2024届海南省海口市高三下学期一模数学试题及答案

机密★启用前海口市2024届高三年级调研考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。11.在复平面内，对应的点位于（）2iA.第一象限C.第三象限B.第二象限D.第四象限2.已知b0，设甲：ab1，乙：ab1，则（）A.甲是乙的充分不必要条件C.甲是乙的充要条件B.甲是乙的必要不充分条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件3.设l，m是两条直线，，是两个平面，则（A.若∥，l∥，m∥，则l∥mC.若，l∥，m∥，则lm）B.若∥，l∥m，m，则lD.若，l∥，m∥，则l∥mx2y2x2y24.已知椭圆1：1的2个焦点与椭圆C2：1m0的2个焦点构成正方形的四个顶123m216点，则m（）A.7B.5C.7D.55.某记者与参加会议的5名代表一起合影留念（6的排法种数为（A.72B.96）C.144D.24012时，fx12xyfx6.已知函数fx的定义域为R，fx1x在点f2处的切线斜率为（）2525A.B.C.2D.-2tanAtanB7.记△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2，则（）321223A.B.C.D.-2x22y2258.已知F是双曲线C：1ab0yb与C交于AB两点.若△ab2的周长为7a，则C的离心率为（）43536525A.B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知甲、乙两组样本各有10个数据，甲、乙两组数据合并后得到一组新数据，下列说法正确的是（A.若甲、乙两组数据的平均数都为a，则新数据的平均数等于a）B.若甲、乙两组数据的极差都为b，则新数据的极差可能大于bC.若甲、乙两组数据的方差都为c，则新数据的方差可能小于cD.若甲、乙两组数据的中位数都为d，则新数据的中位数等于d10.已知函数fxxAsin（其中A0，0，）的部分图象如图所示，则（）21112A.2B.fx的图象关于点,0中心对称6D.fx在上的值域为2,1C.fx2cos2x,631nnN，则（）*11.已知Sn为正项数列a的前n项和，11，SnSn1nanA.SnnB.an1an1C.SnSn22Sn1D.SnnSn三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合A1,2，Bx1，若ABB，则m的取值范围是_________.13.已知圆C：x2y216，点P在直线l：x2y60上，过点P作C的两条切线，切点分别2为A，B.当最大时，___________.14.在正三棱台ABCABC中，2，ABAB，侧棱AA与底面ABC所成角的正切值为2.若111111存在一个球与该正三棱台的每个面都相切，则此正三棱台的体积为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分】x2ae.x已知函数fx（1）讨论fx的单调性；（2）若fx0，求a的取值范围.16.（15分）ABCABCACCA平面ABC，ABBCACCA是边长为2的1111111正方形.（1）证明：BC平面A；11（2）若直线AC与平面A所成的角为30°，求二面角BACA的余弦值.111117.（15分）已知摊物线C：y22pxp0的准线与x轴的交点为E0，C的焦点为F.经过点E的直线l与C分别交于A，B两点.（1）设直线AF，的斜率分别为k，k，证明：kk0；1212（2）记△与的面积分别为S，S，若S3S，求AFBF.121218.（17分）一次课外活动举行篮球投篮趣味比赛，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分.已知某同学连2续投篮n次，总得分为X，每次投进的概率为，且每次投篮相互独立，3（1）n30时，判断EX与20的大小，并说明理由；（2）n3时，求X的概率分布列和数学期望；PnnN*，求P的表达式.nn（3）记X3的概率为19.（17分nfa.i已知函数fxx6sinx，等差数列a的前n项和为Sn，记nni1,中心对称；（1）求证：fx的图象关于点（2）若a，a，a是某三角形的三个内角，求T的取值范围；1233（3）若100，求证：.反之是否成立?并请说明理由.机密启用前海口市2024届高三年级调研考试数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分。题号答案12345678DBBACCBA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。第9、11题每个正确选项2分；第10题每个正确选项3分。