数学中考考点复习训练及答案解析10：反比例函数

1

考点10反比例函数

电知识整乡

一、反比例函数的概念

1.反比例函数的概念

一般地，函数y=-a是常数，原0）叫做反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成y=履一的

X

形式.自变量元的取值范围是对0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数.

2.反比例函数y=-（4是常数，AH0）中x,y的取值范围

X

反比例函数y=-（&是常数，原0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值），的取值

x

范围也是非零实数.

二、反比例函数的图象和性质

1.反比例函数的图象与性质

（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、

四象限.由于反比例函数中自变量期0,函数月0,所以，它的图象与X轴、y轴都没有交点，即双曲线

的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.

（2）性质：当Q0时。，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.

当大＜0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.

k

表达式y=-（左是常数，片0）

X

kQ0R0

市

大致图象Ar

所在象限第一、三象限第二、四象限

增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大

1

2.反比例函数图象的对称性

反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线广元和产对称中心为原点.

3.注意

(1)画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各

点.

(2)随着㈤的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数y=K中科0

x

且)¥0.

(3)反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情

况.当Q0时，在每一象限(第一、三象限)内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x

的增大而减小.同样，当％<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大.

三、反比例函数解析式的确定

1.待定系数法

确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数>=&中，只有一个待定系数，因此只需要一

x

对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出发的值，从而确定其解析式.

2.待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤

(1)设反比例函数解析式为y=-(^0)；

x

(2)把已知一对x,y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程;

(3)解这个方程求出待定系数公

(4)将所求得的待定系数4的值代回所设的函数解析式.

四、反比例函数中|川的几何意义

1.反比例函数图象中有关图形的面积

1

2.涉及三角形的面积型

当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解.

(1)正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S^ABC=2S^AC0=\k\;

X

AOB=S^AOC+S^BOC=-0C\yA|+—OC-|yB|=-OC,(II+1I)；

k

(3)如图③，已知反比例函数y=七的图象上的两点，其坐标分别为(九片yA),yB)9。为A5

x

延长线与x轴的交点，则SAAOB=5AAOC-5OC\yA\~—OC-1yB\--0C-(]%I-1%I)-

五、反比例函数与一次函数的综合

1.涉及自变量取值范围型

当一次函数X=Kx+/?与反比例函数必=2相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐

X

标.针对y〉%时自变量X的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的

X的范围.例如，如下图，当V>当时，X的取值范围为%>%或/<x<0；同理，当X<y2时，X的

(1)从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.

①上值同号，两个函数必有两个交点；

1

②Z值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；

(2)从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况.

六、反比例函数的实际应用

解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量

的取值范围.

考向一反比例函数的定义

1.反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y,等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数A,

分母不能是多项式，只能是x的一次单项式.

2.反比例函数的一般形式的结构特征：①厚0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数为1.

典例引领

典例1下列函数中，y与x之间是反比例函数关系的是

A.xy=yf2B.3x+2y=0

k2

C.y=—D.产-----

xx+1

【答案】A

【解析】A、属于反比例函数，故此选项正确；

B、3x-2]7是一次函数，故此选项错误；

C、(在0)，不属于反比例函数，故此选项错误；

X

D、尸义，是丁与x-1成反比例，故此选项错误.

x+1

故选A.

变式拓展

X21

1.下列函数：®y=—；®y=—；③>=--；④》二2X7中，是反比例函数的有

2x2x

A.1个B.2个

C.3个D.4个

1

考向二反比例函数的图象和性质

当&>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y

随x的增大而减小.

当R0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y

随x的增大而增大.学科=网

双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两

个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）.

典例引领

典例2在同一坐标系中，函数尸（和产-丘+3的大致图象可能是

【解析】A、由反比例函数图象得函数产'a为常数，无wo）中k>o,

X

根据一次函数图象可得-k>0,则KO,则选项错误；

B、由反比例函数图象得函数产白（k为常数，反0）中々>0,

X

根据一次函数图象可得-攵>0,则收0,则选项错误；

c、由反比例函数图象得函数）=—a为常数，kwo）中NO,

x

根据一次函数图象可得-2<0,则E>0,则选项错误;

1

D、由反比例函数图象得函数y=±(k为常数，k/0)中《>0,

x

根据一次函数图象可得-K0,则k>0,故选项正确.

