2018-2019学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（5分）己知集合4={0,1,2,3,4,5},-2<x<4）,则AP8=（）

A.{5}B.{3,4}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3）

2.（5分）若复数（1-ai）2-2i是纯虚数，则实数a=（）

A.0B.±1C.1D.-1

3.（5分）实数“使函数/1（x）=（x-a）2在（0,1）上是增函数”是“实数”对Vxe（0,

斗

+8）,a4x2+1恒成立，，的（）

x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

分)已知

4.(5sinG+cosa]aGfO»K],则tana=(）

A.B.&c.3D.A

3443

x-2y+2)0

5.（5分）若x,y满足约束条件，x+3y-3>0，则z=x+2y的最大值为（

x-340

A.2B.3c.1AD.8

3

6.（5分）已知双曲线C：>=1（°>0,b>0）的离心率为3,则双曲线C的渐近线

2,2

ab

方程为（）

A.y=±xB.y=±C.y=±2xD.y=±2^2^

7.（5分）已知函数/（x）=sin（3x+<p）（3>0,|<p|<---）的图象如图所示，为了得到函

2

数g（x）=sin2x的图象，只需把/（x）上所有的点（）

B.向右平行移动工个单位长度

12

C.向左平行移动二个单位长度

6

D.向左平行移动二个单位长度

12

8.（5分）设。为△ABC所在平面内一点，若屈=2而,CD=XCA+混，则与=（）

A.-2B.」C.AD.2

22

9.（5分）如图，圆柱。|。2的底面直径与高都等于球。的直径，记圆柱。1。2的表面积为

S.

Si，球。的表面积为S2，则」-=（）

S2

D-3

10.（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足/（1+x）=于（1-X）.若/（1）=

1,贝(1)+f(2)+f(3)+-+f(2019)=()

A.-1B.0C.1D.2019

11.（5分）已知抛物线C：,=4x的焦点为凡准线为/,P是/上一点，Q是直线P尸与抛

物线C的一个交点，若而=3而，则|Q尸

尸（）

A.3B.&C.4或2D.3或4

33

12.（5分）已知函数/（x）=,x2+3x，x<0,且（X）可⑺-H+l.若gG）恰有4

lnx,x>0

个零点，则实数k的取值范围是（）

A.(0,1)B.(0.-1)C.(.11)D.(1,2)

222

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)(x-6的展开式中的常数项是（用数字作答）

14.（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为

5=0,4=2,7=1

结束

15.（5分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若（a-b）（siM+sinB）=c

（J^sinB+sinC）,贝！］A=.

16.（5分）已知正方体ABCO-AiB|C|£>i的棱长为2,点尸是棱的中点，则过点尸且

与直线BCi垂直的平面截正方体所得的截面的面积为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60

分.

17.（12分）已知数列｛斯｝满足“1=2,斯•斯+1=2".

（1）证明：:空当为常数；

an

（2）设数列｛斯｝的前〃项和为求

18.（12分）如图1,在梯形A8CQ中，AD//BC,ZBAD=—,AB=BC=\,AD=2,E

2

是A。的中点，。是AC与BE的交点，以8E为折痕把AASE折起使点A到达点儿的位

置，且AC=1,如图2.

图1图2

（1）证明：平面AiBE_L平面BCOE；

（2）求二面角C-AiB-E的余弦值.

19.（12分）已知椭圆C：/（a>b>0）的左右焦点分别为Q,&,点P（加,

1）在椭圆C上，且满足PF『PF；=L

（1）求椭圆C的方程；

（2）设倾斜角为45°的直线/与C交于A,B两点,记△OAB的面积为S,求S取最大

值时直线/的方程.

20.（12分）某单位为促进职工业务技能提升，对该单位120名职工进行了一次业务技能测

试，测试项目共5项.现从中随机抽取了10名职工的测试结果，将它们编号后得到它们

的统计结果如下表（表1）所示（“J”表示测试合格，“X”表示测试不合格）：

10JX

规定：每项测试合格得5分，不合格得0分.

(1)以抽取的这10名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率.

