2024年中考数学二轮题型突破练习题型9 二次函数综合题 类型11 二次函数与正方形有关的问题（专题训练）（教师版）

PAGE类型十一二次函数与正方形有关的问题（专题训练）1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，抛物线SKIPIF1<0的图象经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点，且一次函数SKIPIF1<0的图象经过点SKIPIF1<0．

(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为平面内两点，若以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为顶点的四边形是正方形，且点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的左侧．这样的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点SKIPIF1<0的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线SKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位长度得到抛物线SKIPIF1<0，此抛物线的图象与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（SKIPIF1<0点在SKIPIF1<0点左侧）．点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上的一个动点且在直线SKIPIF1<0下方．已知点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0．过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0为何值时，SKIPIF1<0有最大值，最大值是多少？【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)满足条件的E、F两点存在，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(3)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）①当SKIPIF1<0为正方形的边长时，分别过SKIPIF1<0点SKIPIF1<0点作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0同理可得，SKIPIF1<0；②以SKIPIF1<0为正方形的对角线时，过SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互相平分且相等，则四边形SKIPIF1<0为正方形，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或4，进而即可求解；（3）得出SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，则SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，且横坐标为SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0

解得SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0

把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（2）满足条件的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点存在，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

解：①当SKIPIF1<0为正方形的边长时，分别过SKIPIF1<0点SKIPIF1<0点作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.

过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0同理可得，SKIPIF1<0②以SKIPIF1<0为正方形的对角线时，过SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互相平分且相等，则四边形SKIPIF1<0为正方形，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0

∵SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或4当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0右侧故舍去；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.综上所述：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（3）∵SKIPIF1<0向右平移8个单位长度得到抛物线SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点∴SKIPIF1<0

在直线SKIPIF1<0下方的抛物线SKIPIF1<0上任取一点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0轴交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0

∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形∴SKIPIF1<0∵点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，且横坐标为SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0

∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，抛物线SKIPIF1<0的顶点为SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且平行于SKIPIF1<0轴，与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的右侧）．将抛物线SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0翻折得到抛物线SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，顶点为SKIPIF1<0．

(1)当SKIPIF1<0时，求点SKIPIF1<0的坐标；(2)连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为直角三角形，求此时SKIPIF1<0所对应的函数表达式；(3)在（2）的条件下，若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0两点分别在边SKIPIF1<0上运动，且SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为一边作正方形SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，写出SKIPIF1<0长度的最小值，并简要说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0，见解析【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标SKIPIF1<0，根据对称性，即可求解．（2）由题意得，SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0，则抛物线SKIPIF1<0．进而得出可得SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，如图1，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴，垂足为SKIPIF1<0．求得SKIPIF1<0，代入解析式得出SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0．②当SKIPIF1<0时，如图2，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．同理可得SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，代入解析式得出SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；③当SKIPIF1<0时，此情况不存在．（3）由（2）知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的面积为1，不合题意舍去．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的面积为3，符合题意．由题意可求得SKIPIF1<0．取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中可求得SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中可求得SKIPIF1<0．易知当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0取最小值，最小值为SKIPIF1<0．【详解】（1）∵SKIPIF1<0，∴抛物线SKIPIF1<0的顶点坐标SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称．∴SKIPIF1<0．（2）由题意得，SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，∴SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0．∴当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0时，如图1，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴，垂足为SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵直线SKIPIF1<0轴，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．又∵点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0图像上，∴SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．∵当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0重合，舍去．当SKIPIF1<0时，符合题意．将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．

②当SKIPIF1<0时，如图2，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．同理可得SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．又∵点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0图像上，∴SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．此时SKIPIF1<0符合题意．将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．③当SKIPIF1<0时，此情况不存在．综上，SKIPIF1<0所对应的函数表达式为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（3）如图3，由（2）知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为1，不合题意舍去．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的面积为3，符合题意∴SKIPIF1<0．依题意，四边形SKIPIF1<0是正方形，∴SKIPIF1<0．取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中可求得SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中可求得SKIPIF1<0．∴当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0取最小值，最小值为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积问题，分类讨论是解题的关键．3．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知点A在y轴正半轴上．