故选D.

3

典例3反比例函数y=--的图象在

x

A.第一、二象限B.第一、三象限

C.第二、三象限D.第二、四象限

【答案】D

【解析】因为左=—3<()，故图象在第二、四象限，故选D.

k

典例4已知点A(1,777),B(2,n)在反比例函数y=—(k<0)的图象上，则

X

A.m<n<0B.n<m<0

C.m>n>0D.n>m>0

【答案】A

kk

【解析】•・,反比例函数y=一(左V。)，它的图象经过A(Lm)，B(2,n)两点、，：・m^kvO,n=—<0,

x2

/.m<n<0,故选A.

变式拓展

4

2.对于函数〉=一，下列说法错误的是

x

A.这个函数的图象位于第一、第三象限

B.这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形

C.当x>0时，y随x的增大而增大

D.当xvO时，y随x的增大而减小

3.下列函数中，当x<0时，y随x的增大而减小的是

A.y=xB.y=2x-l

31

C.产一D.尸一

xx

4.如图是三个反比例函数)，=勺，)，=/■,产&在x轴上方的图象，由此观察得到心，心，依的大小关系为

XXX

1

A.k\>ki>k3B.ks>k»ki

C.k»k〉k\D.kQkOki

考向三反比例函数解析式的确定

1.反比例函数的解析式y=-（原0）中，只有一个待定系数晨确定了左值，也就确定了反比例函数,

X

因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对X,y的对应值或图象上一个点的坐标，代入y=（中

x

即可.

2.确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于

点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上.（2）把点的横、纵坐标

相乘，若乘积等于上则点在图象上，若乘积不等于鼠则点不在图象上.

典例引领

典例5若反比例函数的图象经过点（3,—2）,则该反比例函数的表达式为

66

A.B.—

y二y=

XX

33

C.尸D.——

XX

【答案】B

【解析】设反比例函数为：y=..•反比例函数的图象经过点（3,-2）,.•.七3X（-2）=-6.故反比

X

A

例函数为：y=—，故选B.

X

典例6如图，某反比例函数的图象过点用（-2,1）,则此反比例函数表达式为

22

A.y=—B.y=--

xx

11

C.y=-D.y=-一

2x2x

【答案】B

kk2

【解析】设反比例函数表达式为尸一，把M(—2,1)代入产一得，k=(-2)xl=-2,Ay=——，故

XXX

选B.

典例7如图，G是反比例函数产上在第一象限内的图象，且过点A(2,1),C2与G关于x轴对称，那

x

么图象C2对应的函数的表达式为(JC>0).

...点A关于x轴的对称点A'在C2上,

•.•点A(2,1),

：.A'坐标(2,-1),

2

...C2对应的函数的表达式为产-一，

X

故答案为尸-2.

X

变式拓展

5.已知反比例函数尸-9,下列各点中，在其图象上的有

X

1

A.(-2,-3)B.(2,3)

C.(2,-3)D.(1,6)

6.点A为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5,则x轴的距离为3,若点A在第二象限内，则这

个函数的解析式为

1212

A.y=—B.y=--

xx

11

C.尸——D.y=-——

12%12x

2

7.在平面直角坐标系中,点尸(2,“)在反比例函数产一的图象上，把点P向上平移2个单位，再向右平

X

移3个单位得到点Q,则经过点。的反比例函数的表达式为.

考向四反比例函数中左的几何意义

三角形的面积与攵的关系

(1)因为反比例函数y=K中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上

X

绝对值符号.

(2)若三角形的面积为［固，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过

2

此点向坐标轴所作垂线的垂足.

