圆锥的侧面积

2.8圆锥的侧面积一、圆锥的侧面积和全面积

连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.

圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则

圆锥的侧面积，圆锥的全面积.

要点：

扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.题型1：求圆锥侧面积1．圆锥的底面圆直径是6，高是4，则该圆锥的表面积为（

）A．15 B．22 C．21 D．24【答案】D【分析】利用勾股定理求得圆锥的母线长，则圆锥表面积底面积+侧面积底面直径+底面周长母线长．【解析】底面直径为6，则底面周长，底面面积；由勾股定理得，母线长，圆锥得侧面积，它的表面积，故选：．【点睛】本题考查了有关扇形合圆锥的相关计算，解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，正确对这两个关系的记忆时解题的关键．2．已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则该圆锥侧面积为（

）A．π B． C．2π D．3π【答案】D【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可求解．【解析】解：圆锥的侧面积．故选：D．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．3．如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定的数据由勾股定理求出母线的长度，再用侧面积公式即可得出结论．【解析】解：由三视图可知，原几何体为圆锥，，，故选：B．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥的计算、勾股定理等知识，由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥是解题的关键．题型2：求圆锥的底面半径和高4．一个圆锥的底面半径是，其侧面展开图为半圆，则此半圆的半径为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆锥的母线长为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式进行计算即可．【解析】解：设圆锥的母线长为，根据题意得，解得，∴此半圆的半径为．故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．5．如图，用圆心角为，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（接缝忽略不计），则这个纸帽的高是（

）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】D【分析】先利用弧长公式得到圆心角为，半径为6cm的扇形的弧长，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为2，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．【解析】解：∵圆心角为，半径为6cm的扇形的弧长=，∴圆锥的底面圆的周长为，∴圆锥的底面圆的半径为，∴这个纸帽的高．故选：D．【点睛】本题考查了圆锥的有关计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理．6．用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，得到，即可求出底面半径，设纸帽的高为，利用勾股定理求出纸帽的高即可．【解析】解：由题意可知，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，又扇形的圆心角为，半径为，设底面半径为，，解得：，设纸帽的高为，则，解得：或（舍去），故选：．【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等干圆锥的母线长，也考查了弧长公式和勾股定理，求出底面半径是解答本题的关键．7．用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出直径即可．【解析】解：扇形的弧长：，则圆锥的底面直径：．故选：C．【点睛】本题考查圆锥侧面积公式，熟记公式的灵活应用是解题的关键．8．解决问题：

冰激凌的外壳（不计厚度）可近似的看作圆锥，制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形的材料，其中，，将扇形围成圆锥时，、恰好重合，其中弧与相切，求圆锥底面的直径．下面给出求解问题的解题步骤，和一些相应的数据：Ⅰ．求扇形的半径；Ⅱ．求弧DE的长；Ⅲ．求冰激凌外壳的圆锥底面的直径．①；②；③；④；⑤．则配对正确的是（

）A．Ⅰ→③，Ⅱ→①，Ⅲ→⑤ B．Ⅰ→②，Ⅱ→①．Ⅲ→③C．Ⅰ→②，Ⅱ→④，Ⅲ→③ D．Ⅰ→③，Ⅱ→④，Ⅲ→⑤【答案】A【分析】设弧与的切点为F，连接，根据勾股定理求出，从而得到，即可求出扇形的半径，从而求出弧DE的长和底面直径．【解析】解：设弧与的切点为F，连接，如图所示，∵弧与相切，∴，∵，，∴，∴，∴扇形的半径为；∴，∴弧DE的长为，∴，解得：，∴冰激凌外壳的圆锥底面的直径为；故选：A．【点睛】本题考查了圆锥的有关计算，涉及到弧长公式、等腰直角三角形的性质等，熟记公式和作出辅助线是解题关键．9．如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径，扇形的圆心角等于，则围成的圆锥的母线长R的值为（

）A．2 B．4 C．8 D．10【答案】C【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．【解析】解：∵圆的半径，∴圆的周长，∴这个圆锥侧面展开的扇形的弧长是，∵扇形的圆心角等于，∴，∴这个扇形的半径是．故选：C．【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．题型3：求圆锥侧面展开图的圆心角10．若一个圆锥的底面半径是，母线长是，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（

