高一下学期期末复习解答题压轴题二十四大题型专练

20232024学年高一下学期期末复习解答题压轴题二十四大题型专练【人教A版（2019）】题型1题型1向量线性运算的几何应用1．（2223高一上·北京昌平·期末）如图，在△ABC中，AM=13(1)用a,b表示(2)若P为△ABC内部一点，且AP=512【解题思路】（1）由图中线段的位置及数量关系，用AC,AB表示出（2）用a,b表示AM+AN，得到【解答过程】（1）由题图，BC=MN=（2）由AM+又AP=512a+2．（2223高一上·辽宁葫芦岛·期末）平面内给定三个向量a=2,2,(1)求实数k关于n的表达式；(2)如图，在△OAB中，G为中线OM上一点，且OG=2GM，过点G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q（P,Q不与O重合）.设向量OP=【解题思路】（1）由向量平行的坐标运算求解即可；（2）由向量的运算得出OG=16nOP+【解答过程】（1）因为a+2c所以2(2+2k)=8(n−1)，即k=2n−3.（2）由（1）可知，OP=2nOA，OQ因为OG=2GM又OA=12nOP，因为P,G,Q三点共线，所以16nm+2n=当且仅当m=2n=23时，取等号，即OP=233．（2324高一下·湖南长沙·期中）（1）如图，OP，OQ不共线，R是直线PQ上的动点，证明：存在实数λ，μ，使得OR=λOP+μ（2）用向量法证明下列结论：三角形的三条中线交于一点.【解题思路】（1）设PR=tPQ，利用向量的减法可得OR−（2）利用（1）的结论，先设设BE、CF交于一点G，只需要证明AD过点G，利用向量证明证明AG=23AD，说明A、【解答过程】（1）证明：因为R是直线PQ上的动点，所以不妨设PR=tPQ（则OR−OP=t令λ=1−t，μ=t，则有OR=λOP+μ所以存在实数λ，μ，使得OR=λOP+μ（2）如图，△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，求证：AD、BE、CF交于一点.证明：不妨设BE、CF交于一点G，连接AG，因为D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，所以AE=12AC，根据（1）的结论得，在△ABE中，AG=λAB+μAE=λAB+在△ACF中，AG=xAC+yAF=xAC+所以λ=y2x=μ2所以AG=即AG=23AD，AG，A、所以AD、BE、CF交于一点.4．（2324高二上·上海闵行·期中）在ΔABC中，AC=2，BC=6，∠ACB=60°，点O为ΔABC所在平面上一点，满足OC=mOA+nOB（（1）证明：CO=（2）若点O为ΔABC的重心，求m、n的值；（3）若点O为ΔABC的外心，求m、n的值．【解题思路】（1）根据条件OC=m（2）根据重心的向量表示为OA+OB+OC=（3）根据点O为ΔABC的外心,求得CO⋅CB=12|CB|2,CO⋅CA【解答过程】（1）CO=m=m即CO所以CO则1−m−n所以CO=（2）若点O为ΔABC的重心则OA因为OC所以−m则m=−1,n=−1（3）由O是△ABC的外心得CO⋅CB=12所以,CO即2m−3n=3m+2n=−1解得m=3题型2题型2向量的数量积、夹角问题5．（2223高一下·广西桂林·期末）已知向量a，b满足a=1，b=2(1)求a⋅(2)求a与b的夹角θ；(3)求a−2【解题思路】（1）根据条件，利用数量积的运算法则即可求出结果；（2）根据（1）中结果，利用数量积夹角公式，得到a,（3）利用条件求出a→【解答过程】（1）因为a=1，b=2所以a⋅（2）因为cosa,b所以a,b=π4，故a（3）a−2b26．（2223高一下·新疆伊犁·期末）设x,y∈R，向量a=x,1，b=1,y，c=2,−2，且(1)求2a(2)求向量b+a与【解题思路】（1）根据向量平行、垂直的坐标运算可得x=−1y=1，进而可得2（2）根据题意可得b+a=0,2，c+【解答过程】（1）因为a∥c，b⊥c，则−2x=22−2y=0即a=−1,1，可知c=−2a，即c+2所以2a（2）由（1）可知：a=−1,1，可得b+a=则b+a=2,可得cosb且b+a,所以向量b+a与c+7．（2223高一上·江苏宿迁·期末）如图，在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=π3，且BC=2BD，AC=3(1)求AD⋅(2)求cos∠APB【解题思路】（1）根据数量积的定义求出AB⋅AC，再以AB、AC为基底表示AD、（2）求出AD、BE，再根据cos∠APB=【解答过程】（1）因为AB⋅因为BC=2BD，即D为BC的中点，所以又AC=3AE，所以所以AD==1（2）由题意知∠APB等于向量AD和BE的夹角，因为AD2=1因为BE2=−所以cos∠APB=8．（2223高一下·北京密云·期末）已知向量a=(1)若t=1，求a⋅b和(2)若a与b平行，求实数t的值；(3)若a与b的夹角为锐角，求实数t的取值范围．【解题思路】（1）根据数量积的坐标运算及模的公式计算；（2）由向量平行的坐标表示列式求解；（3）根据向量夹角公式求解.【解答过程】（1）当t=1时，b=1,2，又a=a+b=（2）因为a与b平行，所以−1×2−3t=0，解得t=−2（3）因为a与b夹角为锐角，所以a⋅b>0且a则−1×t+3×2>0且t≠−23，解得t的范围：{tt<6且t≠−题型3题型3平面向量基本定理的应用9．（2223高三上·陕西铜川·期末）如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC,M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D．(1)用OA和OC表示OM；(2)求证：OD=3【解题思路】（1）根据已知条件可得CB=12（2）由题意可得OD=tOM，再结合OM=23【解答过程】（1）∵OA=2BC，∴CB又∵M为AB上靠近B的三等分点，∴∴===2∴OM（2）∵OM交AC于D，∴OD由（1）知OM=∴OD∵A,D,C三点共线，∴2t3+∴OD即OD=310．（2223高一上·辽宁大连·期末）在三角形ABC中，AB=a，AC=b，BE=2EC，D为线段AC上任意一点，(1)若CD=2①用a,b表示②若AO=λEA，求(2)若BO=xBA+y【解题思路】（1）①根据平面向量基本定理即可求AE；②由B,O,D三点共线可得AO=(1−t)AB+（2）设AO=mAE0<m<1，根据平面向量基本定理可得BO=1−mBA+【解答过程】（1）①因为BE=2EC，所以故在△ABE中，AE==13AB②因为B,O,D三点共线，设BO=t所以AO=因为CD=2所以AD=所以AO又由①及已知，AO=λ所以1−t=−λ3t（2）因为BE=2EC，又A,O,E三点共线，设所以BO=又因为BO=xBA+y所以，12x+1当且仅当2m+12−2m=2−2m所以12x+111．（2223高一下·湖南益阳·期末）如图，在△ABC中，AB=2，AC=11，cos∠BAC=51122，D为BC的中点，E为AB边上的动点（不含端点），AD与CE

