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文档简介
2023-2024学年福建省仙游一中高三压轴卷数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若复数满足,则对应的点位于复平面的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知函数,若函数的极大值点从小到大依次记为,并记相应的极大值为,则的值为()A. B. C. D.3.双曲线的左右焦点为,一条渐近线方程为,过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,满足,则该双曲线的离心率为()A. B.3 C. D.24.根据散点图,对两个具有非线性关系的相关变量x,y进行回归分析,设u=lny,v=(x-4)2,利用最小二乘法,得到线性回归方程为=0.5v+2,则变量y的最大值的估计值是()A.e B.e2 C.ln2 D.2ln25.若函数在处取得极值2,则()A.-3 B.3 C.-2 D.26.如图所示,已知双曲线的右焦点为,双曲线的右支上一点,它关于原点的对称点为,满足,且,则双曲线的离心率是().A. B. C. D.7.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计,烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位:)服从正态分布,则直径在内的概率为()附:若,则,.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.95448.已知函数,若关于的方程有且只有一个实数根,则实数的取值范围是()A. B.C. D.9.若双曲线的焦距为,则的一个焦点到一条渐近线的距离为()A. B. C. D.10.已知为等腰直角三角形,,,为所在平面内一点,且,则()A. B. C. D.11.若数列满足且,则使的的值为()A. B. C. D.12.已知函数,,若存在实数,使成立,则正数的取值范围为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.平面向量与的夹角为,,,则__________.14.若函数()的图象与直线相切,则______.15.已知三棱锥中,,,则该三棱锥的外接球的表面积是________.16.点到直线的距离为________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知矩形纸片中,,将矩形纸片的右下角沿线段折叠,使矩形的顶点B落在矩形的边上,记该点为E,且折痕的两端点M,N分别在边上.设,的面积为S.(1)将l表示成θ的函数,并确定θ的取值范围;(2)求l的最小值及此时的值;(3)问当θ为何值时,的面积S取得最小值?并求出这个最小值.18.(12分)已知,且满足,证明:.19.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.(1)求直线和圆的普通方程;(2)已知直线上一点,若直线与圆交于不同两点,求的取值范围.20.(12分)已知抛物线的焦点为,准线与轴交于点,点在抛物线上,直线与抛物线交于另一点.(1)设直线,的斜率分别为,,求证:常数;(2)①设的内切圆圆心为的半径为,试用表示点的横坐标;②当的内切圆的面积为时,求直线的方程.21.(12分)已知函数,.(1)当时,求不等式的解集;(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.22.(10分)已知椭圆的右焦点为,直线被称作为椭圆的一条准线,点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点),过点作直线与椭圆相切,且与直线相交于点.(1)求证:.(2)若点在轴的上方,当的面积最小时,求直线的斜率.附:多项式因式分解公式:
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
利用复数模的计算、复数的除法化简复数,再根据复数的几何意义,即可得答案;【详解】,对应的点,对应的点位于复平面的第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义,考查运算求解能力,属于基础题.2、C【解析】
对此分段函数的第一部分进行求导分析可知,当时有极大值,而后一部分是前一部分的定义域的循环,而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍,故此得到极大值点的通项公式,且相应极大值,分组求和即得【详解】当时,,显然当时有,,∴经单调性分析知为的第一个极值点又∵时,∴,,,…,均为其极值点∵函数不能在端点处取得极值∴,,∴对应极值,,∴故选:C【点睛】本题考查基本函数极值的求解,从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列,最后分组求和,要求学生对数列和函数的熟悉程度高,为中档题3、A【解析】
设,直线的方程为,联立方程得到,,根据向量关系化简到,得到离心率.【详解】设,直线的方程为.联立整理得,则.因为,所以为线段的中点,所以,,整理得,故该双曲线的离心率.故选:.【点睛】本题考查了双曲线的离心率,意在考查学生的计算能力和转化能力.4、B【解析】
将u=lny,v=(x-4)2代入线性回归方程=-0.5v+2,利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值.【详解】解:将u=lny,v=(x4)2代入线性回归方程=0.5v+2得:,即,当时,取到最大值2,因为在上单调递增,则取到最大值.故选:B.【点睛】本题考查了非线性相关的二次拟合问题,考查复合型指数函数的最值,是基础题,.5、A【解析】
对函数求导,可得,即可求出,进而可求出答案.【详解】因为,所以,则,解得,则.故选:A.【点睛】本题考查了函数的导数与极值,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.6、C【解析】
易得,,又,平方计算即可得到答案.【详解】设双曲线C的左焦点为E,易得为平行四边形,所以,又,故,,,所以,即,故离心率为.故选:C.【点睛】本题考查求双曲线离心率的问题,关键是建立的方程或不等关系,是一道中档题.7、C【解析】
根据服从的正态分布可得,,将所求概率转化为,结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】由题意,,,则,,所以,.故果实直径在内的概率为0.8185.故选:C【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题,考查了正态曲线的对称性,属于基础题.8、B【解析】