(1)如果四个点SKIPIF1<0中恰有三个点在二次函数SKIPIF1<0（a为常数，且SKIPIF1<0）的图象上．①SKIPIF1<0________；②如图1，已知菱形SKIPIF1<0的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且SKIPIF1<0轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形SKIPIF1<0的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究SKIPIF1<0是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形SKIPIF1<0的顶点B、D在二次函数SKIPIF1<0（a为常数，且SKIPIF1<0）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．【答案】(1)①1；②SKIPIF1<0；③是，值为1；(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）①当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0不在二次函数图象上，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，求解SKIPIF1<0值即可；②由①知，二次函数解析式为SKIPIF1<0，设菱形的边长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由菱形的性质得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，计算求出满足要求的解即可；③如图2，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由正方形的性质可知，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，计算求解即可1；（2）由题意知，分①当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧时，②当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧时，③当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧时，三种情况求解；①当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧时，SKIPIF1<0，同理（1）③，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧时，求解过程同（2）①；③当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧时，且SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0轴时，同理可求SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧时，且SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴时，由正方形、二次函数的性质可得，SKIPIF1<0．【详解】（1）①解：当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0不在二次函数图象上，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：1；②解：由①知，二次函数解析式为SKIPIF1<0，设菱形的边长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由菱形的性质得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0轴，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0，∴菱形的边长为SKIPIF1<0；③解：如图2，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，

由正方形的性质可知，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是定值，值为1；（2）解：由题意知，分①当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧时，②当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧时，③当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧时，三种情况求解；①当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧时，∵SKIPIF1<0，同理（1）③，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧时，同理可求SKIPIF1<0；③当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧时，且SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0轴时，同理可求SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧时，且SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴时，由正方形、二次函数的性质可得，SKIPIF1<0；综上所述，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，正方形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．4．（2023·江西·统考中考真题）综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿SKIPIF1<0匀速运动，到达点A时停止，以SKIPIF1<0为边作正方形SKIPIF1<0设点P的运动时间为SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0的而积为S，探究S与t的关系

(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0_______．②S关于t的函数解析式为_______．(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段SKIPIF1<0的长．(3)延伸探究：若存在3个时刻SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）对应的正方形SKIPIF1<0的面积均相等．①SKIPIF1<0_______；②当SKIPIF1<0时，求正方形SKIPIF1<0的面积．【答案】(1)①3；②SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(3)①4；②SKIPIF1<0【分析】（1）①先求出SKIPIF1<0，再利用勾股定理求出SKIPIF1<0，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出SKIPIF1<0，进而求出SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，SKIPIF1<0，由此求出当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可设S关于t的函数解析式为SKIPIF1<0，利用待定系数法求出SKIPIF1<0，进而求出当SKIPIF1<0时，求得t的值即可得答案；（3）①根据题意可得可知函数SKIPIF1<0可以看作是由函数SKIPIF1<0向右平移四个单位得到的，设SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0上的两点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0上的两点，由此可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，根据题意可以看作SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；②由（3）①可得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，继而得答案．【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿SKIPIF1<0匀速运动，∴当SKIPIF1<0时，点P在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案为：3；②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在SKIPIF1<0匀速运动，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：由图2可知当点P运动到B点时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为SKIPIF1<0，∴可设S关于t的函数解析式为SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0中得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴S关于t的函数解析式为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，当SKIPIF1<0时，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）解：①∵点P在SKIPIF1<0上运动时，SKIPIF1<0，点P在SKIPIF1<0上运动时SKIPIF1<0，∴可知函数SKIPIF1<0可以看作是由函数SKIPIF1<0向右平移四个单位得到的，设SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0上的两点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0上的两点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵存在3个时刻SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）对应的正方形SKIPIF1<0的面积均相等．∴可以看作SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案为：4；②由（3）①可得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．

.【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．5．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图1，抛物线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数）经过点SKIPIF1<0，顶点坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为抛物线上的动点，SKIPIF1<0轴于H，且SKIPIF1<0．