(1)若x=14，求(2)求AO⋅CE的最小值，并指出取到最小值时【解题思路】（1）设CO=λCE，根据向量的运算得到CE=34CA+14CB，CO=（2）设AO=μAD0<μ<1，因为E，O，C三点共线，得μ=2xx+1【解答过程】（1）设CO=λCE，因为即：CE=所以CO=因为A，O，D三点共线，所以34λ+1所以CO=45（2）设AO=μAD0<μ<1因为E，O，C三点共线，所以μ2⋅1所以AO=xx+1AB⋅AO=4设x+1=t1<t<2则AO⋅CE=当且仅当t=53，综上：AO⋅CE的最小值为−4，此时12．（2223高一下·浙江宁波·期中）如图，在梯形ABCD中，AD=2，DC=CB=3，AB=2DC，点E、F是线段DC上的两个三等分点，点G，点H是线段AB上的两个三等分点，点P是直线(1)求AB⋅(2)求FH的值；(3)直线AP分别交线段EG、FH于M，N两点，若B、N、D三点在同一直线上，求AMAN【解题思路】（1）以AB，AD为基底表示CB，CB=3，可得AB（2）以AB，AD为基底表示FH，进而计算模长；（3）根据向量共线定理分别可表示AM，AN，进而确定AMAN【解答过程】（1）设AB=a∵CB∴CB2=（2）AF=FH=FH=（3）设AN=xAF+yAH，即因为N在FH上，所以1−x−y=0，即y=1−x，∴AN即AN=23即23由于D，N，B三点共线，所以1−2∴x=12，设AM=λAE+μ即λME又M在EG上，则1−λ−μ=0，即μ=1−λ，AM=λ由于A，M，N三点共线，所以13−1所以AM=27题型4题型4向量坐标运算的几何应用

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示13．（2324高一下·河北邢台·阶段练习）已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，AB=2e1+e2，BE=−(1)求实数λ的值；(2)若e1=(3,1)，e2(3)已知D(−12,3)，在(2)的条件下，若A，B，C，D【解题思路】（1）AE//（2）BC=（3）根据题意得AD=【解答过程】（1）AE=因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得AE=k即e1+(1+λ)因为e1，e2解得k=−12，（2）BC=BE+（3）设A(x,y)，由题意可得AD=∴−12−x=−∴x=8，y=5.∴A(8,5).14．（2223高一下·湖北·期末）如图，在△ABC中AD=3AB，点E是CD的中点，AE与BC相交于F，设AB=(1)用a，b表示AE，DE；(2)若在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1,−2)，B(3,−2)，C(3,10)，求AF.【解题思路】（1）利用向量加法减法的几何意义即可用a，b表示AE，DE；（2）利用向量共线充要条件求得AF的坐标，进而即可求得AF的值.【解答过程】（1）在△ABC中AD=3AB，点E是CD的中点，AE与BC相交于AEDE（2）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1,−2)，B(3,−2)，C(3,10)，则AB=(4,0)，AC=(4,12)则AE设BF=λBC由AF∥AE，可得8×12λ−6×4=0则AF=(4,12λ)=(4,3)，则AF15．（2223高一下·贵州安顺·期末）如图，在直角△ABC中，角A为直角，点M是AC边的中点，点P满足AP=23AB，点

(1)若点Q是BC边上靠近C的三等分点，设PQ=λAB+μ(2)若AB=3,AC=2，求MQ⋅【解题思路】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得；（2）建立平面直角坐标系，设CQ=λCB（λ∈0,1【解答过程】（1）因为AP=23若点Q是BC边上靠近C的三等分点，则CQ=13所以PQ=又PQ=λAB+μAC，AB、AC不共线，所以（2）如图以A点为坐标原点建立平面直角坐标系，则B3,0，C0,2，P2,0因为Q在CB上，设CQ=λCB=所以MQ=PQ=所以MQ⋅因为λ∈0,1，所以当λ=613又1−613>613所以MQ⋅

16．（2223高一下·湖北武汉·期中）如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为2.(1)设AG=xAB+y(2)若点P在OD边上运动（包括端点），则求AO+2【解题思路】（1）根据向量的加减法运算，可得答案；（2）建立平面直角坐标系，求得相关各点坐标，表示出P点坐标(m,33m),0≤m≤【解答过程】（1）由题意得：两个正六边形全等，IG=则AG=故由AG=xAB+y（2）如图，以O为坐标原点，FC为x轴，OI为y轴建立平面直角坐标系，则A(3,−3),B(23由于直线OD的方程为y=33x，故设P则BP=(m−2所以AO+2则AO+2由于0≤m≤3，此时函数y=故当m=3时，y=所以AO+2题型5题型5用向量解决夹角、线段的长度问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示17．（2223高一下·上海宝山·期中）如图，在△ABC中，AC=2，AB=4．点D在边BC上，且CD=t(1)t=12，A=2π(2)t=15，AD恰为BC边上的高，求角(3)AD=3，求t的取值范围．【解题思路】（1）由题易知AD=12（2）由AD为BC边上的高，则AD⊥BC，即AD⋅BC=0（3）易知AD=tAB+1−tAC，则AD【解答过程】（1）由题，因为t=12，所以CD=12所以AD=因为A=2π3，AC=2，所以AD=（2）由题，因为t=15，所以因为AD恰为BC边上的高，所以AD⊥因为AD=AC+且AC=2，AB=4，所以AD=4所以cosA=0，则A=（3）由题，CD=t则AD=因为AD=3，且AC=2，AB=4，所以AD2则9=16t所以cosA=因为−1<cosA<1，则因为0<t<1，则16t解得1218．（2223高一下·福建厦门·期末）在四边形ABCD中，AB=2m−2n，AD=−m+3(1)判断四边形ABCD的形状，并给出证明；(2)若m=2，n=1，m与n的夹角为60∘，F为BC【解题思路】（1）根据向量线性运算判断AB,（2）利用向量数量积先求AB，AF和AF⋅【解答过程】（1）因为AD=−m+3所以DC=又因为AB=2m−2又因为A,B,C,D四点不共线，所以AB∥DC且AB≠DC，所以四边形ABCD为梯形．（2）因为AB=2所以AB=因为F为BC中点，所以AF=所以AF=m=2所以cos∠FAB=因为∠FAB∈0,π，所以

19．（2223高一下·广东广州·期中）如图，在△ABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=π3,D是BC边的中点，CE⊥AB,AD与CE(1)求CE和AD的长度；(2)求cos∠CFD【解题思路】（1）利用三角函数定义即可求得CE的长；利用向量法即可求得AD的长度；（2）利用向量夹角的余弦公式即可求得cos∠CFD【解答过程】（1）∵CE是高，∴∠AEC=π2，在Rt△AEC中，所以CE=ACsin∵AD是中线，∴AD∴=14∴CE=（2）∵AE=AC⋅cos∴∴=∴cos另解：过D作DG//CE交BE于∵D是BC的中点，∴G是BE的中点，∴AE=EG=GB=1,EF是△AGD的中位线，DG是△BCE的中位线，∴EF=1cos∠CFD=20．（2324高一上·江苏苏州·期末）如图，在四边形ABCD中，AD=4,AB=2．（1）若△ABC为等边三角形，且AD//BC，E是CD的中点，求AE⋅（2）若AC=AB，cos∠CAB=35，AC【解题思路】（1）直接利用向量的线性运算和数量积求出结果．（2）利用向量的线性运算和向量的模求出结果．【解答过程】（1）因为△ABC为等边三角形，且AD∥BC，所以∠DAB=120°．

又AD=2AB，所以AD=2BC，因为E是CD的中点，所以：AE→=1=34又BD→所以AE→=34=34=11．（2）因为AB=AC，AB=2，所以：AC=2．因为：AC→所以：AC→所以：AC→又AC→⋅AB所以：AC→所以：|DC→|故：|DC题型6题型6向量与几何最值（范围）问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示21．（2223高一下·江西九江·期末）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=π3，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点(1)若AP=PD，AQ=xBA+y(2)求PA+【解题思路】（1）建立直角坐标系，利用向量的线性运算的坐标表示即可求解，（2）根据向量数量积的坐标运算，结合二次型多项式的特征即可求解最值.【解答过程】（1）当AP=PD时，则P为由于△APQ∼△CBQ,所以APBCAQ所以x=−