①设抽取的这10名职工中，每名职工测试合格项的项数为X,根据上面的测试结果统计

表，列出X的分布列，并估计这120名职工的平均得分；

②假设各名职工的各项测试结果相互独立.某科室有5名职工，求这5名职工中至少有

4人得分不小于20分的概率；

(2)已知在测试中，测试难度的计算公式为M=殳，其中N为第i项测试的难度，

Z

为第，・项合格的人数，Z为参加测试的总人数，已知抽取的这10名职工每项测试合格人

数及相应的实测难度如下表(表2)

表2

测试项目12345

实测合格人数88772

实测难度0.80.80.70.70.2

定义统计量S=L［(Ni-N')2+(M-N')2+-+(N,「N'其中凹为第，项的

n12n

实测难度，N'为第i项的预估难度(/=1,2,…规定：若SW0.05,则称该次测

i

试的难度预估合理，否则为不合理测试前，预估了每个测试项目的难度，如下表(表3)

所示

21.(12分)已知函数/(x)-2/+2上.

(1)讨论/(x)在R上的单调性；

2

(2)V/GR,Vx6R,总有/(x)>-f+2六+旦-成立，求实数，"的取值范围.

2

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第

一题计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

22.(10分)在直角坐标系x。)，中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标

系，曲线C的极坐标方程为p=2sin&

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)已知过点-1,0)且倾斜角为生的直线/与曲线C交于两点，求丁\乃_\

4|MA||1B|

的值.

［选修45不等式选讲］(10分)

23.已知函数/(x)=\mx-i\+\2x-1|.

(1)当加=1时，求不等式/'(X)W2的解集；

(2)若/(x)W2x+1在入［1,2］上恒成立，求机的取值范围.

2018-2019学年山东省滨州市高三(上)期末数学试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.(5分)已知集合人={0,1,2,3,4,5},«={x|-2<x<4},则ACIB=()

A.{5}B.{3,4}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}

【分析】直接利用交集运算得答案.

【解答】解：4r>8={0,1,2,3,4,5}n{x|-2Vx<4}={0,1,2.3}.

故选：D.

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.(5分)若复数(1-出)2-2/是纯虚数，则实数()

A.0B.±1C.ID.-1

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解.

【解答】解：由(1-ai)2-2=(1-«)-(2a+2)i是纯虚数，

得|1-a2=0,即“=1.

.2a+2卉0

故选：C.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

3.(5分)实数“使函数f(x)=(%-«)2在(0,1)上是增函数”是“实数〃对Vxe(0,

+8),a4x+1恒成立”的()

x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】实数a使函数/(x)=(x-a)2在(0,1)上是增函数，利用二次函数的单调

2T

性即可得出a的取值范围.由实数a对VxC(0,+8),。〈工恒成立”，则运

X

22

(七LL)..由xe(0,+8),利用基本不等式的性质可得立工的最小值.

1

Xnx

【解答】解：实数a使函数/(x)=(x-a)2在(0,1)上是增函数，则aWO.

2]

VxG(0,+8),x+1=科工22_L=2,当且仅当x=l时取等号.

XXVxX

2口

・.•实数a对Vxw(0,+8),+乙恒成立，，,.-,^1.

x

实数a使函数/(%)=(x-a)2在(0,1)上是增函数”是“实数。对(0,+8),

■恒成立”的充分不必要条件.

X

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数的单调性、基本不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考

查了推理能力与计算能力，属于基础题.

4.(5分)已知sinCL+cosdJ，a£[0,n],则tana=()

5

A.三B.3C.3D.A

3443

【分析】将已知等式记作①，左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简求出

2sinacosa的值，并根据2sinacosa的值为负数及a的范围得到sina大于0,cosa小于0,

进而得到sina-cosa大于0,然后利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简

(sina-cosa)2,将2sinacosa的值代入求出(sina-cosa)2的值，开方求出sina-cosa

的值，记作②，联立①②求出sina与cosa的值，然后将所求的式子利用同角三角函数

间的基本关系弦化切，即可求出tana的值.

【解答】解：将sina+cosa=i(T),左右两边平方得：(sina+cosal'siJa+cos'+Zsinacosa

-_--1--

25

221

又sin-a+cosa=1,l+2sinacosa=-^_,即2sinacosa=-

2525

XaG[0,TC],Asina>0,cosa<0,BPsina-cosa>0,

(sina-cosa)2=sin2a+cos2a-2sinacosa=1-2sinacosa=-^-,

25

sina-cosa=-^@,或sina-cosa=-—(舍去),

55

联立①②解得：sin(x=5,cosa=3

5

则tana=sin0=_生

cosCL3

另解：将sina+cosa=上，左右两边平方得:

5

（/si•na+cosax）2—si.n2a+cos2a+2cs•inacosa-1,

25

即为sin2a+2sinacosa+cos2a=1

sin'a+cos2a25

即有12tan2a+25tana+12=0,

解得tana=-助2-

43

由sina+cosa>0.且cosa<0,

易得tana<-1,则tana=-

3

故选：A.