(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值；(3)如图2，四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0的横坐标．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0值，即可求出抛物线解析式．（2）利用抛物线的解析式可知道SKIPIF1<0点坐标，从而求出直线SKIPIF1<0的解析式，从而设SKIPIF1<0，根据直线SKIPIF1<0的解析式SKIPIF1<0可推出SKIPIF1<0，从而可以用SKIPIF1<0表达SKIPIF1<0长度，在观察图形可知SKIPIF1<0，将其SKIPIF1<0和SKIPIF1<0长度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，根据SKIPIF1<0横坐标取值范围以及此二次函数的图像性质即可求出SKIPIF1<0的最大值．（3）根据正方形的性质和SKIPIF1<0可求出SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0相似和SKIPIF1<0可推出SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，即可求出直线SKIPIF1<0的解析式，用SKIPIF1<0表达SKIPIF1<0点的横纵坐标，最后代入抛物线解析式，求出SKIPIF1<0的值即可求出SKIPIF1<0点横坐标．【详解】（1）解：SKIPIF1<0抛物线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数）经过点SKIPIF1<0，顶点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0抛物线的解析式为：SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．（2）解：过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，如图所示，

SKIPIF1<0抛物线的解析式为：SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的解析式为：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的解析式为：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0的解析式为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值，且最大值为：SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．（3）解:∵＋SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0抛物线的解析式为：SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0．设直线SKIPIF1<0的解析式为：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的解析式为：SKIPIF1<0．

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（十字相乘法），由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点横坐标为：SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用题，属于压轴题，解题的关键在于能否将面积问题和二次函数有效结合．6.（2022·浙江湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线SKIPIF1<0经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．(1)①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．(2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．【答案】(1)①A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【分析】（1）①根据坐标与图形的性质即可求解；②利用待定系数法求解即可；（2）证明Rt△ABP∽Rt△PCM，根据相似三角形的性质得到n关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．(1)解：①∵正方形OABC的边长为3，∴点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②把点A(3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y=−x2+bx+c，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；(2)解：由题意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°，∴Rt△ABP∽Rt△PCM，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．整理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．∴当SKIPIF1<0时，n的值最大，最大值是SKIPIF1<0．【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点A，B，C的坐标是解题的关键．7．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，二次函数SKIPIF1<0的图像与SKIPIF1<0轴分别交于点SKIPIF1<0（点A在点SKIPIF1<0的左侧），直线SKIPIF1<0是对称轴．点SKIPIF1<0在函数图像上，其横坐标大于4，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为圆心，作半径为SKIPIF1<0的圆，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切，切点为SKIPIF1<0．

(1)求点SKIPIF1<0的坐标；(2)若以SKIPIF1<0的切线长SKIPIF1<0为边长的正方形的面积与SKIPIF1<0的面积相等，且SKIPIF1<0不经过点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0长的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）令SKIPIF1<0求得点SKIPIF1<0的横坐标即可解答；（2）由题意可得抛物线的对称轴为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；如图连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，进而可得切线长SKIPIF1<0为边长的正方形的面积为SKIPIF1<0；过点P作SKIPIF1<0轴，垂足为H，可得SKIPIF1<0；由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；然后再分当点M在点N的上方和下方两种情况解答即可．【详解】（1）解：令SKIPIF1<0，则有：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）解：∵抛物线过SKIPIF1<0∴抛物线的对称轴为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,如图：连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴切线SKIPIF1<0为边长的正方形的面积为SKIPIF1<0，过点P作SKIPIF1<0轴，垂足为H，则：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，

假设SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0,则有以下两种情况：①如图1：当点M在点N的上方，即SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；②如图2：当点M在点N的上方，即SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；综上，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．∴当SKIPIF1<0不经过点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．8.（2022·山东泰安）若二次函数SKIPIF1<0的图象经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其对称轴为直线SKIPIF1<0，与x轴的另一交点为C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点M在直线SKIPIF1<0上，且在第四象限，过点M作SKIPIF1<0轴于点N．①若点N在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，求点M的坐标；②以SKIPIF1<0为对角线作正方形SKIPIF1<0（点P在SKIPIF1<0右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；（2）①先求出直线SKIPIF1<0的表达式为SKIPIF1<0，然后设点N的坐标为SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0．可得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．再由SKIPIF1<0，即可求解；②连接SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交与点E．设点