（2）由于四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=π则A2,0取AB中点为M，连接PA,PB,则M1,0,设PPM=PA=2x−1故当x=1,y=32时，取最小值22．（2324高二上·上海虹口·期中）在ΔABC中，满足：AB⊥AC，M是（1）若AB=AC，求向量AB+2（2）若O是线段AM上任意一点，且AB=AC=（3）若点P是∠BAC内一点，且AP=2，AP⋅AC=2，【解题思路】（1）利用向量的数量积公式得到cosθ=(AB+2AC（2）通过解三角形求出AM的长，设|OA|=x，则|OM|=1−x，利用向量的平行四边形法则得到而OB+（3）设∠CAP=α，将已知条件利用向量的数量积公式表示成关于α的三角函数，将|AB+AC【解答过程】解：（1）设向量AB+2AC，与向量2∴cos令AB=AC=a（2）∵AB=AC设OA=x，则OM=1−x，而∴=−2x1−x当且仅当x=12时，OA⋅（3）设∠CAP=α⇒∠BAP=π∵AP⋅AC=2，∴2⋅AC同理：2⋅AB∴====当且仅当sin2所以AB+23．（2223高一下·山东日照·期中）设P1P2⋯P2024是半径为1的圆

(1)求P1(2)试探究MP【解题思路】（1）根据向量加法的多边形法则，化简可得原式=M（2）根据已知可得出OP1=OP2=⋯=【解答过程】（1）由已知可得，P1因为P1P2⋯P2024是半径r=1的圆所以0≤M所以，P1（2）是定值，定值为4048.因为P1P2所以，OP所以，OP所以MP===2024−2OM24．（2223高一下·江苏苏州·期中）在锐角△ABC中，cosB=22，点O(1)若BO=xBA+y(2)若b=2（i）求证：OB+（ii）求3OB【解题思路】（1）由cosB=22推出∠AOC=π2，即OA⋅OC=0，由BO=x（2）（i）延长BO交圆O于E，则BO=OE，过E作EF⊥OC，垂足为F，过E作EG⊥OA，垂足为（ii）延长OA至M，使得|OM|=2，以OM,OC为邻边作矩形OCNM，延长OB至P，使得|OP|=3|OB|=3，将3OB+2OA【解答过程】（1）因为cosB=22因为点O为△ABC的外心，所以∠AOC=2B=π2，即OA⊥OC，因为BO=xBA+y所以xOA设三角形ABC的外接圆的半径为R，则|OA由xOA+yOC所以x2+y因为xy≤(x+y)24所以x+y−12≤得(x+y−2)2≥2，得x+y≥2+2因为三角形ABC为锐角三角形，其外心必在三角形ABC内，由BO=xBA+y再由xOA+yOC所以x+y≥2+2应舍去，所以x+y≤2−所以x+y的最大值为2−2（2）（i）延长BO交圆O于E，则BO=OE，过E作EF⊥OC，垂足为F，过E作EG⊥OA，垂足为

因为∠BOC=2A，所以∠EOC=π−2A，因为∠AOC=π2，且|AC|=b=2所以|OF|=|OE|⋅cos(π−2A)=−cos所以OE=OG+所以BO=所以OB+（ii）延长OA至M，使得|OM|=2，则OM=2OA，以OM,OC为邻边作矩形则ON=OM+延长OB至P，使得|OP|=3|OB|=3，则OP=3

所以|3OB所以当N,O,P三点共线时，|3OB+2OA因为三角形ABC为锐角三角形，且B=π4，所以A+C=3所以∠BOC=2A∈(π当∠BOC=π2时，|=14−65⋅sin∠CON当∠BOC=π时，|OP+=14−65sin所以|OP+ON|∈[3−5题型7题型7三角形（四边形）的面积问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示25．（2324高三上·河南驻马店·期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知acosB+bcos(1)求△ABC的面积；(2)求AB边上的高的最大值.【解题思路】（1）根据正弦定理和面积公式进行代换，即可求解三角形的面积；（2）利用余弦定理表示c2=a2+【解答过程】（1）由acos得sinAcosB+因为C∈0,则cosC=12所以△ABC的面积S=1（2）由余弦定理可知c2因为a2+b所以c≥2，当且仅当a=b=2时，等号成立.设ℎ为AB边上的高，所以S=12ℎc所以AB边上的高的最大值为3.26．（2223高一下·黑龙江大庆·期末）在平面四边形ABCD中BC=DC=1，如图所示．

(1)若∠A=60°，AB=2AD，求线段AC长度的最大值；(2)若AD=2，AB=3，求四边形ABCD面积S的最大值．【解题思路】（1）首先设AD=x,AB=2x，并求BD=3x，设∠CDB=CBD=θ，结合余弦定理将x表示为三角函数，并利用三角函数的恒等变换和性质求（2）利用三角形面积公式和余弦定理的变形，将面积表示为三角函数，利用三角函数的性质求最值.【解答过程】（1）设AD=x,AB=2x，△ABD中，根据余弦定理可知，BD=A满足AD2+B设∠CDB=CBD=θ，θ∈0,

△ABC和△ADC中，AC得x=2则A===43sin2θ+π6∈π6,7所以AC的最大值为3；（2）在△ABD中，S△ABD△BCD中，S△BCD两式相加得SABCD=3sin两边平方后得4S根据余弦定理可知，BD即13−12cosA=2−2cos两边平方后，144cos式两边乘以4后得，16S16S即16S当A+C=π时，16SABCD所以四边形ABCD的面积取得最大值为5327．（2223高一下·四川自贡·期末）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，设m=a,3(1)当a=23，求△ABC(2)求μ=b+c【解题思路】（1）根据题意、正弦定理及两角和与差的正弦公式化简得到sinA−π6=12，从而求得A=π3，再根据正弦定理即题意得到（2）结合（1）及正弦定理得到b=23a3sinB，c=23a【解答过程】（1）由b+c=m又由正弦定理得sinB+在△ABC中，A+B+C=π，则sin所以sinA即cosA又C∈0,π，即sinC≠0，所以cosA+1=又A∈0,π，即A−π6∈−当a=23时，由正弦定理得b则b=4sinB，所以S==2=2在△ABC中，由B∈0,2π3，则2B−所以S△ABCmax=2（2）结合（1）得sinA=由正弦定理有bsin则b=23a所以μ==2又sinB=则μ==2=2=2sin又在△ABC中，由C∈0,2π3，则C+令t=sinC+π6，则所以μ=−43t2+2t+13故μ=b+ca−28．（2223高一下·江苏镇江·期末）在①sinAsinBsinC=32sin2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知__________，且b=23(1)若a+c=6，求△ABC的面积；(2)若△ABC为锐角三角形，求a2【解题思路】（1）若选①，由正弦定理化角为边，结合余弦定理求B，利用余弦定理求ac，再由三角形面积公式求面积；若选②，通过三角恒等变换求B，利用余弦定理求ac，再由三角形面积公式求面积；若选③，由条件结合三角形面积公式，余弦定理可求B，利用余弦定理求ac，再由三角形面积公式求面积；（2）利用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换可得a2再求C的范围，结合二次函数性质可得结论.【解答过程】（1）若选①，设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理可得sinA=又sinA所以acsin所以sinB=3所以sinB=3cosB，所以所以B=π所以cosB=a2又b=23，a+c=6，所以ac=8所以△ABC的面积S=1若选②，由1tan所以cosA所以sinB所以sinA+B所以sinB=3cosB，所以所以B=π所以cosB=a2又b=23，a+c=6，所以ac=8所以△ABC的面积S=1若选③，因为S=12ac所以sinB=3所以sinB=3cosB，所以所以B=π所以cosB=a2又b=23，a+c=6，所以ac=8所以△ABC的面积S=1（2）由（1）B=π3，b=23因为a2所以a2a2因为△ABC为锐角三角形，B=π所以0<C<π所以π6<C<π所以0<1设t=1tanC，则a所以1<a所以a2+b题型8题型8求三角形中的边长或周长的最值或范围