【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的运用，熟练掌握

基本关系是解本题的关键.

'x-2y+2）0

5.（5分）若X,y满足约束条件，x+3y-3>0,则z=x+2y的最大值为（）

x-340

A.2B.3C.JAD.8

3

【分析】先根据约束条件画出可行域，由z=x+2y,再利用z的几何意义求最值，只需求

出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到z=x+2y的最大值即可.

'x-2y+2>0

【解答】解：x,y满足约束条件，x+3y-3>0画出可行域，

lx-3<0

设z=x+2y,由,解得2（3,$）.

1x-2y+2=02

将z的值转化为直线z=x+2y在y轴上的截距的一半，

当直线z=x+2y经过点8（3,$）时，z最大，

2

最大值为：8.

故选：D.

【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结

合的思想，属中档题.目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分

三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解.

22

6.(5分)已知双曲线C：E一二一=1(a>0,b>0)的离心率为3,则双曲线C的渐近线

2.2

ab

方程为()

A.y=±xB.y=±C.y=±2xD.y=±2^2^

【分析】利用双曲线的离心率，而渐近线中小b关系,结合c2=J+/找关系即可.

【解答】解：6=3,又因为在双曲线中，/=/+小，

c2,2

所以/=£_=]+小_=9,

22

aa

故旦=2加，

a

22,

所以双曲线C：二上二1的渐近线方程为产土旦『±2心，

a2b2a

故选：D.

【点评】本题考查双曲线的性质：离心率和渐近线，属基础知识的考查.在双曲线中，

要注意条件=的应用.

7.(5分)已知函数f(x)=sin(3x+(p)(3>0,|<p|<.2L)的图象如图所示，为了得到函

2

数g(x)=sin2x的图象，只需把『GO上所有的点()

A.向右平行移动工个单位长度

6

B.向右平行移动二个单位长度

12

C.向左平行移动工个单位长度

6

D.向左平行移动工个单位长度

12

【分析】由周期求出3,由五点法作图求出中的值，可得/(X)得解析式，再利用函数

>'=Asin(3x+<p)的图象变换规律，得出结论.

【解答】解：根据函数。(x)=sin(3x+(p)(3>0,|<p|<21,)的图象，可得工_•三H_=

243

兀

7K_3=2,

~Y2~3

再根据五点法作图可得2・？L+(p=n,・・・(p=工，f(x)=sin⑵+?L).

333

故把/(X)上所有的点向右平行移动二个单位长度，可得函数g(x)=sin2x的图象,

6

故选：A.

【点评】本题主要考查由函数y=Asin(3x+(p)的部分图象求解析式，由周期求出3,

由五点法作图求出⑴的值，函数y=Asin(3x+<p)的图象变换规律，属于基础题.

8.(5分)设。为△ABC所在平面内一点，若丽=2而,CD=XCA+|1CB，则上=()

A

A.-2B.」C.AD.2

22

【分析】由向量共线的充要条件有：点2为AZ)的中点，由平面向量的线性运算得：CD=

CA+AD=C&^2AB=CA+2（CE-CA）=-CA+2CB，即入=-l,-2,得解

解：由屈=2而，得：点B为4。的中点,

KOCD=CA+AD=CB+2AB=CA+2（CE-CA）--CA+2CB，

即入=-1,|i=2,

即与“2，

故选：A.

【点评】本题考查了向量共线及平面向量的线性运算，属简单题

9.(5分)如图，圆柱彷。2的底面直径与高都等于球。的直径，记圆柱01。2的表面积为

S,

Si，球。的表面积为S2，则一5-=()

S2

A.1B.2c.3D.A

323

222

【分析】设球。的直径为2R,IJIIJSi=2xTTX/?+2TT/?X2/?=6TT/?,S2=4ir/?,由此能求

出三L的值.

s2

【解答】解：设球0的直径为2R,

:圆柱。1。2的底面直径与高都等于球0的直径，

记圆柱01。2的表面积为S1,球。的表面积为S2,

51=2XTTX7?2+2n/?X2R=61T/?2,

S2=4TTR\

.SI=6兀R2=3

s

24冗R22

故选：c.

75J

【点评】本题考查圆柱的表面积和球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间

的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空

间想象能力，是中档题.

