（北师大版2019课标）高中数学必修第一册 第一章综合测试【含答案】

第一章综合测试

第I卷（选择题，共60分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的）

1.已知集合/={1,2,3},5={2,3},则（）

A.4=8B.AHB=0C.AVBD.5UA

2.已知全集U=R,集合”={x|0VxW",N={x|xW0},则己f]&N)=()

A.{x10WxVl}B.{x10VxWl}C.D.

3.已知集合M={1,a2},P={-l,-a},若"UP有三个元素，则"口。=（)

A.{0,1}B.{0,-1}C.{0}D.{-1}

4.命题“vxeoJM+x?2。”的否定是()

A.3X<0,|X|+X2<0B.玉:20,国+0y0C.3x20,k|+x2VoD.3X<0,X|+X2>0

5.已知aV0,—lVbV0，贝U()

A.-a<ab<0B.-a>ab>0C.a>ab>ab2D.ab>a>ab2

6.已知集合4=卜卜2+x-2W。},S=贝u/n(48)=()

A.(-1,2)B.(-1,1)C.(-1,2]D.(-1,1]

7.“关于x的不等式x2-2“x+a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是（)

A.0<a<lB.0<a<-C.OWaWlD.Q〈0或

33

8.若正数5b满足2。+1±=1,则2』+6的最小值为（）

ba

A.4VIB.872C.8D.9

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）

9.有下列命题中，真命题有（）

A.3xeN\使x为29的约数

B.VxeR,x2+x+2>0

C.存在锐角e,sina=1.5

D.已知/={a|a=2〃},8={/?/=3/〃},则对于任意的〃，weN,,都有4n8=0

10.已知下列结论中正确的是（）

ab

A.a<bB.a+b<ahC.回〉同D.ab<b2

11.如下图，二次函数歹=加+bx+c（aH0）的图像与x轴交于48两点，与y轴交于C点，且对称轴为

x=l,点3坐标为（-1,0）,则下面结论中正确的是（）

A.2a+b=0B.4a-2b+c<0C.b2-4ac>0D.当y<0时，x<-l或x>4

12.设。是一个数集，且至少含有两个元素.若对任意的a,bwP,都有a+b,a-b,eP（除数6H0）,

b

则称。是一个数域.则关于数域的理解正确的是（）

A.有理数集Q是一个数域

B.整数集是数域

C.若有理数集QcM,则数集M必为数域

D.数域必为无限集

第H卷（非选择题，共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）

13.不等式一f+6x—8>0的解集为.

14.设某公司原有员工100人从事产品力的生产，平均每人每年创造产值/万元（/为正常数）.公司决定从

原有员工中分流x（0<x<100,xeN*）人去进行新开发的产品5的生产.分流后，继续从事产品4生产的

员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了L2x%.若要保证产品4的年产值不减少，则最多能分流

的人数是一

15.若\=6>0）,则4。+6+1的最小值为.

16.已知非空集合48满足下列四个条件：

①/U8={1,2,3,4,5,6,7}；

②/口8=0；

③工中的元素个数不是Z中的元素；

④3中的元素个数不是B中的元素.

（1）若集合4中只有1个元素，则/=；

（2）若两个集合4和5按顺序组成的集合对（45）叫作有序集合对，则有序集合对（48）的个数是

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）已知全集为实数集R,集合“={x|14W7},5={x|-2w+Kx<w}.

(1)若/«=5,求/U8,('/)n8；

（2）若力08=/，求力的取值范围.

18.（本小题满分12分）已知不等式（1-4）/-叙+6>0的解集为｛x|-3<x<l卜

（1）求a的值；

（2）若不等式ax2+〃?x+320的解集为R,求实数机的取值范围.

19.（本小题满分12分）已知P：X2-3X-4W0；q：x2-6x+9-m2<0,若p是夕的充分条件，求”?的取

值范围.

20.（本小题满分12分）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某

种化工产品，经测算，该处理成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为

^=X2-40X+1600,XG[30,50],已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品.

（1）判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万

元该工厂才不会亏损？

（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

21.（本小题满分12分）若集合4=卜卜2+2》一8<0},5={x||x+l|>3）,

C=-2mx+m2-KO,/MCR}.

（1）若znc=。，求实数机的取值范围.

（2）若（zn8）1c,求实数机的取值范围.

22.（本小题满分12分）己知正实数“，6满足4+6=1,求+^+1j的最小值.

第一章综合测试

答案解析

、

1.D

由真子集的概念，知8。/,故选D.

2.B

,/甯N={x|x>o},n(m)={x|OVx.l}.故选B.

3.C

由题意知解得a=0或“=一1.①当a=0时，A/={l,0},。={一1,0},〃UP={-l，0，l}，满足条件,

此时MflP={0}；②当〃=-1时，/=1,与集合历中元素的互异性矛盾，舍去，故选C.

4.C

“7》20,冈+/20”的否定是“三、20,[乂+/<0”.

5.B

•：a<0,-}<b<0,：.abX),a<ab2<0,故A,C,D都不正确，正确答案为B.

6.D

由/+工-2<0,得-2WXW1,.*.4=[-2,l].由得XW—1或X>2,.•.B=(F,—1]U(2,+8).则

45=(—1,2],•••/0&8)=(-1，1].故选口.