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示29．（2223高三上·山东济南·期末）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，2sin(1)若B=π6，求(2)若B∈π6,【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简得出2sinB=2sinC−π4（2）利用正弦定理结合三角恒等变换可得出cb=2【解答过程】（1）解：因为2sin因为A、C∈0,π，且cosC≠0cosA≠所以，2sin所以，2sin则2sinA+C=因为−π4<C−π4<3所以B=C−π4或B+C−π4=（2）解：cb因为B∈π6,π4所以，cb所以cb的取值范围为230．（2223高一下·江苏泰州·期末）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知1+cos(1)当C=π2时，求(2)当a=1时，求△ABC周长的最大值.【解题思路】（1）根据题意借助于倍角公式整理得1tan（2）以内切圆为基础，设∠OBD=θ，进而可得AD=OBsinθ+cos【解答过程】（1）因为1+cosAsin可得1tan又因为C=π2，则所以1tan解得tanA（2）设△ABC的内切圆的圆心为O，圆O与边AB切于点D，连接OA,OB,OD，设△ABC周长为l，∠OBD=θ∈0,可得OD=OBsin由（1）可知：1tanA2整理得AD=BD+OD=OBsin可得AB=AD+BD=OBsin根据等面积法可得12即12整理得l=sin其中tanφ=2,φ∈当2θ+φ=π2，即tan2θ=tanπ所以△ABC周长的最大值为5+2

31．（2223高一下·广东广州·期末）在锐角三角形ABC中，其内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足A=2B.(1)求证：b2(2)求3b+cb【解题思路】（1）先利用倍角公式得到sinA=2sinBcosB（2）结合（1）中结论得到c=b+2bcosA，从而将问题转化为4cos【解答过程】（1）因为A=2B，所以sinA=由正弦定理与余弦定理得a=2b×a所以a2c=ba若b−c=0，即b=c，则B=C，所以A+B+C=4B=π，即B=故A=2B=π2，与△ABC是锐角三角形矛盾，故所以b2（2）因为b2+bc−a又a2=b2+又因为A=2B，所以3b+cb∵A=2B，π2<A+B<π,0<A=2B<π因为对勾函数fx=4x+2f22=4×∴42<4cosB+232．（2223高一下·新疆昌吉·期末）在①sinA−sinCsinA+B已知a，b，c是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且______．(1)求B；(2)若b=2，求△ABC的周长的取值范围．【解题思路】（1）选①，根据题意，利用正弦定理得到a2+c选②，根据题意，化简得到sin2B−选③，根据题意和正弦定理得得到sinCcosB−（2）由题意，得到bsinB=43【解答过程】（1）解：选①，由sinA−可得sinA−因为A+B+C=π及正弦定理，可得a−c所以a−cc=a−ba+b则cosB=a2+c选②，由3sinBcosB−1因为0<B<π，可得−π6<2B−π选③，由bcosC=a−3即sinB即sinB整理得sinC因为0<C<π，sinC>0，可得cosB−因为0<B<π，所以B=（2）解：由B=π3，b=2，可得所以周长l△ABC又由A+B+C=π，可得A+C=l=2+又因为0<A<2π3，可得π所以4<2+4sinA+π6≤6题型9题型9解三角形与三角函数综合

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示33．（2223高二下·浙江温州·期末）已知函数f(x)=2sin（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，设角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若fA=0且a=3，求【解题思路】（Ⅰ）化简函数f(x)=2sin（Ⅱ）由（1）及f(A)=0，求得A=π3，根据正弦定理得到b=23sinB，c=2【解答过程】（Ⅰ）由题意，函数f(x)=2sin所以函数fx的最小正周期为T=令2kx−π2≤2x+所以函数的单调递增区间是kπ−5π12,kπ+（Ⅱ）由（1）可得f(A)=2sin2A+π3=0由正弦定理可知asinA=bsin由A=π3及△ABC为锐角三角形0<B<π则b+c=2=23因为π6<B<π2，可得所以b+c=6sin34．（2324高二下·广东广州·期中）在△ABC中，角A､B､C的对边分别为a，b，c，tanB（1）求角B的大小；（2）求函数f(x)=cos【解题思路】（1）首先边角互化，转化为三角函数恒等变形，求角B的大小；（2）首先利用二倍角公式化简三角函数，再利用三角函数的性质求值域.【解答过程】解：（1）∵sinBcosC∴sinB∴sinB+C又∵sinB+C=sinA，∴（2）f(x)==1+∵2x+π∴f(x)的值域为−135．（2324高三上·北京昌平·期末）已知f(x)=3cos2x+2（1）求f(x)的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且f(A)=−3，a=4，求BC【解题思路】（1）整理得f(x)=2cos2x+π6，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由f(A)=−3，可得A=π3，设BC边上的高为ℎ，所以有1【解答过程】解：（1）f(x)====2cosf(x)的最小正周期为：T=2π当2kπ≤2x+π即当kπ-π12所以函数f(x)单调递减区间为：kπ-（2）因为f(A)=−3f(A)=2∵A∈0,π2∴2A+π6=设BC边上的高为ℎ，所以有12由余弦定理可知：a2∴  16=b∴bc≤16（当用仅当b=c时，取等号），所以ℎ=3因此BC边上的高的最大值2336．（2023·湖南·模拟预测）已知函数f(x)=23(1)求函数y=log(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若fA2=0【解题思路】（1）先化简f(x)，然后利用真数大于0可得sin2x−（2）先利用（1）可得A=π3，结合锐角三角形可得【解答过程】（1）f(x)=23sinx所以要使y=log只需2sin2x−π所以π6+2k所以函数y=log2f(x)由于0<2sin2x+π所以函数y=log2f(x)（2）由于fA2=2因为0<A<π2，所以−π6<A−由锐角△ABC可得0<B<π20<C=由正弦定理可得b+ca=sin因为π6<B<π2，所以所以b+ca题型10题型10复数的模的几何意义

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示37．（2223高一下·辽宁营口·期末）已知复数z(1)若z是纯虚数，求m的值;(2)当m=2时，复数z=z0，复数w满足w−z0【解题思路】（1）根据纯虚数的概念列出方程或不等式，即可解得答案;（2）当m=2时，复数z0=8+i，由w−(8+i)=1【解答过程】（1）由复数z=(可得m2+5m−6=0（2）当m=2时，复数z0由复数w满足w−z0=即复数w所对应的点在以(8,1)为圆心，半径为1的圆上，故w的最大值为8238．（2324高二下·上海奉贤·阶段练习）已知复数z满足z=5（1）若4+3i⋅z是实数，求复数（2）求z2【解题思路】（1）利用实数概念及模长，即可得到复数z；（2）利用点与圆的位置关系，即可得到取值范围.【解答过程】（1）设z=a+bi，a、b∈R，则a2又4+3i∴3a+4b=0，又∴a=4,b=−3或a=−4,b=3，∴复数z=4−3i或−4+3（2）zz−−4+2i表示复数z对应的点与−4+2i而复数z在以原点为圆心，半径为5的圆上，如图所示，z−−4+2∴z2

39．（2324高二上·陕西延安·期末）已知复数z1＝3＋i，z2＝−(1)求|z1|及|z2|并比较大小；(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z【解题思路】（1）根据复数模的计算公式可求得|z1|（2）根据复数几何意义可解决此问题．【解答过程】（1）解：（1）∵z1=∴|z1|=∴z1（2）解：由|z2|≤|z|≤|根据复数几何意义可知复数z对应的点到原点的距离，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，所以复数z对应的点Z的轨迹是以原点O为圆心，以1和2为半径的圆之间的部分（包括两边界）．40．（2223高一下·重庆江北·期中）已知向量a=1,2，b=3,x，c=(1)若a+2b∥(2)设复数z0=a⋅b+c⋅b【解题思路】（1）先求出向量b的坐标，然后由向量共线的坐标表示计算即可；（2）先求出数量积得到复数z0【解答过程】（1）∵a=1,2，b=3,x，且∴a⋅b=0，∴3+3x=0，∴x=−∵a+2b=7,−1，∴72k+2+k−2（2）∵a⋅b=0，设z=x+yi，x,y∈R，∵z−z0又∵z=x2+y∴圆x2+y−9即9+1=10，∴z的最大值为10，此时y=10，x=0，∴z=10i，z题型11题型11根据复数的四则运算结果求复数特征

