2024年江苏省南京市文昌初级中学中考三模数学试题(含解析)

江苏省南京市文昌初级中学2024届初三下学期三模数学试题注意事项：1．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进吨粮食记为“”，则“”表示（

）A．亏损吨粮食 B．吃掉吨粮食 C．卖掉吨粮食 D．运出吨粮食2．如图，裁掉一个正方形后不能折叠成正方体的是（

）A．① B．② C．③ D．④3．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，则的值是（

）A．2 B．1 C． D．5．杆秤是人类的一种伟大发明．如图是某种杆秤，在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点；当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡状态．秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时，秤杆处于平衡状态．已知x与y之间满足一次函数关系．且测得x与y的几组对应数据如表所示：x/克024610y/毫米410162234当时，y的值是（

）A．45 B．46 C．48 D．506．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中，“圆”有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图1是某园林中的圆弧形门洞，其数学模型如图2所示，该圆弧形门洞的半径为1.3米，E为圆上一点，，于点F，且米，则门洞的跨径的长为（

）A．0.5米 B．1米 C．1.2米 D．1.3米二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．“燕雪花大轩台”是诗仙李白眼里的雪花，单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为．8．设n为正整数，若，则n的值为．9．已知点关于x轴的对称点为，则．10．分式方程的解为．11．已知反比例函数（为常数，）的图像在第一、第三象限，则的取值范围是．12．关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是．13．如图，在边长为2的等边三角形中，D是的中点，点E在线段上，连接，在的下方作等边三角形，连接，则周长的最小值为.

14．初三（1）班同学在“2024义卖”活动中表现特别突出，他们设计了甲乙两款纪念品．销售一件甲纪念品可获利：销售一件乙纪念品可获利；当销售量的比为时，总获利为．当销售量的比为时，总获利为．15．如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为．16．如图，正方形的顶点，在双曲线上，顶点在双曲线上，轴，正方形的面积为，则的值是．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：．18．求不等式的正整数解．19．先化简，再求代数式的值，其中．20．为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各架，规定运行最长时间用x表示，当时为合格，当时为中等，当时为优等．记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行统计分析，过程如下：收集数据：A款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间是：．B款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：．整理数据：B款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图分析数据：统计量类别平均数中位数众数方差AaBb请结合以上信息回答下列问题：(1)上述图表中______，______，______，______；(2)根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；(3)若某玩具仓库有A款智能玩具飞机架、B款智能玩具飞机架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？21．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，(1)求屋顶到横梁的距离；(2)求房屋的高．22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，b均为常数）(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)根据图象直接写出不等式的解集．23．如图1，已知函数经过两点．(1)求B点的坐标；(2)如图2，点C是x轴正半轴上一点，横坐标为，的面积为S，试求S与t的函数关系式；(3)如图3，D是的角平分线上一点，与交于点F，当时，，，求点F的坐标．24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)点D为抛物线上一点且在x轴上方，满足，求D点坐标；(3)点M为线段上一动点（不与B，C重合），过点M作轴于点P，交抛物线于点N．如图2，在抛物线上找一点Q，连接，，，使得与的面积相等，①求出点Q到直线的距离；②当线段的长度最小时，直接写出此时Q点坐标．四、解答题25．某汽车4S店去年销售燃油汽车a辆，新能源汽车b辆，混动汽车的销量是燃油车辆的一半、今年计划销售燃油汽车比去年减少30%，新能源汽车是去年的2倍，混动汽车保持不变，(1)今年燃油汽车计划的销量为辆（用含a或b的代数式表示）(2)若今年计划的总销量就比去年增加，求的值．26．在中，，以为直径的交于点D，点E在上，，的延长线相交于点F．

(1)如图1，求证：是的切线；(2)如图2，连接并延长，交于点G，若点B是的中点，，求的半径r．27．高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和彩色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：(1)图1的彩色正方形有：；图2的彩色正方形有：；图3的彩色正方形有：；图4的彩色正方形有：…；图n的彩色正方形有：(2)图1中，白色正方形比彩色正方形多1个；图2中，白色正方形比彩色正方形多2个：图3中，白色正方形比彩色正方形多3个；…；图n的白色正方形有个．(3)若图n中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图n中白色正方形的个数．