）A．110° B．150° C．120° D．100°【答案】C【分析】圆锥的底面半径是，母线长，圆锥底面周长是，根据弧长的公式可求出侧面展开图的圆心角度数．【解析】解：由题意可得：圆锥底面周长：，母线长是，则，解得．故选：C．【点睛】本题考查了扇形和圆锥的相关计算，解题的关键在于理解圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．11．已知圆锥的底面半径为，母线长为，那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆心角为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设所给圆锥侧面展开图的圆心角是，根据圆锥底面圆周长＝展开图扇形的弧长，构建方程求解即可．【解析】解：设侧面展开图的圆心角是，根据题意，得：，解得：，∴圆锥侧面展开图的圆心角是．故选：D．【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是理解圆锥底面圆周长＝展开图扇形的弧长．12．如图，用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，母线长为，则这个扇形的圆心角的度数是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据扇形面积公式求出圆锥的母线长，再根据弧长公式计算，得到答案．【解析】解：设扇形的圆心角为，∵圆锥的底面圆周长为，母线长为，∴解得，即扇形的圆心角为．故选：B．【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．题型4：圆锥的实际问题13．用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）列式求解即可．【解析】解：设圆锥的母线长为l，由题意得：，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了求圆锥的母线长，熟知圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）是解题的关键．14．如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（

）A．米2 B．米2C．米2 D．米2【答案】A【分析】由底面圆的半径＝5米，根据勾股定理求出母线长，利用圆锥的侧面面积公式，以及利用矩形的面积公式求得圆柱的侧面面积，最后求和．【解析】解：∵底面半径=5米，圆锥高为2米，圆柱高为3米，∴圆锥的母线长=米，∴圆锥的侧面积=，圆柱的侧面积=底面圆周长×圆柱高，即，故需要的毛毡：米，故选：A．【点睛】此题主要考查勾股定理，圆周长公式，圆锥侧面积，圆柱侧面积等，分别得出圆锥与圆柱侧面积是解题关键．15．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr，解方程求出r，然后求得直径即可．【解析】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE=BF=62r根据题意得2πr，解得r＝1，侧面积=，底面积=所以圆锥的表面积=，故选：B．【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．题型5：圆锥的最短路径问题16．如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（

）A．3 B． C． D．4【答案】B【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．【解析】解：圆锥的底面周长是，则，，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．则在圆锥侧面展开图中，，度．在圆锥侧面展开图中．故小猫经过的最短距离是．故选：．【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．17．如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（）A．3 B．4 C． D．2【答案】B【分析】易得弧BC的长，然后求得弧BC所对的圆心角的度数，从而得到直角三角形，利用勾股定理求得CD的长即可．【解析】解：如图:∵，∴设弧所对的圆心角的度数为n，∴，解得，∴，∴．故选：B．【点睛】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．解题的关键是理解并掌握圆锥的弧长等于底面周长．18．如图，已知O为圆锥的顶点，MN为圆锥底面的直径，一只蜗牛从M点出发，绕圆锥侧面爬行到N点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为MN为圆锥底面的直径，展开后D图中MN即为直径，也为所爬过的最短路线的痕迹，故选D．二、填空题19．如图，圆锥的底面圆直径为，母线长为，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为．【答案】【分析】将圆锥的侧面展开，是一个扇形，AC就是小虫爬行的最短路程，利用弧长与圆心角的公式，求展开图的圆心角，R=4，l=2πr=2π,可求出n的大小，由于n=90º，利用勾股定理可求AC的长即可．【解析】把圆锥的侧面展开，弧长是2πr=2π，母线AS=4，侧面展开的圆心角，n=90º即∠ASC=90º，C为SD的中点SD=4，线段AC是小虫爬行的最短距离，在Rt△SAC中，由勾股定理的AC=，故答案为：．【点睛】本题考查圆锥侧面的最短路径问题，掌握弧长公式，会利用弧长与圆锥底面圆的关系确定侧面展开图的圆心角，会用勾股定理求出最短路径是解题关键．一、单选题1．已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（）A．12 B．24 C．12π D．24π【答案】C【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，从而利用扇形的面积公式可计算圆锥的侧面积．【解析】解：它的侧面展开图的面积故选：C【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．2．若圆锥的底面半径为，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】已知圆锥底面圆的半径可求出侧面展开图的弧长，根据侧面展开图的面积即可求解．【解析】解：如图所示，∵圆锥的底面半径为，∴圆锥的底面圆周长是，∵侧面展开图的面积为，∴侧面展开图的面积，∴圆锥的母线长为，故选：．【点睛】本题主要考查立体几何的变换，理解和掌握几何体展开图形，及面积公式的计算方法是解题的关键．3．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（