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示41．（2223高一下·河北石家庄·期末）已知复数z1=a+i，z(1)若z12=−2(2)若z1z2【解题思路】（1）根据给定的条件，利用复数乘方运算及复数相等求出a的值.（2）利用复数除法结合纯虚数的定义，求出z1z2【解答过程】（1）复数z1=a+i又a是实数，因此a2−1=02a=−2所以实数a的值是−1.（2）复数z1=a+i，z2=1−因为z1z2是纯虚数，于是a−12=0又i1则n∈N∗,所以z142．（2223高一下·辽宁·期末）已知复数z满足z2=−2−23i，且(1)求z；(2)若z−1，z在复平面内对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求∠AOB．【解题思路】（1）根据复数的平方运算及复数相等列方程求出实部即可得解；（2）由复数的几何意义求出点A,B坐标，分别求出∠AOx与∠xOB即可得解.【解答过程】（1）设z=a−3则z2所以a2−3=−2−2故z=1−3（2）由（1）知，z−1=−3i，所以A(0,−3z=1+3i，所以B(1,3)，tan所以∠AOB=∠AOx+∠xOB=π43．（2223高一下·河南南阳·期末）已知复数z1=2sinθ−3(1)若z1⋅z(2)设复数z1,z2在复平面内对应的向量分别是a,【解题思路】（1）根据题意，由复数的运算将z1⋅z（2）根据题意，由2a−b【解答过程】（1）因为z1=2sin所以z=2sinθ+2所以4sinθcos又因为θ∈π6,所以2θ=2π3（2）由题意可得，a=2sinθ,−32a−b化简可得sinθ−3cos又因为θ∈π6,所以cosθ−44．（2223高一下·辽宁锦州·期末）已知i是虚数单位，a，b∈R，设复数z1=2a−3i，z2(1)若z1−z(2)若复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且①是否存在实数a，b，使向量OB逆时针旋转90°后与向量OA重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由；②若O，A，B三点不共线，记△ABO的面积为Sa,b，求S【解题思路】（1）计算z1−z2，然后使其实部为零，虚部不为零，再结合z3（2）①方法一：由题意可得OA=OBOA⋅OB=0z3=1②设向量OA,OB的夹角为θ，0≤θ≤π，设复数z3所对应的向量为OC,则【解答过程】（1）因为复数z1所以z1而z1−z2为纯虚数，因此又因为z3=a+bi，且z由a2+b2=1所以z3=−2（2）①存在，理由如下：法一：由题意知：OA=OBOA解得a=−12b=−因为OB逆时针旋转90°后与OA重合，所以a=−1法二：设OA=OB=r,α是以x轴正半轴为始边，OB所以rcosα+π所以−r⋅1r=2a且a=−12,b=−所以a=−1②因为复数z1，z2对应的向量分别是OA,OB(为坐标原点），且O所以设向量OA,OB的夹角为θ，0≤θ≤π，设复数z则OA=2a,因此△AOB的面积Sa=====a+设n=1,当且仅当b=3a且a2+b所以Sa题型12题型12空间几何体的截面问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示45．（2223高一下·福建厦门·期末）如图，几何体A1B1D1−ABCD是由一个长方体截去一个三棱锥得到的，底面ABCD是正方形，E，F分别是棱

(1)求证：BD//平面CEF；(2)当λ=12时，求截面BEF把几何体【解题思路】（1）利用平行四边形的性质及比例相等证明线线平行，从而利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用台体公式求出两个台体的体积即可求解比例.【解答过程】（1）由题意BB1∥DD1，B∴B1D1∥BD，∵A1EA1B又BD⊄面CEF，EF⊂面CEF，∴BD∥面CEF；（2）由（1）得EF∥BD，∴B，D，E，连接BE，DF，∵EF≠BD，设BE∩DF=M，

∵BE⊂平面A1B，M∈平面又平面A1B∩平面A1D=AA1，∴M∈AA1，即∵平面A1EF//平面ABD，∴几何体所以截面BEF把几何体A1B1分别记他们的体积为V1，V2.设长方体的高为h，底面正方形的边长为则VA∵A1EA1B1=A1FA1D1=λ=∵三棱台A1EF−ABD的高为∴V1=1∴V146．（2223高一下·广东广州·期末）中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执著专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神．这是传统工艺革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，四边形ABCD是正方形，SA=SB=SC=SD=AB=1．

(1)要经过点B,D将木料锯开，使得截面平行于侧棱SA，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面面积．(2)已知点E是侧棱SC上的动点，要经过点E将木头锯开，使得截面垂直于侧棱SC且截面面积最大，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面面积．【解题思路】（1）取SC的中点F，利用线面平行的判定推理，求出截面面积作答.（2）根据给定条件，证明SC⊥平面BDF，再利用面面平行确定截面与棱的交点位置，求出截面面积的函数关系，求出最大值作答.【解答过程】（1）取SC的中点F，连接BF,DF，于是BF,DF即为所画线.连接AC∩BD=O，连接OF，由四边形ABCD是正方形，得O为AC的中点，则有OF//SA，而OF⊂平面BFD，SA⊄平面BFD，因此SA//平面BFD，所以△BFD是所作截面，由SA=SB=SC=SD=AB=1，得OF=1显然△SBC,△SDC都是正三角形，有BF=DF，则OF⊥BD，所以截面面积S△BFD

（2）由（1）知，BF⊥SC,DF⊥SC，而BF∩DF=F，BF,DF⊂平面BFD，则SC⊥平面BFD，因此过点E垂直于SC的截面与截面BFD平行或重合，显然点E在CF上（不含端点）时，截面面积小于24当点E在SF上（不含端点）时，令SESF=x(0<x<1)，此时截面交SB,AB,AD,SD分别于点平面EMNQP//平面BFD，平面EMNQP∩平面SBC=ME，平面BFD∩平面SBC=BF，因此ME//BF，同理PE//DF,MP//BD//NQ，由SA//平面BFD，SA⊄平面EMNQP，得SA//平面EMNQP，而平面EMNQP∩平面SAB=MN，SA⊂平面SAB，则MN//SA，同理PQ//SA，于是PQ//MN，四边形MNQP为平行四边形，又BD⊥OF,OF//SA，则BD⊥SA，即有MN⊥MP，▱MNQP为矩形，显然MEBF=SESF=PEDF由MNSA=BMSB=EFSF=1−x，得从而截面EMNQP的面积y=S当x=23时，ymax=2所以点E是SC上靠近S的三等分点，再与SB,AB上靠近B的三等分点，SD,AD上靠近D的三等分点，顺次连接的线段即为所画线，此时截面面积最大，最大值为2347．（2223高一下·湖北·期末）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为2,E、F分别为棱

(1)求点A1(2)求正方体ABCD−A1B【解题思路】（1）利用等体积法求点A1（2）利用棱台的体积公式求解.【解答过程】（1）如图，连接AD∵E,F分别为棱BC,CC1的中点，则又∵AB∥C1D1，且AB=C∴EF∥AD1，则过点A,E,F的截面即为截面设点A1到截面的距离为d由于截面EFD1A为等腰梯形，则EF=可得S△A又∵VA1−AFD1

