(l+2t)

S"-(Q2’

可得上Wf<2时，S'(/)<0,S(r)递减；当时，S'(t)>0,5(