2020-2021学年广东省深圳某中学高一（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年广东省深圳外国语学校高一（下）期末数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.己知，为虚数单位，则复数磊-=（）

43.D.--+^-i

A.iB.-iC.----------1

5555

2.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1

个白球”，则与事件A互斥的事件是（）

A.所取的3个球中至少有一个白球

B.所取的3个球中恰有2个白球1个黑球

C.所取的3个球都是黑球

D.所取的3个球中恰有1个白球2个黑球

3.已知a,0是平面，机，〃是直线.下列命题中不正确的是（）

A.若m〃n,则〃J_aB.若”z〃a,aA^=n,则

C.若〃z_La,m±p,贝!Ja〃BD.若加_La,wcp,贝！|a_L0

4.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰

好与圆柱的高相等.据说阿基米德对这个图最引以为自豪.在该图中，圆柱的体积与球

的体积之比为（）

A.2：1B.巡：2C.3：2D.4：3

5.为了了解高二学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率

分布直方图（如图），已知从左到右各长方形高的比为2：3：5：6：3：1,则该班学生

数学成绩在（80,100）之间的学生人数是（）

A.32人B.27人C.24人D.33人

6.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四

棱锥P-ABCQ为阳马，底面ABC。为矩形，PAJ_平面ABC。，AB=2,AD=4,二面角

P-BC-A为60°,则四棱锥P-ABC。的外接球的表面积为（）

64

A.16-rtB.20TTC.—TTD.32Tt

3

7.已知。为正三角形ABC内一点，且满足示+入丽+（1+入）羽=柞若△OAB的面积与4

OAC的面积比值为3,则入的值为（）

A.—B.1C.2D.3

2

8.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=26sinA,则cosA+sinC

的取值范围是（）

A.（当,Vs）B.（乎,y）C.Vs）D.e,F）

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知复数z满足z（2-0=i0为虚数单位），复数z的共轨复数为工贝I（）

C.复数z的实部为-1

D.复数z对应复平面上的点在第二象限

10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的有（）

A.A：B：C=a：b：c

口aa+b+c

B.—......=----------；--------；-----

sinAsinA+sinB+sinC

C.若sinAVsin8贝AVB

D.若sin2A=sin2B,则a=b

11.如图，在三棱锥尸-ABC中，D、E、尸分别为棱PC、AC.A3的中点，24,平面ABC,

ZABC=90°,AB=PA=6,8C=8,贝U()

D

A.点P与点2到平面。跖的距离相等

B.直线尸8与直线。尸垂直

C.三棱锥。-3所的体积为18

D.平面。EF截三棱锥P-ABC所得的截面面积为12

12.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八

边形ABCDEFGH,其中|OA|=1,则下列结论正确的有()

图2

图1

A.OA*OD=-岑

B.OB+OH=-V20E

C-AH-HO=BC-BO

D.蔗在标向量上的投影为-零

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若向量a=(l,2)>b=(0,1)，ka-b与a+2b共线，则实数2-

14.一组数6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的80%分位数为.

15.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需

该组织2位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发

给2位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息

的概率为.

16.如图，在棱长为2的正方体中ABC。-AIBICLDI,点M是的中点，动点尸在底面

ABC。内(包括边界)，若3P〃平面ALBM,则CIP与底面ABC。所成角的正切值的取

值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知向量；=(1,2)，b=(-3,k).

⑴若；底,求£|的值;

(2)若Z1G+2E)，求实数人的值；

(3)若Z与E的夹角是钝角，求实数上的取值范围.

18.如图，△ABC中，AC=BC=J^AB,A8EQ是边长为1的正方形，平面平面

2

ABC,若G、尸分别是EC、8。的中点.

(1)求证：GP〃平面ABC；

(2)求证：8cl,平面ACD；

(3)求8。和平面AC。所成角的大小,

19.在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间.某

地区一研究团队从该地区500名A病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，

抽取50人的相关数据，得到如表格：

潜伏期（单位：天）[0,2](2,4](4,6](6,8](8,(10,(12,

10]12]14]

人60岁及以上2587521

数60岁以下0224921

（1）估计该地区500名患者中60岁以下的人数；

（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到0.1）；

（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过

12天的概率.

RR

20.①J^cos8=2-2sin崇os为

②J^6sinC=ccosB,

③（b+a）（b-a）=〃-J&c三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解

答.