（2）由（1）知截面将正方体分成上、下两部分，其中下部分ADD1−ECF为三棱台，且三棱台AD正方体的棱长为2，则S△ADD1则三棱台ADD1−ECF48．（2223高一下·重庆·期末）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，

(1)证明:AC1//(2)过A,M,C三点的一个平面，截三棱柱ABC−A【解题思路】（1）设AB1∩A1B=N，根据三角形的中位线性质，得到（2）由三角形的中位线性质和平行关系证得PM//AC，由此可确定截面为四边形APMC，结合四边形APMC为等腰梯形，即可求解.【解答过程】（1）证明：连接AB1，设AB因为M是B1C1的中点，N是A又因为AC1⊄平面A1BM，MN⊂平面A

（2）解：作图过程：取A1B1的中点P则四边形APMC即为截面图形.证明如下：因为M是B1C1的中点，P是A又因为A1C1所以A,P,M,C四点共面，所以四边形APMC即为截面图形，此时四边形APMC为等腰梯形，在直三棱柱ABC−A1B可得AP=MC=6所以四边形APMC的周长为210

题型13题型13几何体与球的切、接问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示49．（2223高一下·山东德州·期末）如图：三棱台ABC−A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，球心位于上下底面所在的两个平行平面之间，AA1=B

(1)求三棱台ABC−A(2)计算球O的体积．【解题思路】（1）点O1,O2分别是正△ABC和△A1B1C1的中心，球的半径为R，且O1（2）在Rt△OO1A中，OO【解答过程】（1）如图

设点O1,O2分别是正△ABC和△A1B1C在等边△ABC中，由AB=3，得A同理，得A1如下图，过点A作AP⊥A1O2，则在△A所以正三棱台ABC−A1BO1所以MN=372，所以正三棱台ABC−A

正三棱台ABC−A1B又因为正三棱台ABC−A12所以正三棱台ABC−A1B（2）在Rt△OO1即OO12+1=R即3−OO12所以球O的体积为：V=450．（2223高一下·江西九江·期末）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA

(1)求证：A1B⊥平面(2)若点E在棱A1B1上，当△ACE【解题思路】（1）依题意可得AC⊥A1B（2）依题意可得AE⊥AC，则S△ACE=AE，所以当△ACE的面积最小时，AE最小，此时AE⊥A1B1，即E为A1B1【解答过程】（1）因为AC⊥平面AA1B1B，A在三棱柱ABC−A1B1C1中，又AB1∩AC=A，A所以A1B⊥平面（2）因为AC⊥平面AA1B1B，AE⊂所以S△ACE=12×AC×AE=AE，所以当△ACE又A1B1=AA所以E为A1AC⊥平面AA1B1B，A1E,A又A1E⊥AE，AE∩AC=A，AE,AC⊂平面AEC，所以A1EC⊂平面AEC，所以A1所以∠A所以三棱锥A1−ACE外接球的球心为所以三棱锥A1−ACE外接球的半径所以三棱锥A1−ACE外接球的体积

51．（2223高一下·山东菏泽·期末）菱形ABCD中，∠ABC=120°,EA⊥平面ABCD,EA//FD,EA=AD=2FD=2.

(1)求证：BD⊥平面EAC；(2)求异面直线FC与EA的距离；(3)若球O为三棱锥E−ABD的外接球，求外接球半径R与OC的长度.【解题思路】（1）利用线面垂直的判定定理即可得解；（2）先证平面FDC//平面EAB，从而将问题转化为求平面FDC与平面EAB间的距离，从而推得DN即为所求，由此得解；（3）利用侧棱垂直于底面的三棱锥外接球的性质得到OO【解答过程】（1）在菱形ABCD中，BD⊥AC，因为EA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD，所以EA⊥BD，又EA,AC⊂平面EAC，EA∩AC=A，所以BD⊥平面EAC.（2）取AB的中点N，连接DN，如图

因为EA//FD，EA⊂平面EAB，FD⊄平面EAB，所以FD//平面EAB，因为AB//DC，AB⊂平面EAB，DC⊄平面EAB，所以DC//平面EAB，又FD∩DC=D,FD,DC⊂平面FDC，所以平面FDC//平面EAB，因为FC⊂平面FDC,EA⊂平面EAB，所以异面直线FC与EA的距离就是平面FDC与平面EAB的距离，因为菱形ABCD中，∠ABC=120°，所以△ABD是等边三角形，则DN⊥AB，因为EA⊥平面ABCD,DN⊂平面ABCD，所以EA⊥DN，又EA,AB⊂平面EAB，EA∩AB=A，所以DN⊥平面EAB，同理DN⊥平面FDC，所以异面直线FC与EA的距离即DN的长，因为AD=2，所以在等边△ABD中，DN=3所以异面直线FC与EA的距离为3.（3）由题意得知△ABD为等边三角形，且边长为2，设其外接圆圆心为O1，半径为r，得r=易知OO1⊥面ABD，AO1⊂面则在如图所示的直角梯形中，作OM⊥EA，

所以OE2=EM2易知O1在AC上，且AC=23，则所以OC=O52．（2223高一下·广东广州·期末）如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为CC1的中点，经过A，D1

(1)设平面BCC1B(2)平面α将正方体ABCD−A1B1C(3)当A1P最小时，求三棱锥【解题思路】（1）连接BC1，即可证明AD（2）设D1E∩DC=F，连接AF，设BC∩AF=G，连接GE，即可得到截面即为平面（3）取B1C1的中点N，BB1的中点M，连接MN、ME、A1M、A1N，即可证明平面A1MN//平面AGED1，则P在线段MN上，从而得到当P为MN的中点时A1P最小，令【解答过程】（1）连接BC1，因为AB=D1C所以AD1//BC1，AD1⊄平面BC又平面BCC1B1∩α=l，A

（2）在正方形DCC1D1中，直线设D1E∩DC=F，连接AF，设BC∩AF=G，连接由E为CC1的中点，得G为BC的中点，所以平面AGED1即为平面因为E为CC1的中点，所以C为所以平面α将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGE−DAD因为正方体ABCD−A1B所以V=7∴另一部分几何体的体积V2∴两部分的体积V1（3）取B1C1的中点N，BB1的中点M，连接MN、ME显然MN//BC1，EG//BC1，所以MN//所以MN//平面AGE又E为CC1的中点，所以ME//B1C1所以A1D1所以A1D1A1M⊄平面AGED1，所以A1M//又A1M∩ME=M，A1M,ME⊂平面A1又点P是侧面BCC1B所以P在线段MN上，又A1即△A1MN为等腰三角形，所以当P为MN因为△AA1D1为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边令ME∩BC1=H，则H为BC1的中点，连接QH，则QH所以球心在QH上，设球心为O，连接OD1、OP、设外接球的半径为R，OQ=ℎ，则OD又D1Q=1所以R2=ℎ2+22所以外接球的表面积S=4π

题型14题型14空间中的点共线、点（线）共面、线共点问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示53．（2223高一下·山西·阶段练习）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，(1)若E为CD的中点，O为侧面BCC1B(2)若A1C1⊥B1C1，【解题思路】（1）通过证明AF//DB1，EO//DB1来推出（2）根据VA【解答过程】（1）连接B1C，因为O为侧面BCC1B1的中心，且侧面BCC因为E为CD的中点，所以EO//DB因为D，F分别是AB，A1B1的中点，且AB//所以AD//FB1，AD=FB1，所以四边形又EO//DB1，所以AF//EO，所以A，F，O，（2）因为AD=2，D是AB的中点，且侧面ABB1A因为A1C1⊥B所以△A1C在直三棱柱ABC−A1B1C所以VA54．（2324高一·全国·假期作业）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、(1)C1(2)E、C、D1、F(3)CE、D1F、【解题思路】（1）可证C1、O、M三点在平面ACC1（2）可证EF//（3）设CE与D1F交于一点P，可得P在【解答过程】（1）∵A1C∩平面BDC1=O，∴O∈又∵A1C⊂平面ACC1A∵AC、BD交于点M，∴M∈AC，M∈BD；又AC⊂平面ACC1A1，∴M∈平面ACC1A1，又C1∈平面ACC1A∴C1、O、M三点在平面ACC1∴C1、O、M（2）连接EF，∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴又∵BC //A1D1∴BA1//CD1；∴EF//CD（3）∵平面ABCD∩平面ADD设CE与D1F交于一点P，则：P∈CE，CE⊂平面∴P∈平面ABCD，同理，P∈平面ADD∴P∈平面ABCD∩平面ADD∴直线CE、D1F、DA三线交于一点55．（2223高一下·河南信阳·期中）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，