利用换元法设,则等价为有且只有一个实数根,分三种情况进行讨论,结合函数的图象,求出的取值范围.【详解】解:设,则有且只有一个实数根.当时,当时,,由即,解得,结合图象可知,此时当时,得,则是唯一解,满足题意;当时,此时当时,,此时函数有无数个零点,不符合题意;当时,当时,,此时最小值为,结合图象可知,要使得关于的方程有且只有一个实数根,此时.综上所述:或.故选:A.【点睛】本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法,数形结合是解决本题的关键.9、B【解析】
根据焦距即可求得参数,再根据点到直线的距离公式即可求得结果.【详解】因为双曲线的焦距为,故可得,解得,不妨取;又焦点,其中一条渐近线为,由点到直线的距离公式即可求的.故选:B.【点睛】本题考查由双曲线的焦距求方程,以及双曲线的几何性质,属综合基础题.10、D【解析】
以AB,AC分别为x轴和y轴建立坐标系,结合向量的坐标运算,可求得点的坐标,进而求得,由平面向量的数量积可得答案.【详解】如图建系,则,,,由,易得,则.故选:D【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.11、C【解析】因为,所以是等差数列,且公差,则,所以由题设可得,则,应选答案C.12、A【解析】
根据实数满足的等量关系,代入后将方程变形,构造函数,并由导函数求得的最大值;由基本不等式可求得的最小值,结合存在性问题的求法,即可求得正数的取值范围.【详解】函数,,由题意得,即,令,∴,∴在上单调递增,在上单调递减,∴,而,当且仅当,即当时,等号成立,∴,∴.故选:A.【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用,由基本不等式求函数的最值,存在性成立问题的解法,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由平面向量模的计算公式,直接计算即可.【详解】因为平面向量与的夹角为,所以,所以;故答案为【点睛】本题主要考查平面向量模的计算,只需先求出向量的数量积,进而即可求出结果,属于基础题型.14、2【解析】
设切点由已知可得,即可解得所求.【详解】设,因为,所以,即,又,.所以,即,.故答案为:.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度较易.15、【解析】
将三棱锥补成长方体,设,,,设三棱锥的外接球半径为,求得的值,然后利用球体表面积公式可求得结果.【详解】将三棱锥补成长方体,设,,,设三棱锥的外接球半径为,则,由勾股定理可得,上述三个等式全部相加得,,因此,三棱锥的外接球面积为.故答案为:.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算,根据三棱锥对棱长相等将三棱锥补成长方体是解答的关键,考查推理能力,属于中等题.16、2【解析】
直接根据点到直线的距离公式即可求出。【详解】依据点到直线的距离公式,点到直线的距离为。【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2),的最小值为.(3)时,面积取最小值为【解析】
(1),利用三角函数定义分别表示,且,即可得到关于的解析式;,,则,即可得到的范围;(2)由(1),若求l的最小值即求的最大值,即可求的最大值,设为,令,则,即可设,利用导函数判断函数的单调性,即可求得的最大值,进而求解;(3)由题,,则,设,,利用导函数求得的最大值,即可求得的最小值.【详解】解:(1),故.因为,所以,,所以,又,,则,所以,所以(2)记,则,设,,则,记,则,令,则,当时,;当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,故当时取最小值,此时,的最小值为.(3)的面积,所以,设,则,设,则,令,,所以当时,;当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,故当,即时,面积取最小值为【点睛】本题考查三角函数定义的应用,考查利用导函数求最值,考查运算能力.18、证明见解析【解析】
将化简可得,由柯西不等式可得证明.【详解】解:因为,,所以,又,所以,当且仅当时取等号.【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用,相对不难,注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.19、(1),;(2)【解析】分析:(1)用代入法消参数可得直线的普通方程,由公式可化极坐标方程为直角坐标方程;(2)把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,其中参数的绝对值表示直线上对应点到的距离,因此有,,直接由韦达定理可得,注意到直线与圆相交,因此判别式>0,这样可得满足的不等关系,由此可求得的取值范围.详解:(1)直线的参数方程为,普通方程为,将代入圆的极坐标方程中,可得圆的普通方程为,(2)解:直线的参数方程为代入圆的方程为可得:(*),且由题意,,.因为方程(*)有两个不同的实根,所以,即,又,所以.因为,所以所以.点睛:(1)参数方程化为普通方程,一般用消参数法,而消参法有两种选择:一是代入法,二是用公式;(2)极坐标方程与直角坐标方程互化一般利用公式;(3)过的直线的参数方程为(为参数)中参数具有几何意义:直线上任一点对应参数,则.20、(1)证明见解析;(2)①;②.【解析】
(1)设过的直线交抛物线于,,联立,利用直线的斜率公式和韦达定理表示出,化简即可;(2)由(1)知点在轴上,故,设出直线方程,求出交点坐标,因为内心到三角形各边的距离相等且均为内切圆半径,列出方程组求解即可.【详解】(1)设过的直线交抛物线于,,联立方程组,得:.于是,有:,又,;(2)①由(1)知点在轴上,故,联立的直线方程:.,又点在抛物线上,得,又,;②由题得,(解法一)所以直线的方程为(解法二)设内切圆半径为,则.设直线的斜率为,则:直线的方程为:代入直线的直线方程,可得于是有:得,又由(1)可设内切圆的圆心为则,即:,解得:所以,直线的方程为:.【点睛】本题主要考查了抛物线的性质,直线与抛物线相关的综合问题的求解,考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.21、(1)(2)【解析】
(1)当时,,当或时,,所以可转化为,解得,所以不等式的解集为.(2)因为,所以,所以,即,即.当时,因为,所以,不符合题意.当时,解可得,因为当时,不等式恒成立,所以,所以,解得,所以实数的取值范围为.22、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)由得令
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