）A．6 B．12 C．24 D．2【答案】A【分析】利用圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长计算．【解析】解：设底面圆半径为r，则，解得r＝6．故选：A．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解题的关键就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．4．如图，是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中数据计算这个几何体的侧面积为(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为6cm，底面圆的直径为4cm，然后利用圆锥侧面积公式计算即可．【解析】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为6cm，底面圆的直径为4cm，所以这个几何体的侧面积＝π×4×6＝12π（cm2）．故选：D．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的相关计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．5．已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，将这个三角形绕着最短的边所在直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】绕着最短的边即直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径是4，高是3，母线为5，然后利用圆锥的侧面积（为底面圆周长）计算即可．【解析】解：绕着最短的边即直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径是4，高是3，母线为5，∴侧面积为：，故选：C【点睛】此题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是绕着最短的边即直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥及圆锥的侧面积（为底面圆周长）．6．如图，正六边形的边长为12，连接，以点A为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】求得弧的长即为圆锥的底面周长，求得底面半径再由勾股定理解答即可．【解析】解：过B作于点P，连接，∵正六边形的每个内角都是，每条边都相等，∴，∴，是等边三角形，∴，∵的圆心角为，∴的长为，∴圆锥底面半径，∴圆锥高为，故选：D．【点睛】本题考查了正六边形的性质，三角函数，弧长公式，勾股定理，圆锥的侧面展开：如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，那么它的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长，圆锥的侧面积等于扇形的面积．7．如图，从一块半径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆半径是（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】连接，，由题意，得：，∵在上，∴为的直径，，，在中，，即扇形的半径为：扇形的弧长：设圆锥底面圆半径为，则有，∴，故选C．【点睛】本题考查圆锥的计算．熟练掌握圆锥的底面周长等于围成圆锥的扇形的弧长，是解题的关键．8．如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（

） B．282600000 D．357960000【答案】A【分析】求出圆锥的表面积，圆柱的表面积，进一步求出组合体的表面积为：，即可求出答案．【解析】解：如图：由勾股定理可知：圆锥的母线长，设底圆半径为r，则由图可知，圆锥的表面积：，圆柱的表面积：，∴组合体的表面积为：，∵每平方米用锌0.1千克，∴电镀1000个这样的锚标浮筒，需要锌．故选：A【点睛】本题考查组合体的表面积，解题的关键是求出圆锥的表面积和圆柱的表面积，掌握勾股定理，表面积公式．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，若把△ABC绕边AB所在的直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（

）A．（+3）π B．π C．2π D．（2+3）π【答案】B【解析】根据所得几何体的表面积为两个圆锥侧面积的和进行求解即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝，∴AB＝＝2，设AB边上的高为h，则×2h＝×1×，解得：h＝，∴所得两个圆锥底面半径为．∴几何体的表面积＝×2π××1+×2π××＝．故选：B．【点睛】本题主要考查了求圆锥的表面积，勾股定理，三角形面积公式，正确理解题意得知旋转后的图形是两个圆锥是解题的关键．10．在边长为1的正方形铁皮上剪下一个扇形（率径为R）和一个圆形（率径为r），使之恰好围成一个圆锥．嘉嘉说图1剪下的圆和扇形一定不可以围成一个圆锥，淇淇说图中剪下的圆和扇形有可能围成一个圆锥，还需要满足条件R=4r，则（