题号91011答案ABDACABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。11235721212.m13.14.3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）1）fx的定义域为R，fx1aex当a0时，fx0，所以fx在,，上单调递增；11当a0时，令fx0，得x，令fx0，得x，aa1所以fx在,ln上单调递增，在,a1上单调递减.ax2x2ae0，得ax（2）由fx.exx2x1设gx，则gx.exex令gx0，得x1，令gx0，得x1，上单调递减，所以gx在,1上单调递增，在所以当x1时，gx取最大值ge.所以ae.16.（15分）（1）证：因为四边形ACCA是正方形，11所以AA1AC.因为平面ACCA平面ABC，平面ACCA，11111平面ACCA平面，11所以AA1平面ABC.因为BC平面ABC，所以AA1BC.又因为ABBC，AB,AAABBA，ABAAA，1111所以BC平面A.11（2）解：由（1）知，BAC为直线AC与平面A所成的角，1111即BAC30正方形ACCA的边长为2，11所以C22，2，所以2.（方法一）过点A作AD1B，垂足为D，过点D作C，垂足为E，连结.因为BC平面A，平面A，1111所以BCAD，又BC,AB平面A，BCABB，111所以平面1.所以是在平面1内的射影，所以由三垂线定可知，AEC，所以AED是二面角BCA的平面角.23在直角△中，2，AD，3ADAE6所以sinAED所以cosAED，333，3即二面角BCA的余弦值为.3（方法二）取AC的中点O，连结.因为ABBC，所以BOAC，因为平面ACCA平面ABC，11平面ACCA平面，平面ABC，11所以BO平面ACCA.11取AC的中点O$，则，1111以OB,OC,，为基底，建立空间直角坐标系O.1所以B1,0,0，C0，A1,2，1所以0，AC0,2,2.1设平面A的法向量为nx,y,z，1nBC,nxy取n.则即nAC,nAC2y2z11取平面AAC的法向量0，1设二面角BCA的大小为，n13则cos.313n3因为二面角BCA为锐角，所以cos，33即二面角BCA的余弦值为17.（15分）.31）因为抛物线C的准线与x轴的交点为E1,0，p所以1，即p2，22y4x.所以C的方程为显然直线l的斜率存在且不为0.设直线l：x1，Ax,y，Bx,y，1122将直线方程与抛物线方程联立并消去x，2y440.得所以yy4m，yy4，12121y21y2所以kk1211x112222y21y22122m424m212my20.122my2（2）不妨设y0，y0.12因为S3S，y4y.1212又yy4，解得y4，y1.121212y242174所以xx，12254所以AFBFx1x1.1218.（17分）1）EX20.23理由如下：记该同学投篮30次投进次数为，则~B.230若每次投进得分都为1分，则得分的期望为E20.3由题意比赛得分的规则知，连续投进时，得分翻倍，故实际总得分EX必大于每次得分固定为1分的数学期望.所以EX20.（2）X的可能取值为：0，1，2，3，7，且321121602713PX；PXC；3332727222231418312PX；PX；3327327233278PX.所以，X的概率分布列为XP012371648827272727271648894所以EX01237.272727272727（3）投篮n次得分为3分，有两种可能的情况：情形一，恰好两次投进，且两次相邻；情形二，恰好三次投进，且任意两次都不相邻.当2n4时，情形二不可能发生，2n21n21故PCn1n14n3.3322133n21n当n5时，情形一发生的概率为C1n14n，3情形二发生是指，将n3次未投进的投篮排成一列，共有n2个空位，选择其中3个空位作为投进的投篮，故概率为231n31n1C34n2n3n4，n2333nn11313所以P4n14n2n3n4nn1129n274n39n2.31n,n2,3,4n13综上，nn11329n274n39n2,nnN.*19.（17分）1）设fx的图象上任意一点Px,y，则yfx，,，的对称点为P2x,2y.点P关于点6sin2x6sinxy，因为f2x2xx2y，在fx的图象上，所以点P2x,2,中心对称.所以fx的图象关于点（2）若a，a，a是某三角形的三个内角，123则aaa，123又an是等差数列，所以a2.3所以3f1fafa1a236sinasina2sin32313336sin16sina339sina33a11163363sina.162不妨设aa，则a，所以1,，13136162所以sina,1，1所以T63,93.3100，（3）因为an是等差数列，且12所以当mn101时，aa，mn所以sinasina0.mni