2024年中考数学二轮题型突破练习题型9 二次函数综合题 类型1 二次函数公共点问题（专题训练）（教师版）

PAGE类型一二次函数公共点问题（专题训练）1．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知：SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0．

(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是___________；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与SKIPIF1<0轴有两个公共点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，并与动直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．①当点SKIPIF1<0为抛物线顶点时，求SKIPIF1<0的面积；②探究直线SKIPIF1<0在运动过程中，SKIPIF1<0是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．【答案】(1)0或2或SKIPIF1<0；(2)①6，②存在，SKIPIF1<0【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出SKIPIF1<0值．（2）①根据SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标SKIPIF1<0，从而求出SKIPIF1<0长度，再利用SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的坐标点即可求出SKIPIF1<0的直线解析式，结合SKIPIF1<0即可求出SKIPIF1<0点坐标，从而求出SKIPIF1<0长度，最后利用面积法即可求出SKIPIF1<0的面积．②观察图形，用SKIPIF1<0值表示出点SKIPIF1<0坐标，再根据平行线分线段成比例求出SKIPIF1<0长度，利用割补法表示出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，将二者相减转化成关于SKIPIF1<0的二次函数的顶点式，利用SKIPIF1<0取值范围即可求出SKIPIF1<0的最小值．【详解】（1）解：SKIPIF1<0函数的图象与坐标轴有两个公共点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当函数为一次函数时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当函数为二次函数时，SKIPIF1<0，若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴分别只有一个交点时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点，即其中一点经过原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．综上所述，SKIPIF1<0或0．故答案为：0或2或SKIPIF1<0．（2）解：①如图所示，设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．