典例引领

典例8如图，点A为函数y=K(x>0)图象上的一点，过点A作x轴的平行线交y轴于点B,连接0A,

X

如果△AOB的面积为2,那么攵的值为

A.1B.2

C.3D.4

【答案】D

1

【解析】设点A坐标为(加，n),则有OB=n,由题意可得：—mn=2,所以〃〃?=4,又点A在

2

k

双曲线丁二一上，所以；如?二4,故选D.

x

典例9如图，已知双曲线y=X经过直角三角形斜边08的中点。，与直角边A3相交于点C,若4

x

0BC的面积为9,则仁.

【答案】6

【解析】如图，过点D作x轴的垂线交x轴于点E,

.•.△ODE的面积和△Q4C的面积相等.

.•.△0BC的面积和四边形DE.W5的面积相等且为9.

k

设点。的横坐标为X,纵坐标就为一，

X

2k

•.•D为0B的中点..•.区4=x,43=一，

x

1k2k

四边形DE-铝的面积可表不为：—(------)x=9?k=6.

2xx

故答案为：6.

【名师点睛】过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线段，垂线段与两坐标轴围成的矩形面

积等于因，结合函数图象所在的象限可以确定《的值，反过来，根据后的值，可以确定此矩形的面积.在

解决反比例函数与几何图形综合题时，常常需要考虑是否能用到人的几何意义，以简化运算.

变式拓展

4

8.如图，A、B两点在双曲线y=—的图象上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1,则5+1=

x

1

A.8

C.5D.4

9.如图，点A,8是反比例函数产七(x>0)图象上的两点，过点A,8分别作4C_Lx轴于点C,BDA.X

X

轴于点。，连接。4、BC,已知点C(2,0),BD=3,S“co=3,则SAAOC为

A.2B.3

C.4D.6

10.如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点8在x轴的正半轴上，顶点C在函数产七(x>0)的图

x

象上运动，且AC=BC,则AABC的面积大小变化情况是

A.一直不变B.先增大后减小

C.先减小后增大D.先增大后不变

考向五反比例函数与一次函数的综合

反比例函数与一次函数综合的主要题型：

(1)利用我值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置;

(2)已知直线与双曲线表达式求交点坐标；

1

(3)用待定系数法确定直线与双曲线的表达式：

(4)应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等.

解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题.

典例引领

典例10在同一平面直角坐标系中，函数y=—工与函数产x的图象交点个数是

x

A.0个B.1个

C.2个D.3个

【答案】A

【解析】的图象是过原点经过一、三象限，>=的图象在第二、四象限内，但不过原点，

X

两个函数图象不可能相交，故选A.

典例11已知一次函数与反比例函数”="在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当>1勺2时,

x

尢的取值范围是

A.犬＜一1或0a＜3B.-1＜工＜0或x＞3

C.-l<x<0D.x>3

【答案】B

【解析】根据图象知，一次函数)+b与反比例函数”=七的交点是(T,3),(3,-1)，，当

X

时，T<x<0或x>3,故选B.

【名师点睛】本题主要考查函数图象的交点，把不等式转化为函数图象的高低是解题的关键，注意数

形结合思想的应用.

]k

典例12如图，已知直线产--x+J6与双曲线广一(x>0)交于A、8两点，连接OA,若OALAB,

3x

则k的值为

1

、9Mn275/io

1010

【答案】B

【解析】如图，过A作于£,

•.•直线解析式为广-gx+加，；.c(o,Vio),DoVio10),

.*.OC=V10-OD=3VTO..一△COO中，CD=doc2+08=10,

11

'：OALAB,：.-COXDO=-CDXAO,

22

22

.MO=3,：.AD=yloD-OA=9.

119J10

V-ODXAE=-AOXAD,：.AE=—^—,

2210

,(3丽9V10、

1010

代入双曲线可得公噜x噜*

故选B.

1

变式拓展

11.已知反比例函数尸8(原0),当x>0时，y随X的增大而增大，那么一次函数尸质3的图象经过

X

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

m

12.如图，已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数严"+6和反比例函数尸一的图象的两个交点.

x

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)求△AO8的面积.