已知△ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,若a=4,c—yf^b,,

（1）求5

（2）求△ABC的面积.

21.某超市举办购物抽奖的促销活动，规定每位顾客购物满1000元，可参与抽奖，抽奖箱

中放有编号分别为1,2,3,4,5的五个小球.小球除编号不同外，其余均相同.活动

规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3,则获得奖金20元；若抽

到的小球编号为偶数，则获得奖金10元；若抽到其余编号的小球，则不中奖.现某顾客

依次有放回的抽奖两次.

(1)求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；

(2)求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为20元的概率.

22.如图，正方体ABC。-棱长为a,E,歹分别为AS、8C上的点，＞AE^BF

(1)当了为何值时，三棱锥B,-BEF的体积最大？

(2)求三棱锥囱-BE尸的体积最大时，二面角Bi-EF-2的正切值;

(3)求异面直线4E与BE所成的角的取值范围.

参考答案

一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分).

1.已知，为虚数单位，则复数釜-=()

4242

A.iB.-iC.-—^-iD.---^-i

5555

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

解.上g_=(-2+i)(l-2i)&

解,l+2i(l+2i)(l-2i)-5-1,

故选：A.

2.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1

个白球”，则与事件A互斥的事件是()

A.所取的3个球中至少有一个白球

B.所取的3个球中恰有2个白球1个黑球

C.所取的3个球都是黑球

D.所取的3个球中恰有1个白球2个黑球

【分析】事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”即所取的3个球是3黑或2黑1

白，由此能求出与事件A互斥的事件.

解：从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，

事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”即所取的3个球是3黑或2黑1白，

与事件A互斥的事件是所取的3个球中恰有2个白球1个黑球.

故选：B.

3.已知a,0是平面，”7,w是直线.下列命题中不正确的是()

A.若m〃n,m_La,则w_LaB.若小〃a,aA则

C.若机_1_0,则。〃0D.若加J_a,mcp,则a_L0

【分析】4根据两条平行线中一条垂直某平面，另一条也垂直这平面可判定；

B,若加〃a,aAp=n,则相〃〃或异面，；

C,根据线面垂直的性质、面面平行的判定判定；

。，根据面面垂直的判定；

解：对于4根据两条平行线中一条垂直某平面，另一条也垂直这平面可判定A正确；

对于8,若〃z〃a,al~lp=n,则机〃〃或异面，故错；

对于C,根据线面垂直的性质、面面平行的判定，可知C正确；

对于。，根据面面垂直的判定，可。正确；

故选：B.

4.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰

好与圆柱的高相等.据说阿基米德对这个图最引以为自豪.在该图中，圆柱的体积与球

的体积之比为（）

A.2：1B.爬:2C.3：2D.4：3

【分析】本题先找出圆柱底面和高分别与内切球的半径的关系，然后根据公式进行推理

运算即可得到结果.

解：由题意，圆柱底面半径『=球的半径R,

圆柱的高〃=2R,贝！|/球=4117?3,

V柱=71产/Z=H・R2・2R=2TIR3

,也=空贮=3

•,诟等兀R?一彳

5.为了了解高二学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率

分布直方图（如图）,已知从左到右各长方形高的比为2：3：5：6：3：1,则该班学生

数学成绩在（80,100）之间的学生人数是（）

A.32人B.27人C.24人D.33人

【分析】根据题意可得该班六个分数段的概率比例依次为2：3：5：6：3：1,进而得到

成绩在(80,90)与(90,100)之间的学生人数的概率，即可得到答案.

解：由题意可得：从左到右各长方形高的比为2：3：5：6：3：1,

所以(60,70),(70,80),(80,90),(90,100),(100,110),(110,120)

各分数段的概率之比为2：3：5：6：3：1,

所以该班学生数学成绩在(80,90)与(90,100)之间的学生人数的概率分别为：《，三.

410

所以该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是：60X([*)=33.

故选：D.

6.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四

棱锥尸-ABC。为阳马，底面A8C。为矩形，PAL平面A8CZ),AB=2,AD=4,二面角

P-BC-A为60。，则四棱锥P-ABC。的外接球的表面积为()

A.16TlB.20TtC.%64tD.32Tl

3

【分析】由题意可得/PBA为二面角尸-8C-A是60。，进而由题意可得PA的长度，

再由题意可得四棱锥P-ABCD的外接球就是以AB,AD,AP为邻边的长方体的三条棱

的外接球，有长方体的对角线等于外接球的直径求出外接球的半径，进而求出外接球的

表面积.