(1)证明：E,C,D(2)设D1F∩CE=O，证明：A，O，【解题思路】（1）连接EF,A1B,D1C，利用中位线定理得到EF∥A1（2）先证O∈平面ADD1A1，且O∈平面ABCD，又平面所以O∈AD，进而得到A，O，D三点共线.【解答过程】（1）证明：如图，连接EF,A

在正方体ABCD−A1B1C又BC∥A1所以四边形BCD1A∴EF∥D1（2）证明：由D1F∩CE=O，∴O∈D1F，又D1F⊂同理O∈平面ABCD，又平面ADD1A∴O∈AD，即A，O，D三点共线.56．（2223高一下·山西大同·阶段练习）如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足CGGD(1)E，F，G，H四点共面；(2)EH，FG，BD三线共点．【解题思路】（1）根据利用三角形的中位线平行于第三边，平行线分线段成比例，得到AC分别平行于EF和GH，利用平行线的传递性，即可得到EF//（2）利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，即可证得三线共点.【解答过程】（1）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF//又因为CGGD所以GH//所以EF//所以E，F，G，H四点在同一平面内，即E，F，G，H四点共面．（2）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF//AC，由题意知CGGD＝AHHD=2，HG//AC，HG=13AC，所以四边形即EH∩FG=M，因为EH⊂平面ABD，所以点M∈平面ABD，同理可得点M∈平面BCD.又因为平面ABD∩平面BCD=BD，所以点M∈直线BD，所以直线EH，FG，BD三线共点．题型15题型15平行与垂直关系的综合应用

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示57．（2324高二上·江苏南京·期末）正三棱柱ABC−A1B1C(1)求三棱柱ABC−A(2)求证：BE∥平面ADC(3)求证：平面ADC1⊥平面【解题思路】（1）利用棱柱的表面积公式进行求解即可；（2）利用线面平行的判定定理进行证明即可；（3）利用面面垂直的判定定理证明即可.【解答过程】（1）因为三棱柱ABC−A故三棱柱ABC−A1B（2）在正三棱柱ABC−A1B1C可知BD=12BB1所以四边形BDC1E是平行四边形，故BE又DC1⊂平面ADC1，所以BE∥平面ADC（3）连A1C，设AC1与A1C相交于O，则由侧面在Rt△B1C1D中，DC1=D连OD，则OD⊥AC又CD=5，A1D=5，连又AC1与A1C相交于O，AC1，A1因为OD⊂平面ADC1，所以平面ADC158．（2223高一下·天津和平·期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45∘,AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M(1)证明：PB//平面ACM；(2)证明：AD⊥平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的余弦值.【解题思路】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行；（2）由余弦定理求出CD=2，从而由勾股定理逆定理得到AD⊥AC，由线面垂直得到PO⊥AD（3）作出辅助线，得到直线AM与平面ABCD所成角，求出各边长，求出余弦值.【解答过程】（1）连接BD，OM，因为底面ABCD为平行四边形，O为AC中点，故BD与AC相交于O，因为M为PD的中点，则OM//PB，因为OM⊂平面ACM，PB⊄平面ACM，所以PB//平面ACM；（2）因为∠ADC=45由余弦定理得cos∠ADC=AD解得CD=2因为AD2+AC2因为PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，因为AC,PO⊂平面PAC，AC∩PO=O，所以AD⊥平面PAC；（3）取OD的中点N，连接MN,AN，则MN//OP，因为PO⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD，则∠MAN为直线AM与平面ABCD所成角，其中PO=2，故MN=1因为AD⊥AC，AO=12AC=故AN=1由勾股定理得AM=A所以cos∠MAN=59．（2223高一下·全国·期末）如图所示，四棱锥P−ABCD中，ABCD是矩形，三角形PAD为等腰直角三角形，∠APD=90o，面APD⊥面ABCD，AB=1，AD=2，E，F分别为PC和

(1)求证：EF//平面PAD；(2)证明：平面PAD⊥平面PDC；(3)求四棱锥P−ABCD的体积.【解题思路】（1）欲证EF//平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面PAD内一直线平行，连AC，根据中位线可知EF//PA,得证；（2）欲证平面PAD⊥平面ABCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面ABCD内一直线与平面PAD垂直，根据面面垂直的性质定理可知CD⊥平面PAD，得证；（3）过P作PO⊥AD于O，从而PO⊥平面ABCD，即为四棱锥的高，最后根据棱锥的体积公式求出所求即可.【解答过程】（1）

证明：连接AC，∵底面ABCD是矩形，F为BD的中点，∴F在AC上且为AC的中点，又∵E是AC的中点，∴EF//PA，又∵EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，∴EF//平面PAD.（2）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD,CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又∵CD⊂平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC.（3）

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴在平面PAD内过P作PO⊥AD于O，则PO⊥平面ABCD，∵△PAD是等腰直角三角形，∠APD=90°且AD=2，∴PO=1，即四棱锥P−ABCD的高为1，又∵底面矩形的边长AB=1,AD=2，∴VP−ABCD60．（2223高一下·北京平谷·期末）如图，几何体ABCDEF中，面ADEF⊥面ABCD，AF⊥AD，EF//AD，且EF=12AD，AF=2，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠ABC=60°

(1)证明：EO//平面ABF(2)求三棱锥E−OCD的体积；(3)试判断在棱CD上是否存在一点M，使得平面FAM⊥平面CDE?说明理由．【解题思路】（1）取AB中点M，连接OM,FM，易证OMFE为平行四边形，从而有OE∥FM，再利用线面平行的判定定理证明；（2）由EF//AD，利用线面平行的判定定理得到EF∥面ABCD，从而得到E到面ABCD的距离为AF=2，再由菱形ABCD，求得（3）由三角形ACD为等边三角形，点M为棱CD的中点，AM⊥CD，由面ADEF⊥面ABCD，得到AF⊥面ABCD，从而CD⊥面AFM，然后利用面面垂直的判定定理证明.【解答过程】（1）证明：取AB中点M，连接OM,FM．

∵菱形ABCD,∴O为BD中点，∴OM//AD且OM=1∵EF//AD且EF=1∴OM//EF,OM=EF，∴OMFE为平行四边形，OE//FM，∵OE⊄面ABF,FM⊂面ABF，∴EO//平面ABF；（2）∵EF//AD,EF⊄面ABCD,AD⊂面ABCD，∴EF//面ABCD，∴E到面ABCD的距离为AF=2，∵菱形ABCD对角线AC⊥BD，∴S∴三棱锥E−OCD的体积V=1（3）在棱CD上存在一点M，使得平面FAM⊥平面CDE，且点M为棱CD的中点．证明：∵三角形ACD为等边三角形，点M为棱CD的中点，∴AM⊥CD，∵面ADEF⊥面ABCD，面ADEF∩面ABCD=AD,AF⊥AD，AF⊂面ADEF，∴AF⊥面ABCD，又CD⊂面ABCD，所以AF⊥CD，又∵AM∩AF=A，AM⊂面AFM，AF⊂面AFM，∴CD⊥面AFM，∵CD⊂平面CDE，∴平面FAM⊥平面CDE.题型16题型16空间角问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示61．（2223高一下·湖南湘西·期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3.