参考答案与解析

1．D【分析】本题考查了相反意义的量，正负数的应用．熟练掌握相反意义的量，正负数的应用是解题的关键．根据运进吨粮食记为“”，可知“”表示运出吨粮食，然后作答即可．【详解】解：由题意知，运进吨粮食记为“”，∴“”表示运出吨粮食，故选：D．2．A【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，根据正方体的展开图得出结论即可，熟练掌握正方体的表面展开图是解题的关键．【详解】解：由正方体的展开图可知，裁掉②或③或④原图都可以折叠成正方形，故裁掉一个正方形后不能折叠成正方体的是①，故选：A．3．D【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方以及完全平方公式，根据积的乘方，合并同类项和完全平方公式逐项计算即可．【详解】解：A．，故不正确；B．与不是同类项，不能合并，故不正确；C．，故不正确；D．，正确；故选D．4．C【分析】本题考查正切的定义，在直角三角形中，一个角的正切值等于对边比邻边，据此进行进行计算即可．【详解】解：如图，过点A作交的延长线于点D，由图可得：，，，故选：C．5．B【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求出函数关系式是解题的关键．根据表格可得与的函数关系式，再将代入求解即可．【详解】解：设与的函数关系式为，将点，代入，可得，解得，∴与的函数关系式为，将代入，可得，即当克时，的长度是46毫米．故选：B．6．B【分析】本题考查垂径定理的应用，根据即可求解．【详解】由题意得：米，米∴米，∵，∴（米），∴米，故选：B．7．【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法，根据科学记数法的表示形式直接求解即可．【详解】解：，故答案为：．8．2【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据得到，据此可得答案．【详解】解：∵，∴，∵n为正整数，且，∴，故答案为：2．9．【分析】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键，关于x轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变，即可得出答案．【详解】解：点关于x轴的对称点为，，，故答案为：．10．【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可．【详解】解：，∴，解得：；经检验：是原方程的解，故答案为：．11．##【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．根据反比例函数的图像在第一、第三象限，可得关于的不等式，求解即可．【详解】解：∵反比例函数的图像在第一、第三象限，∴，解得．故答案为：．12．【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解，熟练掌握一元一次不等式组的解是解题的关键．根据不等式组有且只有两个整数解列出关于m的不等式组，然后求解即可．【详解】解：∵不等式组有且只有两个整数解，∴，解得，故答案为：．13．【分析】连接，由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明.从而可以得出作点关于的对称点，连接，则依据当在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到的度数，然后计算最小周长即可.【详解】如图，连接，