【解答】解因为底面ABCD为矩形，PAJ_平面ABCZ),所以PALBC,AB±BC,而尸A

HAB=A,所以3。_1面尸43,所以BC_LPB,

所以/P8A为面角P-8C-A为60°,即NPBA=60°,

在△PA2中，PA=AB«tan600=2・«=2证，

由题意可得四棱锥P-ABCD的外接球就是以AB,AD,AP为邻边的长方体的三条棱的

外接球，设外接球的半径为R,

则2R=〃B2+AD2+Ap2ri2+4+16=V^,

所以四棱锥P-ABCD的外接球的表面积S=4itR2=32n,

7.已知。为正三角形ABC内一点，且满足示+入神+(1+人)祈=五，若△。48的面积与4

OAC的面积比值为3,则人的值为()

A.—B.1C.2D.3

2

【分析】如图D,E分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的

条件得到最=_入而①；由于正三角形A8C,结合题目中的面积关系得到正，

②.由①②可得。分。E所成的比，从而得出入的值.

解：OA+XQB+(1+X)OC=0'

变为赢+OC+X(OB+OC)^.

如图，D,E分别是对应边的中点，

由平行四边形法则知祢+枳=2根，(OB+OC)=2^0D

故无=-人而①

在正三角形ABC中，

SS

,AAOC至AAOB3*5*SAABC=qSAABC=ySAADC)

且三角形AOC与三角形AOC同底边AC,

故。点到底边AC的距离等于D到底边AC的距离的三分之一，

故丽■五，今羽=-'m②

O/

由①②得入二^，

8.已知锐角三角形A3C的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,且〃=2bsinA,贝!JcosA+sinC

的取值范围是()

A.乌,V3)B.(亨,1)C.噂,V3)D.哈,V3)

【分析】已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出sinB的值，确定出B的度数，

进而表示出A+C的度数，用A表示出C,代入所求式子利用两角和与差的正弦函数公式

化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围求

出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出范围即可.

解：已知等式a=2bsinA利用正弦定理化简得：sinA=2sinBsinA,

♦sinAWO,

sinB=—,

2

・・・3为锐角，

：.B=30°,BPA+C=150°,

cosA+sinC=cosA+sin(150°-A)=cosA+—cosA+sinA=—cosA+-^-sinA=A/Q

2222

(^^-cosA+-^-sinA)=A/^sin(A+60°),

V60°<A<90°,

.•.120°<A+60°<150°,

A—<sin(A+60°)<丑，即返C^sin(4+60°)<—,

2222

则cosA+sinC的取值范围是(Y3,1).

22

故选：B.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知复数z满足z（2-/）=i（i为虚数单位），复数z的共轨复数为工贝I（）

B,白叵

z5

C.复数z的实部为-1

D.复数z对应复平面上的点在第二象限

【分析】把己知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项

得答案.

解：由5=,彳。袅凝凝厂得卓，

.•.|z|=J（蒋产+（1_）2=手故A错误;

1=上答，故8正确;

5

复数Z的实部为-看，故C错误；

5

复数z对应复平面上的点的坐标为（［,■!）,在第二象限，故。正确.

55

故选：BD.

10.在△A3C中，角A,B,。所对的边分别为。，b,c,下列说法正确的有（）

A.A：B：C=a：b：c

口

B.—.a..=-----a--+；b--+-c--；---

sinAsinA+sinB+sinC

C.若sinA<sinB,则A<B

D.若sin2A=sin2B,则a=b

【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式逐一分析各个选项即可求解.

解：对于A,若A=B=-^-9C=-^—,可得A：B：C=-^-：-^-=3：2：1,

236236

由正弦定理一7^—二上―二—二2R,可得〃：b：c=sinA：sinB：sinC=1：—=

sinAsinBsinC22

2：V3：1,

则A：B,CW〃：b：c,故A错误；

对于8,由正弦定理号-==2R，

sinAsinDsinC

可得右边=..a+b。2RsinA：2,inByRsinC=2R=左边,故正确；

sinA+sinB+sinCsinB+sinC

对于C,在AABC中，由正弦定理可得sinAVsinB

=a<b

oA<8,

因止匕在△ABC中，A<8是sinA>sin8的充要条件，故C正确；

对于。，由sin2A=sin28,可得A=B,或2A+28=n,即A=8,或A+B=』-,

2

所以：a—b,或a2+%2=c2,故。错误；

故选：BC.

