复数的几何意义与性质课件 高考数学一轮复习

第五单元平面向量与复数第34课时复数的几何意义与性质第一部分大单元过关01课前自学02课堂导学目录【课时目标】理解复数的几何意义，会求复数的模；了解复数减法的

几何意义；了解复数运算的简单性质.【考情概述】复数的模属于高频考点，难度较低；复数的几何意义属

于低频考点；了解复数运算的简单性质有助于提高解题效率.

实轴虚轴原点3.复数的模

复数减法的几何意义：设复数

z

1＝

x

1＋

y

1i，

z

2＝

x

2＋

y

2i（

x

1，

x

2，

y

1，

y

2∈R），则｜

z

1－

z

2｜表示在复平面内

⁠

⁠的距离，

即｜

z

1－

z

2｜＝

⁠.

复数

z

1＝

x

1＋

y

1i，

z

2＝

x

2＋

y

2i分别对应的点

Z

1（

x

1，

y

1），

Z

2（

x

2，

y

2）之间

常用结论复数的模的运算性质：

（2）

｜

z

1

z

2｜＝｜

z

1｜｜

z

2｜；

（4）

｜

zn

｜＝｜

z

｜

n

.

✕√✕√2.（RA二教参P148本章学业水平测试题第2题改编）设

z

1＝3－4i，

z

2＝

－2＋3i，则复数

z

1－

z

2在复平面内对应的点位于（

D

）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（RA二教参P148本章学业水平测试题第5题改编）已知复数

z

满足（

z

－1）i＝1＋i，则｜

z

｜的值为（

C

）A.

B.3C.

D.5DC

A.1＋

iB.1－

iC.－1＋

iD.－1－

iAC5.（RA二教参P148本章学业水平测试题第8题）若

x

∈C，则方程

x

＋｜

x

｜＝1＋3i的解为

⁠.x

＝－4＋3i

A.

B.

C.

D.

A

A.2B.4C.4iD.－4i

（3）

若

z

＝1＋2i＋i3，则｜

z

｜的值为（

C

）A.0B.1C.

D.2

BC

A.3B.5C.9D.25

B考点二

复数的几何意义考向1

复数的几何意义例2（RA二P73习题7.1第6题）当实数

m

满足什么条件时，复平面

内表示复数

z

＝（

m

2－8

m

＋15）＋（

m

2－5

m

－14）i的点分别满

足下列条件？（1）

位于第四象限；

（2）

位于第一象限或第三象限；

（3）

位于直线

y

＝

x

上.

[对点训练]2.已知复数

z

＝（

m

2－2

m

－3）＋（

m

2－4

m

＋3）i（

m

∈R）在复平

面内对应的点为

Z

.

（1）

当点

Z

在实轴上时，求实数

m

的值；解：（1）

当点

Z

在实轴上时，复数

z

为实数，则

m

2－4

m

＋3＝0，解

得

m

＝1或

m

＝3.

（2）

当点

Z

在虚轴上时，求实数

m

的值；解：（2）

当点

Z

在虚轴上时，复数

z

为纯虚数或0，则

m

2－2

m

－3＝

0，解得

m

＝－1或

m

＝3.

（3）

当点

Z

在第一象限时，求实数

m

的取值范围.

例3（1）

（2022·南通模考）在复平面内，若一个正方形的3个顶点对

应的复数分别为1＋2i，－2＋i，0，则第四个顶点对应的复数为

（

B

）A.－1＋2iB.－1＋3iC.3iD.－

＋3iB

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限D总结提炼

由于复数与复平面内的点、向量之间建立了一一对应的关系，因

此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的

方法，使得问题更加直观.

[对点训练]3.设复数

z

在复平面内对应的点位于第四象限，则复数

z

（1＋i）100在复

平面内对应的点位于（

B

）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解：设

z

＝

a

＋

b

i（

a

，

b

∈R）.因为复数

z

在复平面内对应的点位

于第四象限，所以

a

＞0，

b

＜0.因为（1＋i）100＝[（1＋i）2]50＝

（2i）50＝－250，所以

z

（1＋i）100＝－250（

a

＋

b

i）＝－250

a

－

250

b

i，则－250

a

＜0，－250

b

＞0.所以复数

z

（1＋i）100在复平面

内对应的点位于第二象限.B考向2

复数减法的几何意义例4（1）

设复数

z

满足｜

z

－i｜＝1，

z

在复平面内对应的点的坐标为

（

x

，

y

），则下列式子正确的是（

C

）A.（

x

＋1）2＋

y

2＝1B.（

x

－1）2＋

y

2＝1C.

x

2＋（

y

－1）2＝1D.

x

2＋（

y

＋1）2＝1

（2）

已知｜

z

｜＝2，则｜

z

＋3－4i｜的最大值为

⁠.C7

[对点训练]4.已知复数

z

满足｜

z

－3＋4i｜＝1，则当

z

的虚部取得最大值时，

z

等

于（

B

）A.3＋3iB.3－3iC.－3＋5iD.－3－5i解：设

z

＝

x

＋

y

i（

x

，

y

∈R）.因为｜

z

－3＋4i｜＝1，所以（

x

－3）2

＋（

y

＋4）2＝1，则

z

＝

x

＋

y

i在复平面内对应的点在以点（3，－4）

为圆心，1为半径的圆上.所以

y

∈[－5，－3].当

y

＝－3时，

x

＝3，即当

z

的虚部取得最大值时，

z

＝3－3i.B

A.

B.

C.

D.

A（2）

（RA二P71例2改编）设复数

z

1＝4＋3i，

z

2＝4－3i.求：①

z

1·

z

2与

z

1－

z

2在复平面内对应的点；②

复数

z

1，

z

2的模，并比较它们的模的大小.

总结提炼

1.

z

·

＝｜

z

｜2＝｜

｜2；2.虚数不可以比较大小，但是虚数的模（实数）可以比较大小.

[对点训练]5.已知复数

z

1＝1＋i，

z

1

z

2＝2－2i，则｜

z

2｜的值为（

C

）A.1B.

C.2D.2

C

A.－

B.

C.－

D.

A1.（2023·新课标Ⅱ卷）在复平面内，（1＋3i）·（3－i）对应的点位于

（

A

）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解：因为（1＋3i）（3－i）＝6＋8i，所以其在复平面内对应的点为

（6，8），位于第一象限.A

对接高考2.（多选）（2021·八省适应性考试）设

z

1，

z

2，

z

3为复数，

z

1≠0，则

下列说法正确的是（