依题意得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0抛物线的解析式为：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0点SKIPIF1<0为抛物线顶点时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，且在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的横坐标等于SKIPIF1<0的横坐标，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：6．②SKIPIF1<0存在最大值，理由如下：如图，设直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0．由①得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值，最大值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面积问题，平行线分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及二次函数最值问题．2．（2023·云南·统考中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数SKIPIF1<0（实数SKIPIF1<0为常数）的图象为图象SKIPIF1<0．(1)求证：无论SKIPIF1<0取什么实数，图象SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴总有公共点；(2)是否存在整数SKIPIF1<0，使图象SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）分SKIPIF1<0与SKIPIF1<0两种情况讨论论证即可；（2）当SKIPIF1<0时，不符合题意，当SKIPIF1<0时，对于函数SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，从而有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，根据整数SKIPIF1<0，使图象SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的公共点中有整点，即SKIPIF1<0为整数，从而有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解之即可．【详解】（1）解：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0为一次函数SKIPIF1<0，此时，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴一次函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0为二次函数，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴总有交点，∴无论SKIPIF1<0取什么实数，图象SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴总有公共点；（2）解：当SKIPIF1<0时，不符合题意，当SKIPIF1<0时，对于函数SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，整数SKIPIF1<0，使图象SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的公共点中有整点，即SKIPIF1<0为整数，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0（舍去），∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是解题的关键．3.已知抛物线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是常数），SKIPIF1<0，下列四个结论：①若抛物线经过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，则方程SKIPIF1<0一定有根SKIPIF1<0；③抛物线与SKIPIF1<0轴一定有两个不同的公共点；④点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在抛物线上，若SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．其中正确的是__________（填写序号）．【答案】①②④【分析】①将SKIPIF1<0代入解析式即可判定；②由b=c，可得a=-2c，cx2+bx+a=0可得cx2+cx-2c=0，则原方程可化为x2+x-2=0，则一定有根x=-2；③当b2-4ac≤0时，图像与x轴少于两个公共点，只有一个关于a，b，c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0≤0，故③错误；④若0<a<c，则有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴SKIPIF1<0，因为a>0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x1<x2<1时，y1>y2，故④正确．【详解】解：∵抛物线经过点SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即9a-3b+c=0∵SKIPIF1<0∴b=2a故①正确；∵b=c，SKIPIF1<0∴a=-2c，∵cx2+bx+a=0∴cx2+cx-2c=0，即x2+x-2=0∴一定有根x=-2故②正确；当b2-4ac≤0时，图像与x轴少于两个公共点，只有一个关于a、b、c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0，故③错误；若0<a<c，则有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴SKIPIF1<0，因为a>0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x1<x2<1时，y1>y2，故④正确．故填：①②④．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二元一次方程，灵活运用二次函数的图像与性质成为解答本题的关键．4.已知抛物线SKIPIF1<0．(1)如图①，若抛物线图象与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴交点SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0．①求该抛物线所表示的二次函数表达式；②若点SKIPIF1<0是抛物线上一动点（与点SKIPIF1<0不重合），过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，与线段SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．是否存在点SKIPIF1<0使得点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的三等分点？若存在，请求出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．(2)如图②，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，同时与抛物线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，以线段SKIPIF1<0为边作菱形SKIPIF1<0，使点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0轴的正半轴上，若该抛物线与线段SKIPIF1<0没有交点，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)①SKIPIF1<0，②存在，点P坐标为(2，-3)或（SKIPIF1<0，-SKIPIF1<0），理由见解析(2)b<SKIPIF1<0或b>SKIPIF1<0【分析】（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB的解析式，设点M(m，m-3)点P（m，m2-2m-3）若点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的三等分点，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，代入求解即可；（2）先用待定系数法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的长为5，因为四边形CDFE是菱形，由此得出点E的坐标．再根据该抛物线与线段SKIPIF1<0没有交点，分两种情况（CE在抛物线内和CE在抛物线右侧）进行讨论，求出b的取值范围．(1)①解：把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0②解：存在，理由如下，设直线AB的解析式为y=kx+b，把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直线AB的解析式为y=x-3，设点M(m，m-3)、点P（m，m2-2m-3）若点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的三等分点，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得：m=2或m=SKIPIF1<0或m=3，经检验，m=3是原方程的增根，故舍去，∴m=2或m=SKIPIF1<0∴点P坐标为(2，-3)或（SKIPIF1<0，-SKIPIF1<0）(2)解：把点D（-3，0）代入直线SKIPIF1<0，解得n=4，∴直线SKIPIF1<0，当x=0时，y=4，即点C（0，4）∴CD=SKIPIF1<0=5，∵四边形CDFE是菱形，∴CE=EF=DF=CD=5，∴点E（5，4）∵点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，∴（-3）2-3b+c=0，∴c=3b-9，∴SKIPIF1<0，∵该抛物线与线段SKIPIF1<0没有交点，分情况讨论当CE在抛物线内时52+5b+3b-9<4解得：b<SKIPIF1<0当CE在抛物线右侧时，3b-9>4解得：b>SKIPIF1<0综上所述，b<SKIPIF1<0或b>SKIPIF1<0【点睛】此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论5.已知抛物线SKIPIF1<0经过点（0，2），且与SKIPIF1<0轴交于A、B两点．设k是抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交点的横坐标；M是抛物线SKIPIF1<0的点，常数m>0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．(1)求c的值；(2)直接写出T的值；(3)求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)2(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）将点（0，2）带入直接求解；（2）找到三个点M的纵坐标之间的而关系，即可求解；（3）将函数转化为方程，即可表示出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，带入原式即可求解．(1)解：∵将点（0，2）带入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0．(2)由（1）可知，抛物线的解析式为SKIPIF1<0，∵当S=m时恰好有三个点M满足，∴必有一个M为抛物线的顶点，且M纵坐标互为相反数．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．即此时M（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），则另外两个点的纵坐标为SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．(3)由题可知，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与方程的关系、代数式求值等，属于综合题目，灵活运用代数计算是解题的关键．6.已知抛物线SKIPIF1<0的对称轴为直线SKIPIF1<0．（1）求a的值；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）设直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于点A、B，与抛物线SKIPIF1<0交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，见解析；（3）SKIPIF1<0【分析】（1）根据对称轴SKIPIF1<0，代值计算即可（2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果（3）先根据求根公式计算出SKIPIF1<0，再表示出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，即可得出结论【详解】解：（1）由题意得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0抛物线对称轴为直线SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，y随x的增大而减小，当SKIPIF1<0时，y随x的增大而增大．SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，y1随x1的增大而减小，SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理：SKIPIF1<0时，y2随x2的增大而增大SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）令SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0AB与CD的比值为SKIPIF1<0【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点7.抛物线SKIPIF1<0与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且SKIPIF1<0．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线SKIPIF1<0上方的一点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点E，当SKIPIF1<0时，求点P的坐标；（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿SKIPIF1<0方向平移，使点D落在点SKIPIF1<0处，且SKIPIF1<0，点M是平移后所得抛物线上位于SKIPIF1<0左侧的一点，SKIPIF1<0轴交直线SKIPIF1<0于点N，连结SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0的值最小时，求SKIPIF1<0的长．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，先利用待定系数法求出直线SKIPIF1<0的解析式，再根据SKIPIF1<0可得点SKIPIF1<0的坐标，代入直线SKIPIF1<0的解析式求解即可得；（3）先根据SKIPIF1<0求出点SKIPIF1<0的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式，设点SKIPIF1<0的坐标，从而可得点SKIPIF1<0的坐标，然后根据两点之间的距离公式可得SKIPIF1<0，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得．【详解】解：（1）由题意，将点SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则抛物线的解析式为SKIPIF1<0；（2）对于二次函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，综上，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（3）二次函数SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则平移后的二次函数的解析式为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，如图，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由两点之间线段最短得：SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，由垂线段最短得：当点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，此时点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，则点SKIPIF1<0的纵坐标与点SKIPIF1<0的纵坐标相等，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键．8.已知二次函数SKIPIF1<0的图象开口向上，且经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值（用含SKIPIF1<0的代数式表示）；（2）若二次函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为1，求SKIPIF1<0的值；（3）将线段SKIPIF1<0向右平移2个单位得到线段SKIPIF1<0．若线段SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0仅有一个交点，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0【分析】（1）利用待定系数法将点A、B的坐标代入即可（2）根据抛物线图像分析得在SKIPIF1<0范围内，SKIPIF1<0的最大值只可能在SKIPIF1<0或SKIPIF1<0处取得，进行分类讨论①若SKIPIF1<0时，②若SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，计算即可（3）先利用待定系数法写出直线AB的解析式，再写出平移后的解析式，若线段SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0仅有一个交点，即方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的范围内仅有一个根，只需当SKIPIF1<0对应的函数值小于或等于0，