11.如图，在三棱锥P-ABC中，D、E、尸分别为棱PC、AC,AB的中点，PAL平面ABC,

ZABC=90°,AB=PA=6,BC=8,贝I()

A.点P与点B到平面DEF的距离相等

B.直线PB与直线。尸垂直

C.三棱锥。-BEE的体积为18

D.平面。EF截三棱锥尸-A8C所得的截面面积为12

【分析】取尸8的中点M,连接。M,FM,证明平面。EF即为平面即可判断选

项A,假设直线PB与直线垂直，然后利用线面垂直的判定定理和性质定理进行推理，

即可判断选项B,利用锥体的体积公式进行求解,即可判断选项C,由截面为四边形DEFM

是矩形，求解面积即可判断选项D

解：对于A,取尸8的中点M,连接DM,FM,

因为M、D、E、尸分别为棱尸8、PC、AC,AB的中点，

所以。河〃BC,EF//BC,MF//PA,DE//PA,

故MF〃DE,EF//MD,

则平面DEF即为平面MDEF,

故直线尸2与平面ATOEF相交于点且M为PB的中点，

所以点P与点B到平面DEF的距离相等，

故选项A正确；

对于8,假设直线与直线垂直，

因为PA_L平面ABC,BCu平面ABC,

故PAJ_BC,XBC±AB,PAHAB=A,PA,A8u平面尸A8,

所以BC_L平面尸48,又PBu平面PA8,

则BCLPB,

因为E/〃BC,则EFJ_P8,

XPB±DF,S.EFr\DF=F,EF,。尸u平面。所，

则PB_L平面DEF,这与AB1.平面DEF矛盾,

所以假设不成立，则直线P8与直线。尸不垂直，

故选项B错误；

对于C,因为。，E分别为PC,AC的中点，

则PA//DES.D£=yPA=3，

又PA_L平面ABC,贝！J£>£_!_平面ABC,

又EF=4,BF=3,

所以五-BEF4-SABEF遮4XN3X4X3=6，

故选项c错误；

对于D,由选项A,可知平面。EF截三棱锥尸-ABC所得的截面为四边形。EFM,

因为/A8C=90°,则四边形。为矩形，

贝代△DEF4'X3X4=6'

所以SDEFM—2S^DEF=12,

故选项。正确.

故选：AD.

p

B

12.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八

边形ABCDEFGH,其中|。4|=1,则下列结论正确的有（）

B.OB+OH=-V20E

CAH-HO=BC-BO

D.燕在标向量上的投影为-平■

【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果.

解：图2中的正八边形ABCOEFGH,其中|OA|=1,

对于A：OA*OD=lxlXcos-^~=-故正确.

对于2：OB+OH=V2OA=-V2OE（故正确.

对于C...|而|=|血I，|而1=1而|,但对应向量的夹角不相等，所以不成立.故错误.

对于。：族在旋向量上的投影Im|COS等二-堂旗,lAHl^l,故错误.

故选：AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若向量二=(1,2)，b=(0,1)，kZV与之+2芯共线,则实数%=―.

【分析】利用向量坐标运算法则，求出kZ-E与2+2弓再由向量共线的性质列方程，能

求出k.

解：2)>b=(0,I),

ka-b=k(l,2)-(0,1)=(k,2k-l'>

a+2b=(l,2)+2(0,1)=(1,4；，

,ka-b与a+2b共线，

.,.4k-(2k-1)=0,解得k=—

故答案为：-

14.一组数6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的80%分位数为4.5.

【分析】因为1OX8O%=8,将数据从小到大排序第8个数据和第9个数据的平均数为第

80%分位数.

解：将数据从小到大排序：1,2,2,2,3,3,3,4,5,6,共10个数据.

因为10X80%=8,所以第8个数据和第9个数据的平均数为第80%分位数,为竽=4.5.

故答案为：4.5.