考向六反比例函数的应用

用反比例函数解决实际问题的步骤

(1)审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；

(2)设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示;

(3)歹U：由题目中的己知条件列出方程，求出待定系数；

(4)写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；

(5)解：用函数解析式去解决实际问题.

1

典例引领

典例13某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制利用了40min,之后将对泄漏有害气体进

行清理，线段。E表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x(min)之间的函数关系(0W

xW40),反比例函数产士对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y与时间x(min)

x

之间的函数关系(40<xW?).根据图象解答下列问题：

(1)危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是;

(2)求反比例函数产的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应

x的值.

【解析】(D当0WxW40时，设y与x之间的函数关系式为y=E,

(10,35)和(30,65)在js-方的图象上，

把(10,35)和(30,65)代入尸ax”,得

'10a+b=35旬a=L5

130a+6=65'『6=20'

二产L5x+20,

当产0时，产1.5X0-20=20,

故答案为：20;

(2)将x=40代入产1.5X+20,得y=80,...点E(40,80),

•.•点E在反比例函数产’的图象上,

X

k

/.80=—,得43200,

40

3200

即反比例函数广——，

x

0.3200,,,

当y=20时，20=----,得％=160,

x

即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值是160.

1

变式拓展

13.如图为某种材料温度yCO随时间x(min)变化的函数图象.已知该材料初始温度为15℃,温度上

升阶段y与时间x成一次函数关系，且在第5分钟温度达到最大值60℃后开始下降；温度下降阶段，

温度y与时间x成反比例关系.

(1)分别求该材料温度上升和下降阶段，y与x间的函数关系式；

(2)根据工艺要求，当材料的温度高于30℃时，可以进行产品加工，问可加工多长时间？

1

、亨点冲关充

1.下列函数中，y是冗的反比例函数的是

1

A.x(y-l)=lB.y=-------

x—5

「1n1

C-^=—D.y=—

3xx~

k-R

2.已知反比例函数产——的图象位于第一、三象限，则上的取值范围是

x

A.k>8B.后8

C.右8D.左<8

3.已知反比例函数产8的图象过点A(-3,2),则％的值为

X

A.3B.6

C.-6D.-3

4.已知点A(2,yi)、B(4,")都在反比例函数y=&(KO)的图象上，则"、”的大小关系为

X

A.y\>yiB.yi<”

C.yi=yiD.无法确定

5.如图，在平面直角坐标系x。)中，函数y=Rx+M七0)与〉=且(〃-0)的图象相交于点

x

ni

A（2,3）,B（-6,-l）,则不等式依+〃>一的解集为

A.x<-6B.-6vx<0或x>2

C.x>2D.xv-6或0vx<2

6.如图，点A、点8是函数y=(的图象上关于坐标原点对称的任意两点，BC〃x轴，AC〃y轴，/XABC

X

的面积是4,则攵的值是

1

2

7.反比例函数严区3>0,。为常数）和产一在第一象限内的图象如图所示，点M在尸区的图象上，MC

XXX

22a

轴于点C,交产4的图象于点A；轴于点£>,交产上的图象于点B.当点M在尸人的图象

XXX

上运动时，以下结论：①SASB=SAOCA；②四边形0AM8的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点

B是例。的中点.

A.0个

C.2个D.3个

8.如图，平面直角坐标系X。），中，矩形OA8C的边04、0c分别落在x、y轴上，点B坐标为（6,4）,

反比例函数产。的图象与AB边交于点，与BC边交于点E,连接。E,将△BOE沿OE翻折至△875E

x

处，点8恰好落在正比例函数产自图象上，则k的值是

21

A.--B.

521

1

£1

c.D.

524

k

9.如图，直线产x与双曲线y=[(左>0)的一个交点为4,且OA=2,则上的值为

23

10.如图，直线分别与反比例函数丁=-一和y=—的图象交于点A和点5,与y轴交于点P,且P为线段

xx

A8的中点，作轴于点C,轴交于点。，则四边形ABC。的面积是

11.如图，正方形A8C。的边长为2,边在x轴负半轴上，反比例函数产士(JC<0)的图象经过点B和

X

co边中点£则我的值为

12.如图，已知点P(6,3),过点尸作轴于点M,PALLy轴于点M反比例函数产"的图象交

X

PM于点4,交PN于点、B.若四边形QAPB的面积为12,则仁

1

k

13.如图，己知反比例函数y=—与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A(1,M+4).

x

(1)试确定这两个函数的表达式；

(2)求出这两个函数图象的另一个交点8的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的

值的x的取值范围.