10.(5分)已知/(x)是定义在R上的奇函数，满足/(1+x)=于(1-》).若/(1)=

1,则/(1)+f(2)+f(3)+-+f(2019)=()

A.-1B.0C.1D.2019

【分析】推导出函数f(x)为周期为4的周期函数，/(1)=1,/(2)=/(0+2)=-

f(0)=0,f(3)=/(1+2)=-/(1)--1,/(4)=/(0)=0,由此能求出/(1)

+f(2)+f(3)+-+f(2019)的值.

【解答】解：•••/(X)是定义在R上的奇函数，满足/(l+x)=f(1-X).

函数/(x)的图象关于直线x=l对称，则有/(-x)=/(x+2),

又由函数/(x)为奇函数，则/(-X)=-f(x),则有/(x)—f(x+4),

则函数/(x)为周期为4的周期函数，

,:f(1)=1,：.f(2)=f(0+2)=-f(0)=0,

f(3)=/(1+2)=-/<1>=-h/(4)=f(0)=0,

：.f(1)+f(2)+f(3)+-+f(2019)

=504X|/⑴+f(2)+f(3)+f(4)]+/<!)+f(2)+f(3)

=504X0+1+0-1

=0.

故选：B.

【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查

函数与方程思想，是基础题.

11.(5分)已知抛物线C：，=4x的焦点为凡准线为/,P是/上一点，Q是直线P尸与抛

物线C的一个交点，若屈=3而，则|QF

1=()

A.3B.C.4或2D.3或4

33

【分析】过。向准线/作垂线，垂足为Q',根据已知条件，结合抛物线的定义得得

空二旦=3,即可得出结论.

QQ’PQ4

【解答】解：过。向准线/作垂线，垂足为。'，根据已知条件，结合抛物线的定义得

y

FF=PF_3

QQ，=PQN

':FF'=p=2,；.|QQ，尸星，

3

3

故选：B.

>'，

【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与

计算能力，属于中档题.

x2+3x,

.(5分)已知函数/(x)=,'40,g(x)=/(x)-H+l.若g(x)恰有4

lnx,x＞0

个零点，则实数攵的取值范围是()

A.(0,I)B.(0,-1)C.(/，1)

2

【分析】由题意可得f(x)=后-1有四个不等实根，作出y=/(x)的图象和直线

-1,将直线绕着(0,-1)旋转，考虑直线与)，=/〃x相切时&的值，即可得到所求范围.

【解答】解：函数/(x)=[X2+3X，X40.

lnx,x>0

g(x)—f(x)-Ax+1.

若g(x)恰有4个零点，

则/(x)=fcv-1有四个不等实根，

作出y=/(x)的图象和直线y=fcv-l,

当A:W0时，x2+(3-k)x+l=0,

由4=(3-k)2-4=$-6/+5＞0,

y=f(x)的图象与直线y=fcc-1有三个交点；

当上＞0时，当直线1与y=/〃x相切时，

设切点为(/n.Inm),即有人=_L,km-1=lnm,

解得m=1,k=1,

由图象可得0＜无＜1时，y=f(x)和直线)=区-1有四个交点.

故选：A.

【点评】本题考查函数方程的转化思想和数形结合思想方法，考查导数的几何意义，以

及运算能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）（x-左）6的展开式中的常数项是,15（用数字作答）

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的事指数等于0,求得r的值，即可求

得展开式中的常数项.

【解答】解：•••（x-工1）6的展开式的通项公式为Tf=cr（-1）r.60—2—,

44x

令6-2二=0,求得r=4,故（x-3）6的展开式中的常数项是C4=15,

24%

故答案为：15.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公

式，求展开式中某项的系数，属于中档题.

14.（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为42.

5=0：4=2,7=1

结束

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的

值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.

【解答】解：模拟程序的运行，可得

.s=0,a=2,i=\

执行循环体，s=2,〃=4,i=2

不满足条件i>6,执行循环体，s=6,a=6,z—3

不满足条件i>6,执行循环体，s=12,a=8,i—4

不满足条件i>6,执行循环体，s=20,a=10,i=5

不满足条件i>6,执行循环体，s=30,a=\2,i=6

不满足条件i>6,执行循环体，s=42,a=14,z—7

满足条件i>6,退出循环，输出s的值为42.

故答案为：42.

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得

出正确的结论，是基础题.

15.(5分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a-b)(sinA+sinB)=c

(心inB+sinC),则A

【分析】由已知利用正弦定理可得必+。2-/=儿.再利用余弦定理可得cosA,进而可求

A的值.