15.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需

该组织2位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发

给2位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息

的概率为金.

一25一

【分析】设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师

所发活动信息”，由题意尸(A)=P(B)=q，p(A+B)=P(A)+P(2)-P(A)P

5

(8),能求出甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率.

解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，

设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，

由题意尸(A)=三=《，P(B)=三4，

105105

...甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为:

p(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

=J

~25'

故选：

16.如图，在棱长为2的正方体中ABCO-ABCLDI,点M是AD的中点，动点尸在底面

ABC。内（包括边界）,若6P〃平面A1BM,则CiP与底面48。所成角的正切值的取

值范围是—[1,V51_.

【分析】取的中点N,连接QN、BiN、BiD,利用面面平行的判定定理可证得面BOV

〃面ALBM,从而确定点P在线段。N上运动；连接CP、CiP,则/GPC为直线CiP与

面ABC。所成的角，而tan/GPC=—1=£,于是求出线段CP的取值范围即可得解.

CPCP

解：如图所示，取8c的中点N,连接ON、BiN、BiD,则DN//BM,

■:BiNCDN=N,BiN、DNu面BiDN,AiMQBM=M,AiM,BMu面

.•.面SON〃面

「BP〃平面且点尸在底面A8CD上，...点尸在线段0V上运动.

连接CP、CiP,则/GPC为直线CiP与面A8CD所成的角,

〔=

tanZCiPC=cc2

~CP~CP

在RtZ\C£>N中，当点尸与点。重合时，CP最长为2；

当CPLOV时，CP最短为2,

tanZCiPCe[l,

故答案为：口，丁目.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知向重a=(l,2)，b=(-3,k)-

⑴若Z鹿，求后|的值；

(2)若£1(7+2三)，求实数上的值；

(3)若z与石的夹角是钝角，求实数左的取值范围.

【分析】(1)利用向量平行的性质求出k=-6,由此能求出|b|的值.

(2)利用向量垂直的性质能求出实数上

(3)由Z与E的夹角是钝角，得到；・2三<0且Z与E不共线.由此能求出实数上的取值

范围.

解：(1)因为向量a=(l,2)>b=(-3,k),且aIIb，

所以1XA:-2X(-3)=0,解得左=-6,

所以EI=V(-3)2+(-6)2=3>/5-

(2)因为7+2三=(-5,2+2k)，且W1(；+2E>

所以IX(-5)+2X(2+2左)=0,解得

4

(3)因为Z与三的夹角是钝角，

则Z・2E<o且之与E不共线.

即IX(-3)+2XhC0且上#-6,

所以k<微且y-6.

18.如图，△ABC中，AC=BC=^AB,ABED是边长为1的正方形，平面平面

2

ABC,若G、尸分别是EC、8。的中点.

(1)求证：GF〃平面ABC；

(2)求证：BC_L平面AC。；

(3)求和平面AC。所成角的大小,

【分析】(1)取BE的中点连接族，GH.通过证明平面HG尸〃平面A8C.然后说

明GF〃平面ABC-

(2)由已知得AO_LAB,结合平面A8£Z)_L平面4BC,可得AD_L平面ABC,进一步得

到AOL8C,再由勾股定理证得ACL8C,即可得到8CL平面A。；

(3)由(2)可知N2OC为2。和平面AC。所成的角，求解三角形得答案.

【解答】(1)证明：如图，取BE的中点X,连接成，GH.

VG,尸分别是EC和8。的中点，

C.HG//BC,HF//DE.

又：四边形ADEB为正方形，

：.DE//AB,Affi]HF//AB.

：8Cu平面ABC,HGC平面ABC,；.HG〃平面ABC,

同理HF〃平面ABC,又HGCHF=H,

：.平面HGF//平面ABC,贝！]GF〃平面ABC-,

(2)证明：防为正方形，：.AD±AB.

又；平面ABED_L平面ABC,且平面ABEDCl平面ABC^AB,

.•.AO_L平面ABC,则AD_L8C,

AB=1,；.AC=BC=^，

贝ijCA2+C¥=AB2,得AC_LBC.

又A£>CAC=A,，BC_L平面AC£)；

(3)解：由(2)知，BC±¥ffiACD,

:./BDC为BD和平面ACD所成的角,

在Rt/XBCD中，8C=返，BD=®Asin/返

BC21，

2ZBDC-

BD-V2-2

可得NBDC=30°,

即BD和平面ACD所成角的大小为30°.