）A．只有嘉嘉的说法正确 B．只有淇淇的说法正确C．两个人的说法均正确 D．两人的说法均不正确【答案】C【分析】根据图1可知正方形的边长为R，则可求出正方形的对角线长为，即R+2r=，当扇形的弧长等于底面圆（小圆）的周长时，剪下的圆和扇形才可以围成一个圆锥，根据扇形的弧长和圆的周长公式可以得到，代入R+2r=中，即可判断嘉嘉的说法是否正确；图112中正方形的边长不再是R，所以不再满足R+2r=，根据淇淇所说的，当R=4r时，可得扇形的弧长=2πr，即得到扇形的弧长等于小圆的周长，从而可判断淇淇的说法是否正确．【解析】解：由图1可知正方形的边长为R，∴正方形的对角线=，∴R+2r=，∵l扇形=，C小圆=2πr，要使剪下的圆和扇形才可以围成一个圆锥，则扇形的弧长等于底面圆（小圆）的周长，∴，∴，将代入R+2r，得≠，∴图1剪下的圆和扇形一定不可以围成一个圆锥，∴嘉嘉说的对，∵图2中正方形的边长不再是R，∴不再满足R+2r=，当R=4r时，l扇形=，∵C小圆=2πr，∴l扇形=C小圆，∴淇淇说的对故选C．【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图．关键是理解扇形的弧长等于圆锥底面周长．二、填空题11．圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于．（结果保留）【答案】【分析】直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．【解析】解：圆锥侧面积为：故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算；熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．12．已知圆锥的底面半径是3cm，母线长为6cm，则这个圆锥的高为cm，侧面积为．（结果保留π）【答案】【分析】根据圆锥的母线，底面半径和高线构成直角三角形，利用勾股定理计算即可得高，利用侧面积公式：计算侧面积即可．【解析】解：底面半径是3cm，母线长为6cm，则勾股定理得，圆锥的高cm，底面周长cm，侧面积．故答案为：，．【点睛】本题考查圆锥中的相关计算．熟练掌握圆锥的母线，底面半径和高线构成直角三角形和相应的计算公式．13．第十四届全运会在陕西西安开幕，九年级（2）班李明同学利用扇形彩色纸，制作了一个圆锥形火炬模型，如图是火炬模型的侧面展开图（接痕忽略不计），已知扇形彩色纸的半径为45cm，圆心角为40°，则这个圆锥的侧面积．（结果保留）【答案】225π【分析】先根据扇形的面积公式计算出扇形的面积=225π，然后得到圆锥的侧面积．【解析】解：∵扇形的面积=()．∴圆锥的侧面积为225π，故答案为：225π．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14．要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是．【答案】160°/160度【分析】根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，利用扇形面积公式与弧长公式计算即可．【解析】设圆锥的母线长为lcm，扇形的圆心角为n°，∵圆锥的底面圆周长为8πcm，∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为8πcm，由题意得：，解得：l=9，则，解得n=160，即扇形的圆心角为160°，故答案为：160°．【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与圆锥之间的关系是解决本题的关键.15．如图，从一块半径为20的圆形纸片上剪出一个圆心角是的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径是．【答案】【分析】连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出的长，利用勾股定理，求出的长，再利用弧长公式，求出的长，然后根据圆锥的底面周长等于的长，设圆锥的底面半径是，利用圆的周长公式，即可求出该圆锥的底面半径．【解析】解：如图，连接，，是直径，即，，，，的长为，扇形围成一个圆锥，即圆锥的底面周长等于的长，设圆锥的底面半径是，，，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，弧长公式，圆锥的底面半径，解题关键是掌握圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥的底面周长．16．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为．【答案】3．【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可．【解析】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCπ＝6π，以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝6π，设展开后的圆心角是n°，则，解得：n＝180，即展开后∠BAC＝×180°＝90°，AP＝AC＝3，AB＝6，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，由勾股定理得：BP＝，故答案为：．【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．17．如图是一张直角三角形卡片，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝2cm，DB＝4cm，DE⊥AB．若将该卡片绕直线DE旋转一周，则形成的几何体的表面积为cm2．【答案】16π＋16π．【分析】根据旋转得到若将该卡片绕直线DE旋转一周，则形成的几何体是一个以BD为底面圆半径的圆台，上面去掉一个以CF为底面，高为EF的圆锥，利用圆的面积公式，圆锥侧面的面积公式计算即可.【解析】∵AD＝2cm，DB＝4cm，∴AB=6cm，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴CH=3cm，过点C作CF⊥直线DE于F，作CH⊥AB于H，则四边形CFDH是矩形，∴DF=CH=3cm，∵DE⊥AB，∴DE=AD=2cm，∠CEF=∠AED=45°，∴CF=EF=DFDE=1cm，∵若将该卡片绕直线DE旋转一周，则形成的几何体是一个以BD为底面圆半径的圆台，上面去掉一个以CF为底面，高为EF的圆锥，如图，底面圆的面积=，外侧面积=，上面圆锥侧面面积=，∴形成的几何体的表面积为，故答案为：.【点睛】此题考查平面图形旋转得到几何体，考查空间想象能力，考查了圆的面积公式，圆锥的侧面面积公式，此题能根据图形利用空间想象能力得到旋转后的几何体为上面去掉一个圆锥的圆台由此进行计算是解题的关键.18．如图，在四边形中，，以点A为圆心，为半径的圆与相切于点E，交于点F，用扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为．