【解答】解:V(a-/>)(sinA+sinB)=c(J^inB+sinC),

，由正弦定理可得：(a-b)(a+b)=c(化为U+J-J=-

222r~

由余弦定理可得：cosA=b+c-a=-工2,

2bc2

/.AG(0,TI),

可得A="，

4

故答案为：12L.

4

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，考查了转化思想，属于基础题.

16.(5分)已知正方体ABCQ-A|81C|Z)1的棱长为2,点P是棱/L4i的中点，则过点尸且

与直线BG垂直的平面截正方体所得的截面的面积为，返

【分析】根据题意画出图形，结合图形找出过点P与直线BQ垂直的截面图形是矩形，

求出它的面积值.

【解答】解：如图所示，取4。的中点。，BC的中点M,的中点N,

连接P。、。例、MN和NP,

则平面PQMN〃平面AiBiCD,

又BC1J_平面AIiCD,

.•.BCJ平面PQMN,

且尸Q=LI£)=&；

2

PN=2,

.♦.矩形PQMN的面积为2X&=2近,

过点P与直线BC\垂直的截面面积为2&.

故答案为：2A/^.

【点评】本题考查了正方体的截面面积计算问题，解题的关键是找出满足条件的面积,

是基础题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60

分.

17.（12分）已知数列｛斯｝满足可=2,斯•斯+1=2".

（1）证明：另空之为常数；

an

（2）设数列｛“”｝的前n项和为Tn,求T2n.

【分析】（1）将斯•诙+1=2"中的〃换为〃+1,两式相除,即可得证;

（2）由（1）可得｛42wi｝以2为首项，2为公比的等比数列，｛"2"｝以1为首项，2为公

比的等比数列，再由数列的分组求和和等比数列的求和公式，即可得到所求和.

【解答】解：⑴证明：数列｛斯｝满足6=2,斯•斯+|=2",

可得。"+1*斯+2=2"1>

两式相除可得:更玄=丝上=2,

an2n

即三丝为常数；

an

（2）.=2,。1・。2=2,

可得〃2=1，

即有｛“2〃-]｝以2为首项，2为公比的等比数列，

｛〃2〃｝以1为首项，2为公比的等比数列，

为〃=（〃]+。3+…+。2〃-1）+（。2+〃4+…+。2〃）

=2-2k，1-2n

1-2

=3,2"-3.

【点评】本题考查数列的求和方法：分组求和，考查等比数列的求和公式的运用，以及

运算能力，属于中档题.

18.（12分）如图1,在梯形A8CD中，ADHBC,ZBAD^—,AB=8C=1,AD=2,E

2

是AO的中点，。是4c与BE的交点，以BE为折痕把aABE折起使点A到达点A1的位

置，且AC=1,如图2.

D&

,D

图1图2

(1)证明：平面AiBE_L平面BC£»E；

(2)求二面角C-AiB-E的余弦值.

【分析】(1)推导出8E_L4C,AO=OC,A1OI.OC,从而A|O_L平面BCDE,由此能证

明平面平面BCDE.

(2)分别以OB,OC,OAi所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法

能求出二面角C-A|B-E的余弦值.

【解答】证明：(1)在图(1)中，：AQ〃BC,AB=BC=\,AD=2,

E是AO的中点，ZBAD^—,

2

四边形ABCE为正方形，：.BELAC,AO=OC,

即在图2中，A101BE,BEVOC,AO=OC=返,

2

2

：AC=1,.•.在△AiOC中，^IQ^-OC=^IQ2,

：.A\01.0C,

，40_L平面BCDE,

：40u平面A\BE,平面A|BE_L平面BCDE.

解：(2)由(1)知OAi，OB,0c互相垂直，分别以OB,0C,所在直线为x,y,

z轴，建立空间直角坐标系,

"：A\B=A\E=BC=ED=1,

：.O（0,0,0）,B（返，0,0）,Al（0,0,返），C（0,

__224-

••辰=（-返,返，0）,h]C=(。，返,-返）,0C=（0,返，0）,

22222

设平面ABC的法向量rr=(x,y,z),

7・诙=*x乎y=0_

则《l，取x=l,得ir=（1,1,1）,

--y[2V2_n

m*AjC^-y^-z-0

由(1)得平面ABE_L平面BCDE,S.OCA.BE,

：.OC_L平面ABE,...林=(0,返，0)是平面4BE的法向量,

2

设二面角C-AiB-E的平面角为3

一返

则COS0-lm-0£j=_匕L=1.

ImHIOCl炳吟3

二面角C-A\B-E的余弦值为返.