14.如图，一次函数尸匕+%(鼠b为常数,原0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函

n

数产一(〃为常数，且存0)的图象在第二象限交于点C.轴，垂足为力，若08=204=300=12.

x

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)记两函数图象的另一个交点为E,求△CDE的面积;

n

(3)直接写出不等式"+后一的解集.

x

1

15.一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中

AB、BC为线段，CQ为双曲线的一部分）.

（1）分别求出线段A8和双曲线。的函数关系式；

（2）若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家

庭作业的高效时间是多少分钟？

直通中考

1.（2018•辽宁省阜新市）反比例函数产士的图象经过点（3,-2）,下列各点在图象上的是

X

A.（-3,-2）B.（3,2）

C.（-2,-3）D.（-2,3）

2.（2018•甘肃省天水市）函数yi=x和），2=上的图象如图所示，则”的x取值范围是

1

A.x<—l或x>lB.无<一1或0<x<l

C.—1<XVO或x>lD.-14<0或0a<1

3.(2018•黑龙江省大庆市)在同一直角坐标系中，函数产士和产a-3的图象大致是

X

31

4.(2018•广西玉林市)如图，点A,8在双曲线产一(x>0)上，点C在双曲线广一(x>0)上，若

xx

AC〃y轴，8C〃x轴，且AOBC,则A8等于

A.y/2

C.4

5.(2018•吉林省长春市)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形45c的顶点A、8分别在x轴、

k

y轴的正半轴上，ZABC=90°,CALr轴，点。在函数产一(x>0)的图象上，若AB=2,则Z的值为

x

1

A.4B.2夜

C.2D.V2

6.（2018•广西贺州市）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y尸质+〃（鼠人是常数，且后0）与

反比例函数”=£（c是常数，且存0）的图象相交于A（-3,-2）,B（2,3）两点，则不等式

X

的解集是

A.—3<^<2B.尤<一3或x>2

C.-3<x<0或x>2D.0a<2

Q

7.（2018•山东省日照市）已知反比例函数户」一，下列结论：①图象必经过（-2,4）；②图象在第二,

x

四象限内；③y随x的增大而增大；④当x>-l时，则y>8.其中错误的结论有

A.3个B.2个

C.1个D.0个

8.（2018•四川省攀枝花市）如图，已知点A在反比例函数产七（x>0）的图象上，作RtZ^4BC,边8C

X

在x轴上，点。为斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E,若ABCE的面积为4,则k=.

1

9.（2018•四川省泸州市）一次函数严丘+6（原0）的图象经过点A（2,-6）,且与反比例函数产-一的

x

图象交于点B（4,4）.

（1）求一次函数的解析式；

（2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线/：y尸hr+加（“#0），/与反比例函数的图象相交,

X

求使JKV2成立的X的取值范围.

亮参考答案.

变式拓展

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1.【答案】C

【解析】①不是正比例函数，②③④是反比例函数，故选C.

2.【答案】C

【解析】根据反比例函数的图象与性质，可由题意知；4>0,其图象在一三象限，且在每个象限内y随

x增大而减小，它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故选C.

3.【答案】C

1

【解析】A、为一次函数，k的值大于0,y随x的增大而增大，不符合题意；

B、为一次函数，%的值大于0,），随x的增大而增大，不符合题意；

C、为反比例函数，A的值大于0,x<0时，y随x的增大而减小，符合题意；

D、为反比例函数，A的值小于0,x<0时1y随x的增大而增大，不符合题意；

故选C.

4.【答案】B

kkk

【解析】由图知，尸」的图象在第二象限，产上，尸4的图象在第一象限，.•&<（）,幻乂），依>0,又