7.C

因为关于x的不等式x2_2ox+a>0的解集为R,所以函数/(x)=f-2ax+a的图象始终落在x轴的上方,

即△=4/一4“<0,解得OVaVl,因为要找其必要不充分条件，从而得到(0,1)是对应集合的真子集，故

选C.

8.D

V«>0,b>0,且26+1=l,则2+6=(2+6](2。+9]=5+4+2/25+4=9,当且仅当2=2M即

ba\ab)abab

a=-,6=3时取等号，故选D.

3

二、

9.AB

A中命题为真命题.当x=l时，x为29的约数成立；B中命题是真命题.X2+X+2=[X+；]+(>o恒成

立；C中命题为假命题.根据锐角三角函数的定义可知，对于锐角a,总有OVsinaVl；D中命题为假命

题.易知6G466B,故4口3。0.

10.BD

因为Lv』VO,所以bVaVO,故A错误；因为力VQVO,所以Q+Z?VO,ahX),所以a+bVab,故B正

ab

确；因为Zr<aVO,所以|4〉同不成立，故C错误；ab-b2=b(a-b),因为6<〃<0,所以。一6>0,即

ab-b?=b(a—b)<0,所以必成立，故口正确,故选BD.

11.ABC

•・•二次函数歹=⑪2+云+《。工0)图象的对称轴为工=1,・・.-2=i,得2a+6=0,故A正确；当工=一2

时，y=4a-2b+c<0,故B正确：该函数图象与x轴有两个交点，则〃一4四>0,故C正确：\•二次函

数y=a?+6x+c(cw0)的图象的对称轴为x=l,点5的坐标为(-1,0),...点4的坐标为(3,0),...当yVO

时，xV—l或x>3,故D错误，故选ABC.

12.AD

若a,beQ,贝Ua+beQ,a-bwQ,abwQ,-eQ(b^O),所以有理数Q是一个数域，故A正确；因

b

为lwZ,2eZ,；eZ,所以整数集不是数域，B不正确；令数集M=QU{J^}，贝HeM,后eM,但

\+五史M,所以C不正确；根据定义，如果a,人9*0)在数域中，那么a+b,a+2b,…，a+kb(kk

为整数)，…都在数域中，故数域必为无限集，D正确.故选AD.

13.（2,4）（或写成{x[2«4}）

原不等式等价于f-6x+8V0,即（x-2）（x-4）V0,得2Vx<4.

14.16

由题意，分流前每年创造的产值为100f（万元），分流工人后，每年创造的产值为（100-司（1+1.2%％》,

[0<x<100

由4/、,

（100-X）（1+1.2X%）/^1006

解得OVxW史.因为xcN*,所以x的最大值为16.

3

15.19

,111/曰22,

由—I—=一,得—I—=1,

ab2ab

.Il/，2、1°r8。2bI、].[8a_2b.

4。+6+1=（4。+6）—+—+1=8+2+—+—+1211+2/一•—=1ir9.

I\ab）ba\ba

当且仅当⑻=竺，即a=3,6=6时，4a+b+l取得最小值19.

ba

16.（1）{6}

（2）32

（1）若集合Z中只有1个元素，则集合3中有6个元素，所以6e3,故/={6}.

（2）当集合力中有1个元素时，A={6},8={1,2,3,457},此时有序集合对（48）有1个；当集合力中

有2个元素时，5任8,2任/,此时有序集合对（48）有5个：当集合力中有3个元素时，4任B,3任4,

此时有序集合对（48）有10个；当集合力中有4个元素时，3/4,4任/,此时有序集合对（48）有10

个；当集合力中有5个元素时，208,5/Z,此时有序集合对（48）有5个；当集合Z中有6个元素时，

月={1,2,345,7},8={6},此时有序集合对（48）有1个.综上，可知有序集合对（48）的个数是

1+5+10+10+5+1=32.

四、

17.解：(1)•.加=5,.,.5={x|-9<x<5},又4={坤《7},

.../U8={M-9〈XW7}.

又"力={X|X<1,或x>7},

.,.他/)08={49«1}.

(2)•.[□3=4.'.AcB,

.[-2/M+KI

•・«

m>7,

机〉0

即《

m>7,

解得〃z>7.

:.m的取值范围是{加加＞7}.

18.解（1）由已知，1-aV0,且方程（1—o）x~-4x+6=0的两根为-3,1,

-^-=-3+1

1一。

有4

-7

\-a

解得Q=3.

（2）不等式3/+加％+320的解集为R,

则△二病一4x3x3W0，解得一，

实数机的取值范围为[-6,6].

19.解：由x~—3x—4W0,解得—,

由—一6x+9/W0,

可得[工一(3+加)][x-(3—〃7)]W0,①

当〃?=0时，①式的解集为｛x|x=3｝；

当加＜0时，①式的解集为｛x|3+mWxW3-〃?｝；

当加＞0时，①式的解集为｛x|3-〃WxW3+m｝；

当p是q的充分条件，则集合｛x|-lWxW4｝是①式解集在的子集.

/H＜0

可得13+加式一1

3-机24

加〉0

或v3-mW-1

3+加N4,

解得〃W一4或加24.

故〃？的取值范围是(-oo,-4]U[4,+8).

20.解：(1)当XE[30,50]时，设该工厂获利为S万元,

则S=20x-(x2-40x+1600)=-(x—30)2—700,所以当xw[30,50]时，S的最大值为—700,因此该工厂

不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损.

(2)由题知，二氧化碳的平均处理成本P=2x+幽-40,xe[30,501,