(1)设G、H分别为PB，AC的中点，求证：GH//平面PAD；(2)求证：PA⊥平面PCD；(3)求直线AD与平面PAC所成角的余弦值.【解题思路】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，得到线面平行；（2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，证明出线面垂直；（3）找到∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角，结合题目条件得到各边长，求出线面角的余弦值.【解答过程】（1）连接BD，设AC∩BD=H，因为底面ABCD为平行四边形，所以BH=DH，

又由BG=PG，故GH//PD，又因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以GH//平面PAD.（2）取棱PC的中点N，连接DN，依题意，因为△PCD为等边三角形，所以DN⊥PC，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD=PC，DN⊂平面PCD，所以DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，故DN⊥PA，又因为PA⊥CD，CD∩DN=D，CD,DN⊂平面PCD，所以PA⊥平面PCD.（3）连接AN，由（2）中DN⊥平面PAC，可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为△PCD为等边三角形，CD=2且N为PC的中点，所以DN=3因为ND⊥平面PAC，AN⊂平面PAC，所以DN⊥AN，由勾股定理得AN=A在Rt△AND中，cos∠DAN=所以直线AD与平面PAC所成角的余弦值为6362．（2223高一下·湖南岳阳·期末）如图，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD⊥CD，BC=2，AD=3，CD=3，边AD上一点E满足DE=1，现将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使平面(1)在棱A1C上是否存在点F，使直线DF//平面A1(2)求二面角A1【解题思路】（1）设A1B的中点为N，证得四边形DENF是平行四边形，得到DF//EN，得出DF//平面（2）连接CE，取BE中点O，作OM⊥BC于M，证得A1M⊥BC，得到∠A1MO【解答过程】（1）解：当F是AC的中点时，直线DF//平面A1证明如下：设A1B的中点为N，连接EN，因为FN//BC，FN=12BC，且ED//BC所以FN//ED且FN=ED，所以四边形DENF是平行四边形，所以DF//EN，又因为DF⊄平面A1BE，EN⊂平面A1BE，所以所以存在点F，使DF//平面A1BE，且（2）解：在平面图形中，连接CE，则∠ECD=30°，∠ECB=60°，所以CB=CE=BE=AE=AB=2，如图所示，取BE中点O，连接A1O，则因为A1O⊂平面A1BE，平面A1BE⊥平面所以A1O⊥平面BCDE，又因为BC⊂平面BCDE作OM⊥BC于M，连接A1因为A1O∩OM=O，且A1O,OM⊂平面A1又因为A1M⊂平面A1所以∠A1MO在直角△A1MO中，A1O=故二面角A1−BC−D的平面角的正切值为63．（2223高一下·辽宁·期末）如图1，在等腰直角△ABC中，∠C=π2，D，E分别是AC，AB的中点，F为线段CD上一点（不含端点），将△ADE沿DE翻折到△A1DE的位置，连接A1C

(1)证明：A1F⊥平面(2)若直线A1E与平面BCDE所成角的正切值为155【解题思路】（1）根据题意证得DE⊥A1D,DE⊥DC，利用线面垂直的判定得到DE⊥平面A1DC，得出DE⊥A1（2）连接EF，得到A1E与平面BCDE所成的角为∠A1EF，设DF=x，结合题意，列出方程求得A1D=2x，即F为CD的中点，过F作FO⊥BD【解答过程】（1）证明：因为∠C=π2，且DE∥BC，所以又因为A1D∩CD=D，且A1D,CD⊂平面A1因为A1F⊂平面A1又因为A1F⊥CD，CD∩DE=D且CD,DE⊂平面所以A1F⊥平面（2）解：如图所示，连接EF，因为D,E分别是AC与AB的中点，可得A1又因为A1F⊥平面BCDE，所以直线A1E与平面由直线A1E与平面BCDE所成角的正切值为155设DF=x，则A1F=A所以tan∠A1EF=A1F过F作FO⊥BD，垂足为O，因为A1F⊥平面BCDE，BD⊂平面BCDE，所以又因为A1F∩OF=F，且A1F,OF⊂平面A1因为A1O⊂平面A1所以二面角A1−BD−C的平面角为由BC=4x，CD=2x，则BD=B所以OF=1因为A1F=A

64．（2223高一下·福建三明·期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，

(1)求证：AB⊥PC；(2)在线段PD上是否存在一点M，使得BM与平面ABCD所成角的正切值为2626，若存在，求二面角M−AC−D【解题思路】（1）在直角梯形ABCD中利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC，再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AB，然后由线面垂直的判定定理可证得AB⊥平面PAC，从而可得AB⊥PC；（2）过点M作MN⊥AD于点N，连接BN，可证得MN⊥平面ABCD，则∠MBN为BM与平面ABCD所成的角，设AN=x0≤x≤2，则由已知线面角的正切值可求出x，过点N作NG⊥AC于点G，连接MG，可得∠MGN为二面角M−AC−D【解答过程】（1）证明：因为AD∥BC，AD⊥CD，AD=CD=2，所以四边形ABCD是直角梯形，且AC=22，AB=故AB2+A又PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB又PA∩AC=A，且PA，AC⊂平面PAC，所以AB⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以AB⊥PC（2）存在符合条件的点M，且M为PD的中点，证明如下，过点M作MN⊥AD于点N，连接BN，

因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，因为MN，PA⊂平面PAD，所以MN∥因为PA⊥AB，所以MN⊥AB，因为AB∩AD=A，AB,AD⊂平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD，则∠MBN为BM与平面ABCD所成的角．设AN=x0≤x≤2，则ND=2−x，MN=22由tan∠MBN=MNBN解得x=1或x=11所以M为PD的中点，过点N作NG⊥AC于点G，连接MG，因为MN⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以MN⊥AC，又MN∩NG=N，MN,NG⊂平面MGN，故AC⊥平面MGN，因为MG⊂平面MGN，所以AC⊥MG，所以∠MGN为二面角M−AC−D的平面角，在Rt△MNG中，NG=ANsinπ即当点M为PD的中点时，符合题意，且二面角M−AC−D的大小为π4题型17题型17点、线、面的距离问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示65．（2223高一下·新疆直辖县级单位·期末）如图，在正方体ABCD−A1B

(1)求证：AB∥平面A1(2)求点A到面A1【解题思路】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）利用等体积法即VA【解答过程】（1）∵AB∥DC,AB⊄平面A1DCB1，∴AB∥平面A（2）连接BD,设点A到面A1BD的距离为由已知可得VA由正方体的性质可知A1A⊥平面ABD,则∵VA−∴36ℎ=1即点A到面A1BD的距离为

66．（2223高一下·天津·期末）已知长方体ABCD−A1B1C

(1)求证：平面AB1D(2)求直线AB1与平面(3)求点C到平面BC【解题思路】（1）在长方体中，得到AB1//C1D,BD//B1D1，分别证得AB（2）连接A1C1与B1D1交于点O1，证得B1D1⊥（3）设点C到平面BC1D的距离为ℎ【解答过程】（1）在长方体ABCD−A1B由AB1//C1D，且AB1⊄平面B同理可证B1D1因为AB1∩B1D1=B（2）连接A1C1与B1D1交于点所以A1又由AA1⊥平面A1B1C因为A1C1∩AA1=A1所以∠B1AO1由AB=BC=4，可得B1O1在直角△AB1O即直线AB1与平面ACC（3）在正方体ABCD−A1B1C所以BD=42连接AC与BD交于点O，连接C1O，因为DC可得C1O=B设点C到平面BC1D的距离为ℎ可得13×234即点C到平面BC1D

67．（2223高一下·四川遂宁·期末）如图，直四棱柱ABCD−A1B1(1)求直线BC1与平面