3

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面

间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

19.(12分)已知椭圆C：(a>b>0)的左右焦点分别为尸1，巳，点「(加，

2,2

ab

1)在椭圆C上，且满足画•画=1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设倾斜角为45°的直线/与C交于A,8两点，记△OAB的面积为S,求S取最大

值时直线/的方程.

【分析】(1)设Fi(-c,0),&(C，0),由可,画=1，可得c?=2,由PF1+PF2

=4=2“，可得”=2,即可得椭圆C的方程；

(2)设倾斜角为45°的直线I方程为y=x+〃?，A8={]+k2xJ(x1+x2)2-4x1x?=

W6-m2,。到直线/的距离d=3.

3V2

5=能应英白，2(6-2)唔•唇单工企-即可求解.

OoJV/

【解答】解：(1)设尸1(-c,0),尸21、0),PF*=(-c->/2,-1)，-1)-

*.*pppFj=1•,2-/+1=1,C2=2,

：PFi=V（V2+V2）2+1=3,PF2=7（V2-V2）2+l=1，

；.PQ+PF2=4=2a,；.a=2,可得郎=/-2=2.

22

椭圆C的方程：—上

42

（2）设倾斜角为45°的直线/方程为〉=万+山

,'y=x+m

由J可得y3/+94/噂+2m92-4=0.△=48-8m29>0,=>^29<8.

22

lx+2y=4

9

・-4m_2m-4

**xl+x2=~xlx2=-§-

AB=V1+k2XJ（X1+X2）2-4X1X2=^^^

O到直线l的距离4=堀_.

V2

s=/.d.与菩・V7瓦忑唔•后尹入.

乙QjJVN

当且仅当,J=6-m2,即m—±V3.

：./\OAB的面积的最大值为加.此时直线/的方程为y=x±V3.

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最值的求法，是中档题，解题时

要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式的合理运用.

20.（12分）某单位为促进职工业务技能提升，对该单位120名职工进行了一次业务技能测

试，测试项目共5项.现从中随机抽取了10名职工的测试结果，将它们编号后得到它们

的统计结果如下表（表1）所示（“J”表示测试合格，“X”表示测试不合格）：

表1

测试项目

编号

1

2

3

4VXX

5

6JXXJX

7XVVVX

8JXXXX

9VVXXX

10VVVVX

规定：每项测试合格得5分，不合格得0分.

（1）以抽取的这10名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率.

①设抽取的这10名职工中，每名职工测试合格项的项数为X,根据上面的测试结果统计

表，列出X的分布列，并估计这120名职工的平均得分；

②假设各名职工的各项测试结果相互独立.某科室有5名职工，求这5名职工中至少有

4人得分不小于20分的概率；

R.

（2）已知在测试中，测试难度的计算公式为乂=二，其中N为第，・项测试的难度，Ri

Z

为第，•项合格的人数，Z为参加测试的总人数，已知抽取的这10名职工每项测试合格人

数及相应的实测难度如下表（表2）

表2

定义统计量S=&(Ni-N')2+(M-N')2+…+(Nn-N')2],其中M为第i项的

n12n

实测难度，N'为第，项的预估难度（i=l,2,”）.规定：若SW0.05,则称该次测

i

试的难度预估合理，否则为不合理测试前，预估了每个测试项目的难度，如下表（表3）

所示

表3：

测试项目12345

测试前预估难度0.90.80.70.60.4

判断本次测试的难度预估是否合理.

【分析】(1)①根据测试结果统计表，得X的分布列，从而求出X的数学期望E(X)

=3.2.估计这120名职工的平均得分为5E(X),由此能求出结果.

②“得分不小于20分”，即P(X24)=P(X=4)+P(X=5)=0.4+01=0.5.设

该科室5名职工中得分不小于20分的人数为七贝ijf〜B(5,0.5),由此能求出这5名职

工中至少有4人得分不小于20分的概率.

(2)由题意知(0.8-0.9)2+(0.8-0.8)2+(0.7-0.7)2+(0.7-0.6)2+(0.2

5

-0.4)2]=0.012<0.05,从而本次测试的难度预估是合理的.

【解答】解：(1)①根据上面的测试结果统计表，得X的分布列为：

X012345

P00.10.20.20.40.1

.♦.X的数学期望E(X)=1X0.1+2X0.2+3X0.2+4X0.4+5X0.1=3.2.

•.•每项测试合格得5分，不合格得0分，

，估计这120名职工的平均得分为5E(X)=3.2X5=16.

②“得分不小于20分”，即“XN4”，

由①知P(XZ4)=P