【答案】【分析】由切线的性质可知为直角三角形，由，，可得，可知为等腰直角三角形，得，，易知，求得弧的长，易知弧长为圆锥的底面圆的周长，由半径等于周长除以，即即可求得半径．【解析】解：∵为圆A的切线，∴，∴为直角三角形，∵，，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴弧的长，∵扇形为圆锥的侧面，∴弧长为圆锥的底面圆的周长，∴半径等于周长除以，即半径等于，故答案为：．【点睛】此题考查了切线的性质、直角三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及弧长公式．熟悉相关性质定理是解决问题的关键．三、解答题19．如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),求这个圆锥的高.【答案】3cm.【分析】因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，则留下的扇形的弧长为=8πcm,所以圆锥的底面半径r＝4cm，利用勾股定理求圆锥的高即可【解析】解:∵从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形,∴留下的扇形的弧长为=8πcm,根据圆锥底面圆的周长等于扇形弧长,∴圆锥的底面半径r==4cm,∴圆锥的高为=3cm.【点睛】本题主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解此类题目要根据所构成的直角三角形的勾股定理作为等量关系求解．20．一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为120°的扇形，求：（1）圆锥的底面半径；（2）圆锥的全面积.【答案】（1）圆锥的底面半径为；（2）【分析】（1）扇形的弧长公式=，利用展开后扇形的弧长即为展开前圆锥底面圆的周长求出半径；（2）S圆锥=，（r1=扇形半径即圆锥母线长，r2=底面圆半径）将已知条件代入即可.【解析】解：（1）设圆锥的底面半径为，扇形的弧长，∴解得，，即圆锥的底面半径为；（2）圆锥的全面积【点睛】本题考查圆锥相关的计算，要求掌握圆锥侧面积与底面积的计算公式，侧面展开图扇形相关的面积和弧长的求算，注意求圆锥面积时母线与底面圆半径的区分.21．如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为的最大扇形（阴影部分）．(1)求这个扇形的面积；(2)若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），求此圆锥底面圆的半径．【答案】(1)(2)【分析】（1）由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求值；（2）根据扇形的弧长等于底面周长求得底面半径即可．【解析】（1）解：如图，连接，∵扇形是圆心角为的扇形，∴，，则为圆的直径，∴，由得，∴扇形的面积为；（2）解：设该圆锥底面圆的半径为r，则，解得，即此圆锥底面圆的半径为．【点睛】本题考查了圆周角定理、扇形的面积计算方法、弧长公式等知识．关键是熟悉圆锥的展开图和底面圆与圆锥的关系，以及利用所学的勾股定理、弧长公式及扇形面积公式求值．22．已知：(1)化简；(2)如图，、分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥侧面积为，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据分式的除法法则进行化简即可得；（2）根据圆锥的侧面积公式可得的值，代入计算即可得．【解析】（1）解：．（2）解：圆锥侧面积为，，解得，则．【点睛】本题考查了分式的化简求值、圆锥的侧面积，熟练掌握分式的运算法则和圆锥的侧面积公式是解题关键．23．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：(1)请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为______；(2)连接，则的半径为______；扇形的圆心角度数为______；(3)若扇形是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．【答案】(1)画图见解析，(2)，(3)【分析】（1）找到的垂直平分线的交点D，设，由，利用两点间距离公式解方程即可求出y的值，即可得到圆心坐标；（2）利用勾股定理求出得长，即可得到圆的半径长，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，则扇形的圆心角度数为；（3）先求得扇形弧长，除以即为圆锥的底面半径．【解析】（1）解：作的垂直平分线相交于点D．设．∵，∴，解得：，∴．（2）解：如图所示，连接，由（1）得，∴的半径为；∵，∴，∴是直角三角形，即，∴扇形的圆心角度数为，故答案为：，；（3）解：由题意得，该圆锥的底面半径为；【点睛】本题考查了垂径定理的推论以及圆锥的有关计算，勾股定理和勾股定理得逆定理．用到的知识点为：非直径的弦的垂直平分线经过圆心；圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆周长．24．如图是一个几何体的三视图．(1)写出这个几何体的名称；(2)求这个几何体侧面展开图的圆心角；(3)求这个几何体的全面积．【答案】(1)圆锥(2)(3)【分析】（1）由常见几何体的三视图可得该几何体为圆锥；（2）由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，母线长为6，再根据展开图扇形的弧长公式得到圆心角的度数；（3）根据三视图知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，母线长为6，再根据面积公式可得答案．【解析】（1）解：由三视图可知，该几何体为圆锥；（2）解：由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，母线长为6，则展开图扇形的弧长为，又弧长为，，解得展开图扇形的圆心角度数为；（3）解：由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，母线长为6，展开图扇形的面积为，底面面积为，圆锥的全面积为．【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及扇形的弧长、面积计算．25．如图，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T（A），即，如T（60°）＝1．（1）理解巩固：T（90°）＝，T（120°）＝；（2）学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ＝8，一只蚂蚁从P点这沿着圆锥的侧面爬行到点Q．①求圆锥侧面展开图的扇形圆心角的数；②求蚂蚁爬行的最短路径长