19.在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间.某

地区一研究团队从该地区500名A病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样,

（1）估计该地区500名患者中60岁以下的人数；

（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到0.1）；

（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过

12天的概率.

【分析】（1）调查的50名A病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，由此能求出该

地区A病毒患者中，60岁以下的人数.

（2）利用频数分布表能求出50名患者的平均潜伏期.

（3）样本潜伏期超过10天的患者共六人，其中潜伏期在10〜12天的四人编号为：1,2,

3,4,潜伏期超过12天的两人编号为：5,6,从六人中抽取两人，利用列举法能求出这

两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率.

解：(1)调查的50名A病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，

因此该地区A病毒患者中，60岁以下的人数估计有驾500=200人；

(2)50名患者的平均潜伏期为：

-1-I

X-77-(1X2+3X7+5X10+7X11+9X14+11X4+13X2)^><346=6.92(天)；

bU&U

(3)样本潜伏期超过10天的患者共六人，

其中潜伏期在10〜12天的四人编号为：1,2,3,4,

潜伏期超过12天的两人编号为：5,6,

从六人中抽取两人包括15个基本事件，分别为：

1,2；1,3；1,4；1,5；1,6；2,3；2,4；2,5；2,6；3,4；3,5；3,6；4,5；

4,6；5,6.

记事件“恰好一人潜伏期超过12天”为事件A,则事件A包括8个，

所以这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率p(A)咯.

15

RR

20.①<>/^cos8=2-2sin-^-cos-^-,

②FbsinC=ccosB,

③(6+a)(b-a)=理-三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解

答.

已知△ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,若。=4,c=«6,,

(1)求8；

(2)求△A8C的面积.

【分析】(1)若选①，利用两角和的正弦公式可求sin(8+3)=1,进而可得2的值；

若选②，利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求tanB的值，结合B的范围可求2

的值；

若选③，利用余弦定理可得cosB,进而可求3

(2)由正弦定理可求sinC,可得C=m或纣，进而分类讨论利用三角形的面积公式

33

即可求解.

解：(1)若选①，^/gcosB=2-2sin^cos^-,

可得J"§cosB+sinB=2,

可得：sin(8+——)=1,

3

因为加(0,Tl),

—r/日C冗/兀4兀、

可行5H~——6(--y--)，

333

—r”曰n兀兀

O乙

可得B=2L；

6

若选②，J"§/?sinC=ccosB,

由正弦定理可得J"§sin5sinC=sinCcosB,

因为sinCWO,

可得J^sin5=cos3,即tanB=^^-,

因为(0,n),可得3=4-；

6

若选③，因为(b+a)(b-a)=c2-

可得(:2+〃2-^2=yj^aCj

可得c°sB=yitH=®£=返，

2ac2ac2

因为Be(0,F),可得8=』-；

6

(2)结合(1)因为c=«6,利用正弦定理可得学与=£=F，

sinob

所以sinC=Y3,所以。=乌或

233

当时，4=萼，

因为。=4,

所以b=2,c=2娓,

可得：S"8c="^bc=*X2X2J§=2

当。=与时，人=3，

36

所以A=2,又因为a=4,所以b=4,

S^BC=—absinC=』X4X4义返=4y.

222

21.某超市举办购物抽奖的促销活动，规定每位顾客购物满1000元，可参与抽奖，抽奖箱

中放有编号分别为1,2,3,4,5的五个小球.小球除编号不同外，其余均相同.活动

规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3,则获得奖金20元；若抽

到的小球编号为偶数，则获得奖金10元；若抽到其余编号的小球，则不中奖.现某顾客

依次有放回的抽奖两次.

（1）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率;

（2）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为20元的概率.

【分析】（1）先列举所有的结果，两次都没有中奖的情况有（1，1）,（1，5）,（5,

1）,（5,5）,共4种，根据概率公式计算即可,

（2）分类求出顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率，再根据概率公式计算即可.

解：（1）该顾客有放回的抽奖两次的所有的结果如下:

(1,1),(1,2)(1,3),(1,4)(1,5),

(2,1),(2,2)(2,3),(2,4)(2,5),

(3,1),(3,2)(3,3),(3,4)