∵都是等边三角形，∴，，，∴∴，在和中，，∴，∴，如图，作点关于的对称点，连接，，则，∴当在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小，由轴对称的性质，可得是等边三角形，，∴，∴，∴的周长最小值为，故答案为：.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用.凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.14．【分析】本题考查了分式方程，利润、成本及利润率的关系，设一件甲纪念品的成本为a元，一件乙纪念品的成本为b元，由“销售量的比为时，总获利为”及利润率公式，可求得a与b的关系，则可求得销售量的比为时的总获利．【详解】解：设一件甲纪念品的成本为a元，一件乙纪念品的成本为b元，则，解得，当销售量的比为时，总获利为：，故答案为：．15．【分析】连接，，过点作，垂足为点，根据题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据切线的判定定理即可证明是的切线，根据切线的性质以及矩形的判定和性质可得，，得出，根据切线长定理可得，，得出，根据勾股定理即可求得的长．【详解】解：如图：连接，，过点作，垂足为点，∵是的切线，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线，∵是的切线，∵，∵，，，即，∴四边形是矩形，∴，，则，∵是的切线，是的切线，是的切线，∴，，∴，∵，在中，，即，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定和性质，根据切线长定理得出，是解题的关键．16．【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质．过点分别作轴、轴的垂线，垂足为，，设，则点，，根据反比例函数的性质求出，，进而求出点的坐标，即可求解．【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足为，，设，易知，点，，，或（舍去），，，故答案为：．17．【分析】分别计算负整数指数幂、绝对值、三角函数值、二次根式，然后算加减即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算法则是解决问题的关键．18．不等式的正整数解为1、2、3【分析】本题主要考查了求不等式的正整数解，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其正整数解即可．【详解】解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，∴不等式的正整数解为1、2、3．19．，【分析】本题考查了分式化简求值，特殊角的三角函数值；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据特殊角的三角函数值得出,最后将字母的值代入求解．【详解】解：原式其中原式20．(1)，，，(2)A款智能玩具飞机运行性能更好，见解析(3)架【分析】（1）由题意知，，，，B款合格数量为个，中等数量为5个，根据中位数为第5、6位数的平均数确定的值即可；（2）根据中位数，众数进行决策即可；（3）根据，计算求解即可．【详解】（1）解：由题意知，，，，∴B款合格数量为个，中等数量为5个，∴中位数为第5、6位数的平均数，，故答案为：，，，；（2）解：A款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下；A，B运行最长时间平均数相同，但A运行最长时间的中位数、众数均高于B，∴A款智能玩具飞机运行性能更好；（3）解：∵（架），∴估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有架．【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体．熟练掌握扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体是解题的关键．21．(1)(2)【分析】本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构造直角三角形利用三角函数和已知条件列方程解决问题．（1）根据可得，再根据，即可求解；（2）过点作于点，设，则，，再根据，列出方程求解即可．【详解】（1）解：，，该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，，，，答：屋顶到横梁的距离为．（2）解：过点作于点，设，，在中，，，在中，，，，，，解得：，，答：房屋的高为．22．(1)，；(2)或【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题以及借助图象求不等式的解集．（1）利用待定系数法即可求出函数解析式；（2）根据图象位置关系找到一次函数在反比例函数上方的部分即可得解．【详解】（1）解：将点代入得，∴，∴反比例函数的解析式为；将点代入得，∴，将点、分别代入得，解得，∴一次函数的解析式为；（2）根据图象可知，当时，直线在反比例函数图象的上方，满足，∴不等式的解集为或．23．(1)(2)(3)【分析】（1）令，得，求解即可；（2）令，得，得，，，再根据即可求解；（3）由勾股定理得，过点作轴，根据，，得，在上取，过点作轴交于，则，，可知，可证四边形是矩形，得轴，，，由，知，则，进而可知，可知平分，由平分，可知点与点重合，得，，设，则，，由勾股定理可得，，列方程求解得（负值舍去），可知，，，求得的解析式为：，的解析式为：，联立，即可求解得点的坐标．【详解】（1）解：当时，，解得：，∴点的坐标为；（2）当时，，则，∴，，∵点C是x轴正半轴上一点，横坐标为，∴，则，则的面积，∴；（3）在中，，∴，过点作轴，∵，即，又∵，∴，在上取，过点作轴交于，则，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，又∵∴四边形是矩形，∴轴，，，又∵，∴，则，∵轴，∴，∴，∴平分，又∵平分，∴点与点重合，∴，，设，则，，在中，，在中，，∴，解得：（负值舍去），∴，则，，，设的解析式为：，代入，，可得，解得：，∴的解析式为：，同理，的解析式为：，联立，解得：故点的坐标为．【点睛】本题考查图形与坐标，待定系数法求函数解析式，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，添加辅助线，构造全等三角形，证明点与点重合是解决问题的关键．24．(1)(2)(3)①１；②或【分析】（1）把，点分别代入解析式，计算即可．（2）取点，先证明，再计算直线的解析式，联立抛物线的解析式构造一元二次方程，解答即可．（3）确定直线的解析式为：，设，则，，则，，设，则点Q到直线的距离为，利用三角形面积相等，构造二次函数求值计算即可．【详解】（1）把，点分别代入解析式，得得，解得，故抛物线的解析式为．（2）取点，作直线交抛物线于点Ｄ，∵抛物线，∴，∵，点，∴，∵，∴，∴，设直线的解析式为，∴，解得，故直线的解析式为．根据题意，得，解得（舍去），当时，，故．（3）设直线的解析式为，将，代入直线的解析式得：，解得，∴直线的解析式为：，设，则，，∴，，，设，则点Q到直线的距离为，①，∵与的面积相等，∴解得，故点Q到直线的距离为１；②根据点Q到直线的距离为１，点Q到直线的距离为，∴，∴或，当时，则，又，∴，令，∵，∴函数p有最小值，且当时，p取得最小值1，此时Q点坐标．当时，则，又，∴，令，∵，∴函数p有最小值，且当时，p取得最小值1，此时Q点坐标．．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，三角形全等的判定和性质，解方程组，构造二次函数求最小值，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最小值，是解题的关键．25．(1)(2)【分析】本题考查了列代数式，整式的运算．（1）根据题意列式，化简即可得解；（2）根据题意列式，化简即可得解．【详解】（1）解：今年燃油汽车计划的销量为，故答案为：；（2）解：由题意得，，变形得，，∴．26．(1)