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19五月20241第五节函数的微分

第二章三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则二、微分的几何意义一、微分的定义四、微分在近似计算中的应用（不要求）（Function’sDifferential）五、本章小结与思考题19五月20242一、微分的定义引例:

一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x

,面积为A,则面积的增量为关于△x

的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x

在取得增量时,变到边长由其（DefinitionofDifferentials）19五月20243的微分,在点的增量可表示为(A

为不依赖于△x

的常数)则称函数而称为记作即定理函数在点可微的充要条件是即在点可微,定义

若函数19五月20244证:“必要性”已知在点可微,则故在点的可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即定理

函数19五月20245在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导,则定理

函数19五月20246时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当说明:19五月20247二、微分的几何意义切线纵坐标的增量当很小时,则有从而导数也叫作微商自变量的微分,记作记19五月20248又如,例如,19五月20249三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则1．基本初等函数的微分公式(参看课本表格)2．函数和、差、积、商的微分法则设u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)19五月2024103．复合函数的微分法则分别可微,的微分为微分形式不变性则复合函数求例1解法1：解法2：利用“微分形式不变性”19五月202411求解:

利用一阶微分形式不变性,有例2

设例3

在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:

上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.

注意:数学中的反问题往往出现多值性.（点击看其他例子）19五月202412数学中的反问题往往出现多值性

,例如19五月202413四、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:19五月202414很小时,常用近似公式:很小)证明:令得特别当19五月202415的近似值.解:

设取则例4

求19五月202416的近似值.解:例5

计算19五月202417内容小结1.微分概念

微分的定义及几何意义

可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:(u

是自变量或中间变量)3.微分在近似计算中的应用19

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